精品解析：四川省仁寿第一中学校南校区2024-2025学年高一上学期9月月考数学试题

24级高一入学考试 数学试卷题 满分：150考试 时间：120分钟 一、单选题：共8小题，每题5分，共40分． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 集合,则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域是（ ）． A. B. C. D. 4. 根据表格中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是（ ） x －1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.40 20.12 x＋2 1 2 3 4 5 A. (－1，0) B. (0，1) C. (1，2) D. (2，3) 5. 函数的递增区间为（ ） A. B. C. D. 6. 若集合中只有一个元素，则实数a的值为（ ） A. 0 B. 0或1 C. 1 D. 0或 7. 设m，n为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：共4题，每题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的不得分． 9. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 设函数，对于任意的，下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，令，则下列结论正确的有（ ） A. 若有个零点，则 B. 恒成立 C. 若有个零点，则 D. 若有个零点，则 12. 已知，，且，下列结论中正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是8 D. 的最小值是 三、填空题：共4小题，每题5分． 13. 已知，，则的取值范围是______. 14. 已知幂函数的图象经过，则函数_____ 15. 已知不等式的解集为或，若，并且恒成立，则实数的取值范围是______． 16. 设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是__________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算下列各式的值： （1）； （2）． 18. 已知函数. （1）用定义证明在区间上是增函数； （2）求该函数在区间上的最大值和最小值. 19. 设命题实数x满足；命题实数x满足. （1）若，且都为真，求实数的取值范围； （2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 20. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性； （2）若，求m的取值范围． 21. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克与施用肥料x（单位：（千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 22. 已知函数的定义域为，其中． （1）求的取值范围． （2）当时，是否存在实数满足对，都使得成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 24级高一入学考试 数学试卷题 满分：150考试 时间：120分钟 一、单选题：共8小题，每题5分，共40分． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可. 【详解】命题“”为存在量词命题， 其否定为：. 故选：D 2. 集合,则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用集合交集的定义直接求解即可． 【详解】因为集合, 所以, 故选：C． 3. 函数的定义域是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式、根式以及零次方的性质列式求解. 【详解】由题意可得，解得且， 所以函数的定义域是. 故选：D. 4. 根据表格中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是（ ） x －1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.40 20.12 x＋2 1 2 3 4 5 A. (－1，0) B. (0，1) C. (1，2) D. (2，3) 【答案】C 【解析】 【分析】设函数，将选项中区间端点的函数值代入，再利用零点存在性定理，即可得答案； 【详解】设函数， ，， ，又在区间(1，2)连续， 函数在区间(1，2)存在零点， 方程根所在的区间为(1，2)， 故选：C. 【点睛】本题考查方程的根与函数零点的关系，考查对概念的理解，属于基础题. 5. 函数的递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数与对数函数的性质，结合复合函数的单调性的判定方法，即可求解. 【详解】设，可得函数在单调递减，在单调递增， 又由函数，满足，解得或， 根据复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间为. 故选：C. 6. 若集合中只有一个元素，则实数a的值为（ ） A. 0 B. 0或1 C. 1 D. 0或 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论方程根的个数即可. 【详解】当时，； 当时，则，解之得，此时， 所以或1． 故选：B． 7. 设m，n为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数单调性分别化简和，根据充分条件和必要条件的定义判断两者关系. 【详解】因为函数为上的单调递增函数，又，所以，所以，又函数在上单调递减，所以，所以“”是“”的充分条件，因为函数在上单调递减，又，所以，当为负数时，没有对数值，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件，A正确， 故选：A. 8. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 二、多选题：共4题，每题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的不得分． 9. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数的定义，判断各选项中两函数的定义域、对应关系以及值域是否相同，如有不同即可判断不是同一函数，即可得答案. 【详解】对于A，与的定义域都是R，对应关系相同， 值域相同，故与是同一函数，A正确； 对于B，与的对应关系不同，故二者不是同一函数，B错误； 对于C，与，前者的定义域为R，后者定义域为， 故二者不是同一函数，C错误； 对于D，，与的定义域以及对应关系都相同， 故二者是同一函数，D正确， 故选：AD 10. 设函数，对于任意的，下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据指数运算法则可知A正确，利用反例可知B错误；根据指数函数单调性可知C正确；结合基本不等式可确定D正确. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，令，，则，，， ，B错误； 对于C，为定义在上的增函数，，C正确； 对于D，， ，D正确. 故选：ACD. 11. 已知，令，则下列结论正确的有（ ） A. 若有个零点，则 B. 恒成立 C. 若有个零点，则 D. 若有个零点，则 【答案】AD 【解析】 【分析】作出的图象，将的零点个数转化为函数与的图象的交点的个数，结合图象逐一判断即可. 【详解】解：， 作出的图象，如图所示： 因为， 所以的零点个数即为函数与的图象的交点的个数， 对于：若有个零点，则函数与的图象仅有一个公共点，由图象得，故正确； 对于：由图象得恒成立，故B错误； 对于：若有个零点，则函数与的图象有三个公共点，由图象得或者，故C错误； 对于：若有个零点，则函数与的图象有四个公共点，由图象得，故D正确. 故选：． 12. 已知，，且，下列结论中正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是8 D. 的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用题设条件，结合基本不等式，逐项判定，即可求解. 【详解】，且， 对于A，由，解得，当且仅当时等号成立， 则的最大值为，所以A正确； 对于B，由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，所以B正确； 对于C，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是9，所以C错误； 对于D，由， 得，当且仅当时等号成立， 则的最小值是，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：共4小题，每题5分． 13. 已知，，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质可得. 【详解】解：∵，∴， ∵，∴. 故答案为：. 14. 已知幂函数的图象经过，则函数_____ 【答案】2 【解析】 【分析】设幂函数，将点代入求出，即可求解. 【详解】设，的图象经过， . 故答案为:2. 【点睛】本题考查幂函数的定义以及函数值，属于基础题. 15. 已知不等式的解集为或，若，并且恒成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的解集可得，利用基本不等式可得的最小值为3，故，从而可得的取值范围. 【详解】因为不等式的解集为或，则， 且关于x的方程的两根分别为1、3， 由韦达定理可得，可得，由，可得， ，故， 所以， 当且仅当时等号成立，故的最小值为3， 因为恒成立，则，即，解得． 因此，实数k的取值范围是． 故答案为： 16. 设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先作出函数的图象，利用二次函数的对称性得到，由对数的运算以及函数图象可得，求解即可． 【详解】函数 作出函数图象如图所示， 因为互不相等的实数，，满足， 不妨设， 当时，，图象的对称轴为，所以， 当时，，令，解得， 由图象可知， 所以的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）7 （2）10 【解析】 【分析】（1）利用分数指数幂与根式的运算法则计算即可； （2）利用对数的运算法则计算即可. 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 原式. 18. 已知函数. （1）用定义证明在区间上是增函数； （2）求该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】 （1）在任取，，设，然后作差判断其正负即可.， （2）根据（1）的结论，利用函数的单调性法求解. 【详解】（1）在任取，，设. ， ∵，∴，，， ∴，即， ∴在增函数. （2）由（1）知，函数在是增函数， 当时有最小值为，当时有最大值为. 【点睛】方法点睛：利用函数的单调性求函数的最大(小)值，即如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)在区间[a，c]上的最大值是f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)在区间[a，c]上的最小值是f(b)． 19. 设命题实数x满足；命题实数x满足. （1）若，且都为真，求实数的取值范围； （2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入，求得p为真的取值，再求得得出q为真时，进而求得实数x的取值范围； （2）先求得不等式的解集，结合题意，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 当时，不等式化为，解得， 由不等式，可得，所以， 因为都为真，所以，解得，即的取值范围为. 【小问2详解】 由方程，可得，， 所以，不等式的解集为， 因为是的充分不必要条件，则，解得， 所以实数的取值范围. 20. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性； （2）若，求m的取值范围． 【答案】（1）是偶函数 （2） 【解析】 【分析】（1）由对数的性质可得，求解可得的定义域，根据函数奇偶性的定义判断奇偶性即可； （2）化简函数的解析式为，可求得函数的单调区间，结合函数的奇偶性可得，由此求得的范围． 【小问1详解】 偶函数，理由如下： 由对数的性质可得，解得， 故的定义域为，由于定义域为关于原点对称， 又，故为偶函数. 【小问2详解】 ， 由于在单调递减，而在单调递增， 故在单调递减，故单调递减区间为， 因此由可得，解得或， 故的取值范围为. 21. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克与施用肥料x（单位：（千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当时取得最大利润，最大利润为480元. 【解析】 【分析】（1）利用销售额减去成本投入可得出利润解析式； （2）利用分段函数的单调性及基本不等式计算最值即可. 【小问1详解】 由已知 ； 【小问2详解】 由（1）得， 即由二次函数的单调性可知，当时，， 由基本不等式可知，当时， ， 当且仅当，即时取得最大值， 综上，当时取得最大利润，最大利润为480元. 22. 已知函数的定义域为，其中． （1）求的取值范围． （2）当时，是否存在实数满足对，都使得成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在； 【解析】 【分析】（1）不等式在上恒成立.分类讨论即可得出答案； （2）由题意，根据题意可得即可，令，分类讨论求解即可. 【小问1详解】 由题知：不等式在上恒成立. 当时，不等式变为，显然在上恒成立，符合题意. 当时，要不等式在上恒成立，则， 解得：. 综上：a的取值范围是 . 【小问2详解】 假设存在实数满足题意． ∵，∴. 令，则， ∵对，都使得成立. ∴不等式，即在区间恒成立， ①当时，不等式显然组成立，此时： ②当时，不等式可化为，， 由均值不等式有： （当且仅当时，等号成立）， ∴，即， 由不等式恒成立有：. ③当时，不等式可化为：， 由均值不等式有： （当且仅当时，等号成立），∴即， 由不等式恒成立有：： 综上：存在实数满足题意，的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $