精品解析：广东省汕头市潮阳区民兴学校2023-2024学年上学期九年级数学第一次月考试题

2023-2024学年度第一学期 九年级数学素养训练（一）测试卷 一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 2. 对称轴为y轴的二次函数是（ ） A. B. C. D. 3. 某企业2018年全年收入720万元，2018、2019、2020这三年全年收入的和为2383.2万元，若设该企业全年收入的年平均增长率为x，则可列方程( ) A. 720(1＋x)2＝2383.2 B. 720＋720(1＋x)＋720(1＋x)2＝2383.2 C. 720(1＋2x)＝2383.2 D. 720(1＋3x)＝2383.2 4. 抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 函数图象顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的函数的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 整式与整式积为，则一元二次方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图像可能是（　　） A. B. C. D. 9. 已知抛物线的对称轴为直线，记，则下列选项中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③方程没有实数根；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题：共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若一元二次方程的一个根为，则_____． 12. 抛物线，若其顶点在x轴上，则__________． 13. 若，是方程的两根，则的值为______． 14. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_____________． 15. 已知二次函数，当时，函数有最大值，则______． 三、解答题（一）：第16题10分，第17、18题各7分，共24分． 16. 按要求解下列方程： （1）（用配方法）； （2）（用公式法）． 17. 求证：不论为何实数，代数式的值均不小于1． 18. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 四、解答题（二）：共三小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点 （1）求该二次函数的解析式； （2）结合函数图象，填空： ①当时，的取值范围是______； ②当时，的取值范围是______； 20. 商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出3件． （1）设每件商品降价x元，则商场日销售量为 件，每件商品盈利 元；（用含x的代数式表示） （2）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2400元？ 21. 如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围一个矩形场地，若设矩形场地面积为，的长度为． （1）求出S与x之间的解析式，其中x的取值范围是什么？ （2）当和分别为多少米时，矩形面积最大，最大面积是多少？ 五、解答题（三）：共两小题，每小题12分，共24分． 22. 【课本再现】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛． （1）①共有______场比赛； ②设比赛组织者应邀请个队参赛，每个队要与其他_____个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛________场，列方程：____________； 【小试牛刀】； （2）参加一次聚会的每两人都要握手一次，所有人共握手了15次，有多少人参加聚会？ 综合运用】； （3）将，，，……，，共个点每两个点连一条线段共得到条线段，将，，，……，．共个点每两个点连一条线段共得到条线段，问能否为整数？写出你的结论，并说明理由． 23. 如图，抛物线y=ax2+2x﹣3a经过A（1，0）、B（b，0）、C（0，c）三点． （1）求b，c的值； （2）在抛物对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标； （3）点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第一学期 九年级数学素养训练（一）测试卷 一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：A、 ，所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； B、，所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； C、，所以方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意； D、，所以方程没有的实数根，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数 ，当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根是解题的关键． 2. 对称轴为y轴的二次函数是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的对称轴，掌握二次函数的对称轴是解题的关键． 由二次函数的对称轴为直线逐一分析各选项，即可得到答案． 【详解】解：的对称轴为直线，故不符合题意； 的对称轴为直线，故不符合题意； 的对称轴为直线， 即轴，故符合题意； 的对称轴为直线， 故不符合题意； 故选：． 3. 某企业2018年全年收入720万元，2018、2019、2020这三年的全年收入的和为2383.2万元，若设该企业全年收入的年平均增长率为x，则可列方程( ) A. 720(1＋x)2＝2383.2 B. 720＋720(1＋x)＋720(1＋x)2＝2383.2 C. 720(1＋2x)＝2383.2 D. 720(1＋3x)＝2383.2 【答案】B 【解析】 【分析】2018年全年收入720万元，2019年全年收入是720（1+x），2020年全年收入是2（1+x）2，本题首先由题意得出题中的等量关系即三年的全年收入的和为2383.2万元，列出方程即可． 【详解】解：设该企业全年收入的年平均增长率为x，则2019年全年收入是720（1+x），2020年全年收入是2（1+x）2， 依题意得：720＋720(1＋x)＋720(1＋x)2=2383.2． 故选：B． 【点睛】本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“-”． 4. 抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数图像的平移规律是解题关键．直接利用二次函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”解题即可． 【详解】解：抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位， 所得的抛物线解析式为． 故选：A． 5. 函数图象顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的顶点坐标，解题关键是能将一般式化为顶点式，将函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为； 故选D． 6. 关于x的函数的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，二次函数的定义．根据“函数的图象与轴有两个交点”可得，且方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】解：∵函数的图象与轴有两个交点， ∴，且方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 综上：的取值范围为：且． 故选：D． 7. 整式与整式的积为，则一元二次方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程的应用．熟练掌握多项式乘多项式，因式分解法解一元二次方程，是解题的关键． 根据题意得出，求解即可． 【详解】解：∵整式与整式的积为， ∴， ∴， ∴一元二次方程为， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图像可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用判别式的意义得到，则，然后根据一次函数的性质对各选项进行判断． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 当，时，一次函数经过第一、三、四象限； 当，时，一次函数经过第一、二、四象限． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次函数根的判别式，一次函数的图像和性质，解题的关键是掌握，则方程有两根不相等的实数根；，则方程有两根相等的实数根；，则方程有没有实数根． 9. 已知抛物线的对称轴为直线，记，则下列选项中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的对称轴公式以及实数大小的比较，解题关键是利用作差法比较实数大小．由抛物线对称轴公式，计算得出，再利用作差法比较和的大小即可． 【详解】解：∵该抛物线的对称轴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 10. 二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③方程没有实数根；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象获得有关信息，对要求的式子进行判断，以及二次函数与方程之间的转换是解题关键． 先通过开口及对称轴判断出，，再通过当时，，即可判断①；通过抛物线与轴的交点判断出，再与①结合，可判断②；将方程变形可得，解方程可看成二次函数时求的值，通过函数图象即可判断③；当时，函数的值一定小于时的函数值，列出不等式变形即可判断④． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向下，对称轴为，当时，， ∴，即， ∴，即 ∴，故①正确； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴，变形可得，故②正确； 将方程变形可得， 解方程可看成二次函数时求的值， 由图可看出会有两个解，故③不正确； ∵当时，， 且当时，函数取得最大值， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的结论有①②④，共3个．   故选：B． 二、填空题：共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若一元二次方程的一个根为，则_____． 【答案】-1 【解析】 【分析】把x=0代入一元二次方程得到a2-1=0和a-1≠0，求出即可． 【详解】把x=0代入一元二次方程， 得：a2-1=0，且a-1≠0， 解得：a=-1， 故答案为：-1． 【点睛】本题主要考查对一元二次方程的解的理解和掌握，能根据题意得出a2-1=0和a-1≠0是解此题的关键． 12. 抛物线，若其顶点在x轴上，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，正确得出是解题的关键． 直接利用二次函数的性质得出，求出m． 【详解】解：∵抛物线的顶点在x轴上， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 若，是方程的两根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义即可解决问题． 本题主要考查了一元二次方程根的定义，求代数式的值，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：是方程的两个根， 则， ∴ ∴ ， 故答案为：． 14. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据A、B两点的横坐标可得 −1<x<3 时， ax2+c<mx+n ，即可得出 ax2−mx+c<n 的解集． 【详解】∵抛物线与直线交于 A(−1，p) ， B(3，q) ，抛物线开口向上， ∴ −1<x<3 时， ax2+c<mx+n ， ∴ ax2−mx+c<n 的解集为 −1<x<3 ． 故答案为： −1<x<3 【点睛】本题考查二次函数与不等式，根据两函数图象的上下关系找出不等式的解集是解题关键． 15. 已知二次函数，当时，函数有最大值，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴，然后再根据当时，函数有最大值，即可得到关于的方程，然后求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数图像对称轴是直线， 当时，当时，该函数取到最大值， ∵当时，函数有最大值， ∴， 解得：（不合题意，舍去）； 当时，当时，该函数取到最小值， 当时， 当时，， 当时，， 根据二次函数对称的性质可知：当时，函数有最大值， 又∵当时，函数有最大值， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值，本题采用了分类讨论的思想方法．解答的关键是明确题意，得到关于的方程． 三、解答题（一）：第16题10分，第17、18题各7分，共24分． 16. 按要求解下列方程： （1）（用配方法）； （2）（用公式法）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：配方法、公式法是解题的关键． （1）用配方法求解即可； （2）用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ，，， ， ∴， ∴，． 17. 求证：不论为何实数，代数式的值均不小于1． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】，根据实数的非负性，解答即可． 本题考查了实数的非负性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】证明： ， ∵，， ∴， 即， ∴不论为何实数，代数式的值均不小于1． 18. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 【答案】(1) ；(2) 【解析】 【分析】(1)根据建立不等式即可求解； (2)先提取公因式对等式变形为，再结合韦达定理求解即可． 【详解】解：(1)由题意可知，， 整理得：， 解得：， ∴的取值范围是：． 故答案为：． (2)由题意得：， 由韦达定理可知：，， 故有：， 整理得：， 解得：， 又由(1)中可知， ∴的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程判别式、根与系数的关系、韦达定理、一元二次方程的解法等知识点，当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根． 四、解答题（二）：共三小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点 （1）求该二次函数的解析式； （2）结合函数图象，填空： ①当时，的取值范围是______； ②当时，的取值范围是______； 【答案】（1） （2）① ②或 【解析】 【分析】（1）由于过顶点，且经过点即可用顶点式求出函数表达式． （2）①在图像上找出的范围，分析函数的增减性，从而求出此时的取值范围． ②在图像上找出的范围，观察在这范围中，满足条件的范围． 【小问1详解】 解：经过顶点 解析式可变成顶点式，即 将点代入 得 得到表达式 变形得一般式为 【小问2详解】 ①解：当时，函数表达式在上单调递增，在上单调递减， 即在时取最小值 在时取最大值 所以的取值范围是． ②解：当时，或 当时，或 结合图像分析 要使 即或． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握将函数表达式化为顶点式求函数解析式．掌握二次函数与不等式的关系． 20. 商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出3件． （1）设每件商品降价x元，则商场日销售量为 件，每件商品盈利 元；（用含x的代数式表示） （2）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2400元？ 【答案】（1）， （2）元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）降价元，可多售出件，降价元，可多售出件，故商场日销售量为件，根据盈利的钱数=原来的盈利-降低的钱数，可得每件商品盈利元； （2）根据“每件商品的盈利可卖出商品的件数”，列出方程，解方程求出的值，结合尽“快减少库存”确定的值． 【小问1详解】 解：∵每件商品每降价元，商场平均每天可多售出3件， 故每件商品降价元，商场平均每天可多售出件， 故故商场日销售量为件，可得每件商品盈利元． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：根据题意，得：， 解得：，， ∵商城要尽快减少库存， ∴． 故每件商品降价元时，商场日盈利可达到元． 21. 如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围一个矩形场地，若设矩形场地面积为，的长度为． （1）求出S与x之间的解析式，其中x的取值范围是什么？ （2）当和分别为多少米时，矩形的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1）； （2）当，时，矩形的面积最大，最大值为． 【解析】 【分析】（1）因为，所以，由长方形的面积列式即可； （2）将（1）中的二次函数进行配方可化为顶点式．利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，的长度为， ∴． ∵矩形除边外的三边总长为， ∴，且， ∴，且， ∴， ∴S与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由（1）得，且， ∵， ∴当时，S随x的增大而减少， ∴当时，S取最大值，最大值， 此时，， ∴当，时，矩形面积最大，最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用中求最值的问题，解题关键是根据二次函数的性质求函数的最值． 五、解答题（三）：共两小题，每小题12分，共24分． 22. 【课本再现】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛． （1）①共有______场比赛； ②设比赛组织者应邀请个队参赛，每个队要与其他_____个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛________场，列方程：____________； 【小试牛刀】； （2）参加一次聚会的每两人都要握手一次，所有人共握手了15次，有多少人参加聚会？ 【综合运用】； （3）将，，，……，，共个点每两个点连一条线段共得到条线段，将，，，……，．共个点每两个点连一条线段共得到条线段，问能否为整数？写出你的结论，并说明理由． 【答案】（1）①28；②，，；（2）6人；（3）能整数，见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2． （1）①利用乘法运算即可求解； ②可设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程； （2）同（1）的方法列出一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可求解； （3）同（1）的方法得到，，进一步求解即可． 【详解】解：（1）①共有场比赛； ②可设比赛组织者应邀请x队参赛，那么每个队要与其他个队各赛一场，又由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲对的比赛是同一场比赛，所以全部的比赛一共有场比赛， 根据题意，列出相应方程：， 故答案为：①28；②，，； （2）设有人参加聚会， 根据题意，得：， 解得，（舍去） 答：一共有人参加聚会； （3）依题意得，， ， ∵n为正整数，要使为整数，可为1或2， ∴当时，； 当时，； ∴当或时，为整数． 23. 如图，抛物线y=ax2+2x﹣3a经过A（1，0）、B（b，0）、C（0，c）三点． （1）求b，c的值； （2）在抛物对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标； （3）点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）b=﹣3；（2）P（﹣1，﹣2）；（3）存在点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形．符合条件的点N的坐标为（﹣2，﹣3），（﹣1+，3）或（﹣1﹣，3）． 【解析】 【分析】（1）先把A（1，0）代入抛物线y=ax2+2x﹣3a，求出a的值，然后再分别把B（b，0）、C（0，c）的值代入即可求出b，c的值； （2）根据轴对称的性质找出点P的位置，然后求出直线BC的解析式和对称轴方程，二者联立可求出点P的坐标； （3）分当点N在x轴下方时和当点N在x轴上方时两种情况求解即可. 【详解】解：（1）把A（1，0）代入抛物线y=ax2+2x﹣3a， 可得：a+2﹣3a=0 解得a=1． ∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3； 把B（b，0），C（0，c）代入y=x2+2x﹣3， 可得：b=1或b=﹣3，c=﹣3， ∵A（1，0）， ∴b=﹣3； （2）∵抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3， ∴其对称轴为直线x=﹣=﹣1， 连接BC，如图1所示， ∵B（﹣3，0），C（0，﹣3）， ∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∴， 解得， ∴直线BC的解析式为y=﹣x﹣3， 当x=﹣1时，y=1﹣3=﹣2， ∴P（﹣1，﹣2）； （3）存在点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形． 如图2所示， ①当点N在x轴下方时， ∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，C（0，﹣3）， ∴N1（﹣2，﹣3）； ②当点N在x轴上方时， 如图2，过点N'作N'D⊥x轴于点D， 在△AN'D与△M'CO中， ∴△AN'D≌△M'CO（AAS）， ∴N'D=OC=3，即N'点的纵坐标为 3． ∴3=x2+2x﹣3， 解得x=﹣1+或x=﹣1﹣， ∴N'（﹣1+，3），N“（﹣1﹣，3）． 综上所述，符合条件的点N的坐标为（﹣2，﹣3），（﹣1+，3）或（﹣1﹣，3）． 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质及分类讨论的数学思想.熟练掌握待定系数法和分论讨论的数学思想是解答本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $