专题04 代数式（优质类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

专题04代数式思维导图 【类型覆盖】 类型一、不含某项、与某项无关 【解惑】若关于的多项式中不含一次项，则的值是（   ） A．4 B．2 C． D．4或 【融会贯通】 1．要使多项式化简后不含的二次项，则的值是（    ） A．0 B．3 C．6 D．9 2．已知，． （1）当，时，的值为 ； （2）若无论取何值时，总成立，则的值为 ． 3．已知，． (1)化简； (2)若的值与y的值无关，求x的值． 类型二、绝对值在数轴中的化简 【解惑】若有理数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简 的结果为 （ ） A．c B． C． D． 2．已知、、在数轴上的位置如图，化简： ． 3．若用点A、B、C分别表示有理数a、b、c，如图： (1)判断下列各式的符号： 0； 0； 0 (2)化简 类型三、代数式中的整体带入 【解惑】若的值为12，则的值为（    ） A．0 B．24 C．34 D．44 【融会贯通】 1．若x与y互为相反数，a与b互为倒数，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．3 D．无法计算 2．若， 则代数式 ． 3．运用整体思想在代数式求值中经常会有用到． 例如：已知，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则______； (2)已知，，则______； (3)当，时，代数式的值为8， 则当，时，求代数式的值． 类型四、代数式中的算法程序 【解惑】按下面的程序计算． 若输入，输出结果是101：若输入，输出结果是131，若开始输入的x的值是一个自然数，最后输出的结果是106，则开始输入的x的值是（    ） A．1 B．4 C．21 D．4或21 【融会贯通】 1．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x的值为时，输出的y的值是（    ） A． B． C． D． 2．如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为3125，则第2023次输出的结果为 ． 3．如图是一个数值转换机的示意图． (1)若输入x的值为，输入y的值为2，求输出的结果； (2)用含x，y的代数式表示输出的结果为：______； (3)若输入x的值为2，输出的结果为8，求输入y的值； (4)若y是x的3倍（为常数），且不论取任意负数时，输出的结果都是0，求的值． 类型五、代数式中的阴影部分 【解惑】把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1），不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图2），盒子底部未被覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图②中两块阴影部分的周长和为24，则的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 2．在正方形中，有甲、乙两个相同的小正方形如图所示放置，记图中两个阴影长方形的面积分别为．若，则小正方形的边长是 ． 3．如图，长为，宽为的长方形被分割成7部分，除阴影部分，外，其余5部分为形状和大小完全相同的小长方形，其中小长方形的宽为3．    (1)求小长方形的长（用含的代数式表示）； (2)若，你能否求出阴影图形与阴影图形的周长之和，若能，请求出来，若不能，请说明理由． 类型六、代数式中的行列排序 【解惑】如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行 第二行 第三行 第四行 根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（     ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（    ） A． B． C． D． 2．我国古代数学中的“杨辉三角”是重要的成就，它的发现比欧洲早五百年左右．如图，这个“三角形”给出了的展开式（按的次数由大到小顺序排列）的系数规律，例如，第三行的三个数1、2、1，恰好对应展开式中各项的系数；第五行的五个数1、4、6、4、1，恰好对应展开式中各项的系数，根据此规律，则展开式中各项的系数之和为 ．      3．下面的数表是由从1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答． (1)表中第8行的最后一个数是______，它是自然数_____的平方，第8行共有_____个数； (2)用含n的代数式表示：第n行第一个数是________，最后一个数是______，第n行共有_______个数； (3)求第20行各数之和． 类型七、代数式中的规律 【解惑】如图是某月的日历． （1）带阴影的方框中的9个数之和与方框正中的数有什么关系？ （2）不改变方框的大小如果将带阴影的方程移至其他几个位置试一试，上述关系还成立吗？如成立，请说明为什么成立． 活学活用： 小明是个爱动脑筋的同学，在发现教材中的用方框在月历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数2，4，6，8，…，排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题： （3）十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？ （4）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其它五个数的和能等于2010吗？如能，写出这五个数，如不能，说明理由． 【融会贯通】 1．观察下列算式： ； ； ； 按照上面的规律完成下列各题： (1)第四个算式： ； (2)第五个算式为 ； (3)计算：． 2．探索规律：从1开始，连续的自然数相加，它们的和的倒数情况如下表： 分母中加数的个数 和的倒数 2 3 4 5 … … (1)根据表中规律，求 ； (2)根据表中规律，则 ；（只列式，不要求计算结果） (3)求的值（写出计算结果） 3．观察下面的变形规律： 解答下面的问题： (1)若n为正整数，且写成上面式子的形式，请你猜想_____． (2)计算： (3)计算： 类型八、代数式中的新定义 【解惑】符号“f”表示一种运算，表示x在运算f作用下的结果，如表示x在运算f作用下的结果，它对一些数或式的运算结果如下： ，，，…． 利用上述运算定义计算： (1)； (2)． 【融会贯通】 1．新定义一种新运算“”，认真观察，寻找规律： ， ， ， ， (1)直接写出新定义运算律： ______； (2)新运算“”是否满足交换律？请说明理由； (3)先化简，再求值：，其中 2．【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”， 记作，读作“的下4次方”一般地，把记作，读作“a的下n次方”． 直接写出计算结果： ______，______． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： （1）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式：______． （2）将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：______． 【结论应用】计算：． 3．阅读理解题 我们定义：如果两个多项式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅常式”，这个常数称为关于的“雅常值”，如多项式，，，则是的“雅常式”，关于的“雅常值”为9 (1)已知多项式，，则关于的“雅常值”是______； (2)多项式是多项式的“雅常式”且“雅常值”是3，已知多项式，求多项式 (3)已知多项式（为常数），，是的“雅常式”，求关于的“雅常值” 【一览众山小】 1．正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为和0，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2024次后，数轴上数2024所对应的点是（ ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．如图，将比大的所有整数从小到大按照如图所示的位置顺序排列，则2024应在第（    ） A B C D …… A．A列 B．B列 C．C列 D．D列 3．已知 ，，， 根据前面各式的规律，可得： （1） ( )； （2）的值的个位数字是 ． 4．若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数为，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，……，依此类推，则 ． 5．若，试求： (1)当时，有何结论？ (2)当时，有何结论？ (3)当时，有何结论？ (4)你能求出． 6．【阅读理解】 已知代数式的值为9，求代数式的值． 嘉琪采用的方法如下： 由题意得，则有， ．所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若，则______． （2）若代数式的值为15，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，求代数式的值． 7．观察下列各式：；；；；； (1)探索式子的规律，试写出第个等式； (2)运用上面的规律，计算； (3)计算：． 8．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题 ；；； (1)按以上规律，第个等式为：______；第个等式为：______（用含的式子表示，为正整数）； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04代数式思维导图 【类型覆盖】 类型一、不含某项、与某项无关 【解惑】若关于的多项式中不含一次项，则的值是（   ） A．4 B．2 C． D．4或 【答案】C 【分析】本题考查了整式加减运算，本题的关键是找出多项式中的一次项，让其系数为0，进行计算即可． 【详解】解： ， ∵多项式中不含一次项， ∴， 解得：， 故选：C． 【融会贯通】 1．要使多项式化简后不含的二次项，则的值是（    ） A．0 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，根据把原多项式先去括号，然后合并同类项得到，再根据化简后不含的二次项，即二次项系数为0进行求解即可． 【详解】解： 化简后不含的二次项 ， ∴， ∴ 故选：B． 2．已知，． （1）当，时，的值为 ； （2）若无论取何值时，总成立，则的值为 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了整式的加减与有理数的混合运算； （1）代入求值，然后按照有理数混合运算的运算顺序和计算法则进行计算； （2）根据题意，合并同类项，再的系数为0，即可求解． 【详解】解：（1）当，时， ， 故答案为：； （2） ， ∵总成立， ∴，解得， 故答案为：3． 3．已知，． (1)化简； (2)若的值与y的值无关，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算： （1）根据整式的加减运算法则，进行计算即可； （2）先化简，根据值与y的值无关，得到含的项的系数为0，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ， ∵的值与y的值无关， ∴， ∴． 类型二、绝对值在数轴中的化简 【解惑】若有理数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减和去绝对值，根据数轴分别判断，的正负，然后去掉绝对值即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负． 【详解】由数轴可得，， ∴ ， ， 故选：． 【融会贯通】 1．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简 的结果为 （ ） A．c B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，算术平方根和整式的加减计算，先根据数轴推出，据此先把所求式子计算算术平方根，再去绝对值，最后根据整式的加减计算法则化简即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故选：A． 2．已知、、在数轴上的位置如图，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先算开方和绝对值，再算加减即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴ 故答案为：． 3．若用点A、B、C分别表示有理数a、b、c，如图： (1)判断下列各式的符号： 0； 0； 0 (2)化简 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查绝对值，有理数大小比较，去括号，合并同类项，解题关键在于结合数轴判断各数的大小． （1）数轴上的数，右边的数总比左边的数大，可得：，，，所以可知：，，． （2）根据正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其的相反数，化简绝对值，再合并即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：，，， ∴，，； （2）解： ． 类型三、代数式中的整体带入 【解惑】若的值为12，则的值为（    ） A．0 B．24 C．34 D．44 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值、整体代入的思想． 依据题意可得，然后对所求的式子变形，使其中出现，再把的值整体代入计算即可． 【详解】解：∵的值为12， ∴ ∴ ， 故选：C． 【融会贯通】 1．若x与y互为相反数，a与b互为倒数，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．3 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查了相反数、倒数、代数式求值，掌握相反数与倒数知识是解题关键．根据题意可得到，，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵x与y互为相反数，a与b互为倒数， ∴，， ∴， 故选：C． 2．若， 则代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，把代数式化成的形式是解题的关键．先去括号，然后把代数式合并同类项，把看成一个整体代入即可． 【详解】解： 把代入得：． 故答案为：． 3．运用整体思想在代数式求值中经常会有用到． 例如：已知，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则______； (2)已知，，则______； (3)当，时，代数式的值为8， 则当，时，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了代数式求值： （1）根据整体思想代入计算即可求解； （2）先把原式变形为，再整体代入到所求代数式中即可； （3）根据已知可得，再整体代入到所求代数式中即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为： （2）解：∵，， ∴； 故答案为：17 （3）解：∵当，时，代数式的值为8， ∴， ∴， ∴当，时， ． 类型四、代数式中的算法程序 【解惑】按下面的程序计算． 若输入，输出结果是101：若输入，输出结果是131，若开始输入的x的值是一个自然数，最后输出的结果是106，则开始输入的x的值是（    ） A．1 B．4 C．21 D．4或21 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，可以用倒推法解答此题，理解题意是解题的关键． 【详解】解：当6时，； 当时，； 当时，x不是自然数； 所以开始输入的x的值是4或21， 故选：D． 【融会贯通】 1．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x的值为时，输出的y的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据程序，，是有理数，继续运算，符合题意，输出即可． 本题考查了立方根，无理数，求代数式的值，熟练掌握立方根，无理数是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得是有理数，继续运算，符合题意， 故选：C． 2．如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为3125，则第2023次输出的结果为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查流程图问题、数字规律等知识点，总结归纳出从第四次开始奇数次输出为1，偶数次输出为5是解题的关键． 先分别求出第一次输出的结果为625，第二次输出的结果为125，第三次输出的结果为25，第四次输出的结果为5，第五次输出的结果为1，然后计算出第六次输出的结果5，进而发现从第四次开始奇数次输出为1，偶数次输出为5，据此即可解答． 【详解】解： 第一次输出的结果：， 第二次输出的结果：， 第三次输出的结果：， 第四次输出的结果：， 第五次输出的结果：， 第六次输出的结果：， 第七次输出的结果：， 第八次输出的结果：， 第九次输出的结果， 由此得到规律，从第四次开始奇数次输出为1，偶数次输出为5， 所以第2023次输出结果为1． 故答案为：1． 3．如图是一个数值转换机的示意图． (1)若输入x的值为，输入y的值为2，求输出的结果； (2)用含x，y的代数式表示输出的结果为：______； (3)若输入x的值为2，输出的结果为8，求输入y的值； (4)若y是x的3倍（为常数），且不论取任意负数时，输出的结果都是0，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或． 【分析】本题考查了整式的加减中的程序计算，正确理解程序是解题的关键． (1)根据程序，得，计算即可． (2)根据程序，列出代数式，计算即可． (3)根据程序，列出等式，计算即可． (4)根据程序，列出等式，计算即可． 【详解】（1）根据程序，得． （2）根据程序，得， 故答案为：． （3）根据程序，得， ∴， 解得或． （4）根据程序，得， ∴， ∴， 解得或． 类型五、代数式中的阴影部分 【解惑】把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1），不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图2），盒子底部未被覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，在解题时要根据题意结合图形得出答案是解题的关键． 先设小长方形卡片的长为a，宽为b，再结合图形得出上面的阴影周长和下面的阴影周长，再把它们加起来即可求出答案． 【详解】解：设小长方形卡片的长为a，宽为b， ∴， L下面的阴影=， ∴ ， 又∵， ∴． 故选：B． 【融会贯通】 1．把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图②中两块阴影部分的周长和为24，则的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减运算的应用，准确理解题意是解题的关键，设小长方形的长为x，宽为y，由题意得，再表示出两块阴影部分的周长和，即可求解． 【详解】设小长方形的长为x，宽为y，由题意得， 则两块阴影部分的周长和为， ∴， 故选：B． 2．在正方形中，有甲、乙两个相同的小正方形如图所示放置，记图中两个阴影长方形的面积分别为．若，则小正方形的边长是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了正方形面积的计算，解题关键是列代数式表示． 由正方形，甲、乙两个相同的小正方形，，设，则，得，代入，化简得，即可得小正方形的边长是2． 【详解】解：由正方形，甲、乙两个相同的小正方形，， 设， 则， 得， 代入， 化简得， 则小正方形的边长是2． 故答案为：2． 3．如图，长为，宽为的长方形被分割成7部分，除阴影部分，外，其余5部分为形状和大小完全相同的小长方形，其中小长方形的宽为3．    (1)求小长方形的长（用含的代数式表示）； (2)若，你能否求出阴影图形与阴影图形的周长之和，若能，请求出来，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，掌握用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来是解题关键． （1）根据其余5部分为形状和大小完全相同的小长方形，得出小长方形的长为； （2）列式后计算，可得结论． 【详解】（1）解：∵小长方形的宽为3，矩形的长为， ∴小长方形的长为 ∴小长方形的长为； （2）解：由图可得阴影图形的长为，宽为， 阴影图形的长为，宽为， 阴影图形和阴影图形的周长之和为 ， ∴阴影图形与阴影图形的周长之和与值无关， 当时， ∴当时，阴影图形与阴影图形的周长之和为． 类型六、代数式中的行列排序 【解惑】如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行 第二行 第三行 第四行 根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化，算术平方根，观察题目找出解题点是解题的关键．根据数阵的规律可知：被开方数是连续的正整数，根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数，可得结论． 【详解】解：第1行的最后一个数是， 第2行的最后一个数是， 第3行的最后一个数是， …… 第8行最后一个数字为， ∴第8行倒数第三个数是， 故选：C． 【融会贯通】 1．