专题11 直线的倾斜角与斜率（九大题型，50题）-【尖子生培优】2024-2025学年高二年级数学上学期重难点压轴题突破专练（人教A版选修一）

专题11 直线的倾斜角与斜率（九大题型，50题） 目录 题型一：直线斜率的定义 1 题型二：斜率与倾斜角的变化关系 2 题型三：已知两点求斜率 3 题型四：斜率公式的应用 4 题型五：直线与线段的相交关系求斜率范围 5 题型六：由斜率判断两条直线平行或垂直 5 题型七：已知直线平行求参数 6 题型八：已知直线垂直求参数 7 题型九：直线平行、垂直的判定在几何中的应用 8 一、题型一：直线斜率的定义 1．（23-24高二上·山西运城·期中）已知直线的倾斜角为，方向向量，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线与轴的夹角为，则直线的斜率为（ ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）已知函数若存在唯一的整数，使得成立，则所有满足条件的整数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（2023·广东·二模）在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为，则正方形ABCD四边所在直线中过点的直线的斜率可以是（    ） A．2 B． C． D． 5．（2023·广东深圳·二模）足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点处（，）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择.若选择线路，则甲带球 码时，到达最佳射门位置；若选择线路，则甲带球 码时，到达最佳射门位置. 二、题型二：斜率与倾斜角的变化关系 6．（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）设直线l的直线方程为，则直线l的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·上海·随堂练习）若直线在y轴上的截距为-1，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（    ） A．， B．， C．， D．， 9．（23-24高二上·安徽宿州·期中）已知直线，则直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）已知直线l经过，两点，直线l的斜率是直线m的斜率的三倍，则直线m的倾斜角是 ． 三、题型三：已知两点求斜率 11．（24-25高二上·上海·课堂例题）点在函数的图象上，当时，可能等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．0 12．（23-24高二上·江苏泰州·期末）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图，一座斜拉桥共有10对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为4m，拉索下端相邻两个锚的间距、均为16m，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 13．（多选）（23-24高二上·陕西安康·期末）已知直线过点且与线段的延长线有公共点，若，，则直线的斜率的取值可以是（    ） A． B．0 C． D． 14．（24-25高二上·山西晋中·开学考试）过两点的直线l的倾斜角为，求的值为 ． 15．（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）现有一组互不相同且从小到大排列的数据：，其中．为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记，作函数，使其图像为逐点依次连接点的折线． (1)求和的值； (2)设的斜率为，判断的大小关系； (3)证明：当时，； 四、题型四：斜率公式的应用 16．（22-23高一上·江苏南通·阶段练习）已知函数，若满足的整数解恰有3个，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 17．（22-23高二上·河南南阳·阶段练习）已知，，，直线l过点B，且与线段AP相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D．或 18．（23-24高二上·浙江宁波·期中）如图，为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上，并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于.经测量，点位于点正北方向处，点位于点正东方向处（为河岸），，则新桥的长度为 .    19．（23-24高二上·黑龙江大庆·阶段练习）若正方形的一条对角线所在直线的斜率为3，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率之和为 20．（22-23高二上·河南·阶段练习）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 五、题型五：直线与线段的相交关系求斜率范围 21．（23-24高二上·河南开封·期中）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 23．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知点、、，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是 . 24．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知实数满足，则的取值范围为 . 25．（23-24高二上·湖北武汉·期中）设点、，若直线过点且与线段不相交，则直线的斜率的取值范围是 ． 26．（23-24高二上·上海杨浦·期中）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是 .    六、题型六：由斜率判断两条直线平行或垂直 27．（2024·河南新乡·三模）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 28．（23-24高二上·河南·期中）“”是“直线和直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 29．