专题13 直线的交点坐标与距离公式（四大题型，40题）-【尖子生培优】2024-2025学年高二年级数学上学期重难点压轴题突破专练（人教A版选修一）

专题13 直线的交点坐标与距离公式（四大题型，40题） 目录 题型一：两条直线的交点坐标 1 题型二：两点间的距离公式 2 题型三：点到直线的距离公式 4 题型四：两条平行直线间的距离 6 一、题型一：两条直线的交点坐标 1．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·上海·期中）直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（多选）（23-24高二上·安徽·期末）已知直线：及直线：，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．存在a，使得 C．若，的交点横坐标为，则或1 D．若且，则一定经过第一象限 4．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）经过两条直线与的交点，且在轴上的截距是轴上的倍的直线方程为 . 5．（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）已知直线l1，l2的方程分别是，点A的坐标为（）.过点A的直线l的斜率为k，且与l1，l2分别交于点M，N（M，N的纵坐标均为正数）. (1)若，且A为线段MN中点，求实数a的值及的面积； (2)是否存在实数a，使得的值与k无关？若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由. 6．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知两条直线， (1)当为何值时，与相交; (2)与是两条不同直线，经过定点，当也经过点时，求的值. 7．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知直线，直线与直线垂直，且直线，的交点的横坐标与纵坐标相等． (1)求直线的方程； (2)若直线l被直线，所截得的线段恰好被点平分，求直线l的方程． 8．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 9．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）在中，顶点A在直线上，顶点B的坐标为边的中线所在的直线方程为边的垂直平分线的斜率为． (1)求直线的方程； (2)若直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，求直线l的方程． 10．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知直线． (1)求证：直线经过一个定点； (2)若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 二、题型二：两点间的距离公式 11．（24-25高一上·四川内江·开学考试）代数式的最小值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 12．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二下·上海·随堂练习）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 14．（2024·浙江·模拟预测）如图，直线交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M，N恰好落在直线上，若点N在第二象限内，则的值为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 16．（多选）（24-25高二上·湖南岳阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，设定点，是函数图象上一动点.若点，之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为（    ） A． B． C．1 D． 17．（多选） “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（    ） A．若点，则 B．若点，则在轴上存在点，使得 C．若点，点在直线上，则的最小值是3 D．若点在上，点在直线上，则的值可能是4 18．（24-25高二上·全国·课后作业）已知二元函数的最小值为，则 ． 19．（23-24高二上·四川宜宾·期末）过定点的直线与过定点的直线交于，则 20．（24-25高二上·吉林白城·期中）已知直线 l：和两个定点，问直线l上是否存在一点P，使得|取得最小值？若存在，求出点P的坐标和的最小值；若不存在，说明理由. 三、题型三：点到直线的距离公式 21．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）已知入射光线从射出，经过直线上的点B后第一次反射，若此反射光线经过直线上的点C时再次反射，反射后经过点.则可以求得直线的斜率为（    ） A． B． C．4 D．3 22．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知点关于直线对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 23．（多选）（23-24高二上·山东济南·阶段练习）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（    ） A． B． C． D． 24．（多选）（24-25高二上·云南文山·阶段练习）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．若直线，则 C．点到直线的距离是2 D．过与直线平行的直线方程是 25．（2024高二上·江苏·专题练习）平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，，，，，光线从OA边上一点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到x轴上的点，若，则的取值范围是 .    26．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知，，动点P在直线上.则的最小值为 . 27．（24-25高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为． (1)求边所在直线的方程； (2)求的面积． 28．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）（1）已知直线过定点，且其倾斜角是直线的倾斜角的二倍，求直线的方程； （2）已知入射光线经过点，且被直线反射，反射光线经过点，求反射光线所在直线的方程. 29．（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）已知的三个顶点是． (1)求BC边上的中线所在直线的方程； (2)求的面积； (3)若直线过点，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程． 30．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知的顶点，，直线l：过定点． (1)若是的重心，求三边所在直线的方程； (2)若，且，求顶点的坐标． 四、题型四：两条平行直线间的距离 31．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）直线：与直线：的距离是（    ） A． B． C． D．1 32．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 33．（多选）（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则与的距离为 D．若，则 34．（多选）（24-25高二上·福建三明·开学考试）以下四个命题为真命题的是（ ） A．过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为 B．直线的倾斜角的范围是 C．直线与直线之间的距离是 D．直线恒过定点 35．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）在平面直角坐标系中，若正方形的四条边所在的直线分别经过点，，，，则这个正方形的面积可能为 （填写一个可能的结果） 36．（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是 . 37．（2024高二上·江苏·专题练习）已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时， . 38．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线，点和点分别是直线上一动点. (1)若直线经过原点，且，求直线的方程； (2)设线段的中点为，求点到原点的最短距离. 39．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知直线，直线． (1)若，求，之间的距离； (2)若，求，及轴围成的三角形的面积． 40．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 直线的交点坐标与距离公式（四大题型，40题） 目录 题型一：两条直线的交点坐标 1 题型二：两点间的距离公式 9 题型三：点到直线的距离公式 18 题型四：两条平行直线间的距离 26 一、题型一：两条直线的交点坐标 1．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出两直线的交点坐标，再利用二倍角的正切公式求出直线的斜率即可求解. 【详解】由，解得，即所求方程的直线过点， 令直线的倾斜角为，则，显然是锐角， 因此所求方程的直线斜率， 所以所求的直线方程为，即. 故选：C 2．（23-24高二下·上海·期中）直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】分、、及三条直线相交于一点四种情况讨论，分别求出所对应的的值，即可得解. 【详解】①时，则，解得，经检验符合题意； ②时，则，解得，经检验符合题意； ③时，则，解得，经检验符合题意； ④三条直线交于一点，解得或， 则实数可取值的集合为，即符合题意的实数共6个. 故选：D 3．（多选）（23-24高二上·安徽·期末）已知直线：及直线：，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．存在a，使得 C．若，的交点横坐标为，则或1 D．若且，则一定经过第一象限 【答案】ACD 【分析】结合直线平行、垂直、相交的性质逐项判断即可得. 【详解】对A：，一定不重合，若，则，解得或，故A正确； 对B：若，则，整理得，， 此方程无解，故不存在a，使得，故B错误； 对C：若，的交点横坐标为，则交点为，代入， 得，所以或1，故C正确； 对D：若且，则的斜率存在且不为零，在x轴上的截距， 所以一定经过第一象限，故D正确． 故选：ACD. 4．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）经过两条直线与的交点，且在轴上的截距是轴上的倍的直线方程为 . 【答案】或 【分析】先求已知两直线的交点坐标．设所求直线方程为，求所求直线在轴和轴上的截距，由条件列方程求，由此可得结论． 【详解】联立，解得， 所以直线与的交点坐标为， 由已知所求直线的斜率存在且不为， 故可设所求直线方程为，其中， 令，可得，即所求直线在轴上的截距为， 令，可得，即所求直线在轴上的截距为， 由已知可得， 所以， 所以或， 所以所求直线方程为或. 故答案为：或. 5．（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）已知直线l1，l2的方程分别是，点A的坐标为（）.过点A的直线l的斜率为k，且与l1，l2分别交于点M，N（M，N的纵坐标均为正数）. (1)若，且A为线段MN中点，求实数a的值及的面积； (2)是否存在实数a，使得的值与k无关？若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由. 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】（1）由直线的方程为，联立方程组分别求得点的坐标，结合题意，列出不等式组，求得，进而求得的值，结合三角形的面积公式，即可求解； （2）假设存在满足题意的 ，使得的值与无关，由（1）求得， 得到，进而得到结论. 【详解】（1）    因为直线 l过点，且斜率为，所以直线的方程为， 因为直线与分别交于点，所以 ， 由 ，解得 ，即 ， 由 ，解得 ，即， 又因为的纵坐标均为正数，所以 ，即， 因为 ，所以 若时，，， 又因为点为线段中点，所以解得， 所以，，所以，的面积． （2）假设存在满足题意的，使得的值与无关， 由（1）知：， 且， 因此，， 所以， 因为 ，所以当时，为定值， 所以存在实数，使得的值与无关． 【点睛】关键点点睛：（2）假设存在满足题意的 ，使得的值与无关，求得，， 得到，进而得到结论. 6．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知两条直线， (1)当为何值时，与相交; (2)与是两条不同直线，经过定点，当也经过点时，求的值. 【答案】(1)，且，且 (2) 【分析】（1）由求解； （2）过定点，又因为也经过点，代入求解，要注意检验． 【详解】（1）依题意，得， 得， 得，且，且． （2）， 得，得， 得过定点，又因为也经过点， 得，得． 当时，与重合，故舍去， 故． 7．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知直线，直线与直线垂直，且直线，的交点的横坐标与纵坐标相等． (1)求直线的方程； (2)若直线l被直线，所截得的线段恰好被点平分，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线，的交点坐标，再设直线为，将交点坐标代入求出，从而可求出直线的方程； （2）设直线l交直线，分别于点，则有，，，从而可求出两点的坐标，则可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程. 【详解】（1）由题意设直线，的交点坐标为，则，得， 所以直线，的交点坐标为， 由题意设直线为，则，得， 所以直线的方程为； （2）设直线l交直线，分别于点， 因为为的中点，所以， 因为，， 所以，即， 由，解得， 所以，所以， 所以， 所以直线的方程为，即. 8．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立方程，求出交点，再由垂直关系得出斜率，进而写出直线方程； （2）由对称性得出点关于直线对称的点为，进而结合图像得出最值. 【详解】（1）解：联立，解得， 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为； 故所求直线方程为，即 （2）设点关于直线对称的点为， ，解得 则， 故的最小值为. 9．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）在中，顶点A在直线上，顶点B的坐标为边的中线所在的直线方程为边的垂直平分线的斜率为． (1)求直线的方程； (2)若直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）求出直线方程，与直线方程联立求出点的坐标，再设出点的坐标，由的中点在直线上，求出点的坐标，然后求出直线方程. （2）按直线过的中点及与平行求出方程即得. 【详解】（1）由边的垂直平分线的斜率为，得直线方程为，即， 而边中线所在的直线方程为， 由，解得，则，设点，则点， 于是，解得，即点，直线的斜率， 所以直线的方程为，即. （2）由（1）知，，， 由直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，得直线过边的中点，或， 当直线过时，直线的斜率为，方程为，即， 当直线时，直线的斜率为，方程为，即， 所以直线l的方程为或. 10．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知直线． (1)求证：直线经过一个定点； (2)若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)证明见解析； (2)，. 【分析】（1）利用直线的点斜式方程即可得到直线经过一个定点. （2）先求得的面积S的表达式，再利用均值定理即可求得S的最小值，进而求得此时直线的方程. 【详解】（1）直线，化为，当时，对任意实数，恒有， 所以直线过定点. （2）依题意，显然，直线交轴于点，交轴于点， 而点分别在轴的正半轴上，即，于是， 则的面积为， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，，直线的方程的方程为. 二、题型二：两点间的距离公式 11．（24-25高一上·四川内江·开学考试）代数式的最小值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】易知表示点到点与点的距离之和，画出图形，数形结合即可得解. 【详解】表示点到点与点的距离之和， 如图所示，作点关于轴的对称点，连接， 则， 即当点为与轴交点时，代数式取得最小值13. 故选：D. 12．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线的方程求出其所过定点坐标，由此确定最大距离及此时直线的方程. 【详解】直线的方程可化为， 联立，解得， 所以直线经过定点， 当时，点到直线的距离最大，最大距离为， 因为直线的斜率，， 所以直线的斜率， 所以， 所以， 所以，故， 所以直线的方程为. 故选：C. 13．（24-25高二下·上海·随堂练习）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据顶点坐标可得重心与外心的坐标，进而得欧拉线方程. 【详解】由重心坐标公式可得：重心，即. 由，，可知外心在的垂直平分线上， 所以设外心，因为， 所以， 解得，即：， 则， 故欧拉线方程为：， 即：， 故选：A. 14．（2024·浙江·模拟预测）如图，直线交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M，N恰好落在直线上，若点N在第二象限内，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过O作于C，过N作于D，根据等面积求出，运用在直角三角形等知识求出结果. 【详解】设直线与y轴的交点为B，过O作于C，过N作于D， 因为N在直线上且在第二象限内，设， 则，又，即， 所以，在中，由三角形的面积公式得：， 所以， 在中，，所以， 即， 在中，，即， 解得：，因为N在第二象限内，所以， 所，所以， 故选：A. 15．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点到点的距离与点到点的距离和，过点作，垂足为，证明，由 求目标函数最小值. 【详解】由已知表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 所以， 过点作，垂足为， 因为直线的方程为，， 所以， 又直线与直线平行，， 所以，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以， 又，当且仅当三点共线时等号成立， 所以当点为线段与直线的交点时， 取最小值，最小值为， 因为过点与直线垂直的直线的方程为， 联立，可得， 所以点的坐标为，所以， 所以的最小值为， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题. 16．（多选）（24-25高二上·湖南岳阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，设定点，是函数图象上一动点.若点，之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】AD 【分析】设，，表达出，令，由基本不等式得到，且，分和两种情况，得到函数最小值，得到方程，求出答案. 【详解】设，， ， 令，由基本不等式得，故， ， 当时，当时，取得最小值， 最小值为， 令，解得或3（舍去）， 当时，当时，， 令，解得或（舍去）， 综上，满足条件的实数的所有值为或. 故选：AD 17．（多选） “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（    ） A．若点，则 B．若点，则在轴上存在点，使得 C．若点，点在直线上，则的最小值是3 D．若点在上，点在直线上，则的值可能是4 【答案】ACD 【分析】利用“曼哈顿距离”的定义计算判断AD；结合绝对值的意义判断B；作出图形，借助几何意义求解判断C. 【详解】对于A，由曼哈顿距离的定义知，A正确； 对于B，设，则，B错误； 对于C，作轴，交直线于，过作，垂足为，如图①所示：    由曼哈顿距离的定义可知，而点， 当不与重合时，由直线的斜率为，得， 则；当与重合时，， 于是，因此，C正确． 对于D，如图②所示，取，，则，D正确． 故选：ACD    18．（24-25高二上·全国·课后作业）已知二元函数的最小值为，则 ． 【答案】80 【分析】化简后转化为点到点之间距离，利用轴对称实现折化直，转化到两点之间线段最短问题. 【详解】． 设点．则， 这是经典的将军饮马问题如图． 点关于直线与轴的对称点分别为与， 可得，故． 故答案为：80 19．（23-24高二上·四川宜宾·期末）过定点的直线与过定点的直线交于，则 【答案】10 【分析】先确定和，由于两直线垂直，所以. 【详解】由题意可得：，则， 由，则， 当时，两直线垂直， 当时，两直线斜率之积等于， ∴直线和直线垂直， 则. 故答案为：10 20．（24-25高二上·吉林白城·期中）已知直线 l：和两个定点，问直线l上是否存在一点P，使得|取得最小值？若存在，求出点P的坐标和的最小值；若不存在，说明理由. 【答案】存在，， 【分析】设，根据坐标运算可转化为关于的二次函数，利用二次函数的最值求解即可. 【详解】假设直线l上存在一点，使得取得最小值，如图，    则， 因为，所以当，即点P的坐标为时， 取得最小值，且最小值为. 三、题型三：点到直线的距离公式 21．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）已知入射光线从射出，经过直线上的点B后第一次反射，若此反射光线经过直线上的点C时再次反射，反射后经过点.则可以求得直线的斜率为（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【分析】分别求出点关于的对称点，点关于的对称点，所求斜率即为的斜率. 【详解】如图，分别作出点关于的对称点，点关于的对称点， 根据光的反射原理，点在直线上， 所以. 所以直线的斜率为3. 故选：D. 22．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知点关于直线对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据中点在对称直线上及与对称直线垂直列方程求解. 【详解】设，则，解得，. 故选：B 23．（多选）（23-24高二上·山东济南·阶段练习）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】点关于直线的对称点在反射光线所在的直线上，进而求反射后的光线所在的直线方程即可求解. 【详解】倾斜角为的且过的直线 的方程为，即. 设点关于直线的对称点， 则有，即，解得，即. 于是反射后的光线所在的直线方程为，即. 对于A：在l的左侧，反射光线（射线）不经过该点，故A错误； 对于B：时，故B正确； 对于C：时，故C正确； 对于D：时，故D错误； 故选：BC. 24．（多选）（24-25高二上·云南文山·阶段练习）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．若直线，则 C．点到直线的距离是2 D．过与直线平行的直线方程是 【答案】CD 【分析】由倾斜角的定义判断A，由两直线位置关系判断B，由点到直线距离公式判断C，由平行求得平行线方程判断D． 【详解】对于A，直线的斜率，故直线的倾斜角是，故A错误； 对于B，因为直线的斜率， 故直线与直线不垂直，故B错误； 对于C，点到直线的距离，故C正确； 对于D，过与直线平行的直线方程是， 整理得：，故D正确. 故选：CD. 25．（2024高二上·江苏·专题练习）平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，，，，，光线从OA边上一点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到x轴上的点，若，则的取值范围是 .    【答案】 【分析】根据题意，利用入射光线与反射光线的关系，用表示t的值，由此可得关于的不等式，解可得答案． 【详解】点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点， 则， 有，则，， ，， ，， 即， ，解得. 故答案为： 26．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知，，动点P在直线上.则的最小值为 . 【答案】 【分析】借助线段和的几何意义求解即可. 【详解】设关于直线对称对称点坐标为， 则，解得，即， ， 所以的最小值为. 故答案为：. 27．（24-25高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为． (1)求边所在直线的方程； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的方程，联立的方程解出，然后设，为的中点，所以，代入各自方程求出，然后计算所在直线的方程即可； （2）先求出点到直线的距离，然后利用两点间的距离公式求出，计算的面积即可. 【详解】（1）因为，所以设直线的方程为：， 将代入得，所以直线的方程为：， 联立，所在直线方程：，解得， 设，因为为的中点，所以， 因为在直线上，在上， 所以，， 解得，所以，， 所以所在直线的方程为：，即. （2）点到直线的距离为：， 又， 所以. 28．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）（1）已知直线过定点，且其倾斜角是直线的倾斜角的二倍，求直线的方程； （2）已知入射光线经过点，且被直线反射，反射光线经过点，求反射光线所在直线的方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用倾斜角求出直线斜率，然后再利用点斜式即可求解直线方程， （2）利用点关于直线对称可得，即可根据两点坐标求解直线斜率，由点斜式求解直线方程. 【详解】（1）因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为， 故所求直线的倾斜角为，直线斜率为， 所求直线的方程为，即. （2）设关于直线对称的点为， 则解得 因为反射光线经过点， 所以所在直线的斜率为， 故反射光线所在直线方程为，即. 29．（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）已知的三个顶点是． (1)求BC边上的中线所在直线的方程； (2)求的面积； (3)若直线过点，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程． 【答案】(1)； (2) (3)或． 【分析】（1）求出线段中点，由两点得直线方程； （2）求出到直线的距离，线段的长，再由面积公式计算； （3）点A，B到直线的距离相等，则直线过线段的中点或与直线平行，分类求解即可． 【详解】（1）由已知边的中点坐标为， 所以直线的方程为，化简得； （2）直线的方程为，即， 点到直线的距离为，又， 所以的面积为； （3）点A，B到直线的距离相等，则直线过线段的中点或与直线平行， 若直线过线段的中点， 由已知线段的中点为，直线方程为，化简得， 直线与直线平行，则方程为，化简得， 所以直线的方程为或． 30．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知的顶点，，直线l：过定点． (1)若是的重心，求三边所在直线的方程； (2)若，且，求顶点的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】（1）由题意可得，解出即可得点坐标，结合重心性质即可得点坐标，即可逐个计算三边所在直线的方程； （2）由可得点C在的垂直平分线上，借助坐标及方程可求出其垂直平分线的坐标及方程，结合点到直线距离公式计算即可得点坐标. 【详解】（1）将l：整理得， 由，得，所以， 设，因为是的重心， 所以，解得，所以， 故所在直线的方程为，整理得， 所在直线的方程为，整理得， 所在直线的方程为，整理得； （2）因为点到直线的距离， 又，所以点C到直线的距离为， 因为，所以点C在的垂直平分线上， 中点坐标为，即， 则的垂直平分线的方程为，即， 所以，解得或， 所以或． 四、题型四：两条平行直线间的距离 31．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）直线：与直线：的距离是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】将直线的方程化为，进而根据平行线间的距离公式计算求解即可. 【详解】直线：化为， 又直线：，所以， 所以直线与直线的距离是. 故选：A. 32．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程组求出两条直线的交点坐标，再求出直线上的点关于直线的对称点即可求解. 【详解】由，解得，则直线与直线交于点， 在直线上取点，设点关于直线的对称点， 依题意，，整理得，解得，即点， 直线的方程为，即， 所以直线关于直线对称的直线方程为. 故选：D 33．（多选）（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则与的距离为 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据两直线平行或垂直求出参数值，两平行直线的距离公式可判断． 【详解】对A，若，则，化简可得或， 当时，化简可知与重合，所以，故A错误 对B，由选项A可知，故B正确； 对C，根据两平行直线距离公式，故C正确； 对D，若，根据直线垂直性质可知，解之可得，故D 正确. 故选： 34．（多选）（24-25高二上·福建三明·开学考试）以下四个命题为真命题的是（ ） A．过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为 B．直线的倾斜角的范围是 C．直线与直线之间的距离是 D．直线恒过定点 【答案】BD 【分析】对于A，运用截距式和斜截式分情况讨论判断；对于B，由 ，得到倾斜角的范围判断；对于C，运用平行线间的距离公式计算判断；对于D，将方程化为，恒成立得到， 求出定点为判断即可. 【详解】对于A，当直线过原点时，方程为， 当直线不过原点时，设方程为，则，解得， 所以直线方程为， 综上，所求直线方程为或，故A错误； 对于B，直线的斜率， 所以倾斜角的范围是，故B正确； 对于C，直线，即为， 故直线与直线之间的距离为，故C错误； 对于D，由， 得，由， 解得，所以定点为，故D正确. 故选：BD. 35．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）在平面直角坐标系中，若正方形的四条边所在的直线分别经过点，，，，则这个正方形的面积可能为 （填写一个可能的结果） 【答案】（在，，中任选一个填写） 【分析】设直线的倾斜角为，正方形的边长为，按，，分类讨论，用表示，从而求得正方形面积． 【详解】不妨设正方形的四条边所在的直线分别为，它们分别经过点，直线的倾斜角为，正方形的边长为， ①若，则，且，从而的倾斜角为， 因为，则与之间的距离为，所以， 因为，则与之间的距离为， 所以， 令，则，解得， 则正方形面； ②若，则，且，从而的倾斜角为， 因为，则与之间的距离为，所以， 因为．则与之间的距离为， 所以， 令，则，解得， 则正方形面积； ③若，则，且，从而的倾斜角为， 因为，则与之间的距离为，所以， 因为，则与之间的距离为， 所以， 令，则，解得， 则正方形面积； 故答案为：（在，，中任选一个填写） 36．（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是 . 【答案】 【分析】先求得两直线的交点坐标，再求得直线上一点，关于直线的对称点为，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】联立方程组，解得，即两直线的交点为， 由方程，令，可得，即直线过点， 设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即， 所以，所以对称直线的方程为，即. 故答案为：. 37．（2024高二上·江苏·专题练习）已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时， . 【答案】 【分析】求出恒过的定点，故，距离的最大值为，所以，求解即得出答案. 【详解】由题意，由， 解得，故过定点． ，由， 解得，故过定点， 故，距离的最大值为． 此时，直线的斜率为，则， 直线的斜率为，解得， 故． 故答案为：5 38．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线，点和点分别是直线上一动点. (1)若直线经过原点，且，求直线的方程； (2)设线段的中点为，求点到原点的最短距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线间距离公式可得和两直线垂直，即可根据垂直关系得斜率求解, （2）根据互相平行，可得的轨迹为，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）将化为一般式方程，得， ,则两直线平行， 故两直线的距离为， 因为，所以和两直线垂直. 因为的斜率为，所以. 又因为直线经过原点，所以直线的方程为. （2）因为互相平行，所以线段的中点的轨迹为， 即 所以点到原点的最短距离即点到直线的距离， 因为点到直线的距离为. 所以点到原点的最短距离为. 39．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知直线，直线． (1)若，求，之间的距离； (2)若，求，及轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由求出的值，再由平行线间的距离求解即可. （2）由求出的值，再求出直线，的交点，及，与x轴的交点，由三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 整理得，解得或． 当时，，，，重合； 当时，，，符合题意．故， 则，之间的距离为． （2）因为，所以，解得． ，的方程分别为，． 联立方程组，得． 因为，与轴的交点分别为，， 所以，及轴围成的三角形的面积为． 40．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【答案】【小题1】 【小题2】 【小题3】 【分析】（1）已知点和直线，求点关于直线的对称点问题，设出对称点的坐标，利用点和点中点在直线上以及直线与直线垂直列方程组，解方程组即可求解. （2）如果两条直线相交，求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程，可以先求两条已知直线的交点，再求直线上任取的一点关于另一条直线的对称点，两点和可以确定要求直线的方程，从而求得方程. （3）求直线关于点的对称直线的方程，可以转化成求直线上两点关于已知点的对称点，通过两个对称点的坐标求出直线方程即可. 【详解】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$