专题14 圆的标准方程（三大题型，30题）-【尖子生培优】2024-2025学年高二年级数学上学期重难点压轴题突破专练（人教A版选修一）

专题14 圆的标准方程（三大题型，30题） 目录 题型一：由圆心（或半径）求圆的标准方程 1 题型二：求过已知三点的圆的标准方程 3 题型三：由标准方程确定圆心和半径 5 一、题型一：由圆心（或半径）求圆的标准方程 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知动直线恒过定点，圆，则以为圆心，半径与圆半径相等的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）如图，已知是圆的弦，为的中点，且在弦上的射影为，则，该定理称为阿基米德折弦定理.在上述定理中，若已知，，点在直线下方，，则过点的圆的方程为 . 4．（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）如图，点C是以AB为直径的圆O上的一个动点，点Q是以AB为直径的圆O的下半个圆（包括A，B两点）上的一个动点，，则的最小值为 . 5．（23-24高二上·福建福州·期末）已知关于直线对称，点，都在上. (1)求线段垂直平分线的方程； (2)求的标准方程 6．（23-24高二上·山东济南·期末）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)点P在圆C上运动，求的取值范围． 7．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB 边所在直线的方程为，点在AD边所在的直线上. (1)求AD边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD外接圆的标准方程. 8．（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）已知的三个顶点分别是，，. (1)求的外接圆方程和外心坐标； (2)求的内切圆方程和内心坐标. 9．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知直线过定点A. (1)求点A的坐标； (2)当时，与的交点为，求以为直径的圆的标准方程. 10．（23-24高二下·上海·期中）已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)求证：的面积为定值． (2)设直线与圆交于点，，若，求圆的方程． (3)在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标. 二、题型二：求过已知三点的圆的标准方程（多选） 11．（23-24高二下·河南焦作·期末）平面几何中有定理：已知四边形的对角线与相交于点，且，过点分别作边，，，的垂线，垂足分别为，，，，则，，，在同一个圆上，记该圆为圆.若在此定理中，直线，，的方程分别为，，，点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·广东东莞·期末）东莞鸿福路大桥是一座系杆拱桥，其圆拱结构可近似看作圆的一部分，经查询资料知该拱桥（如下图）的跨度AB约为126米，拱高OP约为9米，该拱桥每隔约7米用一根吊杆连接圆拱与系杆，则与OP相距35米的吊杆MN的高度约为（    ）（参考数据：） A．7.3米 B．6.3米 C．5.3米 D．4.3米 13．（2024·四川绵阳·二模）已知曲线与x轴交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，则过A，B，C（A，B，C均不重合）三点的圆的半径不可能为（    ） A． B． C．1 D．2 14．（多选）（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·广东佛山·期中）如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度米，拱高米，建适时每间隔4米需要用一根支柱支撑，则支柱的高度为 米．（精确到0.01米，参考数据：）    16．（23-24高二上·河南周口·期末）的三个顶点坐标是； (1)的外接圆方程； (2)若线段MN的端点N的坐标为，端点M在△ABC的外接圆的圆上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程． 17．（23-24高二上·吉林长春·期末）的顶点的垂心（三条高交点）为． (1)求顶点的坐标； (2)求的外接圆方程． 18．（23-24高二上·广东揭阳·期中）如图所示，、分别为某市两条互相垂直的主干道所在的直线，其中为、的交点.若、两点分别为该市1路公交车的起点站和终点站，且、之间的公交线路是圆心在上的一段圆弧，站点到直线、的距离分别为和，站点到直线、的距离分别为和. (1)建立适当的坐标系，求公交线路所在圆弧的方程； (2)为了丰富市民的业余生活，市政府决定在主干道上选址建一游乐场，考虑到城市民居集中区域问题和环境问题，要求游乐场地址（注：地址视为一个点，设为点）在点上方，且点到点的距离大于且小于，并要求公交线路（即圆弧）上任意一点到游乐场的距离不小于，求游乐场C距点距离的最大值. 19．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）已知的三个顶点坐标分别是，，.求： (1)外接圆的方程； (2)若点P是外接圆上的一动点，点为平面内一定点，求线段MP的中点N的轨迹方程. 20．（23-24高二上·四川遂宁·阶段练习）已知圆心为的圆经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)已知在圆C外，求的取值范围. 三、题型三：由标准方程确定圆心和半径 21．（23-24高二上·江西抚州·阶段练习）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美. 平面直角坐标系中， 曲线C： 就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论： ①曲线C围成的图形的面积是 ②曲线C围成的图形有2条对称轴； ③曲线C上的任意两点间的距离不超过2； ④若P(m,n)是曲线C上任意一点，则 的最小值是 其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．（23-24高二上·山东泰安·期中）已知曲线，则的最大值，最小值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 23．（22-23高二下·江西上饶·期末）已知，为圆上两个不同的点（为圆心），且满足，则（    ） A． B． C．2 D．4 24．（23-24高二上·河南开封·期中）已知圆，O是坐标原点，P是圆C上任意一点，若定点A满足，则面积的最大值是（    ） A．3 B．9 C． D． 25．（多选）（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）若有一组圆：，下列命题正确的是（    ） A．所有圆的半径均为2 B．所有的圆的圆心恒在直线上 C．当时，点在圆上 D．经过点的圆有且只有一个 26．（23-24高二上·江苏无锡·期末）已知圆，圆，，分别是圆，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ． 27．（23-24高二上·北京房山·期末）已知曲线，给出下列四个命题： ①曲线关于轴、轴和原点对称； ②当时，曲线共有四个交点； ②当时， ③当时，曲线围成的区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是； ④当时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积． 其中所有真命题的序号是 ． 28．（23-24高二上·天津武清·阶段练习）已知圆:，点，.设是圆上的动点，令，则的最小值为 ． 29．（22-23高二上·山东济南·阶段练习）已知动点，分别在圆：和圆：上，动点在直线上，则的最小值是 30．（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知圆的半径为2，且圆心在直线上，点在圆上，点在圆外. (1)求圆的圆心坐标； (2)若点在圆上，求的最大值与最小值. 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 圆的标准方程（三大题型，30题） 目录 题型一：由圆心（或半径）求圆的标准方程 1 题型二：求过已知三点的圆的标准方程 11 题型三：由标准方程确定圆心和半径 23 一、题型一：由圆心（或半径）求圆的标准方程 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知动直线恒过定点，圆，则以为圆心，半径与圆半径相等的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出定点，再根据圆C的方程得出半径2，最后根据圆的标准方程写出圆的方程即可. 【详解】动直线，可化为，故恒过定点， 又易得圆的半径为2，则以为圆心，以圆的半径为半径的圆的标准方程是． 故选：D. 2．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设圆心的坐标为，根据点在线上及两点间距离得出，再求出半径，得出圆的标准方程. 【详解】设圆心的坐标为. 因为圆心在直线上，所以①， 因为是圆上两点，所以，根据两点间距离公式，有，即②， 由①②可得.所以圆心的坐标是），圆的半径. 所以，所求圆的标准方程是. 故选:C. 3．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）如图，已知是圆的弦，为的中点，且在弦上的射影为，则，该定理称为阿基米德折弦定理.在上述定理中，若已知，，点在直线下方，，则过点的圆的方程为 . 【答案】 【分析】根据几何关系，首先确定，即可确定圆的直径为，再根据对称关系求点的坐标，以及点的坐标，即可求圆的方程. 【详解】因为，所以， 因为，所以为直径，且. 设， 则，解得（舍去）或， 设，由，得，解得， 过点的圆，是以为直径的圆， 所以其圆心为，半径为 故答案为：. 4．（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）如图，点C是以AB为直径的圆O上的一个动点，点Q是以AB为直径的圆O的下半个圆（包括A，B两点）上的一个动点，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】建立合适的平面直角坐标系，利用三角换元法和辅助间公式得到，最后根据正弦函数的性质即可得到答案. 【详解】以O为原点, 以为 轴, 以的中垂线为 轴建立平面直角坐标系 , 则圆 的半径为 , ,,, 设 ,, 则 , , , 当 时, 取得最小值， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是建立合适的直角坐标系，利用三角换元法表示出相关点的坐标，最后计算向量数量积，再根据三角恒等变换和三角函数性质即可求出最值. 5．（23-24高二上·福建福州·期末）已知关于直线对称，点，都在上. (1)求线段垂直平分线的方程； (2)求的标准方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求线段的中点，且斜率不存在，写出方程； （2）解法一：由题意，设，将点代入得方程； 解法二：求出直线与直线的交点为圆心，可得方程. 【详解】（1）因为点，， 所以线段的中点为 因为直线的斜率为，所以垂直平分线的斜率不存在. 所以垂直平分线的方程为； （2）解法一：因为关于直线对称，则可设的方程为， 又因为点，在上，所以， 解得， 所以的标准方程为. 解法二：因为直线与直线的交点为圆心， 由，解得， 故圆心. 又因为. 所以的标准方程为. 6．（23-24高二上·山东济南·期末）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)点P在圆C上运动，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用圆的对称性先确定圆心，再求半径即可； （2）设P坐标，利用两点距离公式及点在圆上消元转化为函数求值域求范围即可. 【详解】（1）圆经过，两点，得圆心在的中垂线上， 又圆心C在直线上，联立直线方程有，得， 即圆心坐标为， 又， 故圆C的标准方程为． （2）设，易知， 则（*）， 因为点P在圆C上运动，则， 故（*）式可化简为，， 由得的取值范围为． 7．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB 边所在直线的方程为，点在AD边所在的直线上. (1)求AD边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD外接圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据斜率关系，再应用点斜式求出直线方程； （2）根据矩形求出外接圆的圆心及半径得出圆的标准方程. 【详解】（1）因为AB边所在直线的方程为，且AD与AB垂直， 所以直线AD的斜率为 又因为点在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为， 即 （2）由，解得点A的坐标为 因为矩形ABCD两条对角线的交点为 所以M为矩形ABCD外接圆的圆心． 又， 从而矩形ABCD外接圆的方程为 8．（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）已知的三个顶点分别是，，. (1)求的外接圆方程和外心坐标； (2)求的内切圆方程和内心坐标. 【答案】(1)，； (2)，. 【分析】（1）由图知，为直角三角形，故的外接圆是以、的中点为外接圆圆心，一半为外接圆半径，求出圆心和半径即可得到的外接圆方程； （2）结合图形可设内切圆的圆心，半径为，利用等面积求出，即可得到的内切圆的方程和圆心坐标. 【详解】（1）由图知，由，，构成的三角形为直角三角形， 故的外接圆是以、的中点为外接圆圆心，一半为外接圆半径. 又、中点坐标为，即圆心， 又，， 的外接圆方程是，圆心为. （2）由的内切圆的圆心为三个内角平分线的交点，且， 结合图形可设内切圆的圆心，半径为. 又，即 ， 的内切圆是以为圆心，半径为1的圆， 的内切圆的方程为，圆心. 9．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知直线过定点A. (1)求点A的坐标； (2)当时，与的交点为，求以为直径的圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将化为，解方程组，即可得出答案； （2）联立方程组，得出B点坐标，进而求出圆心以及半径，即可得出答案. 【详解】（1）可化为， 令，得， 所以，直线过定点. （2）当时，， 联立方程组，解得， 即. 因为，所以线段的中点，即圆心的坐标为， 所以，， 故以为直径的圆的标准方程为. 10．（23-24高二下·上海·期中）已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)求证：的面积为定值． (2)设直线与圆交于点，，若，求圆的方程． (3)在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)最小值为， 【分析】（1）由已知直接可得圆的方程，进而可得点与的坐标，进而可得证； （2）由已知可得，进而可得参数，及圆的方程； （3）根据对称可得点关于直线的对称点，进而可知，根据点与圆的位置关系可得的最小值，进而可得点的坐标. 【详解】（1）由题意可得圆的方程为：， 化简可得， 与坐标轴的交点分别为：，， 为定值. （2）如图所示， ， 原点在线段的垂直平分线上， 设线段的中点为，则，，三点共线， 又的斜率， ， 解得， 又，所以， 可得圆心， 圆的方程为：； （3）如图所示， 由（2）可知：圆心，半径，， 设点关于直线的对称点为， 则中点为， 且，解得，即， 则， 又点到圆上点的最短距离为， 则的最小值为， 此时直线的方程为：， 点为直线与直线的交点， 则，解得， 即点. 二、题型二：求过已知三点的圆的标准方程（多选） 11．（23-24高二下·河南焦作·期末）平面几何中有定理：已知四边形的对角线与相交于点，且，过点分别作边，，，的垂线，垂足分别为，，，，则，，，在同一个圆上，记该圆为圆.若在此定理中，直线，，的方程分别为，，，点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，，，的坐标，根据垂直关系联立方程组可分别求出，的坐标，根据，，三点在圆上，分别求线段，的垂直平分线所在直线方程，通过联立解方程组求解圆心的坐标，即可求解圆的方程. 【详解】    由得，由得， 由得， 因为，对角线与相交于点，所以， 因为，所以所在直线方程为， 与联立方程组解得， 因为，所以所在直线方程为， 与联立方程组解得， 因为，所以线段的垂直平分线方程为， 线段的垂直平分线方程为， 联立，解得，所以， 又， 所以圆的方程为. 故选：. 【点睛】方法点睛：求圆的方程的常用方法： （1）直接法：直接求出圆心坐标和圆的半径，写出方程； （2）待定系数法：根据已知条件设出方程，代入求解. 12．（23-24高二上·广东东莞·期末）东莞鸿福路大桥是一座系杆拱桥，其圆拱结构可近似看作圆的一部分，经查询资料知该拱桥（如下图）的跨度AB约为126米，拱高OP约为9米，该拱桥每隔约7米用一根吊杆连接圆拱与系杆，则与OP相距35米的吊杆MN的高度约为（    ）（参考数据：） A．7.3米 B．6.3米 C．5.3米 D．4.3米 【答案】B 【分析】以O为原点,以AB所在直线为x轴,以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系.设圆心坐标为，利用待定系数法求出圆的方程，将代入即可求得. 【详解】以O为原点,以AB所在直线为x轴,以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 设圆心坐标为，则， 可设圆拱所在圆的方程为, 由题意可得：， 解得：， 所以所求圆的方程为， 将代入圆方程,得: , 因为，所以. 故选：B. 13．（2024·四川绵阳·二模）已知曲线与x轴交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，则过A，B，C（A，B，C均不重合）三点的圆的半径不可能为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】设出圆的方程，利用给定条件用m表示圆的半径，并求出半径的取值范围即得. 【详解】依题意，设点，则是方程的两个实根， ，， 显然点，当时，曲线过原点，点与点之一重合，不符合题意，则， 设过三点的圆方程为，由，得， 显然是的两个根，于是， 又，联立解得，又， 因此，而当或时，， 所以过三点的圆的半径的取值范围是，BCD均可能，A不可能. 故选：A 14．（多选）（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】分四种情况讨论，利用待定系数法求出圆的方程即可. 【详解】设圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法： （1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理． 如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任意弦的中垂线上； ③两圆相切时，切点与两圆心三点共线； （2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 15．（23-24高二上·广东佛山·期中）如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度米，拱高米，建适时每间隔4米需要用一根支柱支撑，则支柱的高度为 米．（精确到0.01米，参考数据：）    【答案】3.86 【分析】以为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，根据条件得到，，设圆的方程是，代入点和点求得圆的方程，再将点的横坐标代入圆的方程，即可求解. 【详解】由题意，以为原点，为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，    设圆心坐标是，圆的半径是r，则圆的方程是. 因为P，B两点都在圆上，则有，解得， 所以圆的方程是； 将点的横坐标代入圆的方程，得， 即，其中的纵坐标， 所以. 即支柱的高度约为3.86m. 故答案为：. 16．（23-24高二上·河南周口·期末）的三个顶点坐标是； (1)的外接圆方程； (2)若线段MN的端点N的坐标为，端点M在△ABC的外接圆的圆上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法可求圆的方程； （2）定义代入法求线段MN的中点P的轨迹方程． 【详解】（1）设△ABC的外接圆方程为 . 把A（0，1），B（2，1），C（3，4）代入圆的方程得: 解此方程组，得. ∴△ABC的外接圆方程是 （2）设点，， ∵点P是MN的中点，∴. ∵点M在上运动，∴. 即，整理得：. 所以，点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆. 17．（23-24高二上·吉林长春·期末）的顶点的垂心（三条高交点）为． (1)求顶点的坐标； (2)求的外接圆方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据，结合斜率公式即可得解； （2）设的外接圆方程为，利用待定系数法求出即可. 【详解】（1）设， 由题意得，， 所以，解得， 所以顶点的坐标为； （2）设的外接圆方程为， 则，解得， 所以的外接圆方程为. 18．（23-24高二上·广东揭阳·期中）如图所示，、分别为某市两条互相垂直的主干道所在的直线，其中为、的交点.若、两点分别为该市1路公交车的起点站和终点站，且、之间的公交线路是圆心在上的一段圆弧，站点到直线、的距离分别为和，站点到直线、的距离分别为和. (1)建立适当的坐标系，求公交线路所在圆弧的方程； (2)为了丰富市民的业余生活，市政府决定在主干道上选址建一游乐场，考虑到城市民居集中区域问题和环境问题，要求游乐场地址（注：地址视为一个点，设为点）在点上方，且点到点的距离大于且小于，并要求公交线路（即圆弧）上任意一点到游乐场的距离不小于，求游乐场C距点距离的最大值. 【答案】(1)（，） (2) 【分析】（1）由题意建立适当的直角坐标系，可以用待定系数法来确定圆弧的方程. （2）由题意，结合可得对任意的恒成立，从而即可求得的范围. 【详解】（1）以为坐标原点，直线、分别为轴和轴建立平面直角坐标系如图所示， 则由题意，，设圆弧所在圆的方程为， 又因为、之间的公交线路是圆心在上的一段圆弧， 所以，解得， 故公交线路所在圆弧的方程为（，）. （2）如图所示： 因为游乐场距点的距离为，所以， 设为公交线路上任意一点， 则（，），即， 且，对公交线路上任意点均成立， 整理得，对任意的恒成立， 令，因为， 所以函数在上单调递减， 所以，解得或， 又，故， 即游乐场C距点距离的最大值为. 【点睛】关键点睛：第一问比较常规用待定系数法来做就可以了，第二问的关键是结合两点间的距离公式把问题转换为恒成立问题来做. 19．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）已知的三个顶点坐标分别是，，.求： (1)外接圆的方程； (2)若点P是外接圆上的一动点，点为平面内一定点，求线段MP的中点N的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用线段求中垂线方程以及两直线求交点，确定三角形外接圆的圆心坐标，进而求该圆的半径，可得答案. （2）利用中点坐标公式，建立等量关系，代入（1）所得的外接圆的方程，可得答案. 【详解】（1）由题意可作图如下：    由，则线段的中点坐标为， 线段的中垂线的斜率， 直线的方程为：； 同理可得线段的中垂线的方程：， 联立可得，解得，则直线与的交点， 显然点为外接圆的圆心，则该圆的半径， 所以外接圆的方程为：. （2）由题意可作图如下：    设的坐标为，的坐标为， 由为的中点，且，则，整理可得， 由在圆上，则， 所以，化简可得：. 20．（23-24高二上·四川遂宁·阶段练习）已知圆心为的圆经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)已知在圆C外，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设圆的标准方程为：，代入，，求解即可； （2）因为在圆C外，所以，代入求解即可. 【详解】（1）解：设圆的标准方程为：， 代入，， 得，解得：， 所以圆的标准方程为：； （2）解：因为在圆C外， 所以， 又因为，， 所以， 解得或， 所以的取值范围为：. 三、题型三：由标准方程确定圆心和半径 21．（23-24高二上·江西抚州·阶段练习）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美. 平面直角坐标系中， 曲线C： 就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论： ①曲线C围成的图形的面积是 ②曲线C围成的图形有2条对称轴； ③曲线C上的任意两点间的距离不超过2； ④若P(m,n)是曲线C上任意一点，则 的最小值是 其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】结合已知条件写出曲线的解析式，作出图像，对于①，通过图像可知，所求面积为四个半圆和一个正方形面积之和，结合数据求解即可；对于②，通过图像可知，曲线C围成的图形有4条对称轴；对于③，根据图像求出曲线上的任意两点间的距离的最大值即可判断；对于④，将问题转化为点到直线的距离，然后利用圆上一点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可求解. 【详解】当且时，曲线C的方程可化为； 当且时，曲线C的方程可化为； 当且时，曲线C的方程可化为； 当且时，曲线C的方程可化为， 曲线C的图像如图所示：    由图可知，曲线C围成的图形的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形面积的和， 从而曲线C围成的图形的面积为，故①正确； 由曲线C的图像可知，曲线C围成的图形有4条对称轴，分别是轴、轴、第一、三象限角平分线以及第二、四象限角平分线，故②错误； 由图可知，曲线C任意两点间距离的最大值为两个半径与正方形边长之和， 即，故③错误； 因为到直线的距离为， 所以， 当最小时，易知在曲线C的第一象限内的图像上， 因为曲线C的第一象限内的图像是圆心为，半径为的半圆， 所以圆心到的距离， 从而，即，故④正确. 故选：B． 22．（23-24高二上·山东泰安·期中）已知曲线，则的最大值，最小值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】首先化简题给条件，得到其为以为圆心半径为2的圆的右半部分，再利用数形结合即可求得的最大值，最小值. 