精品解析：河南省部分重点高中2023-2024学年高三下学期5月考前模拟考试数学试题

河南省部分重点高中2024届高三5月考前模拟考试 数学 注意事项： 1.本试卷共19小题.满分：150分.考试时间：120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据子集的概念求解即可. 【详解】因为， 所以， 故. 故选：A. 2. 已知复数z满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合复数的除法运算求得，即可得共轭复数以及其虚部. 【详解】因为，则， 所以，故其虚部为. 故选：D. 3. 的内角的对边分别为，若，则（ ） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用余弦定理,即可求得. 【详解】在中，， 由余弦定理， 得，即. 故选：C. 4. 的展开式中的系数为（ ） A. 15 B. 20 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出二项展开式的通项，进而求出的系数. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 由，得，所以其展开式中的系数为. 故选：C 5. 已知正数满足，则的最大值为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，借助基本不等式建立不等式，再求解不等式即得. 【详解】由，当且仅当时取等号，得， 整理得，又，解得， 所以的最大值为6. 故选：A 6. 已知某工厂生产的某批产品的质量指标服从正态分布，质量指标大于或等于20的产品为优等品，且优等品出现的概率为，现从该批产品中随机抽取6件，用表示这6件产品的质量指标不在区间的产品件数，则（ ） A. 0.96 B. 0.48 C. 1.2 D. 2.4 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求出质量指标不在区间的概率，得随机变量服从二项分布，根据二项分布的方差公式求解即可. 【详解】由正态分布的性质得质量指标在区间的概率为， 则1件产品的质量指标不在区间的概率为， 所以，故. 故选：A. 7. “北斗”卫星系统的全面建成标志着我国的探测领域进入一个新的阶段.单个卫星的探测可简化为如图所示，地球可近似看做圆心为，半径的球体，为卫星所在位置，阴影部分为观测的空间范围.已知卫星的观测范围为地球表面的可观测区域与之间的空间体积（单位：），过作地球的两条切线，当两切线夹角最大时记为最大观测角，可观测地球表面积（单位：）满足，则当时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出辅助线，设两切点分别为的中点为，圆锥的体积为，可观测区域各点与球心相连所成的立体图形的体积为，圆锥的体积为，则所求体，分别求出，得到答案. 【详解】设过点作地球的两条切线在成最大观测角时的两切点分别为的中点为， 以为圆心，为直径的圆记为圆，圆锥的体积为， 可观测区域各点与球心相连所成的立体图形的体积为，圆锥的体积为， 则. 由，得，故， 所以，， 可得圆的半径为，则圆的面积为， 则. ，则， 设球的表面积为，体积为， 则， 由得，， 所以. 故选：B. 8. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简可得，再根据同角三角函数关系式可求解. 【详解】由， 可得， 即， 即， 则，解得， 又，即， 则， 故， 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知样本数据，则（ ） A. 极差为20 B. 平均数为103 C. 方差为50 D. 分位数为97.5 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据一组数据的极差，平均数，方差，百分位数的定义依次求解即得. 【详解】由题意可得样本数据的极差为，故A正确； 平均数为，故B错误； 方差为，故C正确； 将样本数据从小到大排列为，因为， 所以分位数为97.5，故D正确. 故选:ACD. 10. 已知函数的定义域为不恒为0，且，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 在定义域内单调 【答案】AD 【解析】 【分析】令判断A；对于BCD，当且时得，构造函数，得，易知为常函数，令，则，从而逐项判断即可求解. 【详解】对于A，因为，令，则，故A正确； 对于BCD，当且时，，得恒成立， 令函数，则，所以，所以为常函数，且， 令，则，易得是奇函数，故C错误；，故B错误； 因为函数，所以在定义域内单调递增或单调递减，故D正确. 故选:AD. 11. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. 数列是递增数列 B. 数列是递增数列 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，求得，集合，得出不等式组，可得判定A，B正确；由，得到，可判定C错误；令，利用导数求得函数的单调性，得到，进而求得，得到，可判定D正确. 【详解】由，可得，所以，所以， 由0，知，所以， 可得，所以A，B正确； 由，可得，即，所以C错误； 令函数，则， 当时，；当时，， 所以在区间上单调递减，在上单调递增，故， 所以，当且仅当时等号成立， 由，可得，因为，所以， 当时，，所以，即，所以D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：数列与函数、不等式综合问题的求解策略， 1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前项和公式，求和方法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性； 2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量运算的坐标表示及数量积的坐标表示即可求解. 【详解】因为，所以，所以 故答案为： 13. 已知偶函数的图象关于点中心对称，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由是偶函数，则可得或，又的图象关于点中心对称，则，则，可得正数的最小值为. 【详解】因为偶函数， 所以，即或， 又的图象关于点中心对称， 所以，即， 所以， 因为，所以的最小值为. 故答案为：. 14. 若圆与抛物线在公共点处有相同的切线，且与轴相切于的焦点，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】不妨令圆在第一象限,假设出圆的方程，利用圆与抛物线在公共点处有相同的切线，得到直线与垂直，得到关于的方程，联立点在圆上的方程求解出，从而求解出 【详解】抛物线的焦点为， 根据对称性，不妨令圆在第一象限，， 则圆的半径，故圆的方程为， 设，由，得， 所以抛物线在点处的切线的斜率， 因为圆与抛物线在公共点处有相同的切线， 所以直线与垂直，即，则①， 又点在圆上，所以，则②， 将①代入②可得， 整理可得，解得或（舍去）， 所以，所以. 故答案为：2. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，传播节能降碳和绿色发展理念，倡导绿色低碳生活方式，某市积极响应“节能减排，低碳生活”的号召，开展系列的措施控制碳排放.下表为该市统计的近5年内燃油车的新增数量，其中为年份代号，（单位：万辆）代表新增燃油车数量. 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代号 1 2 3 4 5 新增燃油车/万辆 6.1 5.2 4.9 4 3.8 （1）计算相关系数，判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系，当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性.（保留到小数点后两位） （2）求关于的线性回归方程，并据此估计该市2024年的新增燃油车数量. 参考数据： 参考公式： 【答案】（1），可以用线性回归模型拟合与的关系 （2），3.06万辆 【解析】 【分析】（1）根据题意求相关系数r，结合相关系数的性质分析理解； （2）根据题意求得回归方程为，令，代入运算即可得结果. 【小问1详解】 由题意可得：， 则 ， 因为，故可以用线性回归模型拟合与的关系. 【小问2详解】 由题意可得：，， 则，当时，， 所以估计该市2024年新增燃油车3.06万辆. 16. 已知等比数列的公比，且，数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用等比数列、等差数列性质求出公比及公差，进而求出通项公式. （2）由（1）的结论，利用错位相减法求和即得. 【小问1详解】 由题意得，而，解得， 所以. 由，得数列为等差数列，则，解得， 又，则，因此数列的公差为， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 则， 于是， 两式相减得 ， 所以. 17. 如图，在中，点在边上，且，为边的中点.是平面外的一点，且有. （1）证明：； （2）已知，，，直线与平面所成角的正弦值为. （i）求的面积； （ii）求三棱锥的体积. 【答案】（1）因为E为边AB的中点，所以. 又，即，即. ， 所以. 又因为，所以，即. 因为平面， 所以平面. 因为平面，所以. （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由空间向量的运算可得，，再由线面垂直的判定定理与性质定理即可证明； （2）（i）由余弦定理求，根据同角的平方关系求出，再由三角形面积公式即可求解； （ii）由（i）得即为与平面所成角，根据及即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由余弦定理可得， 所以， 所以. （ii）由（1）可知，平面， 所以即为与平面所成角. 因为，所以，， 所以，得. 设到平面的距离为，点到直线的距离为， 则 . 因为， 又，所以. 18. 已知椭圆与双曲线的焦点与的焦点间的距离为. （1）求与的方程； （2）过坐标轴上的点可以作两条与的公切线. （i）求点的坐标. （ii）当点在轴上时，是否存在过点的直线，使与均有两个交点？若存在，请求出的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）或或或； （ii）不存在，理由如下： 当点在轴上时，， 假设存在直线与均有两个交点， 由（i）知，不等式组无解， 所以不存在过点的直线与均有两个交点. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，求解即可求与的方程； （2）（i）显然公切线的斜率存在且不为0，设公切线，分别与与的方程联立方程组，利用判别式等于0可求公切线方程，公切线的交点即点的坐标. （ii）假设存在直线与均有两个交点，由（i）知，判断方程组有无解即可. 【小问1详解】 由题意可得，解得. 所以. 【小问2详解】 （i）显然公切线的斜率存在且不为0，设公切线， 联立得， 则， 即① 联立得， 则，即② 联立①②得，所以公切线为或. 公切线的交点即点的坐标， 由，解得，由，解得， 由，解得，，解得， 综上所述：或或或. （ii）略 19. 若函数满足与的图象关于对称，则称与互为反函数，记作.例如：若，则. （1）若，证明：； （2）函数且，若有个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）由题可知与的图象关于对称，令，则， 当时，，即. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用互为反函数的两函数的对称性特点得出，再由条件等式，将左右两式看成自变量求函数值，再化简即得； （2）先由推得，再对值进行分类讨论，借助于分离变量法，通过函数求导，得到对应函数的单调性和极值情况判断分析得到参数的范围后，还需检验此时函数的零点是否符合题意即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令，得， ①当时，由（1）得当时，且， 设函数，令得. 设函数，则，令得， 故当时，，当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，且. 则至多有2个解，不符合，舍去. ②当时，令，得，即. 令， 则， 因为有3个零点，则至少有2个极值点，令函数，则至少有2个根， 由得，则时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，所以当时，即时，也即时， 有2个根，此时有2个极值点，则可得. 又因为，所以，使得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且. 令，其中， 则，所以在上单调递减， 又，所以， 所以有3个零点. 综上可知，的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查与反函数有关的零点问题，属于难题. 解题的关键在于弄清反函数的定义和互为反函数的两函数的内在联系，以及针对函数零点的转化思想，即函数有零点，即对应方程有实根，或对应的两函数图象有交点等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省部分重点高中2024届高三5月考前模拟考试 数学 注意事项： 1.本试卷共19小题.满分：150分.考试时间：120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 的内角的对边分别为，若，则（ ） A. B. 3 C. 2 D. 4. 的展开式中的系数为（ ） A. 15 B. 20 C. D. 5. 已知正数满足，则的最大值为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 6. 已知某工厂生产的某批产品的质量指标服从正态分布，质量指标大于或等于20的产品为优等品，且优等品出现的概率为，现从该批产品中随机抽取6件，用表示这6件产品的质量指标不在区间的产品件数，则（ ） A. 0.96 B. 0.48 C. 1.2 D. 2.4 7. “北斗”卫星系统的全面建成标志着我国的探测领域进入一个新的阶段.单个卫星的探测可简化为如图所示，地球可近似看做圆心为，半径的球体，为卫星所在位置，阴影部分为观测的空间范围.已知卫星的观测范围为地球表面的可观测区域与之间的空间体积（单位：），过作地球的两条切线，当两切线夹角最大时记为最大观测角，可观测地球表面积（单位：）满足，则当时，（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知样本数据，则（ ） A. 极差为20 B. 平均数为103 C. 方差为50 D. 分位数为97.5 10. 已知函数的定义域为不恒为0，且，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 在定义域内单调 11. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. 数列是递增数列 B. 数列是递增数列 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则__________. 13. 已知偶函数的图象关于点中心对称，则的最小值为__________. 14. 若圆与抛物线在公共点处有相同的切线，且与轴相切于的焦点，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，传播节能降碳和绿色发展理念，倡导绿色低碳生活方式，某市积极响应“节能减排，低碳生活”的号召，开展系列的措施控制碳排放.下表为该市统计的近5年内燃油车的新增数量，其中为年份代号，（单位：万辆）代表新增燃油车数量. 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代号 1 2 3 4 5 新增燃油车/万辆 6.1 5.2 4.9 4 3.8 （1）计算相关系数，判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系，当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性.（保留到小数点后两位） （2）求关于的线性回归方程，并据此估计该市2024年的新增燃油车数量. 参考数据： 参考公式： 16. 已知等比数列的公比，且，数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 如图，在中，点在边上，且，为边的中点.是平面外的一点，且有. （1）证明：； （2）已知，，，直线与平面所成角的正弦值为. （i）求的面积； （ii）求三棱锥的体积. 18. 已知椭圆与双曲线的焦点与的焦点间的距离为. （1）求与的方程； （2）过坐标轴上的点可以作两条与的公切线. （i）求点的坐标. （ii）当点在轴上时，是否存在过点的直线，使与均有两个交点？若存在，请求出的方程；若不存在，请说明理由. 19. 若函数满足与的图象关于对称，则称与互为反函数，记作.例如：若，则. （1）若，证明：； （2）函数且，若有个零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $