1.3 第1课时 用平方差公式因式分解（课件PPT）-【优+学案】2024-2025学年八年级上册数学课时通(鲁教版 五四制)

年级上册·鲁教版 数 学 第一章　因式分解 3　公式法 第1课时　用平方差公式因式分解 用平方差公式因式分解 1. 下列多项式中能用平方差公式因式分解的是（　D　） A. a2＋（－ b ）2 B. 3 m2－12 m C. － m2－ n2 D. － x2＋1 2. （2023·浙江杭州中考）因式分解：4 a2－1＝（　A　） A. （2 a －1）（2 a ＋1） B. （ a －2）（ a ＋2） C. （ a －4）（ a ＋1） D. （4 a －1）（ a ＋1） D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 3. a2－（ b － c ）2有一个因式是 a ＋ b － c ，则它的另一个因式是（　B　） A. a － b － c B. a － b ＋ c C. a ＋ b － c D. a ＋ b ＋ c 4. （2023·甘肃兰州中考）因式分解： x2－25 y2＝ ⁠. 5. （2023·四川雅安中考）若 a ＋ b ＝2， a － b ＝1，则 a2－ b2的值为 ⁠. B （ x －5 y ）（ x ＋5 y ）　 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 6. 把下列各式因式分解： （1）4 a2－ b2； 解：4 a2－ b2＝（2 a ＋ b ）（2 a － b ）. （2）－4 x2＋9； 解：－4 x2＋9＝（3＋2 x ）（3－2 x ）. （3）4 n2－（ m ＋ n ）2. 解：4 n2－（ m ＋ n ）2＝（3 n ＋ m ）（ n － m ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 综合应用提公因式法、平方差公式因式分解 7. （2023·辽宁抚顺、葫芦岛中考）因式分解：2 m2－18＝ ⁠ ⁠. 8. （2023·四川德阳中考）因式分解： ax2－4 ay2＝ ⁠. 9. 因式分解： x3 y －16 xy3＝ ⁠. 10. 把下列各式因式分解： （1）3 m2－75 n2；　　　（2）4 a4－36 a2 b2. 解：（1）原式＝3（ m2－25 n2）＝3（ m ＋5 n ）（ m －5 n ）. （2）原式＝4 a2（ a2－9 b2）＝4 a2（ a ＋3 b ）（ a －3 b ）. 2（ m ＋3）（ m － 3）　 a （ x ＋2 y ）（ x －2 y ）　 xy （ x ＋4 y ）（ x －4 y ）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 因式分解不彻底 11. 因式分解：3 m4－48＝ ⁠. 3（ m2＋4）（ m ＋2）（ m －2）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 12. 小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了 x 的指数，他只知道该数为不大于 8的正整数，并且能利用平方差公式因式分解，他抄在作业本上的式子是 x□－9 y2 （“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（　D　） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 13. 若 ＝8×10×12，则 k ＝（　B　）　 A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 15. 已知长方形的面积是49 a2－4 b2，一边长为（7 a －2 b ），则另一边长为 ⁠ ⁠. 16. 计算：7582－2422＝ ⁠. 17. 已知 a ＋ b ＝1，则代数式 a2－ b2＋2 b ＋9的值为 ⁠. 7 a ＋2 b 　 516 000　 10　 14. 若 a ＋ b ＝3，则 a2＋6 b － b2的值为（　C　） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 18. 因式分解： （1） x4（ x －2 y ）＋ x2（2 y － x ）； 解：原式＝ x2（ x －2 y ）（ x2－1）＝ x2（ x ＋1）·（ x －1）（ x －2 y ）. （2）（ x ＋ y ＋ z ）2－（ x － y － z ）2； 解：原式＝（ x ＋ y ＋ z ＋ x － y － z ）（ x ＋ y ＋ z － x ＋ y ＋ z ）＝2 x （2 y ＋2 z ）＝4 x （ y ＋ z ）. （3）81（ a ＋ b ）2－4（ a － b ）2. 解：原式＝[9（ a ＋ b ）]2－[2（ a － b ）]2＝[9（ a ＋ b ）＋2（ a － b ）][9（ a ＋ b ）－2（ a － b ）]＝（11 a ＋7 b ）（7 a ＋11 b ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 19. 教材P11习题1.4T3变式　如图所示，在一块半径为 R 的圆形板材上，抠去半 径为 r 的四个小圆，小刚测得 R ＝6.8 cm， r ＝1.6 cm，他想知道剩余阴影部分的 面积，你能利用学过的因式分解的方法帮助小刚计算吗？请写出求解的过程.（π 取3） 解：由图可得阴影部分的面积是π R2－4π r2. ∵π R2－4π r2＝π（ R2－4 r2）＝π（ R ＋2 r ）（ R －2 r ）， ∴当π＝3， R ＝6.8 cm， r ＝1.6 cm时，阴影部分的面积为3×（6.8＋2×1.6）× （6.8－2×1.6）＝3×10×3.6＝108（cm2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 20. 已知 a 为整数，求证：（2 a ＋1）2－1能被4整除. 证明：（2 a ＋1）2－1＝（2 a ＋1＋1）（2 a ＋1－1）＝（2 a ＋2）·2 a ＝4 a （ a ＋1）.∵ a 为整数， ∴ a ＋1也为整数，∴4 a （ a ＋1）能被4整除，∴（2 a ＋1）2－1能被4整除. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 21. 运算能力　如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正 整数为“和谐数”，比如8＝32－12，16＝52－32，即8，16均为“和谐数”.试计 算在不超过2 023的正整数中，所有的“和谐数”之和. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 解：设两个连续的奇数分别为2 n －1，2 n ＋1. ∵（2 n ＋1）2－（2 n －1）2＝（2 n ＋1＋2 n －1）（2 n ＋1－2 n ＋1）＝8 n ， ∴任意一个“和谐数”均为8的倍数. ∵2 023÷8＝252 ， ∴在不超过2 023的整数中，最大一个“和谐数”为8×252＝2 016. ∴在不超过2 023的整数中，“和谐数”分别为8，16，24，32，…，2 016. 又∵8＝32－12，16＝52－32，24＝72－52，32＝92－72，…，2 016＝5052－5032， ∴8＋16＋24＋32＋…＋2 016＝32－12＋52－32＋72－52＋92－72＋…＋5052－5032 ＝5052－12＝255 024. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 $$