【详解】由，可得， 此方程表示的曲线为以为圆心半径为2的圆的右半部分， 则表示点与此半圆上点的距离， 其最大值为，最小值为， 又，，， 则最大值为，最小值为. 故选：B 23．（22-23高二下·江西上饶·期末）已知，为圆上两个不同的点（为圆心），且满足，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】 根据给定条件，求出，再利用数量积的运算律求解作答. 【详解】依题意，，由，得，解得， 所以. 故选：C 24．（23-24高二上·河南开封·期中）已知圆，O是坐标原点，P是圆C上任意一点，若定点A满足，则面积的最大值是（    ） A．3 B．9 C． D． 【答案】A 【分析】设出坐标，由得到，利用对于任意一点都成立，建立方程求解可得点坐标，可得当点的纵坐标的绝对值最大时的面积最大，此时轴，利用可得答案. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 设，由得， 化简得， 又因为即， 所以，因为对于任意恒成立， 所以，解得，所以， 所以当点的纵坐标的绝对值最大时的面积最大， 此时轴，所以或， 所以的面积为. 故选：A.    25．（多选）（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）若有一组圆：，下列命题正确的是（    ） A．所有圆的半径均为2 B．所有的圆的圆心恒在直线上 C．当时，点在圆上 D．经过点的圆有且只有一个 【答案】AB 【分析】根据圆的标准方程和性质逐项判断求解； 【详解】选项A: ，，故选项正确； 选项B: 根据可得，圆心为，在，故选项正确； 选项C: 当时，，代入不满足方程，故选项错误； 选项D:代入 得：即有两个解，故选项错误； 故选：AB. 26．（23-24高二上·江苏无锡·期末）已知圆，圆，，分别是圆，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】先求出圆心关于直线的对称点坐标，再结合圆的几何性质求解即可． 【详解】圆，圆心，半径为1， 圆，圆心，半径为2， 设关于直线的对称点为，设， 则，解得， ， ， 则的最小值为10． 故答案为：10． 27．（23-24高二上·北京房山·期末）已知曲线，给出下列四个命题： ①曲线关于轴、轴和原点对称； ②当时，曲线共有四个交点； ②当时， ③当时，曲线围成的区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是； ④当时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积． 其中所有真命题的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】①将点代入方程，判断方程是否满足即可；②联立曲线方程求得或，进而求交点个数；③④由曲线是圆心为原点，半径为的圆，利用二次函数性质求曲线上任意一点到原点距离的范围，结合对称性即可判断. 【详解】 ①设点在上， 对于点，代入方程，也在上； 对于点，代入方程，也在上； 对于点，代入方程，也在上； 所以曲线关于x轴、y轴和原点对称，正确； ②联立可得，即或， 当时，都有，即存在交点； 当时，都有，即存在交点； 综上，共有四个交点，正确； ③当时，则， 故，可得， 曲线上任意一点到原点距离 ， 当时， 结合对称性知：曲线对围成的平面区域内（含边界）两点之间的距离 的最大值是3，正确. ④当时，对于曲线是圆心为原点，半径为的圆， 设曲线围成的区域为，曲线围成的区域为， 设，则，故， 故，故，故在的内部， 故的面积不大于的面积，故④错误. 故答案为：①②③ 28．（23-24高二上·天津武清·阶段练习）已知圆:，点，.设是圆上的动点，令，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设动点的坐标，利用两点间距离公式，整理的表达式，则可得到当取得最小值时，取得最小值，由定点到圆上一点的距离最小，求解即可. 【详解】 由已知，， 设，，， 所以， 因为，所以当取得最小值时，取得最小值， 由的最小值为， 所以的最小值为. 故答案为：. 29．（22-23高二上·山东济南·阶段练习）已知动点，分别在圆：和圆：上，动点在直线上，则的最小值是 【答案】/ 【分析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，设点关于直线对称的点为,进而根据对称性得，再结合题意得 【详解】解：由题知圆：的圆心为，半径为， 圆：的圆心为，半径为， 如图，设点关于直线对称的点为， 所以，，解得，即， 所以， 所以，，即的最小值是. 故答案为： 30．（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知圆的半径为2，且圆心在直线上，点在圆上，点在圆外. (1)求圆的圆心坐标； (2)若点在圆上，求的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）设出圆的标准方程：，然后利用题中相关点及几何条件从而求解； （2）先求圆外点到圆心的距离，则可知：. 【详解】（1）设圆的标准方程为：， 由题意得：，得：， 即：圆的圆心坐标：. （2）由题意得:， 所以：， 所以：最大值为：：，最小值为：. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$