期中考前满分冲刺之中等易错题-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

期中考前满分冲刺之中等易错题思维导图 【类型覆盖】 类型一、用刻度尺度量数轴 1．将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的和，则的值为（    ） A．7 B．6 C． D． 2．将一把刻度尺按如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的和x，则x的值为（    ）． A．4 B． C． D． 3．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1），刻度尺上“0”和“3”分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“5.6”对应数轴上的数为（    ） A． B． C． D．1.6 4．如图，将一刻度尺放在数轴上．若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和5．则刻度尺上对应数轴上的点表示的数是 ． 5．一把刻度尺的部分在数轴上的位置摆放如图所示，若刻度尺上的刻度“”和“”分别对应数轴上的和，现将该刻度尺沿数轴向右平移个单位，则刻度尺上对应数轴上的数为 ．    6．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，3，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度，点C对应刻度． （1）该数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ； （2）数轴上点B所对应的数b为 ． 类型二、算术平方根、平方与绝对值的非负性 1．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如果，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．已知与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数，已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5或-5 D．3或5 4．若，则的值是 ； 5．若，则 ． 6．已知b、c满足，则的值是 ． 类型三、估算算术平方根 1．估算的范围是（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 2．试估算在哪两个数之间（   ） A．2和3 B．3和 4 C．4和5 D．5和6 3．估算的值，下列结论正确的是（    ） A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 4．估算： ．（结果精确到1） 5．估算比较大小： ．（填“”或“”或“”） 6．估算的大小为 （结果精确到1）． 类型四、代数式的整体带入 1．若，则代数式的值是（    ） A．8 B．10 C．12 D．24 2．已知，则多项式的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若，则多项式的值是（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 4．（1）若，则的值为 ． （2）已知，则代数式的值为 ． 5．若代数式的值为4，那么代数式的值为 ． 6．若，则的值是 ． 类型五、不含某项、与某项无关 1．多项式与的和中不含有项，则（   ） A． B．3 C．1 D． 2．若关于x的多项式不含二次项，则m等于（    ） A．2 B． C．3 D． 3．若多项式与的差与x的取值无关，则的值为（   ） A． B． C．3 D．2 4．若关于x的两个多项式与 的和为三次三项式，则m 的值为 ． 5．如果多项式中不含项，则k的值为 ． 6．在学习了多项式乘多项式以后，老师出了这样一道题：要求计算得到的多项式不含x、y的一次项，其中a，b为常数，请你分析并求出的值 ． 类型六、算法程序流程图 1．按照如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果可能是（　　）    A． B． C． D．12 2．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是2，则输出y的值是；若输入x的值是7，则输出y的值是（    ） A． B． C．0 D．1 3．按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的x值为4，第一次得到的结果为2，第二次得到的结果为1，…，第2023次得到的结果为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 5．按下面的程序计算： 如果输入x的值是正整数，输出结果是150，那么满足条件的x的值为 ． 6．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为15，则第1次输出的结果为18，第2次输出的结果为9，…，第2025次输出的结果为 ． 类型七、新定义运算 1．用“▲”定义一种新运算：对于任何有理数和，规定，如，则的值为（    ） A． B．4 C． D．8 2．定义一种新的运算：对于任意实数，有，则)的值是（   ） A． B． C． D． 3．定义一种新运算：对于两个非零实数a，b， ，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．用“※”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定．如，则的值为 ． 5．对于两个不相等的实数，定义一种新的运算如下，如:，那么 ． 6．将4个数a、b、c、d排成2行2列，两边各加一条竖直线为，叫做2阶行列式，定义，则 ． 类型八、平方根与算术平方根 1．判断下列说法正确的是（    ）． A．的平方根是； B．是64的立方根； C．是的立方根； D．的平方根是． 2．下列说法正确的是（    ） A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0 B．一个数的立方根不是正数就是负数 C．负数没有立方根 D．一个不为0的数的立方根和这个数同号 3．已知的平方根是，的立方根是，则的算术平方根是 ． 4．已知的两个平方根分别是和的立方根是的值为 ． 5．已知为4的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 6．求下列各式中的x． (1)； (2)； 类型九、化简求值 1．先化简，再求值：，其中． 2．求多项式的值，其中． 3．先化简，再求值：，其中， ． 4．先合并同类项，再根据条件求整式的值： (1)，其中； (2)，其中． 5．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 6．已知，． (1)求； (2)如果，求 类型十、有理数四则运算的应用 1．现有30箱苹果，以每箱为标准，其中质量超过标准质量的千克数用正数表示，不足标准质量的千克数用负数表示，记录如下表所示： 与标准质量的差值 0 1 2 3 箱数（箱） 1 3 5 9 6 4 2 (1)这30箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱多________； (2)与标准质量相比，这30箱苹果总计超过多少千克或不足多少千克？ (3)若这批苹果每千克售价6元，求平均每箱苹果可卖多少钱？ 2．出租车司机小李某天上午营运都是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午行车路程（单位：千米）如下：，，，，，． (1)若汽车耗油量为0.2升/千米，这天上午小李共耗油多少升？ (2)若出租车起步价为8元，起步路程为3千米（即乘车路程不超过3千米都为8元），若乘车路程超过3千米，则超过部分每千米加收2元．问司机小李今天上午共收入多少元？ 3．网约车因为可以在线预约无需等待，给市民出行带来很大的方便，已经成为广大市民常用交通出行方式．假定一辆网约车司机在芙蓉路的南北方向的公路上营运，共运载十批乘客．若规定向南为正，向北为负，营运十批乘客里程如下：（单位：千米），，，，，，，，，． (1)将第10批乘客送到目的地时该网约车司机距离第一批乘客出发地的南面还是北面？距离出发地多少千米？ (2)若汽车每千米耗油0.4升，则汽车共耗油多少升？ (3)若网约车的收费标准为：起步价8元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元．则这10批乘客运送完后一共收入多少元？ 4．某水果店销售冰糖心苹果，每箱冰糖心苹果的标准质量为．与标准质量相比，每箱超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．张叔叔在该店购买了5箱冰糖心苹果，称重后记录如下表（单位：）： 箱数 第1箱 第2箱 第3箱 第4箱 第5箱 与标准质量的差值 (1)这5箱冰糖心苹果中，质量最轻的一箱与最重的一箱相差产 ． (2)张叔叔购买的这5箱冰糖心苹果的总质量是多少千克？ (3)若每千克冰糖心苹果的售价为10.5元，张叔叔应付给商家多少元？ 5．科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富，小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 柚子销售超过或不足计 划量情况（单位：千克） (1)小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？ (2)若小王按8元/千克进行柚子销售，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？ (3)直接写出小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售___________千克． 6．电影《流浪地球2》成为了今年春节期间影迷观影的首选．某市今年春节期间该电影的售票量（单位，万张）变化如下表（以万张为标准，超过的张数记为正，不足的张数记为负）： 日期 正月初一 正月初二 正月初三 正月初四 正月初五 正月初六 正月初七 售票量变化 请根据以上信息，回答下列问题： (1)求该市正月初一到初七售票量最多的一天与最少的一天相差多少万张？ (2)求该市正月初一到初七每天的平均售票量是多少万张？ (3)若平均每张票价为45元，则正月初一到初七该市《流浪地球2》的票房收入共多少万元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考前满分冲刺之中等易错题思维导图 【类型覆盖】 类型一、用刻度尺度量数轴 1．将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的和，则的值为（    ） A．7 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的应用，根据数轴得出刻度尺上1对应的是，数轴的原点在处，刻度尺7对应数轴是． 【详解】解：刻度尺上的“”和对应数轴上的， 数轴上的原点对应刻度尺上的， 刻度尺上的“”对应数轴上的． 故本题选：D． 2．将一把刻度尺按如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的和x，则x的值为（    ）． A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离．熟练掌握在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离是解题的关键．由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：D． 3．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1），刻度尺上“0”和“3”分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“5.6”对应数轴上的数为（    ） A． B． C． D．1.6 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握在数轴上右边点表示的数减去左边点表示的数等于这两点间的距离是解题关键．利用点在数轴上的位置，以及两点之间的距离分析即可求解． 【详解】解：设刻度尺上“”对应数轴上的数的点在原点的左边，距离原点有的单位长度，所以这个数是 故选：C． 4．如图，将一刻度尺放在数轴上．若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和5．则刻度尺上对应数轴上的点表示的数是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查数轴及有理数在数轴上的表示，先求的刻度尺上的1cm长即为数轴上的一个单位长度，再结合5cm所对应的数应在7cm所对应的左边2个单位长度，7cm对应数轴上的点表示的数是5，最后求出5cm对应数轴上的点表示的数是3即可． 【详解】解：∵刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和5， ∴刻度尺上的长即为数轴上的一个单位长度， ∵刻度尺上的刻度在刻度左边， ∴所对应的数应在所对应的左边2个单位长度， ∵对应数轴上的点表示的数是5， ∴对应数轴上的点表示的数是3， 故答案为：3． 5．一把刻度尺的部分在数轴上的位置摆放如图所示，若刻度尺上的刻度“”和“”分别对应数轴上的和，现将该刻度尺沿数轴向右平移个单位，则刻度尺上对应数轴上的数为 ．    【答案】 【分析】通过两点间的距离比求出数轴上刻度“”与刻度“”之间的距离，进而求刻度“”在数轴对应的数及符号，最后通过“左加右减”即可求解． 本题主要考查了数轴与刻度尺，解题关键是求出一个单位长度代表多少厘米． 【详解】解：因为刻度尺上的刻度“”和“”分别对应数轴上的和， ∴刻度尺上刻度“”与刻度“”之间的距离是，是刻度尺上刻度“”与刻度“”之间的距离的倍； 而数轴上刻度“”和“”之间的数轴距离是， 所以数轴上刻度“”与刻度“”之间的距离是，由于刻度“”在数轴的左边，属于负数，所以对应的数应为，向右平移个单位后为． 故刻度尺上对应数轴上的数为． 故答案为：． 6．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，3，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度，点C对应刻度． （1）该数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ； （2）数轴上点B所对应的数b为 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了实数与数轴： （1）先求出在数轴上点A和点C的距离为，再由刻度尺上点A与点C的距离除以数轴上点A和点C的距离即可得到答案； （2）用刻度尺上点A与点B的距离除以得到数轴上点A和点B的距离即可得到答案． 【详解】解：（1）∵数轴上点A和点C表示的数分别为，3， ∴在数轴上点A和点C的距离为， ∵在刻度尺上数字0对齐数轴上的点A，点C对应刻度， ∴该数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的， 故答案为：； （2）∵在刻度尺上点B对应刻度， ∴在数轴上点A和点B的距离为， ∴数轴上点B所对应的数b为， 故答案为：． 类型二、算术平方根、平方与绝对值的非负性 1．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查实数的计算，理解二次根式的非负性质和绝对值的非负性质是解题的关键．根据二次根式和绝对值的性质，两个非负数相加等于0，则，，解出和的值即可． 【详解】解：因为； 所以，； 解得：； 所以； 故选：B． 2．如果，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质：“几个非负数的和为时，这几个非负数都为”．根据非负数的性质求出、的值，即可求解． 【详解】解：， ，， 解得：，， ， 故选：A． 3．已知与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数，已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5或-5 D．3或5 【答案】D 【分析】先根据相反数的定义以及绝对值的定义求得a、b的值，再根据非负数的性质求得m、n的值，然后计算即可．掌握几个非负数的和为零，则每个非负数均为零是解题的关键． 【详解】解：∵与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数， ∴， ∵， ∴或， 又∵，或，， ∴或， ∴或， ∴或， ∴的值为3或5． 故选：D． 4．若，则的值是 ； 【答案】 【分析】本题主要考查非负数的性质，根据非负数的性质进行化简求出代入求值即可 【详解】解：∵， ∴ ∴，， ∴， 故答案为： 5．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，解题的关键是掌握几个非负数和为0，则这几个非负数分别为0．根据绝对值和平方的非负性，得出，求出a和b的值，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：2． 6．已知b、c满足，则的值是 ． 【答案】// 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据，得到, 代入计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 故答案为：或或． 类型三、估算算术平方根 1．估算的范围是（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法求出的范围即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．试估算在哪两个数之间（   ） A．2和3 B．3和 4 C．4和5 D．5和6 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法得到，进而可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．估算的值，下列结论正确的是（    ） A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算能力，由于，由此估计的整数部分和小数部分，然后即可判断． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 故选：B． 4．估算： ．（结果精确到1） 【答案】5 【分析】本题考查无理数得估算，根据夹逼法确定无理数的范围，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，且， ∴； 故答案为：5． 5．估算比较大小： ．（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】此题考查了估算无理数，先估算，然后进行计算即可，熟练掌握无理数估算和平方数是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，即， ∴， 故答案为：． 6．估算的大小为 （结果精确到1）． 【答案】 【分析】根据算术平方根的意义，进行估算，即可得到答案． 【详解】解：， ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查无理数的估算，掌握算术平方根的意义是解题的关键． 类型四、代数式的整体带入 1．若，则代数式的值是（    ） A．8 B．10 C．12 D．24 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握整体的思想是解题的关键． 由可得，再对变形即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．已知，则多项式的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】已知等式变形后，代入所求式子，再次变形再次带入计算即可求出值． 【详解】 故答案为C 【点睛】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．若，则多项式的值是（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式的求值以及平方差公式，解题的关键是熟悉平方差公式．先将化成，再将代入化简即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 4．（1）若，则的值为 ． （2）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 1 【分析】本题考查已知式子值求代数式值： （1）将，代入中计算即可； （2）将，代入中计算即可； 【详解】解：（1）当时， 原式 ， 故答案为：； （2）已知， 原式 ， 故答案为：1． 5．若代数式的值为4，那么代数式的值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查的是求代数式的值，利用等式的性质求得的值是解题的关键． 先利用等式的性质得到的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：10． 6．若，则的值是 ． 【答案】2031 【分析】本题考查了代数式求值，由题意可知可得，然后整体代入原式即可求出答案，解题的关键是利用整体代入思想． 【详解】解：， ， ， 故答案为：2031． 类型五、不含某项、与某项无关 1．多项式与的和中不含有项，则（   ） A． B．3 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，将多项式进行合并后，令含有项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：， ∵两个多项式和中不含有项， ∴， ∴； 故选：D． 2．若关于x的多项式不含二次项，则m等于（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关项问题．先合并同类项，然后根据多项式中不含二次项，可得，即可求解． 【详解】解：， ∵多项式中不含二次项， ∴， 解得：． 故选：C 3．若多项式与的差与x的取值无关，则的值为（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，合并同类项后，根据多项式与的差与的取值无关，得到含的项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解： ， ∵差与的取值无关， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 4．若关于x的两个多项式与 的和为三次三项式，则m 的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查整式的加减，多项式的项数和次数．将多项式合并后，根据和为三次三项式，得到二次项的系数为0，求解即可． 【详解】解∶ ， ∵多项式与 的和为三次三项式， ∴， ∴， 故答案为：4． 5．如果多项式中不含项，则k的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查合并同类项，利用平方根解方程，理解“不含项”的意义．根据合并同类项法则将原式化为，再令项的系数为0即可． 【详解】解：多项式，由于不含项， ∴，即， ∴， 故答案为：2或． 6．在学习了多项式乘多项式以后，老师出了这样一道题：要求计算得到的多项式不含x、y的一次项，其中a，b为常数，请你分析并求出的值 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．结果中不含一次项和二次项，则说明这两项的系数为0，建立关于a，b等式，求解得到a、b的值即可解决问题． 【详解】解： 因为这个多项式不含一次项， 所以， 解得，． 所以． 故答案为：． 类型六、算法程序流程图 1．按照如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果可能是（　　）    A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】本题考查有理数的运算及代数式求值．根据题意列式计算，直至结果小于输出结果即可． 【详解】解：若开始输入的值为， 则，返回继续运算； ，输出结果； 故选：B． 2．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是2，则输出y的值是；若输入x的值是7，则输出y的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了不等式与代数式的运算，熟悉掌握流程图是解题的关键． 根据流程图的含义，把把，代入求出的值，再把和的值代入运算即可． 