（多选）（23-24高二上·湖北宜昌·期中）已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（    ） A．的倾斜角等于 B．在轴上的截距等于 C．与直线垂直 D．与直线平行 30．（24-25高二上·山西晋中·开学考试）判断下列各对直线是否平行或垂直： (1)经过两点的直线，与经过且斜率为1的直线； (2)经过两点的直线，与经过点且斜率为的直线． (3)试确定的值，使过两点的直线与过两点的直线： (I)平行； (II)垂直． 31．（23-24高二上·全国·课后作业）已知四边形的顶点为，求证：四边形为正方形． 七、题型七：已知直线平行求参数 32．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线与直线平行，则m的值为（    ） A．4 B．9 C． D． 33．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知直线与直线平行，则实数的所有取值之和为（    ） A．-2 B． C．1 D．2 34．（23-24高二下·湖北·阶段练习）直线：与直线：平行，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要 35．（23-24高二上·山西忻州·期末）已知直线，直线.若，则（    ） A．4 B．-2 C．4或-2 D．3 36．（23-24高二上·四川雅安·期中）已知都是正数，且直线与直线平行，则的最小值为 ． 八、题型八：已知直线垂直求参数 37．（23-24高二上·湖南·期中）设直线，,若，则可以为（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高二上·浙江·期中）已知直线：，则下列选项错误的是（    ） A．当直线与直线平行时， B．当直线与直线垂直时， C．当实数变化时，直线恒过点 D．原点到直线的距离最大值为 39．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）“”是“直线与直线垂直”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 40．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知直线与垂直，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 41．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知，都是正实数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．25 42．（多选）（23-24高二上·山东日照·期中）设a为非零实数，直线，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．恒过点 D．当时，不经过第一象限 43．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）（1）若直线与直线平行，求的值； （2）若直线与直线垂直，求的值. 九、题型九：直线平行、垂直的判定在几何中的应用 44．（22-23高二上·青海海东·期中）已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 45．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 46．（22-23高二上·北京昌平·期中）已知直线，则下列结论正确的个数是（    ） ①直线的截距为             ②向量是直线的一个法向量 ③过点与直线平行的直线方程为 ④若直线，则 A． B． C． D． 47．（22-23高二上·浙江·阶段练习）已知正数满足，则 . 48．（22-23高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    49．（24-25高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 50．（23-24高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 直线的倾斜角与斜率（九大题型，50题） 目录 题型一：直线斜率的定义 1 题型二：斜率与倾斜角的变化关系 6 题型三：已知两点求斜率 9 题型四：斜率公式的应用 14 题型五：直线与线段的相交关系求斜率范围 18 题型六：由斜率判断两条直线平行或垂直 22 题型七：已知直线平行求参数 26 题型八：已知直线垂直求参数 28 题型九：直线平行、垂直的判定在几何中的应用 31 一、题型一：直线斜率的定义 1．（23-24高二上·山西运城·期中）已知直线的倾斜角为，方向向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的斜率建立方程求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率，故. 故选：B. 2．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线与轴的夹角为，则直线的斜率为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分直线与轴正方向和负方向的夹角为两种情况讨论，从而确定直线的倾斜角，然后确定斜率. 【详解】①当直线与轴正方向的夹角为时，此时倾斜角为，斜率为； ②当直线与轴负方向的夹角为时，此时倾斜角为，斜率为. 综上，直线的斜率为或. 故选：C. 3．（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）已知函数若存在唯一的整数，使得成立，则所有满足条件的整数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出的图象，由不等式的几何意义：曲线上一点与连线的直线斜率小于0，结合图象即可求得范围. 【详解】令作出的图象如图所示：等价于，表示点与点所在直线的斜率， 可得曲线上只有一个整数点与所在的直线斜率小于0， 而点在直线上运动， 由, 可知当时， 只有点满足，当时， 只有点满足， 当时，至少有，满足， 不满足唯一整数点，故舍去， 当时，至少有，满足， 不满足唯一整数点，故舍去，因为为整数，故可取. 故选：B    4．（多选）（2023·广东·二模）在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为，则正方形ABCD四边所在直线中过点的直线的斜率可以是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】假设所在的直线过点，分类讨论所在的直线所过的点，结合图象分析运算. 【详解】因为选项斜率均为正值，不妨假设所在的直线过点， 设直线的倾斜角为，斜率为， ①若所在的直线过点，如图，可得， 因为，即，则； ②若所在的直线过点，如图，可得， 因为，即，则； ③若所在的直线过点，如图，可得， 因为，即，则； 综上所述：的可能值为. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：假设所在的直线过点，分类讨论所在的直线所过的点，数形结合处理问题. 5．（2023·广东深圳·二模）足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点处（，）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择.若选择线路，则甲带球 码时，到达最佳射门位置；若选择线路，则甲带球 码时，到达最佳射门位置. 【答案】 【分析】若选择线路，设，利用两角差的正切公式可得出关于的表达式，利用基本不等式可求得的值及的长；若选择线路，若选择线路，以线段的中点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系，利用斜率公式、两角差的正切公式以及基本不等式可求得结果. 【详解】若选择线路，设，其中，，， 则，， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立，此时， 所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置； 若选择线路，以线段的中点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，， 直线的方程为，设点，其中， ，， 所以， ， 令，则， 所以， ， 当且仅当时，即当，即当时，等号成立， 所以，， 当且仅当时，等号成立， 此时，， 所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置. 故答案为：；. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 二、题型二：斜率与倾斜角的变化关系 6．（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）设直线l的直线方程为，则直线l的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，分和两种情况讨论，再结合的图像，即可求出结果. 【详解】当时，直线的倾斜角为， 当时，由得到， 又易知，所以，即， 由的图像可知，， 综上， 故选：C. 7．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线倾斜角与斜率的变化关系，可得答案. 【详解】设直线l的倾斜角为α，则．因为，且， 所以． 故选：D 8．（24-25高二上·上海·随堂练习）若直线在y轴上的截距为-1，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】则，求出的值，再设直线的倾斜角为 ，则， 求出，即可求解． 【详解】解：，则，得， 得， 设直线的倾斜角为 ，则， 得， 得，得， 故选：D 9．（23-24高二上·安徽宿州·期中）已知直线，则直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出函数图形，通过直线斜率与倾斜角、直线倾斜角与直线夹角之间的关系以及三角恒等变换即可求解. 【详解】如图所示： 直线的倾斜角分别为， 即， 从而， 所以， 所以， 而，所以直线的夹角即为. 故选：B. 10．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）已知直线l经过，两点，直线l的斜率是直线m的斜率的三倍，则直线m的倾斜角是 ． 【答案】/ 【分析】根据直线斜率的求法及斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】由直线l经过，两点， 则直线的斜率， 所以直线的斜率， 由，所以. 故答案为： 三、题型三：已知两点求斜率 11．（24-25高二上·上海·课堂例题）点在函数的图象上，当时，可能等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．0 【答案】C 【分析】先画出指数函数图象再结合斜率公式数形结合得出范围. 【详解】表示点与点所成直线的斜率k， 又是在部分图象上的动点， 如图，当接近时， 当为时，，则，只有C满足. 故选：C. 12．（23-24高二上·江苏泰州·期末）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图，一座斜拉桥共有10对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为4m，拉索下端相邻两个锚的间距、均为16m，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，计算即可得答案. 【详解】， ， 故， 则， 故选：D. 13．（多选）（23-24高二上·陕西安康·期末）已知直线过点且与线段的延长线有公共点，若，，则直线的斜率的取值可以是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】ABC 【分析】先作出直线与线段的延长线，再结合图像观察即可得解. 【详解】由图像可知：要使直线与线段的延长线有公共点， 则， 又， 则直线的斜率的取值范围是. 故选：ABC. 14．（24-25高二上·山西晋中·开学考试）过两点的直线l的倾斜角为，求的值为 ． 【答案】. 【分析】根据倾斜角计算出直线的斜率，再根据坐标形式下斜率的计算公式求解出的值. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又，整理得， 解得或， 当时，，不符合， 当时，，符合， 综上：. 故答案为: 15．（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）现有一组互不相同且从小到大排列的数据：，其中．为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记，作函数，使其图像为逐点依次连接点的折线． (1)求和的值； (2)设的斜率为，判断的大小关系； (3)证明：当时，； 【答案】(1) (2) (3)证明详见解析 【分析】（1）根据的定义以及已知条件求得和的值； （2）先求得的表达式，由此判断出的大小关系； （3）当时，将要证明的不等式，转化为证明，利用放缩法证得不等式成立. 【详解】（1）依题意，， . （2）依题意，， 因为，所以. （3）由于的图像是依次连接点的折线， 要证，只需证、 事实上，当时， . 下面证明： 对任何， ， 所以， 所以当时，. 【点睛】方法点睛：本题主要是新定义运算“加工”，解新定义题型的步骤： (1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论； (2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况； (3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 四、题型四：斜率公式的应用 16．（22-23高一上·江苏南通·阶段练习）已知函数，若满足的整数解恰有3个，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为函数的图象在直线下方的部分有3个整点，然后数形结合可解. 【详解】得，所以满足的整数解恰有3个，等价于函数的图象在直线下方的部分有3个整点. 如图，当直线的斜率m满足时满足题意，其中 所以，，所以. 故选：A 17．（22-23高二上·河南南阳·阶段练习）已知，，，直线l过点B，且与线段AP相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】画出图形，数形结合得到，求出，得到答案. 【详解】如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足， 即且，所以． 故选：B． 18．（23-24高二上·浙江宁波·期中）如图，为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上，并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于.经测量，点位于点正北方向处，点位于点正东方向处（为河岸），，则新桥的长度为 .    【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，得到，，设，根据条件建立关系式，从而得到，即可求解. 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 由条件知，，， 因为直线的斜率为，又， 所以直线的斜率， 设点的坐标为，则，， 联立，解得，故 所以，，    故答案为：. 19．（23-24高二上·黑龙江大庆·阶段练习）若正方形的一条对角线所在直线的斜率为3，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率之和为 【答案】/ 【分析】由直线斜率与倾斜角之间的关系，计算即可得出答案． 【详解】 如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为3， 建立如图平面直角坐标系， 设对角线OB所在直线的倾斜角为，则， 由正方形性质可知，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 故， ， 则 故答案为： 20．（22-23高二上·河南·阶段练习）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)斜率为1，倾斜角为； (2)； (3). 【分析】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角； (2) 设，根据求解即可； (3) 因为表示直线的斜率,求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率即可得答案. 【详解】（1）解：因为直线的斜率为. 所以直线的倾斜角为； （2）解：如图，当点在第一象限时，. 设，则，解得， 故点的坐标为； （3）解：由题意得为直线的斜率. 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，. 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 五、题型五：直线与线段的相交关系求斜率范围 21．（23-24高二上·河南开封·期中）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形及斜率定义可得答案. 【详解】如图，当公共点在AO之间（不含O）时，直线l的斜率为负， 当公共点在A时，斜率有最大值，为，则此时斜率范围为； 当公共点在OB之间（不含O）时，直线l的斜率为正， 当公共点在B时，斜率有最小值，为，则此时斜率范围为； 当公共点在O点时，直线l的斜率不存在. 综上，直线l的斜率的取值范围是. 故选：C      22．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【分析】数形结合，观察倾斜角的变换情况确定斜率的变换情况. 【详解】如图直线与线段相交， 因为， 结合图形可知的斜率取值范围是. 故答案为： 23．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知点、、，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求出BC，AC的斜率，然后画出图形分析可得或，，根据斜率变化规律求解即可. 【详解】由、、，得，， 如图所示： 因为过点C的直线l与线段AB有公共点，所以直线l的斜率或， 即直线l的斜率或，所以直线l斜率k的取值范围 故答案为： 24．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知实数满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】将转化为上的点和构成的直线的斜率，然后求斜率即可. 【详解】   可以看成上的点和构成的直线的斜率， 在中令得，令则， 设，， 则，， 所以的范围为. 故答案为：. 25．（23-24高二上·湖北武汉·期中）设点、，若直线过点且与线段不相交，则直线的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】计算，，再根据图像得到答案. 【详解】，， 直线过点且与线段不相交，故，即. 故答案为：. 26．（23-24高二上·上海杨浦·期中）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是 .    【答案】 【分析】根据题意线段，，分别找出点落在线段上的临界位置，即可求解. 【详解】由题意知：，，设，则线段的斜率：， 为使点落在线段上（不包括端点），所以得：当落到点，点时为相应的两种临界位置， 当落到点时： 由题意知：点为的中点，且从点出发又回到点，所以可得：此时位于线段的中点位置， 所以得此时的斜率：； 当落到点时： 点与点重合，如下图所示，设，可得：，且， 所以得：，，， 所以得：，解之得：, 所以此时斜率：， 综上所述：可得的斜率范围为：，即. 故答案为：.    六、题型六：由斜率判断两条直线平行或垂直 27．（2024·河南新乡·三模）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行判断即得. 【详解】当时，直线，则， 当时，，解得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 28．（23-24高二上·河南·期中）“”是“直线和直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据两直线平行的条件及充分条件、必要条件判断即可. 【详解】当时，，，两直线斜率都为且不重合，所以两直线平行； 当两直线平行时，由，即，解得， 经检验时，两直线平行，故. 综上可知，“”是“直线和直线平行”的充要条件. 故选：C 29．（多选）（23-24高二上·湖北宜昌·期中）已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（    ） A．的倾斜角等于 B．在轴上的截距等于 C．与直线垂直 D．与直线平行 【答案】CD 【分析】根据题意求出直线的方程，然后逐个分析判断即可. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率， 因为直线经过点，所以直线的方程为， 即， A，直线的斜率，则倾斜角等于，A错误； B，当时，，所以在轴上的截距等于，B错误； C，因为直线的斜率，直线直线的斜率为，，所以两直线垂直，C正确； D，因为直线的斜率，直线的斜率，不过（1，-2），所以两直线平行，D正确. 故选：CD 30．（24-25高二上·山西晋中·开学考试）判断下列各对直线是否平行或垂直： (1)经过两点的直线，与经过且斜率为1的直线； (2)经过两点的直线，与经过点且斜率为的直线． (3)试确定的值，使过两点的直线与过两点的直线： (I)平行； (II)垂直． 【答案】(1)平行 (2)垂直 (3)(I);(II) 【分析】（1）分别求出两直线方程，根据斜率关系即可判断； （2）求出直线的斜率，根据斜率关系即可判断； （3）(I)根据两条平行直线的斜率关系即可求解；(II)根据两条垂直直线的斜率关系即可求解. 【详解】（1）因为直线经过两点，所以，则直线的方程为：； 因为直线经过且斜率为1，所以直线方程为：， 则直线与直线平行. （2）因为直线经过两点，所以， 因为直线的斜率为， 所以， 则直线与直线垂直. （3）因为直线过， 所以； (I)当直线与直线平行时；则，解得： (II) 当直线与直线垂直时则，解得： 31．（23-24高二上·全国·课后作业）已知四边形的顶点为，求证：四边形为正方形． 【答案】证明见解析 【分析】先根据平行且相等得出四边形是平行四边形，再根据相邻两边垂直得出平行四边形是长方形，最后因为对角线垂直得出长方形是正方形即可. 【详解】证明  ． 又， ， ∴四边形为平行四边形． 又， ∴四边形为矩形． ， ， 即矩形的对角线互相垂直， ∴四边形为正方形． 七、题型七：已知直线平行求参数 32．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线与直线平行，则m的值为（    ） A．4 B．9 C． D． 【答案】A 【分析】由直线 和 互相平行列式求参即可. 【详解】因为直线 和 互相平行，且两直线的斜率一定存在， 所以 即 ，所以 . 故选：A 33．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知直线与直线平行，则实数的所有取值之和为（    ） A．-2 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据直线平行求出即可得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或1，经检验均满足题意， 所以实数的所有取值之和为. 故选：B 34．（23-24高二下·湖北·阶段练习）直线：与直线：平行，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】根据两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系. 【详解】当时，有，故或， 当时，的方程为，的方程为，此时两条直线重合，不符合； 当时，的方程为，的方程为，符合； 综上，“”是“”的充要条件， 故选：B. 35．（23-24高二上·山西忻州·期末）已知直线，直线.若，则（    ） A．4 B．-2 C．4或-2 D．3 【答案】A 【分析】由直线平行的必要条件列出方程求解参数，并注意回代检验是否满足平行而不是重合. 【详解】因为，所以，即，得或. 当时，，，符合题意； 当时，，，，重合. 故. 故选：A. 36．（23-24高二上·四川雅安·期中）已知都是正数，且直线与直线平行，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据两直线平行的条件可得，然后利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，即， 因为， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8． 故答案为：8 八、题型八：已知直线垂直求参数 37．（23-24高二上·湖南·期中）设直线，,若，则可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线垂直的充要条件列方程得，从而可得，解三角方程即可得答案. 【详解】因为直线，，且， 则，所以，即 所以，故可以取到. 故选：A. 38．（23-24高二上·浙江·期中）已知直线：，则下列选项错误的是（    ） A．当直线与直线平行时， B．当直线与直线垂直时， C．当实数变化时，直线恒过点 D．原点到直线的距离最大值为 【答案】C 【分析】A项：根据与直线平行可求出值，即可求解； B项：根据与直线垂直可求出值，即可求解； C项：将直线整理得：，从而求出定点，即可求解； D项：当原点与直线过的定点连线垂直直线时有最大距离，从而求解. 【详解】对于A项：当直线与直线平行，得斜率为：，解得：，故A项正确； 对于B项：当直线与直线垂直，得斜率：，解得：，故B项正确； 对于C项：直线化简为：，由，解得：，即l恒过定点，故C项错误； 对于D项：当原点与直线的定点的连线垂直于直线时距离最大，由两点间距离得：，故D项正确. 故选：C. 39．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）“”是“直线与直线垂直”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用两条直线垂直求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由直线与直线垂直， 得，解得或， 所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件. 故选：C 40．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知直线与垂直，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线垂直的充要条件求出，再把点代入直线，可把值求出，再把已知点代入另一直线中，求出得解． 【详解】因为直线：与直线：互相垂直， 则，解得， 又因两直线垂足为，则，解得， 将代入直线，则， 解之得， 所以. 故选：B. 41．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知，都是正实数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．25 【答案】D 【分析】根据两条直线垂直得出,再根据基本不等式计算求解即可. 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以即得, 所以, 因为，都是正实数，所以. 当且仅当时，取最小值25. 故选：D. 42．（多选）（23-24高二上·山东日照·期中）设a为非零实数，直线，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．恒过点 D．当时，不经过第一象限 【答案】BD 【分析】根据题意，由两直线平行垂直的关系即可判断AB，将点代入直线方程即可判断C，分别讨论，以及即可判断D. 【详解】若，则，解得或（舍），故A错误； 若，则，解得或（舍），故B正确； 将点代入直线，可得，故不过点，故C错误； 若不经过第一象限，当时，此时，则， 解得且；当时，即，此时不经过第一象限；当时，即，此时不经过第一象限；综上所述，当且时，不经过第一象限，故D正确； 故选：BD 43．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）（1）若直线与直线平行，求的值； （2）若直线与直线垂直，求的值. 【答案】（1）或；（2）或 【分析】（1）由两直线平行的性质计算即可得，并排除重合的情况； （2）由两直线垂直的性质计算即可得. 【详解】（1）两直线平行，则，即，故或， 当时，两直线分别为与，符合要求， 当时，两直线分别为与，符合要求， 故或； （2）两直线垂直，则， 即，故或. 九、题型九：直线平行、垂直的判定在几何中的应用 44．（22-23高二上·青海海东·期中）已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点C的坐标,再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标； 【详解】设C点标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则， 直线BH的斜率， ∴直线AC斜率， ∴， ∴点C的坐标为． 故选:. 45．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到三个极端位置的斜率值，并旋转相关直线得到斜率范围. 【详解】当三角形为直角三角形时，或， 此时的斜率或0. 当从顺时针旋转到轴之间时，三角形为钝角三角形，此时； 当从逆时针旋转到与直线平行之间时，三角形为钝角三角形，此时， 综上，， 故选：C. 故选：C. 46．（22-23高二上·北京昌平·期中）已知直线，则下列结论正确的个数是（    ） ①直线的截距为             ②向量是直线的一个法向量 ③过点与直线平行的直线方程为 ④若直线，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 求出直线的截距可判断①，由直线的方向向量可判断②，由直线平行设所求直线方程为，代入点即可判断③，由直线垂直可判断④. 【详解】对于①,令,则;令,则,故①错误; 对于②,因为直线的方向向量为或,则,所以向量是直线的一个法向量,故②正确; 对于③,设与直线平行的直线方程为,因为直线过点,所以,所以过点与直线平行的直线方程为,故③正确; 对于④, 直线,直线,则,所以两直线垂直，故④正确, 所以结论正确的个数为3， 故选: B. 47．（22-23高二上·浙江·阶段练习）已知正数满足，则 . 【答案】/. 【分析】 如图建立平面直角坐标系，设，由已知条件可得，，可得四边形为正方形，设，从而可求出，进而可求得答案. 【详解】设， 则四边形为矩形， 因为， 所以， 而，即，即， 所以，又是等边三角形，所以过的中点， 所以矩形为正方形，由整个图形的对称性可知. 设，得， ， 所以. 故答案为：. 【点睛】 48．（22-23高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【答案】证明见解析 【分析】利用斜率公式求得直线与的斜率，从而利用直线垂直的性质得到，再求得直线与的斜率之积，由此得证. 【详解】由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 因为，所以，即； 由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 则直线与的斜率之积为， 所以. 49．（24-25高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 【答案】四边形是平行四边形，证明见解析 【分析】根据直线的斜率和图象进行判断. 【详解】由题得，边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 因为，所以， 所以四边形是平行四边形． . 50．（23-24高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【答案】平行四边形，证明见解析. 【分析】通过计算得到，，从而判断出四边形的形状. 【详解】由已知可得边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率. 因为，，所以，. 因此四边形是平行四边形. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$