精品解析：甘肃省天水市麦积区天水市第二中学2025届高三上学期10月月考数学试题

2025届高三第三次月考试卷 数学 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知为实数，则（ ） A. B. 2 C. 1 D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，即是偶函数又在单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数x，y，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数，且在上是增函数 B. 是偶函数，且在上是增函数 C. 是奇函数，且在上是减函数 D. 是偶函数，且在上是减函数 二、多项选择题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9. 已知函数，若，则的值可以为（ ） A. B. 3 C. 7 D. 8 10. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数则下列说法正确的是（ ） A. 当时, B. 当时,直线与函数的图象相切 C. 若函数在区间上单调递增,则 D. 若在区间上恒成立,则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 函数的值域为_________. 13. 函数的图象在点处的切线方程为__________. 14. 若为偶函数，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知幂函数在上单调递减. （1）求m的值； （2）若，求a的取值范围. 16. 如图所示的几何体中，四边形是正方形.四边形是梯形，，平面平面，且. （1）求证：平面； （2）求二面角的大小. 17. 函数的定义域为，函数（）． （1）求； （2）求函数的值域； （3）当时，若关于的方程（）有实数根，求的取值范围，并讨论实数根的个数． 18. 已知函数． （1）求的极值； （2）若在区间有2个零点，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）求函数的单调区间； （3）当时，若在时恒成立，求整数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三第三次月考试卷 数学 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，利用集合的运算可判断ABC选项，利用集合的包含关系可判断D选项. 【详解】因为或，， 所以，，AC都错， 或或，B错； 或，故，D对. 故选：D. 2. 已知为实数，则（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用为实数求出，再根据复数的模的公式求解． 【详解】由题意可得， 由为实数，得， 即，则， 故． 故选：D． 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的定义域以及根式的性质即可求解. 【详解】由题意可知的定义域需要满足，解得， 故定义域为， 故选：D 4. 设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的性质得到，根据对数函数的性质得到，即可得到答案. 【详解】因为，，所以. 又因为，所以. 故选：C 5. 下列函数中，即是偶函数又在单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义判断即可. 【详解】A选项：函数为奇函数，故A错； B选项：函数的定义域为R，且，所以函数为偶函数，当时，，单调递增，故B正确； C选项：，所以函数非奇非偶，故C错. D选项：定义域为，不关于原点对称，所以函数非奇非偶，故D错. 故选：B. 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断； 【详解】因为，即，所以， 所以函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称， 故排除； 当时，，即，因此，故排除A. 故选：D. 7. 已知实数x，y，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】结合幂函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义判断结论. 【详解】因为函数在R上单调递增， 由，有，可得； 由，可得，即． 则“”是“”的充要条件． 故选：C. 8. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数，且在上是增函数 B. 是偶函数，且在上是增函数 C. 是奇函数，且在上是减函数 D. 是偶函数，且在上是减函数 【答案】C 【解析】 【分析】变换，根据奇函数的定义判断函数为奇函数，根据和的单调性得到函数单调性，得到答案. 【详解】，函数定义域为. ，函数为奇函数， 设，，函数单调递增，而函数在上单调递减， 由复合函数的单调性可知，故函数在上单调递减， 而函数为定义域为的奇函数，故函数在上是减函数. 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9. 已知函数，若，则的值可以为（ ） A. B. 3 C. 7 D. 8 【答案】AD 【解析】 【分析】分和两种情况求解 【详解】当时，由，得，解得或（舍去）， 当时，由，得，解得， 综上或， 故选：AD 10. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. [方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法. 由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC. 故选：BC. [方法三]： 因为，均为偶函数， 所以即，， 所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称， 又，且函数可导， 所以， 所以，所以， 所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. 【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法； 方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解． 11. 已知函数则下列说法正确的是（ ） A. 当时, B. 当时,直线与函数的图象相切 C. 若函数在区间上单调递增,则 D. 若在区间上恒成立,则 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A,求导函数后根据单调性即可得出结果;对于B,求导后将代入求出切线斜率,继而求得切线方程;对于C,即在上恒成立,分离参数求解即可;对于D,分为和两种情况进行讨论,当时,恒成立;当 时,恒成立等价于恒成立,分离参数转化为最值问题求解即可. 