等腰三角形性质与判定专题 练习2024-2025学年苏科版八年级数学上册

初二数学 等腰三角形 1、 等腰三角形的性质： （1） 等腰三角形的两腰相等. （2） 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. （3） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线相互重合（三线合一）. （4） 等边三角形的各个内角都等于60°；等边三角形三边相等. （5） 等腰三角形是轴对称图形，等腰有一条对称轴，等边有三条对称轴. 2、 等腰三角形的判定： （1） 两边相等的三角形是等腰三角形. （2） 两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）. （3） 三边相等的三角形是等边三角形. （4） 三个角都相等的三角形是等边三角形. （5） 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. （6） 有两个角是60°的三角形是等边三角形. 类型一：分类讨论思想 （1） 边或角不确定 1、 已知△ABC是等腰三角形，若它的周长为18，一条边的长为4，则它的腰长为________. 2、 在△ABC中，∠B=80°，过点A作一条直线，将△ABC分成两个新的三角形，若这两个三角形都是等腰三角形，则∠C的度数为____________. 3、 等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为50°，求这个等腰三角形顶角的度数. （2） 图形的运动 4、 如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上一点，OC=12 cm，动点P从点C出发沿CB以2 cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1 cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用 t（s）表示移动的时间，当△POQ是等腰三角形时，求t的值. 类型二：存在情况与分割问题 1、 如图，直线PQ上有一点O，点A为直线PQ外一点，连接OA，在直线PQ上找一点B，使得△AOB是等腰三角形，这样的点B最多有________个. 2、 如图，有甲、乙两个三角形，甲三角形的内角分别为10°，20°，150°；乙三角形的内角分别为80°，25°，75°.你能把每一个三角形分成两个等腰三角形吗？标出各角的度数. 类型三：构造等腰三角形 （一）①作平行线：角平分线+平行线（平行线与角平分线构成等腰三角形） 1、 如图，△ABC内，∠BAC=60°，∠C=40°，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线.求证：BQ+AQ=AB+BP. 2、 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC边于点D，点E是BC边的中点，线段EF∥AD交线段AB于点G，交线段CA的延长线于点F. （1） 若CF=8，AG=3，求AC的长； （2） 求证：BG=CF. （一）②腰（底）+平行线（过腰或底的任意点作平行线构造等腰三角形） 3、如图，在△ABC中，AB=AC，点D是AB上一点，点E是AC延长线上一点，且BD=CE，DE交BC于点F.求证：DF=EF. （2） 角平分线+垂线（根据等角或三线合一构造等腰三角形） 1、 如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，作CE⊥BD，交BD的延长线于点E，求证：BD=2CE. 2、 如图，在△ABC中，BC=10，AC-AB=4，AD是∠BAC的平分线，CD⊥AD，求S△BDC的最大值. （3） 转化倍角（平分二倍角或延长底边构造等腰三角形） 1、 如图，在△ABC中，∠BAC=2∠C，AC=2AB.求证：∠B=90°. 2、 如图，在△ABC中，∠B=2∠C，猜想并证明AC与2AB之间的大小关系. （4） 截长补短（截取边长相等或根据三线合一构造等腰三角形） 1、 如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，∠ABC的平分线交AC于点E.求证：BE+AE=BC. 2、 如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD上的一点，AD=DC，∠DEC=∠ABC.求证： AB=CE. 类型四：构造等边三角形 （1） 利用60°角构造等边三角形 1、如图，已知△ABC中，∠A=60°，D为AB上一点，且AC=2AD+BD，∠B=4∠ACD，求 ∠DCB的度数. （二）利用两角差为60°构造等边三角形 2、已知：如图，CA=CB，∠CAB=∠CBA=80°，∠CAF=20°，∠CBE=30°，求∠EFA的度数. 类型五：共顶点的等腰三角形(手拉手模型) 1、 如图，在△ABC和△DCE中，CA=CB，CD=CE，∠CAB=∠CED=α.将AD，EB延长，延长线相交于点O. （1） 求证：BE=AD. （2） 用含α的式子表示∠AOB的度数. 2、 如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接CE. （1） 求证：BD=CE. （2） 求∠BEC的度数. 作业： 1、 如图，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD的中点，AE平分∠DAM，求证：AM=AD+MC. 2、 如图，在△ABC中，AC=BC，点D在AC的延长线上，点E在BC上，且CD=CE， 求证：DE⊥AB. 3、 如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD平分∠BAC交BC于D，BE⊥AE于E. 求证：BE(AC-AB). 4、 如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分线.求证：AC=AB+BD. 5、 如图，△ABC为等边三角形，延长BC到点D，延长BA到点E，AE=BD，连接EC，ED， 求证：CE=DE. 6、 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD.求证：CD=BD. 7.(1)问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，则线段AE、BD的数量关系为________，AE、BD所在直线的位置关系为________； (2)深入探究：在(1)的条件下，若点A、E、D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM、AD、BD之间的数量关系，并说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$