专题12 直线的方程（七大题型，65题）-【尖子生培优】2024-2025学年高二年级数学上学期重难点压轴题突破专练（人教A版选修一）

专题12 直线的方程（七大题型，65题） 目录 题型一：直线的点斜式方程 1 题型二：直线的两点式方程 4 题型三：直线的一般式方程及辨析 6 题型四：直线一般式方程与其他形式之间的转换 6 题型五：由一般式方程判断直线的平行与垂直 7 题型六：由两条直线平行/垂直求方程 8 题型七：直线过定点 10 一、题型一：直线的点斜式方程 1．（23-24高二上·湖北武汉·期中）一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽·阶段练习）过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线的方程为 ． 3．（23-24高二上·上海·期末）已知直线过点． (1)若直线过点，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距相等，求直线的方程． 4．（多选）（23-24高二上·四川眉山·阶段练习）直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．当时，或； B．当时，； C．当时，过直线与的交点且平行于的直线方程为： D．当时，直线关于对称的直线方程为： 5．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线不过第一象限，则实数t的取值范围为 ． 6．（24-25高二上·上海·课后作业）一条光线从点射出，经过x轴上的点P反射后，通过点，求反射光线所在直线的一般式方程． 7．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）如图，在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标：，，. (1)求点的坐标，并证明平行四边形为矩形； (2)求边所在的直线方程及的内角平分线所在的直线方程. 9．（多选）（23-24高二上·湖南常德·期中）直线，的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   10．（23-24高二上·北京大兴·期中）已知中，点，点，点． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求角平分线所在直线的方程． 11．（22-23高二上·广东东莞·阶段练习）已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． (1)试判断四边形的形状，并给出证明； (2)求平分线所在直线的方程． 12．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知点，，是的三个顶点． (1)求三边的中点及、边的中线； (2)求边的上高所在直线. 13．（23-24高二上·广东广州·期中）已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·吉林·阶段练习）直线经过点，且它的一个方向向量为，则直线的方程为 ． 15．（23-24高二上·河南郑州·阶段练习）已知直线与曲线相交，交点依次为，若，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 二、题型二：直线的两点式方程 16．（23-24高二上·重庆沙坪坝·阶段练习）过点作直线，若经过点和，且均为正整数，则这样的直线可以作出（    ）， A．条 B．条 C．条 D．无数条 17．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）直线经过点，在轴上的截距为，在轴上的截距为，且满足，则直线的斜率为（    ） A．2 B． C． D．或 18．（23-24高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知直线经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．（23-24高二上·天津南开·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 21．（24-25高二上·湖南岳阳·开学考试）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 22．（23-24高二上·河南濮阳·阶段练习）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，，，若直线：与的欧拉线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．3 23．（多选）（23-24高二上·四川宜宾·阶段练习）下列说法中错误的是（   ） A．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线 B．与是直线的截距式方程 C．直线方程的斜截式都可以化为截距式 D．在轴、轴上的截距分别是2、的直线方程为 24．（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）某公园的示意图为如图所示的六边形，其中，，，，且，米，米．若计划在该公园内建一个有一条边在上的矩形娱乐健身区域，则该娱乐健身区域面积（单位：平方米）的最大值为 ．    25．（23-24高二上·广东广州·期末）已知直线过点且与x轴、y轴分别交于两点，O为坐标原点，则的最小值为 . 26．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． (1)在轴、轴上的截距互为相反数； (2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 27．（23-24高二上·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 28．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点. (1)当时，求直线的方程； (2)当的面积为时，求直线的方程. 29．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的斜率为2． (1)求； (2)若直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程． 30．（23-24高二上·山西·开学考试）已知的三个顶点分别为，，. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程. 三、题型三：直线的一般式方程及辨析 31．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知直线方程为，则其倾斜角为（    ） A． B． C． D． 32．（多选）（2025·浙江·模拟预测）已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，且AC：，则直线AB的方程可能为（ ） A． B． C． D． 33．（2024高二上·江苏·专题练习）过坐标原点作直线：的垂线，垂足为，则的取值范围是 . 34．（24-25高二上·上海·课后作业）设直线l的方程为． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)是否存在实数a，使直线l不经过第二象限？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 35．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）设直线l的方程为． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； (2)若，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，求△OMN面积取最值时，直线l的方程． 四、题型四：直线一般式方程与其他形式之间的转换 36．（23-24高二下·湖南常德·开学考试）已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则l的方程为（    ） A． B． C． D．或 37．（多选）（24-25高二上·山西晋中·阶段练习）直线l过点，倾斜角为，且，则直线l经过点（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为 39．（24-25高二上·山东临沂·阶段练习）过点与轴、轴正半轴围成的三角形面积最小时的直线一般式方程为 ． 40．（24-25高二上·上海·课堂例题）下列关于直线方程的说法正确的是 .①直线的倾斜角可以是；②直线l过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为；③过点的直线的直线方程还可以写成；④经过，两点的直线方程可以表示为. 五、题型五：由一般式方程判断直线的平行与垂直 41．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）若直线与平行，则 （    ） A．1 B． C．1或 D． 42．（21-22高二上·辽宁·期中）直线：与直线：（实数a为参数）的位置关系是（    ） A．与相交 B．与平行 C．与重合 D．与的位置关系与a的取值有关 43．（23-24高二上·浙江·期中）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（     ） A． B．2 C．3 D．5 44．（22-23高二上·福建三明·阶段练习）已知,若过定点的动直线:和过定点的动直线:交于点(与,不重合),则的最大值为（    ） A． B． C． D．5 45．（多选）（22-23高二上·广东佛山·期中）已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（    ） A．的倾斜角等于 B．在轴上的截距等于 C．与直线垂直 D．与直线平行 46．（多选）（22-23高二上·湖南株洲·期末）已知直线：，则下列结论正确的是（    ） A．直线在两坐标轴上的截距均为1 B．向量是直线的一个法向量 C．过点与直线平行的直线方程为 D．若直线m：，则 47．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）在平面直角坐标系中，设，为不同的两点，直线l的方程为，设，其中a，b，c均为实数，下列四个说法中： ①存在实数δ，使点N在直线l上； ②若，则过M，N两点的直线与直线l重合； ③若，则直线l经过线段的中点； 所有结论正确的说法的序号是 . 48．（23-24高二上·四川达州·阶段练习）直线与直线相交于点，对任意实数，直线分别恒过定点，则的最大值为 49．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）设，则直线与围成的三角形的面积的最大值为 ． 50．（22-23高二上·湖南邵阳·期中）已知直线;直线. (1)若，求实数的值; (2)若，且它们之间的距离为，求直线的斜截式方程. 六、题型六：由两条直线平行/垂直求方程 51．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）集合，集合，从A，B中各任意取一个数相加为，则直线与直线平行的概率为（    ） A． B． C． D． 52．（23-24高二上·广东江门·期末）过点与平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 53．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）已知中有，，且，则边上的中线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 54．（多选）（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知直线，下列选项正确的是（    ） A．过点且垂直于直线的直线方程为 B．直线过定点 C．当时， D．当时， 55．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线与直线的交点为． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程． 56．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知的三个顶点是，，. (1)求BC边上的高所在直线的方程； (2)若直线过点C，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程. 57．（23-24高二上·陕西西安·期中）（1）已知向量，．若，求实数，的值． （2）直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程． （3）求过两条直线和的交点，且与平行的直线方程． 58．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知直线：（，均为不等于0的实常数），直线：. (1)若，求的值； (2)若当时，过定点，为原点，，求的值. 59．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）（1）已知点，求线段的垂直平分线的方程； （2）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 60．（23-24高二下·上海·期中）已知点，． (1)设，若直线与直线垂直，求的值； (2)求过点且与直线夹角的余弦值为的直线方程． 七、题型七：直线过定点 61．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 62．（2024高二上·江苏·专题练习）已知直线，若直线l不经过第三象限，则k的最大值是 . 63．（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）设直线l的方程为 (1)求证：无论a为何值，直线l必过一定点P； (2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于A，B，当面积最小时，求的周长； (3)当直线l在两坐标轴上的截距均为整数且斜率为正值时，求直线l的方程. 64．（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知一条动直线， (1)求直线恒过的定点的坐标； (2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围； (3)若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程. 65．（23-24高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知直线过定点． (1)求点的坐标； (2)若直线在轴和轴上的截距相等，求的值． 10 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 直线的方程（七大题型，65题） 目录 题型一：直线的点斜式方程 1 题型二：直线的两点式方程 12 题型三：直线的一般式方程及辨析 22 题型四：直线一般式方程与其他形式之间的转换 25 题型五：由一般式方程判断直线的平行与垂直 29 题型六：由两条直线平行/垂直求方程 36 题型七：直线过定点 42 一、题型一：直线的点斜式方程 1．（23-24高二上·湖北武汉·期中）一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先求得入射光线所在直线与轴的交点，进而求得反射光线所在直线方程. 【分析】倾斜角为的直线，斜率为， 所以入射光线为， 令，解得，所以入射光线与轴的交点为， 反射光线的斜率为，则反射光线的方程为. 故选：D 2．（23-24高二上·安徽·阶段练习）过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】根据题意设直线方程为，求截距，列式求解即可. 【详解】由题意可知：直线斜率存在且不为0，设直线方程为， 令，解得；令，解得； 可得，解得或， 所以直线方程为或. 故答案为：或. 3．（23-24高二上·上海·期末）已知直线过点． (1)若直线过点，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距相等，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线过两点求出斜率，由点斜式方程求出直线方程； （2）设出直线的点斜式方程，列式运算即可得出直线方程. 【详解】（1）由直线过点，，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）直线过点，在轴和轴上的截距相等， 设直线的方程为，， 令得，令得，则， 解得或， 所以直线的方程为或. 4．（多选）（23-24高二上·四川眉山·阶段练习）直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．当时，或； B．当时，； C．当时，过直线与的交点且平行于的直线方程为： D．当时，直线关于对称的直线方程为： 【答案】BD 【分析】 对于A、B选项，根据两条直线互相平行和垂直的充要条件即可判断；对于C选项，求出直线的点斜式方程即可判断；对于D选项，先求出两条直线的交点，再求出直线关于的对称点，根据直线上的两点即可求出直线方程，进一步判断即可. 【详解】对于A：当时，有，此方程无解，故A错误； 对于B：令，解得，此时，，，故B正确； 对于C：当时，，，联立，得直线与的交点为，平行于的直线斜率为1， 故过直线与的交点且平行于的直线方程为：，故C错误； 对于D：当时，直线与的交点为,易知点在直线上， 设该点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以，因为，所以， 所以所求直线方程为，即，故D正确. 故选：BD. 5．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线不过第一象限，则实数t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分析得到直线经过的象限，结合一次函数的性质求解即可. 【详解】当时，，故直线不过原点， 则直线一定通过三个象限， 而直线不过第一象限，故其必过第二，三，四象限， 得到，解得. 故答案为： 6．（24-25高二上·上海·课后作业）一条光线从点射出，经过x轴上的点P反射后，通过点，求反射光线所在直线的一般式方程． 【答案】． 【分析】先求出A关于x轴的对称点，再根据两点求斜率，最后应用点斜式求方程即可. 【详解】点关于轴的对称点为， 则反射光线经过、两点，， 由点斜式得反射光线所在直线方程为，化简为一般式方程为． 7．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）如图，在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由与中同号，分类讨论递增与递减，得到结果. 【详解】当时，直线过原点，且单调递增， 直线单调递增，且纵截距为正数， 没有符合的图象． 当时，直线过原点，且单调递减， 直线单调递增，且纵截距为负数， C选项符合． 故选：C 8．（23-24高二上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标：，，. (1)求点的坐标，并证明平行四边形为矩形； (2)求边所在的直线方程及的内角平分线所在的直线方程. 【答案】(1)； 证明见解析； (2)； 【分析】（1）利用平行四边形对边为相等向量求出点的坐标，再有斜率之积证明垂直； （2）先根据两点求出方程，再求出的角平分线所在直线的斜率，最后由点斜式写出直线方程. 【详解】（1）如图所示，    因为四边形是平行四边形，所以， 设，则，解得，所以， 又因为，所以，所以， 所以四边形是矩形； （2），所以直线， 即 ； 设的角平分线与轴交于点，求得， 所以，又为角平分线，所以， 所以倾斜角， 所以斜率， 所以直线，即. 9．（多选）（23-24高二上·湖南常德·期中）直线，的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】BC 【分析】分析两直线的斜率以及在轴上的截距，可得出、的符号，即可得出合适的选项. 【详解】直线的斜率为，该直线在轴上的截距为， 直线的斜率为，该直线在轴上的截距为， 对于A选项，由直线的图象可得，由直线的图象可得，即，A不满足条件； 对于B选项，由直线的图象可得，由直线的图象可得，即，B满足条件； 对于C选项，由直线的图象可得，由直线的图象可得，即，C满足条件； 对于D选项，由直线的图象可得，由直线的图象可得，即，D不满足条件. 故选：BC. 10．（23-24高二上·北京大兴·期中）已知中，点，点，点． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求角平分线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线的垂直关系求出边上的高所在直线的斜率，进而得出答案； （2）由得，所以角平分线的倾斜角为，求出的斜率，进而可得出答案． 【详解】（1）因为点，点，所以边所在直线斜率， 所以边上的高所在直线的斜率，且过点． 所以边上的高所在直线的方程为． （2）由得，所以角平分线的倾斜角为， 所以角平分线所在直线的斜率． 又因为角平分线过点， 所以角平分线所在直线的方程为．    11．（22-23高二上·广东东莞·阶段练习）已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． (1)试判断四边形的形状，并给出证明； (2)求平分线所在直线的方程． 【答案】(1)直角梯形；证明见解析； (2)． 【分析】（1）利用，，得出四边形一组对边平行，另一组对边不平行，从而判断四边形是平行四边形，再根据，得出一组邻边互相垂直，进而证出四边形是直角梯形； （2）利用到角公式，代入斜率即可求出角平分线所在直线的斜率，再根据点斜式，求出角平分线所在直线方程． 【详解】（1）由已知可判断四边形是直角梯形， 证明如下：因为，，，． 由斜率公式得，，，， 所以，，即且不平行， 所以四边形是梯形， 又因为，所以， 综上，四边形是直角梯形； （2）根据题意，设的内角平分线所在直线的斜率为k， 则有，即， 整理得，，解得或， 又由的内角平分线所在直线的斜率k应在、的斜率之间， 所以， 则的平分线所在的直线方程为， 即． 12．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知点，，是的三个顶点． (1)求三边的中点及、边的中线； (2)求边的上高所在直线. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用中点坐标公式可求出三边的中点坐标，然后再分别求出边、边上中线斜率，利用直线点斜式求出中线方程； （2）先求出边的斜率从而求解出其高所在直线的斜率，再用直线的点斜式求出高所在直线方程. 【详解】（1）由题知：，，，设三边上的中点分别为：， 所以：边上中点：，边上的中点：， 边上的中点：， 所以：边中线为：； 所以：边的中线斜率为：，得边的中线方程为：，即：. （2）由题知：边的斜率为：，所以：边上的高所在直线的斜率为：， 又因为高所在直线过点，所以：上的高所在直线方程为：，即：. 13．（23-24高二上·广东广州·期中）已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段有交点，结合图形可得直线斜率的范围，利用直线的斜率公式即可求解. 【详解】由，得， 所以直线l的方程恒过定点，斜率为. 因为，， 所以，. 由题意可知，作出图形如图所示， 由图象可知，或， 所以实数m的取值范围为. 故选：B. 14．（24-25高二上·吉林·阶段练习）直线经过点，且它的一个方向向量为，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据点斜式求直线方程. 【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为， 直线的方程为，即， 故答案为：. 15．（23-24高二上·河南郑州·阶段练习）已知直线与曲线相交，交点依次为，若，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，探讨函数的对称性求出点坐标，再怀线段长建立方程组，借助函数单调性及奇偶性求出点即可得解. 【详解】令，由， 得曲线关于点对称，且在上单调递增， 由直线与曲线依次交于点，，得点， 由消去y得，即， 令，则， 则函数为偶函数，又函数在上单调递增， ，有，则， 即函数在上单调递增，而在上单调递增，则在上单调递增， 而，于是的解为或，则点， 所以直线的方程为，即. 故选：A 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， (1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. (2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 二、题型二：直线的两点式方程 16．（23-24高二上·重庆沙坪坝·阶段练习）过点作直线，若经过点和，且均为正整数，则这样的直线可以作出（    ）， A．条 B．条 C．条 D．无数条 【答案】B 【分析】假设直线截距式方程，代入已知点坐标可得之间关系，根据为正整数可分析得到结果. 【详解】均为正整数，可设直线， 将代入直线方程得：， 当时，，方程无解，， ，，，或， 或，即满足题意的直线方程有条. 故选：B. 17．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）直线经过点，在轴上的截距为，在轴上的截距为，且满足，则直线的斜率为（    ） A．2 B． C． D．或 【答案】C 【分析】由题意设直线的方程为，列出关于的方程组，求解即可. 【详解】由题意设直线的方程为，则①， 又，∴②， 由①②解得，或，， 又由知，则，， 则直线的斜率为． 故选：C． 18．（23-24高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知直线经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意首先确定，的范围，然后逐一考查所给命题的真假即可. 【详解】已知直线经过第一、二、三象限，则直线在轴上的截距，在轴上的截距， 由直线的斜率小于1，可知，结合可得， 对于A，由绝对值的性质可知，故选项A错误， 对于B，由幂函数的单调性可知，故选项B错误， 对于C，由不等式的性质，可得，，则，故选项C错误， 对于D，，，则，故选项D正确. 故选：D 19．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由题意可设直线的方程为：，则满足关系式，化简得，对进行分类讨论即可求解. 【详解】由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线：，， 又点在直线上，所以，， 又三角形的面积为16，所以，， 所以，整理得； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 综上所述：满足题意的直线为：，共有4条. 故选：D. 20．（23-24高二上·天津南开·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故C项正确. 故选：C. 21．（24-25高二上·湖南岳阳·开学考试）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故D项正确. 故选：D 22．（23-24高二上·河南濮阳·阶段练习）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，，，若直线：与的欧拉线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据三角形顶点坐标得出重心与外心, 求出三角形欧拉线,根据直线平行得解. 【详解】由的顶点,知, 的重心为，即, 因为,所以三角形为直角三角形, 所以外心为斜边中点, 即, 所以可得的欧拉线方程,即, 因为与平行, 所以,解得. 故选：C.    23．（多选）（23-24高二上·四川宜宾·阶段练习）下列说法中错误的是（   ） A．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线 B．与是直线的截距式方程 C．直线方程的斜截式都可以化为截距式 D．在轴、轴上的截距分别是2、的直线方程为 【答案】ABC 【分析】利用直线方程的截距式、斜截式运算分析即可得解.. 【详解】解：对于选项A，直线方程的截距式为，其中， 不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线，故A错误； 对于选项B，直线方程的截距式为，其中， 而与不是直线的截距式方程，故B错误； 对于选项C，直线方程的斜截式包含在轴上的截距为0的情况， 而此类不能化为截距式，比如，故C错误； 对于选项D，直线方程的截距式为，其中， 、是直线在轴、轴上的截距， 所以在轴、轴上的截距分别是2、的直线方程为，故D正确. 故选：ABC. 24．（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）某公园的示意图为如图所示的六边形，其中，，，，且，米，米．若计划在该公园内建一个有一条边在上的矩形娱乐健身区域，则该娱乐健身区域面积（单位：平方米）的最大值为 ．    【答案】 【分析】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用直线方程得出，，再由面积公式结合二次函数的性质求解. 【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，娱乐健身区域为矩形．    由题可知，直线的方程为，直线的方程为． 设，其中，则，， 则，， 四边形的面积． 当时，取得最大值． 故答案为： 25．（23-24高二上·广东广州·期末）已知直线过点且与x轴、y轴分别交于两点，O为坐标原点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先表示出直线的截距式，利用直线过点，得到，借助基本不等式，即可求得最小值. 【详解】直线与与x轴、y轴分别交于， 可设直线的截距式，直线过点，，且， ， 当且仅当，即时，取得最小值. 故答案为：. 26．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． (1)在轴、轴上的截距互为相反数； (2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）分直线过原点和不过原点两种情况求直线方程； （2）写出直线的截距式方程，代入点得，利用不等式即可求解取最值时的，． 【详解】（1）①当直线经过原点时，在轴、轴上的截距互为相反数都等于0，此时直线的方程为， ②当直线不经过原点时，设直线的方程为 在直线上，，，即． 综上所述直线的方程为或 （2）由题意可知直线与两坐标轴均交于正半轴，故设直线方程为，将代入可得， 故，故，当且仅当，即时等号成立， 故此时面积最小为, 故直线方程为，即 27．（23-24高二上·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分直线过原点和不过原点，利用截距式直线方程解题即可； （2）利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可. 【详解】（1）根据题意：直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 当直线不过原点时，设直线为， 将代入可得， 所以直线的方程为； 当直线过原点时，直线的斜率为， 所以直线的方程为即． 综上，直线的方程为或； （2）设直线的方程为， 所以，， 所以， 当且仅当时，，（舍）， 所以直线的方程为即． 28．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点. (1)当时，求直线的方程； (2)当的面积为时，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）设直线的截距式为，由题意列出方程组，求出截距即可得解； （2）利用截距表示出三角形面积，再联立方程求出截距，即可得解. 【详解】（1）设直线的方程为，且 由，得，由直线过点，得，解得， 所以直线的方程为. （2）设直线的方程为，且直线不经过原点， 由题意知，，，解得或， 所以直线的方程为或. 29．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的斜率为2． (1)求； (2)若直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据直线过点，再由斜率公式计算即可； （2）根据直线，设直线方程为，再计算直线与轴的交点坐标，然后根据面积求解即可. 【详解】（1）易知直线过点， 则直线的斜率为， 解得． （2）由题可知直线的斜率为2， 故设直线的方程为． 易知直线与轴的交点坐标分别为，， 则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为， 解得． 所以直线的方程为或． 30．（23-24高二上·山西·开学考试）已知的三个顶点分别为，，. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得直线的斜率，利用点斜式求得边上的高所在直线的方程. （2）先求得点坐标，再根据两点式求得边上的中线所在直线的方程. 【详解】（1），所以直线的斜率为， 所以直线的方程为 （2）线段的中点， 所以直线所在直线方程为.    三、题型三：直线的一般式方程及辨析 31．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知直线方程为，则其倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线方程可得斜率，根据斜率与倾斜角的关系即可求倾斜角大小. 【详解】由题知直线斜率为，若直线的倾斜角为，则， ∵，∴， 故选：D． 32．（多选）（2025·浙江·模拟预测）已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，且AC：，则直线AB的方程可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由正方形的特征可知，直线与直线夹角为，由直线斜率利用两角差的正切公式求出直线的斜率，对照选项即可判断. 【详解】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 直线斜率为2，有，则. 依题意有或， 当时，，即， 解得，即直线的斜率为-3，C选项中的直线斜率符合； 当时，，即， 解得，即直线的斜率为，B选项中的直线斜率符合. 故选：BC 33．（2024高二上·江苏·专题练习）过坐标原点作直线：的垂线，垂足为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，将表示成的函数，求出函数的值域即可. 【详解】依题意，，直线的方向向量，则有， 解得， 因此， 因当时，取最小值， 则有， 所以的取值范围是. 故答案为： 34．（24-25高二上·上海·课后作业）设直线l的方程为． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)是否存在实数a，使直线l不经过第二象限？