【详解】对于A,当时,,, 当时,, 当时,, 函数在上单调递减,在上单调递增, ,故选项A正确; 对于B,当时,,, , 函数在处的切线方程为,故选项B正确; 对于C,,若函数在区间上单调递增, 则区间上恒成立, 即在上恒成立, 令,, 则, 函数在上单调递减, , ,故选项C错误; 对于D,当时,恒成立,此时; 当时,恒成立等价于恒成立, 即恒成立, 设,, 则在上恒成立, 在上单调递减, , , 综上所述,故选项D错误. 故选:AB． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 函数的值域为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式即可解出． 【详解】因为，所以，当且仅当时取等号． 故答案为：． 13. 函数的图象在点处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】因为，所以，则，， 所以所求切线的方程为，即. 故答案为：. 14. 若为偶函数，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解. 【详解】因为为偶函数，定义域为， 所以，即， 则，故， 此时， 所以， 又定义域为，故为偶函数， 所以. 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知幂函数在上单调递减. （1）求m的值； （2）若，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由幂函数的定义以及单调性得出m的值； （2）由解不等式得出a的取值范围. 【小问1详解】 解：由幂函数的定义可得，即，解得或. 因为在上单调递减，所以，即， 则. 【小问2详解】 设，是R上的增函数. 由（1）可知，即， 则，解得， 即a的取值范围为. 16. 如图所示的几何体中，四边形是正方形.四边形是梯形，，平面平面，且. （1）求证：平面； （2）求二面角的大小. 【答案】（1）证明：∵，平面， ∴平面 ∵，平面，平面， ∴.平面 ∵，、平面 ∴平面/平面 ∵平面， ∴平面 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据，平面，由线面平行的判定定理得到平面，同理可证.平面，然后利用面面平行判定定理证明. （2）以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面一个法向量和平面一个法向量，然后由求解. 【详解】（1）略； （2）以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，， 设平面一个法向量，， 则，即， 令，则，， ∴ 设平面一个法向量，， 则，即， 令，则，， ∴， ∴， 设二面角的平面角为， 则， 故 【点睛】本题主要线面平行，面面平行的判定定理和空间向量法求二面角问题，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题. 17. 函数的定义域为，函数（）． （1）求； （2）求函数的值域； （3）当时，若关于的方程（）有实数根，求的取值范围，并讨论实数根的个数． 【答案】（1）； （2）； （3）当或当时，方程只有一个实数根 当时，方程有两个不相等的实数根 当时，方程没有实数根 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的定义，求解函数的定义域； （2）利用换元，转化为二次函数，求函数的值域； （3）利用函数的值域，求的取值范围；利用数形结合，转化为讨论函数，和的交点个数. 【小问1详解】 ，，或， ∴ 【小问2详解】 设，∵或，∴ ， 当时递减，当时递增，，， 所以时， 当时递增，，所以 故的值域为 【小问3详解】 ，即，方程有实根 ∴函数与函数（）的图象有交点． 由（2）知， 所以当时，方程有实数根． 下面讨论实根个数： ①当或当时，方程只有一个实数根 ②当时，方程有两个不相等的实数根 ③当时，方程没有实数根 18. 已知函数． （1）求的极值； （2）若在区间有2个零点，求的取值范围． 【答案】（1）当时，在处取极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求导得，然后分与讨论，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为与在区间有2个交点，求得函数的值域，即可得到结果. 【小问1详解】 因为，定义域为，所以， 当时，由于，则恒成立， 所以在上单调递增，无极值， 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减： 所以当时，在处取极大值，无极小值； 【小问2详解】 ， 令，得，令，在区间有2个零点， 即与在区间有2个交点， ，，， 当，，在上单增， 当，，在上单减， ，的最大值为，， 与在区间有2个交点，则． 19. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）求函数的单调区间； （3）当时，若在时恒成立，求整数的最大值． 【答案】（1）在处取得极大值，无极小值 （2）当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，上单调递减 （3）整数的最大值为5 【解析】 【分析】（1），令或可求单调区间，进而求得极值； （2），然后分类讨论可求得的单调区间； （3）根据已知式子进行变量分离可转化为恒成立，令，然后利用导数研究函数的单调性与极值，进而得出的最小值，进而得出所求得答案. 【小问1详解】 当时，， 所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得极大值，无极小值. 【小问2详解】 ， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 当时，当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，上单调递减. 【小问3详解】 在时恒成立，即恒成立， 令，则， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，且 ，所以在存在唯一实数， 使得，即，所以 当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以， 故，又，整数的最大值为5． 【点睛】方法点睛：本题主要考查了利用导数分析函数单调性的问题，同时也考查了构造函数，结合零点存在性定理，进而确定函数在区间上最值的范围问题.需要根据题意参变分离，构造函数求导，设极值点，再确定零点所在区间，进而代入原函数可得极值范围.属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $