专题15 圆的一般方程（五大题型，50题）-【尖子生培优】2024-2025学年高二年级数学上学期重难点压轴题突破专练（人教A版选修一）

专题15 圆的一般方程（五大题型，50题） 目录 题型一：圆的一般方程与标准方程之间的转化 1 题型二：二元二次方程表示的曲线与圆的关系 2 题型三：求圆的一般方程 4 题型四：圆过定点问题 5 题型五：由圆的一般方程确定圆心与半径 6 一、题型一：圆的一般方程与标准方程之间的转化 1．（23-24高二上·福建福州·期中）圆关于直线对称的图形轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东深圳·期中）由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏南通·期中）圆C：关于直线对称圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·陕西·期中）过四点，，，中的三点的圆的方程可能为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·四川·阶段练习）若方程表示圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·天津南开·阶段练习）方程所表示的圆的最大面积为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知实数满足，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·山东·阶段练习）方程表示圆心在轴上的圆，当半径最小时，方程为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知圆M经过．若点，点Q是圆M上的一个动点，则的最小值为 ． 10．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期中）分别根据下列条件求圆的标准方程： (1)圆心在直线上，半径为2，且与直线相切； (2)过三点，，. 二、题型二：二元二次方程表示的曲线与圆的关系 11．（2024·江西·模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（22-23高三下·河南·阶段练习）“”是“方程表示圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（2023·甘肃定西·模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（多选）（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 15．（多选）（23-24高二上·四川泸州·阶段练习）已知圆的方程为，则下列结论中正确的是（    ） A．实数k的取值范围是 B．实数k的取值范围是 C．当圆的周长最大时，圆心坐标是 D．圆的最大面积是π 16．（多选）（23-24高二上·河北邢台·期末）已知曲线，下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线是一条直线 B．当时，曲线是一个圆 C．当曲线是圆时，它的面积的最小值为 D．当曲线是面积为的圆时， 17．（多选）（22-23高二上·贵州贵阳·阶段练习）方程表示圆的充分不必要条件可以是（   ） A． B．或 C． D． 18．（22-23高二下·上海浦东新·阶段练习）若点在圆外，则实数a的取值范围是 . 19．（22-23高二上·安徽芜湖·期中）已知关于x，y的二元二次方程，当t为 时，方程表示的圆的半径最大． 20．（24-25高二上·上海·课前预习）如果二元二次方程（A、B、C不同时为零）所表示的曲线是圆，那么方程的系数A、B、C、D、E、F应满足什么条件？ 三、题型三：求圆的一般方程 21．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 22．（多选）（23-24高二上·重庆万州·期中）若，，，四点共圆，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．3 23．（2023·河南·模拟预测）已知圆经过抛物线与轴的交点，且过点，则圆的方程为 . 24．（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）已知圆经过点，从下列3个条件选取一个________ ①过点； ②圆恒被直线平分； ③与轴相切. (1)求圆的为程； (2)已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 25．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知的三个顶点分别为. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 26．（23-24高二上·河北沧州·期末）在△OAB中，O是坐标原点，，． (1)求AB边上的高所在直线的方程； (2)求△OAB的外接圆方程 27．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知直线，直线l过点且与垂直. (1)求直线l的方程； (2)设l分别与交于点A，B，O为坐标原点，求过三点A，B，O的圆的方程. 28．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知在中，AB边所在直线的方程为，AC边所在直线的方程为，AC边上的中线所在直线的方程为． (1)求C点的坐标； (2)求的外接圆方程． 29．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知圆经过点，，且圆与轴相切． (1)求圆的一般方程； (2)设是圆上的动点，点的坐标为，求线段的中点的轨迹方程． 30．（22-23高二上·广西防城港·期末）已知圆经过两点，圆心在直线上. (1)求出这个圆的标准方程； (2)当点到直线的距离最大时，求的值. 四、题型四：圆过定点问题 31．（21-22高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 32．（多选）（22-23高二上·云南·阶段练习）已知二次函数的图像交x轴于A，B两点，交y轴于C点，圆F过A，B，C三点，下列说法正确的是（    ） A．圆心F在直线上 B．m的取值范围是 C．圆F面积的最小值为 D．存在定点G，使得圆F恒过点G 33．（21-22高三下·上海闵行·期中）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为 34．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为 ． 35．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）①过点，②圆G恒被直线平分，③与y轴相切；在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知圆G经过点，，且_____. (1)求圆G的一般方程： (2)设，P是圆G上的动点，求线段的中点M的轨迹方程，并说明表示何曲线?注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 36．（23-24高二上·江西上饶·阶段练习）在平面直角坐标系中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围； (2)请问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论. 37．（22-23高二上·江苏·阶段练习）已知圆经过，两点. (1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程； (2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标. 38．（21-22高二上·浙江绍兴·阶段练习）在平面直角坐标系中，设顶点坐标分别为，，，，（其中，），圆M为的外接圆． (1)当时，求圆M的方程； (2)当a变化时，圆M是否过某一定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由； 39．（22-23高二上·新疆省直辖县级单位·阶段练习）已知圆C经过，两点． (1)如果AB是圆C的直径，证明：无论a取何正实数，圆C恒经过除A外的另一个定点，求出这个定点坐标． (2)已知点A关于直线的对称点也在圆C上，且过点B的直线l与两坐标轴分别交于不同两点M和N，当圆C的面积最小时，试求的最小值. 40．（22-23高二上·北京·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三个点的圆记为． (1)当时，求三角形的面积； (2)求的方程； (3)问是否经过定点（其坐标与a，b的值无关）？请证明你的结论． 五、题型五：由圆的一般方程确定圆心与半径 41．（23-24高二上·四川成都·期末）已知圆，圆，点为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 42．（23-24高二上·江苏连云港·期中）若方程表示半径为1的圆，则（    ） A．1 B．2 C．或1 D．或2 43．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）若圆的面积是，则该圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 44．（23-24高二上·江西·阶段练习）若点在圆：的外部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 45．（多选）（22-23高二上·江苏苏州·期中）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，“它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（    ） A．曲线围成的图形有6条对称轴 B．曲线围成的图形的周长是 C．曲线上的任意两点间的距离不超过5 D．若是曲线上任意一点，的最小值是 46．（多选）（23-24高三上·山西忻州·开学考试）已知直线与圆，则（    ） A．直线l过定点 B．圆C的半径是4 C．直线l与圆C一定相交 D．圆C的圆心到直线l的距离的最大值是 47．（23-24高二上·天津滨海新·阶段练习）已知直线：和圆：.求与直线垂直且经过圆心的直线方程 . 48．（23-24高二上·四川内江·阶段练习）已知实数x，y满足，则的最大值为 ． 49．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）圆：关于直线：对称的圆的标准方程为 ． 50．（22-23高二下·广东深圳·阶段练习）已知为圆上的动点，则的最大值为 . 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 圆的一般方程（五大题型，50题） 目录 题型一：圆的一般方程与标准方程之间的转化 1 题型二：二元二次方程表示的曲线与圆的关系 7 题型三：求圆的一般方程 12 题型四：圆过定点问题 21 题型五：由圆的一般方程确定圆心与半径 31 一、题型一：圆的一般方程与标准方程之间的转化 1．（23-24高二上·福建福州·期中）圆关于直线对称的图形轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将已知圆化为标准方程得出圆心、半径，根据点关于直线对称点坐标关系列出方程组，求解即可得出对称圆的圆心，进而得出答案. 【详解】圆关于直线对称的图形的轨迹仍为圆. 将圆的方程化为标准方程可得，， 圆心，半径. 设点关于直线对称的点为， 则有，解得， 即对称圆的圆心为. 又半径， 所以，轨迹方程为. 故选：D. 2．（23-24高二上·广东深圳·期中）由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分两种情况写出曲线方程，再做出图像，求出面积. 【详解】    当时，曲线为 当时，曲线 画出图像如上图， 所求面积为两个圆的面积减去一个重叠部分的面积 圆的半径为，两圆对称， 故为 故选：D 3．（23-24高二上·江苏南通·期中）圆C：关于直线对称圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的方程化为标准方程，得出圆心、半径.根据已知求出对称点的坐标，即可得出答案. 【详解】将圆的方程化为标准方程可得，， 所以，圆心，半径. 设， 由已知可得，，解得， 所以，圆的圆心为，半径， 所以，圆的方程为. 故选：D. 4．（23-24高二上·陕西·期中）过四点，，，中的三点的圆的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出过四点，，，中的三点的所有圆的方程可得答案. 【详解】设过点，，的圆的方程为， 所以，解得， 即方程为，或； 设过点，，的圆的方程为， 所以，解得， 即方程为，或； 设过点，，的圆的方程为， 所以，解得， 即方程为，； 设过点，，的圆的方程为， 所以，解得， 即方程为，或， 故选：D. 5．（23-24高三上·四川·阶段练习）若方程表示圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用圆的标准方程即可求解 【详解】方程表示圆， 则， 解得，即的取值范围为. 故选：A. 6．（23-24高二上·天津南开·阶段练习）方程所表示的圆的最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的方程，表示出圆的半径，求出半径的最大值，即可确定面积的最大值. 【详解】方程即， 则所给圆的半径， 所以当时，半径r取最大值，此时最大面积是. 故选：C 7．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知实数满足，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的参数方程，转化为三角函数求最大值即可. 【详解】由可得， 设， 则， 故当时，， 故选：C 8．（23-24高二上·山东·阶段练习）方程表示圆心在轴上的圆，当半径最小时，方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析得，再化为标准方程，利用二次函数的性质得到半径的最小值即可. 【详解】由题意得，则， ， 则，对称轴为，代入得最小值为， 此时圆的方程为. 故选：D. 9．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知圆M经过．若点，点Q是圆M上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先利用待定系数法求出圆的方程，再利用数量积的运算律转化结合数量积的定义求出. 【详解】设圆的一般方程为， 由于圆经过，，， 所以有，解得， 所以圆的一般方程为，即标准方程为. 则圆的圆心，半径， 且， 因为， 当且仅当与同向时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 10．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期中）分别根据下列条件求圆的标准方程： (1)圆心在直线上，半径为2，且与直线相切； (2)过三点，，. 【答案】(1)或 (2). 【分析】（1）由半径为2，且与直线相切，可得圆心纵坐标，后结合圆心在直线上可得圆心坐标即可得答案； （2）设相应圆方程为，代入三点坐标，解相应三元一次方程可得答案. 【详解】（1）因圆半径为2，且与直线相切，则圆心纵坐标为或. 又圆心在直线上，则圆心坐标为或. 故相应圆的标准方程为：或； （2）设相应圆方程为，代入三点，，， 则，即圆的一般方程为：. 故圆的标准方程为：. 二、题型二：二元二次方程表示的曲线与圆的关系 11．（2024·江西·模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据表示圆得，又利用点在圆外得，从而可得结果. 【详解】因为可化为，则，所以． 又点在圆的外部，所以，故， 综上，． 故选：A. 12．（22-23高三下·河南·阶段练习）“”是“方程表示圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据二元二次方程表示圆的充要条件是可得答案. 【详解】因为方程，即表示圆， 等价于0，解得或. 故“”是“方程表示圆”的充分不必要条件. 故选：A 13．（2023·甘肃定西·模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用表示圆的条件和点和圆的位置关系进行计算. 【详解】依题意，方程可以表示圆，则，得； 由点在圆的外部可知：，得. 故. 故选：C 14．（多选）（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】AD 【分析】先将方程合理转化，后结合二元二次方程表示圆的条件求解即可. 【详解】方程，即， 若方程表示圆，则，解得或， 结合选项可知AD正确，BC错误. 故选：AD 15．（多选）（23-24高二上·四川泸州·阶段练习）已知圆的方程为，则下列结论中正确的是（    ） A．实数k的取值范围是 B．实数k的取值范围是 C．当圆的周长最大时，圆心坐标是 D．圆的最大面积是π 【答案】ACD 【分析】根据题意，将圆的一般式方程化为标准式方程，然后对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】将圆的方程为化为标准式为， 由，解得，故A正确，B错误； 当时，圆的半径最大，则圆的周长以及面积最大， 此时半径为，圆心坐标为，则圆的面积为，故CD正确； 故选：ACD 16．（多选）（23-24高二上·河北邢台·期末）已知曲线，下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线是一条直线 B．当时，曲线是一个圆 C．当曲线是圆时，它的面积的最小值为 D．当曲线是面积为的圆时， 【答案】AB 【分析】将代入曲线的方程化简，可判断A选项；利用圆的一般方程可判断B选项；求出圆的半径，利用圆的面积公式结合基本不等式可判断C选项；利用圆的半径公式可求出的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，曲线的方程为，此时，曲线是一条直线，A对； 对于B选项，当时，曲线的方程可化为， 因为，此时，曲线是一个圆，B对； 对于C选项，当曲线是圆时，其半径为， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因此，当曲线是圆时，它的面积的最小值为，C错； 对于D选项，当曲线是面积为的圆时，其半径为， 即，解得或，D错. 故选：AB. 17．（多选）（22-23高二上·贵州贵阳·阶段练习）方程表示圆的充分不必要条件可以是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】CD 【分析】 先求方程表示圆的充要条件，再根据集合的包含关系可得正确的选项. 【详解】可化为：， 因为该方程表示圆，故即或， 即方程表示圆的充要条件为或. 因为，均为的真子集， 不是的真子集， 故，均为方程表示圆的充分不必要条件， 故选：CD. 18．（22-23高二下·上海浦东新·阶段练习）若点在圆外，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得关于的不等式，求解得答案． 【详解】点在圆外， ，且， 解得或． 实数的取值范围为． 故答案为：. 19．（22-23高二上·安徽芜湖·期中）已知关于x，y的二元二次方程，当t为 时，方程表示的圆的半径最大． 【答案】 【分析】 变换得到，得到，，得到答案. 【详解】 即， ，解得， 设圆的半径为r，则， 所以当时，，所以． 故答案为：． 20．（24-25高二上·上海·课前预习）如果二元二次方程（A、B、C不同时为零）所表示的曲线是圆，那么方程的系数A、B、C、D、E、F应满足什么条件？ 【答案】，，且 【分析】将二元二次方程进行化简，再根据圆的一般方程可推出A、B、C、D、E、F所需满足的条件. 【详解】因为圆的一般方程是， 所以二元二次方程要表示圆， 首先必须使其中的系数，， 此时方程为， 通过变形及配方，得， 此时又必须． 因此，A、B、C、D、E、F所需满足的条件是，，且． 三、题型三：求圆的一般方程 21．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出的坐标，利用相关点法求解出的轨迹方程. 【详解】设， 由题意可知，所以， 又因为， 所以， 化简可得， 所以的轨迹方程为， 故选：A. 22．（多选）（23-24高二上·重庆万州·期中）若，，，四点共圆，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】AD 【分析】依题意设出圆的一般方程，代入坐标可得圆方程为，由点在圆上即可解得或. 【详解】根据题意可设圆方程为， 将点，，代入可得，解得； 即圆方程为， 又点在圆上，所以，整理得， 解得或. 故选：AD 23．（2023·河南·模拟预测）已知圆经过抛物线与轴的交点，且过点，则圆的方程为 . 【答案】 【分析】首先设圆的一般方程，结合条件，利用待定系数法，即可求解. 【详解】设圆的方程为，令，， 则由圆经过抛物线与轴的交点可知方程与同解， 所以，，所以圆的方程为， 又因为圆过点，所以，所以， 所以圆的方程为. 故答案为： 24．（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）已知圆经过点，从下列3个条件选取一个________ ①过点； ②圆恒被直线平分； ③与轴相切. (1)求圆的为程； (2)已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选①③时，设圆的一般式方程或者标准方程，代入点以及相关条件，根据待定系数法，即可确定圆的方程，选择②时，根据几何法确定圆心和半径即可求解， （2）根据相关点法即可求解轨迹方程． 【详解】（1）选条件①．设圆的方程为， 将，代入可得 ，解得， 则圆的方程为． 选条件②． 直线恒过点． 因为圆恒被直线平分，所以恒过圆心， 所以圆心坐标为， 又圆经过点，所以圆的半径， 所以圆的方程为，即． 选条件③． 设圆的方程为， 由题意可得，解得， 则圆的方程为，即． （2）设，， 因为为线段的中点，所以， 因为点是圆上的动点，所以， 所以的轨迹方程为． 25．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知的三个顶点分别为. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 【答案】(1)13； (2). 【分析】（1）利用两点距离求出，再求出直线的方程，利用点到直线距离公式求出高，即可求出面积； （2）设出的外接圆的方程，将三点坐标代入求解即可. 【详解】（1）， 直线的方程为，即， 所以点到直线的距离， 所以的面积； （2）设的外接圆的方程为， 则，解得， 所以的外接圆的方程为. 26．（23-24高二上·河北沧州·期末）在△OAB中，O是坐标原点，，． (1)求AB边上的高所在直线的方程； (2)求△OAB的外接圆方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出边上的高线的斜率，再利用点斜式求出边上的高所在直线的方程； （2）设的外接圆的方程为（），则把的坐标代入求得的值，可得圆的方程． 【详解】（1）∵直线AB的斜率， ∴AB边上的高所在直线的斜率， 又AB边上的高所在直线过原点O， ∴AB边上的高所在直线的方程为． （2）设的外接圆的方程为（）， 则，解得， ∴的外接圆方程为． 27．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知直线，直线l过点且与垂直. (1)求直线l的方程； (2)设l分别与交于点A，B，O为坐标原点，求过三点A，B，O的圆的方程. 【答案】(1)； (2)（或）； 【分析】（1）利用直线垂直可求得斜率为，由点斜式方程可得结果； （2）分别求出两直线交点坐标，设出圆的一般方程代入计算即可求得圆的方程. 【详解】（1）由题意可得的斜率为， 可得直线l的斜率为，由点斜式方程可得， 即直线； （2）联立直线l和方程，解得； 联立直线l和方程，解得； 如下图所示： 设过三点A，B，O的圆的方程为， 将三点坐标代入可得，解得， 可得圆的方程为（或）. 28．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知在中，AB边所在直线的方程为，AC边所在直线的方程为，AC边上的中线所在直线的方程为． (1)求C点的坐标； (2)求的外接圆方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由直线方程联立求交点，由边上的中线联立求得的中点，进而由中点坐标公式得点坐标； （2）联立边上的中线得点坐标，设出圆的一般方程，由三点坐标代入待定系数即得. 【详解】（1）由，得， 所以A点的坐标为， 由，得，即边AC的中点为， 所以C与A关于点M对称， 设，则，得， 所以C点的坐标为． （2）由，得， 故B点的坐标为， 设的外接圆方程为，且， 则，得， 则所求圆的方程为． 29．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知圆经过点，，且圆与轴相切． (1)求圆的一般方程； (2)设是圆上的动点，点的坐标为，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）利用待定系数法设圆的一般方程为，根据已知条件列式求出可得结果； （2）设，得，代入可得结果. 【详解】（1）设圆的方程为， 因为圆过点，，又跟轴相切， 圆必在轴右侧，且跟轴的切点为， 圆心的纵坐标为． ，解得， 圆的方程为. （2）设，则， 将代入得， 整理得. 即线段的中点的轨迹方程. 30．（22-23高二上·广西防城港·期末）已知圆经过两点，圆心在直线上. (1)求出这个圆的标准方程； (2)当点到直线的距离最大时，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的圆心为，在直线上，将两点坐标代入方程解得答案. （2）直线过定点，当与直线垂直时，距离最大，计算斜率，根据垂直得到答案. 【详解】（1）设圆的圆心为，圆的一般方程为，由方程可知， 由条件在直线上，两点在圆上， 联立方程组，解得， ，为所求的圆的标准方程. （2）直线化为，直线经过定点， 当与直线垂直时，距离最大， ，故直线斜率为，解得. 四、题型四：圆过定点问题 31．（21-22高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标. 【详解】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 32．（多选）（22-23高二上·云南·阶段练习）已知二次函数的图像交x轴于A，B两点，交y轴于C点，圆F过A，B，C三点，下列说法正确的是（    ） A．圆心F在直线上 B．m的取值范围是 C．圆F面积的最小值为 D．存在定点G，使得圆F恒过点G 【答案】ACD 【分析】结合抛物线的对称性和圆的对称性即可判断A选项； 根据判别式即可判断B选项； 求出与坐标轴的交点代入所设圆的方程，得到与的关系，从而结合二次函数的最值问题即可判断C选项； 将圆的方程整理成，进而得到，即可求出定点，从而判断D选项. 【详解】因为抛物线的对称轴方程为，且圆心必然经过的中垂线， 故圆心F在直线上，所以A正确； 因为有两个不同的根， 所以，解得且，所以B错误； 设圆F的方程为， 因为有两个不同的根， 所以点，在圆上， 所以， 可求得，． 因为且，所以， 所以圆F面积的最小值为，C正确； 由上可知圆F的方程为， 整理得， 令，解得或， 即圆F恒过点和，D正确． 故选：ACD. 33．（21-22高三下·上海闵行·期中）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为 【答案】 【分析】设抛物线交轴于点，交轴于点、，根据题意设圆心为，求出，写出圆的方程，可得出关于、的方程组，即可得出圆所过定点的坐标. 【详解】设抛物线交轴于点，交轴于点、， 由题意可知，由韦达定理可得，， 所以，线段的中点为，设圆心为， 由可得，解得， ，则，则， 所以，圆的方程为， 整理可得， 方程组的解为. 因此，的外接圆恒过的定点坐标为. 故答案为：. 34．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设出点利用两点间距离公式得到比值关系，设为，最后利用方程与N无关得到关系式计算得到答案. 【详解】设，且， ， 因为为定值，设， 化简得：，与点位置无关， 所以， 解得：或， 因为异于点，所以定点N为. 故答案为：. 35．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）①过点，②圆G恒被直线平分，③与y轴相切；在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知圆G经过点，，且_____. (1)求圆G的一般方程： (2)设，P是圆G上的动点，求线段的中点M的轨迹方程，并说明表示何曲线?注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)，M的轨迹是一个圆. 【分析】（1）设出圆的方程，根据条件构造方程，运用待定系数法求解即可； （2）画出图形，运用相关点法求解即可. 【详解】（1）方案一：选条件①. 设圆的方程为， 则，解得， 则圆G的方程为. 方案二：选条件② 直线恒过点. 因为圆G恒被直线平分，所以恒过圆心， 所以圆心坐标为，又圆G经过点， 所以圆的半径，所以圆G的方程为，即. 方案三：选条件③ 设圆G的方程为， 由题意可得，解得， 则圆G的方程为，即. （2）设，因为M为线段的中点，所以， 因为点P是圆G上的动点，所以， 即， 所以M的轨迹是一个圆.    36．（23-24高二上·江西上饶·阶段练习）在平面直角坐标系中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围； (2)请问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论. 【答案】(1)，且 (2)过定点和，证明见解析. 【分析】（1）由题意可令得抛物线与轴交点是，得出方程，再由根的判别式求解即可. （2）设出所求圆的一般方程，根据题意可分别令和令代入得出与的关系，从而得出含的圆的一般方程，再用恒等思想求解即可. 【详解】（1）令得抛物线与轴交点是； 令， 由题意，且，解得，且． 即实数的取值范围，且． （2）设所求圆的一般方程为， 由题意得函数的图像与两坐标轴的三个交点即为圆和坐标轴的交点， 令得，，由题意可得，这与是同一个方程，故，． 令得，，由题意可得，此方程有一个根为，代入此方程得出， ∴圆的方程为（，且）． 把圆的方程改写为，令， 解得或，故圆过定点和． 37．（22-23高二上·江苏·阶段练习）已知圆经过，两点. (1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程； (2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标. 【答案】(1)； (2)定点坐标为，证明见解析. 【分析】（1）求出的坐标，根据两点间的距离公式求出，从而可求解； （2）设点是圆上任意一点，由是圆的直径，得，从而可求出圆的方程，即可得出结论 【详解】（1）当，，故，， 所以此时圆的标准方程为. （2）设点是圆上任意一点， 因为是圆的直径，所以， 即， 所以圆的方程为：， 则，，等式恒成立，定点为， 所以无论取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，定点坐标为. 38．（21-22高二上·浙江绍兴·阶段练习）在平面直角坐标系中，设顶点坐标分别为，，，，（其中，），圆M为的外接圆． (1)当时，求圆M的方程； (2)当a变化时，圆M是否过某一定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由； 【答案】(1) (2)过定点，理由见解析 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）由圆M过某一定点得，求解即可 【详解】（1）设圆M的方程为：. ∵，，在圆M上， ∴，解得，，， 圆M的方程为： 当时，圆M的方程为：. （2）由（1）圆M的方程可化为：， 要使圆M过某一定点，∴，解得，， ∴圆M过定点. 39．（22-23高二上·新疆省直辖县级单位·阶段练习）已知圆C经过，两点． (1)如果AB是圆C的直径，证明：无论a取何正实数，圆C恒经过除A外的另一个定点，求出这个定点坐标． (2)已知点A关于直线的对称点也在圆C上，且过点B的直线l与两坐标轴分别交于不同两点M和N，当圆C的面积最小时，试求的最小值. 【答案】(1)证明见解析，定点为 (2) 【分析】（1）设点是圆上任意一点，由AB是圆C的直径，得，从而可求出圆的方程，即可得出结论； （2）根据题意可得点C在直线上，要使圆C的面积最小，则圆C是以为直径的圆，从而可求出圆的方程，进而可求得点的坐标，设出直线的方程，分别求出的坐标，再根据两点间距离公式结合基本不等式即可得解． 【详解】（1）设点是圆上任意一点， 因为AB是圆C的直径，所以， 即， 所以圆的方程为：， 则，时等式恒成立，故定点为， 所以无论a取何正实数，圆C恒经过除A外的另一个定点，定点坐标为； （2）因点A关于直线的对称点也在圆C上， 所以点C在直线上， 又圆C的面积最小，所以圆C是以直径的圆， 设过点A与直线垂直的直线方程为， 由方程组得，则 所以圆C的方程为， 当时，或，又，所以，即， 由题意知直线l斜率存在且不为零，设直线l的方程为， 当时，当，时， 所以， （当且仅当，即时取等号） 则当时， 40．（22-23高二上·北京·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三个点的圆记为． (1)当时，求三角形的面积； (2)求的方程； (3)问是否经过定点（其坐标与a，b的值无关）？请证明你的结论． 【答案】(1) (2)的方程为 (3)过定点，证明见解析. 【分析】（1）当时，求出，，所以三角形的面积为. （2）设出所求圆的一般方程，令得到的方程与是同一个方程；令得到的方程有一个根为，由此求得参数及的一般方程． （3）把方程里面的合并到一起，分别令的系数及剩余项为零，得到方程组，求解该方程组，求出圆过的定点． 【详解】（1）当时，，令，得， 不妨设，则，令，得，所以三角形的面积为. （2）设所求圆的一般方程为， 由题意得的图象与两坐标轴的三个交点即为圆和坐标轴的交点， 令得，，由题意可得，这与是同一个方程，故，． 令得，，由题意可得，此方程有一个根为，代入此方程得出， ∴的方程为． （3）把的方程改写为，令， 解得，故过定点. 五、题型五：由圆的一般方程确定圆心与半径 41．（23-24高二上·四川成都·期末）已知圆，圆，点为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出两圆圆心坐标，作圆心关于轴的对称点，由对称性可知，，可得出，利用当、、三点共线时，取最小值，求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 如下图所示： 作圆心关于轴的对称点，由对称性可知，， 所以，， 当且仅当、、三点共线时，取最小值. 故选：B. 42．（23-24高二上·江苏连云港·期中）若方程表示半径为1的圆，则（    ） A．1 B．2 C．或1 D．或2 【答案】D 【分析】利用题给条件列出关于m的方程，解之即可求得m的值. 【详解】由方程表示半径为1的圆， 可得，解之得， 故选：D 43．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）若圆的面积是，则该圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的面积求得圆的半径，根据圆的半径求得，进而求得圆心的坐标. 【详解】由于圆的面积为，所以圆的半径为， 所以， 解得，所以圆心坐标为，即. 故选：B 44．（23-24高二上·江西·阶段练习）若点在圆：的外部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知点与圆心的距离大于圆的半径，由此可以列出与有关的不等式，从而解不等式即可求解. 【详解】一方面：将圆：化为标准方程可得， 首先有圆心，其次圆的半径满足，解得， 另一方面：又因为点在圆：的外部， 所以，即，解得； 综上所述：的取值范围为. 故选：A. 45．（多选）（22-23高二上·江苏苏州·期中）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，“它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（    ） A．曲线围成的图形有6条对称轴 B．曲线围成的图形的周长是 C．曲线上的任意两点间的距离不超过5 D．若是曲线上任意一点，的最小值是 【答案】BD 【分析】分类讨论去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而作出曲线的图象，由曲线图象判断各选项即可. 【详解】当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 所以曲线的图象如图所示， 对于A：由图可知曲线围成的图形有4条对称轴，故A错误； 对于B：曲线由4个半圆组成，其周长为，故B正确； 对于C：由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故C错误； 对于D：到直线的距离， 而到直线的距离为，由圆的性质得曲线上一点到直线的距离最小为， 故的最小值为，故D正确； 故选：BD 46．（多选）（23-24高三上·山西忻州·开学考试）已知直线与圆，则（    ） A．直线l过定点 B．圆C的半径是4 C．直线l与圆C一定相交 D．圆C的圆心到直线l的距离的最大值是 【答案】ACD 【分析】求解直线系经过的定点，圆的圆心与半径，两点间的距离判断选项的正误即可. 【详解】由题意可得直线， 由，解得，则直线l过定点，故A正确； 圆，即， 则圆C的圆心坐标为，半径为2， 故B错误； 因为，则点在圆C的内部， 所以直线l与圆C一定相交，故C正确； 因为，所以圆C的圆心到直线l的距离的最大值是，故D正确. 故选：ACD. 47．（23-24高二上·天津滨海新·阶段练习）已知直线：和圆：.求与直线垂直且经过圆心的直线方程 . 【答案】 【分析】 根据直线垂直设所求直线，再由直线过圆心即可得解. 【详解】由所求直线与直线：垂直， 故设所求直线方程为， 又圆：的圆心为， 故， 解得. 故所求直线方程为， 故答案为： 48．（23-24高二上·四川内江·阶段练习）已知实数x，y满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】方程表示一个圆，表示圆上的点与原点之间距离的平方，再根据定点到圆上的点的距离的最值问题即可得解. 【详解】由，得， 则方程表示以为圆心，为半径的圆， 表示圆上的点与原点之间距离的平方， 设点与原点之间距离为， 则， 所以的最大值为. 故答案为：. 49．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）圆：关于直线：对称的圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据已知圆方程确定圆心和半径，利用对称性求对称圆的圆心和半径，即可得结果. 【详解】由题设圆，故且半径为5， 设对称圆的圆心为，则在上，且两圆心所在直线与已知直线垂直， 所以，且，可得， 显然，对称圆的半径也为5，则所求圆的方程为. 故答案为： 50．（22-23高二下·广东深圳·阶段练习）已知为圆上的动点，则的最大值为 . 【答案】72 【分析】 设，则，，然后化简可求得其最大值. 【详解】 由，得，则圆心，半径， 所以， 设，由在圆上，可得， 又， 则， ，∴当时，取到最大值. 故答案为：72. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$