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或． (2)存在，． 【分析】（1）确定，再分别求出直线在轴上的截距，列出方程求解即得. （2）化直线方程为点斜式，由直线不过第二象限，列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）当时，直线平行于轴，在轴上无截距，不合题意， 则，直线在轴上的截距分别为， 依题意，，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 所以直线的方程为或． （2）假设存在实数，使直线不经过第二象限， 而直线的方程化为， 则有，解得， 所以存在实数使直线不经过第二象限，的取值范围为． 35．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）设直线l的方程为． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； (2)若，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，求△OMN面积取最值时，直线l的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，求出在两个坐标轴上的截距，求出，表达出来直线方程；（2）由（1）和，利用△OMN面积取最值，求出的值，表达直线方程. 【详解】（1）由，令，令， 由直线方程在两坐标轴上的截距相等，则，解得或， 故直线方程：或 （2）由（1）可知，， 当且仅当，即取等号. 即直线方程：. 四、题型四：直线一般式方程与其他形式之间的转换 36．（23-24高二下·湖南常德·开学考试）已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则l的方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案. 【详解】设，直线过和， 当时，直线、直线与轴围成的三角形是不是等腰三角形.所以直线的斜率存在. 设关于轴的对称点为， 当直线过两点时，，三角形是等腰三角形， 同时由于直线的斜率为，倾斜角为，所以三角形是等边三角形， 所以，此时直线的方程为，即， 设直线与轴相交于点，如图所示，若， 则，所以直线，也即直线的斜率为， 对应方程为，即， 综上直线方程为或， 故选：D 37．（多选）（24-25高二上·山西晋中·阶段练习）直线l过点，倾斜角为，且，则直线l经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由二倍角的正切公式求斜率，再由点斜式得到直线的方程，代入点的坐标验证可得. 【详解】因为，所以， 则直线l斜率为，又直线l过点， 所以直线l方程为，即. 对方程， 令，得，故A正确； 令，得，故B正确； 令，得，故C正确； 将点代入方程左式得，故D错误. 故选：ABC. 38．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为 【答案】或 【分析】根据两坐标轴上的截距之和为零，先设直线方程，再根据点在线上求参即可得出直线方程. 【详解】因为直线在两坐标轴上的截距之和为零 所以设直线方程为或, 再因为直线过点可得， ,可得. 所以直线方程为或. 故答案为：或. 39．（24-25高二上·山东临沂·阶段练习）过点与轴、轴正半轴围成的三角形面积最小时的直线一般式方程为 ． 【答案】 【分析】可设直线方程为，由题意得到，再利用基本不等式得到，进而求出，从而得出结果. 【详解】由题可设直线方程为，又直线过点， 得到，又三角形面积为， 又，得到，当且仅当，即时取等号， 又，得到，所以直线方程为，即， 故答案为：. 40．（24-25高二上·上海·课堂例题）下列关于直线方程的说法正确的是 .①直线的倾斜角可以是；②直线l过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为；③过点的直线的直线方程还可以写成；④经过，两点的直线方程可以表示为. 【答案】①③ 【分析】当可知直线倾斜角为，知①正确；分别讨论直线过坐标原点和不过坐标原点两种情况，可知②错误；根据和可整理得到③正确；当或时，两点式方程无法应用，知④错误. 【详解】对于①，当时，直线方程为：，此时直线倾斜角为，①正确； 对于②，当直线过坐标原点时，，此时其在两坐标轴上的截距相等； 当直线不过坐标原点时，设，则，； 综上所述：过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为：或，②错误； 对于③，在直线上，， 则，，③正确； 对于④，若或，则过两点的直线无法表示为，④错误. 故答案为：①③. 五、题型五：由一般式方程判断直线的平行与垂直 41．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）若直线与平行，则 （    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行可得，解得或，检验均符合题意，得到结果. 【详解】直线与平行,所以,即，解得或， 当时，直线为；为，两直线不重合. 当时，直线为；为，两直线不重合. 所以或. 故选：C 42．（21-22高二上·辽宁·期中）直线：与直线：（实数a为参数）的位置关系是（    ） A．与相交 B．与平行 C．与重合 D．与的位置关系与a的取值有关 【答案】B 【分析】根据直线平行的充要条件判定即可. 【详解】由：， 可得， 因为且， 所以与平行 故选：B 43．（23-24高二上·浙江·期中）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（     ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】先确定两直线所过的定点、的坐标，然后根据两直线的位置关系可判断它们垂直，结合基本不等式求解即可. 【详解】依题意，直线过定点，直线可整理为，故直线过定点， 又因为直线和直线始终垂直，为两直线交点， 所以， 则， 由基本不等式可得， 当且仅当时取等号，所以的最大值是. 故选：A. 44．（22-23高二上·福建三明·阶段练习）已知,若过定点的动直线:和过定点的动直线:交于点(与,不重合),则的最大值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】首先确定定点和定点的坐标,再判定两条直线是垂直关系,从而得到为定值,利用三角函数求解最值即可. 【详解】根据题意: 动直线:过定点, 动直线:过定点, , 直线:和直线:满足:, , 直线与直线交于点, , , 为直角三角形,且, 设,则,, , , , 当即时,的最大值为. 故选:C. 45．（多选）（22-23高二上·广东佛山·期中）已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（    ） A．的倾斜角等于 B．在轴上的截距等于 C．与直线垂直 D．与直线平行 【答案】CD 【分析】 根据题意求出直线的方程，然后逐个分析判断即可. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率为， 因为直线经过点， 所以直线的方程为，即 对于A，设直线的倾斜角为，则， 因为，所以，所以A错误， 对于B，当时，，得， 所以直线在轴上的截距等于，所以B错误， 对于C，因为直线的斜率为，且， 所以直线与直线垂直，所以C正确， 对于D，因为直线的斜率为，且在轴上的截距为， 而直线的斜率为，且在轴上的截距为， 所以直线与直线平行，所以D正确， 故选：CD 46．（多选）（22-23高二上·湖南株洲·期末）已知直线：，则下列结论正确的是（    ） A．直线在两坐标轴上的截距均为1 B．向量是直线的一个法向量 C．过点与直线平行的直线方程为 D．若直线m：，则 【答案】BCD 【分析】根据直线截距的概念判断A即可；根据直线方向向量与法向量的关系判断B即可；根据直线与直线的位置关系求解方程求解直线方程即可判断C；根据一般式两直线垂直的充要条件判断D即可. 【详解】解：对于A，令，则，令，则，直线在两坐标轴上的截距均为，故A错误； 对于B，因为直线的方向向量为或，则，所以向量是直线的一个法向量；故B正确. 对于C，设与直线平行的直线方程为（），因为直线过，所以，所以过点与直线平行的直线方程为，故C正确. 对于D，直线：的斜率为1，直线的斜率为，斜率，所以两直线垂直，故D正确. 故选：BCD. 47．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）在平面直角坐标系中，设，为不同的两点，直线l的方程为，设，其中a，b，c均为实数，下列四个说法中： ①存在实数δ，使点N在直线l上； ②若，则过M，N两点的直线与直线l重合； ③若，则直线l经过线段的中点； 所有结论正确的说法的序号是 . 【答案】③ 【分析】根据题意对一一分析，逐一验证即可． 【详解】对于①，化为：， 即点不在直线上，因此①不正确； 对于②，，则， 即过两点的直线与直线的斜率相等， 又点不在直线上，因此两条直线平行，故②错误； 对于③，，则， 化为， 因此直线经过线段的中点，故③正确. 故答案为：③. 【点睛】结论点睛：利用一般式方程判定直线的平行与垂直： 已知直线和直线. （1）且； （2）. 48．（23-24高二上·四川达州·阶段练习）直线与直线相交于点，对任意实数，直线分别恒过定点，则的最大值为 【答案】4 【分析】根据直线恒过定点的求法求出两直线恒过的定点，即的坐标，根据直线的方程计算得出两直线垂直，即，即可得出，即可根据基本不等式得出答案. 【详解】直线化为， 当，得，即直线恒过点，即点， 直线化为， 当，得，即直线恒过点，即点， 且两条直线满足, ,即， , ,当且仅当时，等号成立， 的最大值为4. 故答案为：4. 49．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）设，则直线与围成的三角形的面积的最大值为 ． 【答案】2 【分析】由直线方程确定直线，且直线过定点，直线过定点，定点都在直线上，这样设直线交于，得出三条直线围成直角，利用基本不等式可得的最大值，从而得三角形面积最大值． 【详解】由题知直线，且直线过定点，直线过定点，点在直线上． 设直线交于，则三条直线围成的三角形为，且， 所以． 因为， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以，所以． 故答案为：2. 50．（22-23高二上·湖南邵阳·期中）已知直线;直线. (1)若，求实数的值; (2)若，且它们之间的距离为，求直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由，得到，即可求解； （2）由，求得，再结合两平行线间的距离公式，求得的值即可求解. 【详解】（1）由题意，直线，， 因为，可得，解得. （2）由直线，， 因为，可得，可得， 此时直线， 又由间的距离为， 根据两平行线间的距离公式，可得，解得或. 所以直线的斜截式方程为或. 六、题型六：由两条直线平行/垂直求方程 51．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）集合，集合，从A，B中各任意取一个数相加为，则直线与直线平行的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据直线平行，求的值，再利用古典概型概率公式，即可求解. 【详解】从A，B中各任意取一个数相加，有种情况， 当直线，则，则， 当时，从中取一个数相加为的有，2种情况， 当时，从中取一个数相加为的有，2种情况， 所以满足条件的有4种情况， 所以满足条件的概率. 故选：B 52．（23-24高二上·广东江门·期末）过点与平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与平行设出直线方程，根据过点即可求解. 【详解】设直线方程为，因为直线过点， 所以，所以直线方程为. 故选C. 53．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）已知中有，，且，则边上的中线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求得的中点坐标，再求出与垂直的直线的斜率，由直线方程的点斜式得答案． 【详解】由，可知边上的中线即为边的垂直平分线， 由，，可得边的中点为，又， 所以边上的中线所在直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线方程为，即. 故选：D. 54．（多选）（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知直线，下列选项正确的是（    ） A．过点且垂直于直线的直线方程为 B．直线过定点 C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】利用垂直关系求出直线方程判断A；求出直线所过的定点判断B；求出直线斜率判断垂直或平行判断CD. 【详解】对于A，设垂直于直线的直线方程为， 将点代入得，因此所求直线方程为，A正确； 对于B，直线的方程化为：， 由，得，因此直线过定点，B错误； 对于C，当时，直线的斜率为，而直线的斜率为，，与不垂直，C错误； 对于D，当时，直线的斜率为，等于直线的斜率，又直线在上的截距分别为，因此，D正确. 故选：AD 55．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线与直线的交点为． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出交点，后依据垂直求出所求直线的斜率，再求方程即可. （2）结合求出的交点，后依据平行求出所求直线的斜率，再求方程即可. 【详解】（1）联立方程与，解得，，故， 而的斜率为，故所求直线斜率为， 则所求直线方程为，化简得. （2）易知的斜率为，故所求直线斜率为， 则所求直线方程为，化简得. 56．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知的三个顶点是，，. (1)求BC边上的高所在直线的方程； (2)若直线过点C，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出直线BC的斜率，则可求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线的方程； （2）由题意分直线与AB平行和直线通过AB的中点两种情况求解. 【详解】（1）因为，所以BC边上的高所在直线的斜率为， 所以BC边上的高所在直线的方程， 即. （2）因为点A, B到直线的距离相等，所以直线与AB平行或通过AB的中点， ①当直线与AB平行， 因为，且过点C， 所以方程为，即. ②当直线通过AB的中点， 所以， 所以的方程为，即. 综上：直线的方程为或. 57．（23-24高二上·陕西西安·期中）（1）已知向量，．若，求实数，的值． （2）直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程． （3）求过两条直线和的交点，且与平行的直线方程． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据向量平行列方程，从而求得. （2）根据直线垂直求得直线的斜率，进而求得直线的方程. （3）先求得直线和的交点，然后利用待定系数法求得正确答案. 【详解】（1）由于，所以，解得. （2）直线的斜率为， 所以直线的方程为. （3）由解得， 设所求直线方程为，代入得， 故所求直线方程为. 58．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知直线：（，均为不等于0的实常数），直线：. (1)若，求的值； (2)若当时，过定点，为原点，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按题意列方程即可. （2）由“ 过定点”列方程即可求解. 【详解】（1）由有 解得 （2）时 按整理得 令得，故 的斜率，故 解得 59．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）（1）已知点，求线段的垂直平分线的方程； （2）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）利用中点坐标公式求的中点坐标，利用斜率公式求的斜率，再求的垂直平分线的斜率，利用点斜式可得结论； （2）分别在所求直线过原点时和不过原点条件下，求直线的斜率，利用点斜式求直线方程. 【详解】（1）因为， 所以线段的中点为， 所以直线的垂直平分线的斜率为， 故线段的垂直平分线的方程为，即. （2）①当直线过原点时，所求直线在两坐标轴上的截距相等，其斜率为， 故所求直线方程为，即； ②当直线不过原点时， 由改直线过点，且在两坐标轴上的截距相等可得改直线的斜率为， 所求直线方程为：，即， 由①②知所求直线方程为或. 60．（23-24高二下·上海·期中）已知点，． (1)设，若直线与直线垂直，求的值； (2)求过点且与直线夹角的余弦值为的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线垂直即可求解； （2）先对用正弦定理，得到的正弦值，对用正弦定理，得到，设出交点求解二次方程即可求解. 【详解】（1）直线的斜率为，因为直线与直线垂直， 所以，所以； （2） 如图点为过点且与直线夹角的余弦值为的直线与直线的交点， 点为直线与轴的交点，点为直线与直线的交点， 点为过点作轴的垂线交直线的交点，，， 设夹角为，因为，所以， 因为，， 所以在中，，所以， 因为，所以在中，， 所以，所以，易知， 设交点坐标为，所以， 所以或，所以交点坐标为或， 所以直线方程为或， 即或. 七、题型七：直线过定点 61．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】由题意可知，先求出动直线经过定点，再结合垂直条件应用基本不等式求出面积的最大值. 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 过定点A的直线与过定点B的直线始终垂直，P又是两条直线的交点， 有， 故,当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为 故选: 62．（2024高二上·江苏·专题练习）已知直线，若直线l不经过第三象限，则k的最大值是 . 【答案】0 【分析】根据题意求出直线过定点，数形结合得解. 【详解】直线的方程可化为， 令，所以， 所以直线过定点，所以， 由直线可得：， 若不经过第三象限，则. 所以的最大值为. 故答案为：0.    63．（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）设直线l的方程为 (1)求证：无论a为何值，直线l必过一定点P； (2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于A，B，当面积最小时，求的周长； (3)当直线l在两坐标轴上的截距均为整数且斜率为正值时，求直线l的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，，，， 【分析】（1）变形方程为，依题意列出方程组，解出即可； （2）求得轴截距后，表示出的面积，利用基本不等式求得最值，进一步计算即可； （3）根据截距为整数且斜率为正值，求得的值，即可得到所求直线方程. 【详解】（1）由得， 令，解得， 所以不论为何值，直线必过一定点. （2）由， 令，得， 令，得， 由，解得， ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，， 所以得周长为. （3）直线在两坐标轴上的截距均为整数，即，均为整数， 所以，均为整数，又斜率为正值即，即， ， 所以直线的方程为，，，. 64．（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知一条动直线， (1)求直线恒过的定点的坐标； (2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围； (3)若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将直线整理成直线系方程，求出定点坐标即可； （2）由直线不经过第二象限，分类整合求出m的取值范围即可. （3）由题意设出直线的截距式方程，代入定点，解出方程再化成一般式即可. 【详解】（1）由题意， 整理得，所以不管取何值时， 直线恒过定点的坐标满足方程组，解得， 即 （2）由上问可知直线恒过定点，当，直线斜率不存在时， 此时直线是，显然满足题意； 当时，由直线不经过第二象限，直线与轴有交点时， 则纵截距小于或等于零即可，令，则， 即 ，解得； 综上所述： （3）设直线方程为，则， 由直线恒过定点，得， 由整理得：， 解得或， 所以直线方程为：或， 即或. 65．（23-24高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知直线过定点． (1)求点的坐标； (2)若直线在轴和轴上的截距相等，求的值． 【答案】(1) (2)或2 【分析】（1）利用直线求定点的方法直接列方程求解即可. （2）首先得出，然后根据截距相等列方程求解即可. 【详解】（1）直线， 则， 定点. （2）由直线在轴和轴上的截距相等，显然不为0（否则直线在坐标轴上的截距不相等，与题意矛盾）， 令，可得， 令，可得， 由直线在轴和轴上的截距相等，有，解得或2， 故或2． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$