【详解】解：由题意可得：把，代入可得：， 解得：， ∴当时，， 把代入可得：， 故选：A． 3．按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的x值为4，第一次得到的结果为2，第二次得到的结果为1，…，第2023次得到的结果为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是求代数式的值，规律探究，熟练掌握相关方法，发现输出结果的数字变化规律是解题的关键． 将代入，然后依据程序进行计算，依据计算结果得到其中的规律，然后依据规律求解即可． 【详解】解：当时，第一次输出结果； 第二次输出结果； 第三次输出结果； 第四次输出结果， 由上可知，计算结果按2，1，4三个数依次循环， ． 所以第20次得到的结果为2． 故选：B． 4．如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了程序流程图与代数式求值，正确理解程序流程及熟练掌握求代数式的值是解题的关键．当时，根据程序的计算顺序计算，得到结果，按程序，当时，计算得，即得最后结果． 【详解】当时，， 当时，， 最后输出的结果是． 故答案为：． 5．按下面的程序计算： 如果输入x的值是正整数，输出结果是150，那么满足条件的x的值为 ． 【答案】或10或3 【分析】本题考查了一元一次方程的解法．解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．注意可反复输入． 由程序图，可以得到输出结果和x的关系：输出结果，当输出结果是150时，可求出x的值．若计算结果与x的值相等且时，需重新确定输入新的数值，反复直到x不能满足正整数为止． 【详解】解：当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时，x不是正整数，不合题意． 即当或10或3时，输出的结果都是150． 故答案为：或10或3． 6．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为15，则第1次输出的结果为18，第2次输出的结果为9，…，第2025次输出的结果为 ． 【答案】3 【分析】此题考查代数式求值，数字类规律探究，解题的关键是找到规律．首先分别求出第3次、第4次、第5次、第6次、第7次、第8次输出的结果各是多少，总结出规律，然后判断出第2025次输出的结果为多少即可． 【详解】解：依题意，第3次输出的结果为：， 第4次输出的结果为：， 第5次输出的结果为：， 第6次输出的结果为：， 第7次输出的结果为：， 第8次输出的结果为：， ， ∴从4次开始，每次输出的结果都是、、、3、， ∴第2025次输出的结果为3． 故答案为：3． 类型七、新定义运算 1．用“▲”定义一种新运算：对于任何有理数和，规定，如，则的值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，理解新定义是解答本题的关键．根据新定义转化为有理数的混合运算计算． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 2．定义一种新的运算：对于任意实数，有，则)的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义可得，据此计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：D． 3．定义一种新运算：对于两个非零实数a，b， ，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义下的实数运算、代数式求值， 先根据可得一个关于x，y的等式，再根据新运算的定义代入计算即可得． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．用“※”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定．如，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，将新定义运算转化成有理数混合运算成为解题的关键． 先将新定义运算转化成有理数混合运算，然后再计算即可． 【详解】解：． 故选． 5．对于两个不相等的实数，定义一种新的运算如下，如:，那么 ． 【答案】/0.4 【分析】本题考查了新定义实数的运算，根据题意列式计算即可得出答案，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 6．将4个数a、b、c、d排成2行2列，两边各加一条竖直线为，叫做2阶行列式，定义，则 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了整式的加减混合运算，先根据题意列出算式，然后去括号，再合并同类项求解即可．熟练掌握去括号、合并同类项法则是解本题的关键． 【详解】根据题意，得 ． 故答案为：． 类型八、平方根与算术平方根 1．判断下列说法正确的是（    ）． A．的平方根是； B．是64的立方根； C．是的立方根； D．的平方根是． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根、立方根的定义，根据平方根、立方根的定义逐项判定即可． 【详解】解∶A． 是负数，没有平方根，故原说法错误，不符合题意； B．4是64的立方根，故原说法错误，不符合题意； C．是的立方根，故原说法正确，符合题意； D．的平方根是，故原说法错误，不符合题意； 故选∶C． 2．下列说法正确的是（    ） A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0 B．一个数的立方根不是正数就是负数 C．负数没有立方根 D．一个不为0的数的立方根和这个数同号 【答案】D 【分析】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义．根据立方根的定义及性质即可解答． 【详解】解：A、如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0或1或，故错误； B、一个数的立方根不是正数就是负数，错误；还有0； C、负数有立方根，故错误； D、一个不为0的数的立方根和这个数同号，正确； 故选：D． 3．已知的平方根是，的立方根是，则的算术平方根是 ． 【答案】5 【分析】本题考查平方根，算术平方根及立方根的定义，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键． 根据平方根及立方根的定义求得a，b的值，然后将其代入中计算，再利用算术平方根的定义即可求得答案． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是， ∴，， ∴，， 则， 那么原式的算术平方根是5， 故答案为：5． 4．已知的两个平方根分别是和的立方根是的值为 ． 【答案】185 【分析】本题考查了平方根，立方根的应用，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数得出方程，求出，即可求出x、y,代入求出即可． 【详解】解：∵的两个平方根分别是和， ∴， 解得，， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴． 5．已知为4的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根的定义计算即可； （2）将a，b的值代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵为4的算术平方根，2为的立方根， ，， 解得：，； （2）解：∵，， ， 则的平方根是． 6．求下列各式中的x． (1)； (2)； 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查利用平方根、立方根的意义解方程，解题的关键是掌握平方根及立方根的意义． （1）首先在方程两边同时除以3，然后把方程两边同时开平方即可求解； （2）首先方程两边同时除以8，然后把方程两边同时开立方即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 或； （2）， ， ． 类型九、化简求值 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的加减运算法则成为解题的关键． 先根据整式的加减运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 2．求多项式的值，其中． 【答案】3 【分析】本题考查了整式的加减一化简求值,熟练利用合并同类项法则是解题的关键． 先合并同类项再代入求值即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 3．先化简，再求值：，其中， ． 【答案】；1 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．先根据整式加减运算法则进行化简，然后再把数据代入求值即可． 【详解】解： ， 当， 时， 原式． 4．先合并同类项，再根据条件求整式的值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握合并同类项法则是解决本题的关键． （1）（2）先合并同类项，再代入求值． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式 ； （2）解： ， 当时， 原式． 5．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)，111 (2)， 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式去括号合并得到最简结果，代入x的值计算即可求出值； （2）原式去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出a与b的值，代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：原式 ， 当时，原式； （2）解：原式 ， ， ， ， 原式． 6．已知，． (1)求； (2)如果，求 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则与合并同类项法则进行求解． （1）把、的值代入，再去括号，合并同类项即可； （2）求出，再把、的值代入，去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：，，， ． 类型十、有理数四则运算的应用 1．现有30箱苹果，以每箱为标准，其中质量超过标准质量的千克数用正数表示，不足标准质量的千克数用负数表示，记录如下表所示： 与标准质量的差值 0 1 2 3 箱数（箱） 1 3 5 9 6 4 2 (1)这30箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱多________； (2)与标准质量相比，这30箱苹果总计超过多少千克或不足多少千克？ (3)若这批苹果每千克售价6元，求平均每箱苹果可卖多少钱？ 【答案】(1)6； (2)这30箱苹果总计超过； (3)平均每箱苹果可卖151.2元 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数运算的实际应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）根据正负数的意义，用记录相减计算即可得解； （2）将30箱苹果与标准质量的差值相加即可得解； （3）先求出每箱的平均质量，再乘以单价即可得解． 【详解】（1）解：， 即最重的一箱比最轻的一箱多， 故答案为：6； （2）解：， 答：这30箱苹果总计超过； （3）解：， （元）， 答：平均每箱苹果可卖151.2元． 2．出租车司机小李某天上午营运都是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午行车路程（单位：千米）如下：，，，，，． (1)若汽车耗油量为0.2升/千米，这天上午小李共耗油多少升？ (2)若出租车起步价为8元，起步路程为3千米（即乘车路程不超过3千米都为8元），若乘车路程超过3千米，则超过部分每千米加收2元．问司机小李今天上午共收入多少元？ 【答案】(1)这天上午小李共耗油升 (2)司机小李今天上午共收入90元 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，正确理解题意是解决本题的关键． （1）先计算出小李这天上午共行进的里程，再乘以汽车耗油量升/千米得这天上午小李的耗油量； （2）由这天上午每次的行车里程计算出每次的费用，再相加即可得出小李共得的收入． 【详解】（1）解：（升）， 答：这天上午小李共耗油7.2升； （2）解：由题意得，每次行车里程的费用分别为： 第一次：元； 第二次：（元）； 第三次：元； 第四次：（元）； 第五次：（元）； 第六次：元； 则小李今天上午共得出租款为（元）， 答：司机小李今天上午共收入元． 3．网约车因为可以在线预约无需等待，给市民出行带来很大的方便，已经成为广大市民常用交通出行方式．假定一辆网约车司机在芙蓉路的南北方向的公路上营运，共运载十批乘客．若规定向南为正，向北为负，营运十批乘客里程如下：（单位：千米），，，，，，，，，． (1)将第10批乘客送到目的地时该网约车司机距离第一批乘客出发地的南面还是北面？距离出发地多少千米？ (2)若汽车每千米耗油0.4升，则汽车共耗油多少升？ (3)若网约车的收费标准为：起步价8元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元．则这10批乘客运送完后一共收入多少元？ 【答案】(1)将第10批乘客送到目的地时该网约车司机距离第一批乘客出发地的南面，距离出发地5千米 (2)21.2升 (3)126元 【分析】本题考查了正数和负数在实际问题中的应用，有理数的混合运算，明确正负数的含义及题中的数量关系，是解题的关键． （1）把记录的数字相加即可得到结果，结果为正则在东面，结果为负则在西面； （2）把记录的数字的绝对值相加，再乘以0.4，即可得答案； （3）先计算起步费总额，再将超过3千米的路程相加，所得的和乘以2，将起步费加上超过3千米的费用总额，即可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴将第10批乘客送到目的地时该网约车司机距离第一批乘客出发地的南面，距离出发地5千米； （2） ， ∴（升）， 即：汽车共耗油21.2升； （3）解：∵共营运十批乘客， ∴起步费为：（元）， 超过3千米的收费总额为：（元）， ∴（元）， ∴这10批乘客运送完后一共收入126元． 4．某水果店销售冰糖心苹果，每箱冰糖心苹果的标准质量为．与标准质量相比，每箱超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．张叔叔在该店购买了5箱冰糖心苹果，称重后记录如下表（单位：）： 箱数 第1箱 第2箱 第3箱 第4箱 第5箱 与标准质量的差值 (1)这5箱冰糖心苹果中，质量最轻的一箱与最重的一箱相差产 ． (2)张叔叔购买的这5箱冰糖心苹果的总质量是多少千克？ (3)若每千克冰糖心苹果的售价为10.5元，张叔叔应付给商家多少元？ 【答案】(1)0.7 (2)25.4千克 (3)266.7元 【分析】此题主要考查了正负数的意义以及有理数的混合运算，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示， （1）先找出质量重的比标准重多少，质量轻的比标准轻多少，然后再相减即可得出答案； （2）首先求得5箱超过或不足的总和，再加上千克，即可求得； （3）根据“单价×数量=总价”解答即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据得，质量轻的与标准质量的差值为，质量重的与标准质量的差值为， 所以，质量最轻的一箱与最重的一箱相差重量为 故答案为：0.7 （2）解： （千克） 答：这5箱冰糖心苹果的总质量是25.4千克 （3）解：（元） 答：张叔叔应付给商家266.7元 5．科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富，小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 柚子销售超过或不足计 划量情况（单位：千克） (1)小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？ (2)若小王按8元/千克进行柚子销售，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？ (3)直接写出小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售___________千克． 【答案】(1)千克 (2)元 (3) 【分析】本题主要考查正数和负数以及有理数的混合运算的应用，解题的关键是读懂题意，列式计算并掌握相关运算法则． （1）根据第一周实际销售柚子的数量相加计算即可； （2）将总数量乘以每千克的收入解答即可； （3）根据表格中的数据，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解： （千克）． 答：小王第一周实际销售柚子的总量是千克． （2）解：（元）． 答：小王第一周销售柚子一共收入元． （3）解：小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售： （千克）． 6．电影《流浪地球2》成为了今年春节期间影迷观影的首选．某市今年春节期间该电影的售票量（单位，万张）变化如下表（以万张为标准，超过的张数记为正，不足的张数记为负）： 日期 正月初一 正月初二 正月初三 正月初四 正月初五 正月初六 正月初七 售票量变化 请根据以上信息，回答下列问题： (1)求该市正月初一到初七售票量最多的一天与最少的一天相差多少万张？ (2)求该市正月初一到初七每天的平均售票量是多少万张？ (3)若平均每张票价为45元，则正月初一到初七该市《流浪地球2》的票房收入共多少万元？ 【答案】(1)万张 (2)万张 (3)万元 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，有理数四则混合运算的实际应用，正确列出算式是解题的关键． （1）根据表格中的数据列出算式进行计算即可； （2）根据平均数的计算方法，列出算式进行计算即可； （3）根据平均每张票价为45元，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：（万张）， 答：最多的一天与最少的一天相差万张； （2）解：该市正月初一到初七每天的平均售票量为： （万张）； 答：正月初一到初七每天的平均售票量是万张； （3）解： （万元）． 答：正月初一到初七该市《流浪地球2》的票房收入共万元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$