如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化类规律，认真观察、找出规律是解题的关键． 先通过找规律找出第6、7、8行的从左到右第一个数，然后计算出第7、8行从左到右的第二个数，再计算第8行从左到右的第三个数即可． 【详解】解：通过已知可得到第6、7、8行的从左到右第一个数分别为 ∴第7、8行的从左到右第二个数分别为：， ∴第8行从左到右的第三个数为： 故选：B ． 2．我国古代数学中的“杨辉三角”是重要的成就，它的发现比欧洲早五百年左右．如图，这个“三角形”给出了的展开式（按的次数由大到小顺序排列）的系数规律，例如，第三行的三个数1、2、1，恰好对应展开式中各项的系数；第五行的五个数1、4、6、4、1，恰好对应展开式中各项的系数，根据此规律，则展开式中各项的系数之和为 ．      【答案】/512 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据“杨辉三角”得出展开式中各项的系数之和的规律是解题关键．根据杨辉三角中各行数字与展开后各项系数之间的联系，得出规律，的展开式中各项的系数之和为，即可求解． 【详解】解：由题意可知，的展开式中各项的系数之和为； 的展开式中各项的系数之和为； 的展开式中各项的系数之和为； 的展开式中各项的系数之和为； …… 观察发现，的展开式中各项的系数之和为， 展开式中各项的系数之和为， 故答案为： 3．下面的数表是由从1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答． (1)表中第8行的最后一个数是______，它是自然数_____的平方，第8行共有_____个数； (2)用含n的代数式表示：第n行第一个数是________，最后一个数是______，第n行共有_______个数； (3)求第20行各数之和． 【答案】(1)64，8，15 (2)，， (3)14859 【分析】本题考查了数字的变化规律，发现每行的变化规律是解答此题的关键． （1）根据图中的数据，总结规律求解即可； （2）根据图中的数据，总结规律求解即可； （3）根据前面发现的数字的变化特点，计算出第20行第1个数和最后一个数，然后求和即可． 【详解】（1）第1行的最后一个数是，它是自然数1的平方，第1行共有个数； 第2行的最后一个数是，它是自然数2的平方，第2行共有个数； 第3行的最后一个数是，它是自然数3的平方，第3行共有个数； 第4行的最后一个数是，它是自然数4的平方，第4行共有个数； …； ∴第8行的最后一个数是，它是自然数8的平方，第8行共有个数； 故答案为：64，8，15； （2）第1行的第一个数是，最后一个数是，第1行共有个数； 第2行的第一个数是，最后一个数是，第2行共有个数； 第3行的第一个数是，最后一个数是，第3行共有个数； 第4行的第一个数是，最后一个数是，第4行共有个数； …； ∴第n行的第一个数是，最后一个数是，第n行共有个数； 故答案为：，，； （3）∵第20行第1个数为，最后一个数为，共有个数 ∴第20行所有数字之和 ． 类型七、代数式中的规律 【解惑】如图是某月的日历． （1）带阴影的方框中的9个数之和与方框正中的数有什么关系？ （2）不改变方框的大小如果将带阴影的方程移至其他几个位置试一试，上述关系还成立吗？如成立，请说明为什么成立． 活学活用： 小明是个爱动脑筋的同学，在发现教材中的用方框在月历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数2，4，6，8，…，排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题： （3）十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？ （4）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其它五个数的和能等于2010吗？如能，写出这五个数，如不能，说明理由． 【答案】（1）方框中9个数之和为方框正中的数的9倍 （2）成立，理由见解析 （3）十字框中的五个数的和是中间数16的5倍 （4）不能，理由见解析 【分析】本题主要考查图形与数字规律，有理数的混合运算， （1）根据图示，列式求解即可； （2）设中心数为，根据（1）中的计算方法即可求解； （3）根据图示，列式计算即可求解； （4）设中间的数为，由此列式求解可得，再根据402在第41行的第一个数字进行判定即可求解． 【详解】解：（1）， ， ∴方框中9个数之和为方框正中的数的9倍； （2）成立，理由如下， 设中心数为， ∴， ∴9个数之和是方框正中的数的9倍； 活学活用 （3），， ∴十字框中的五个数的和是中间数16的5倍； （4）不能，理由如下， 设中间的数为， ∴，则， ∵402在第41行的第一个数字， ∴框住的5个数的和不能为2010． 【融会贯通】 1．观察下列算式： ； ； ； 按照上面的规律完成下列各题： (1)第四个算式： ； (2)第五个算式为 ； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索： （1）仿照题意求解即可； （2）仿照题意写出第五个算式即可； （3）根据题意可得规律，据此把所求式子裂项约分即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：由题意得，第五个算式为， 故答案为：； （3）； ； ； 以此类推可知，， ∴ ． 2．探索规律：从1开始，连续的自然数相加，它们的和的倒数情况如下表： 分母中加数的个数 和的倒数 2 3 4 5 … … (1)根据表中规律，求 ； (2)根据表中规律，则 ；（只列式，不要求计算结果） (3)求的值（写出计算结果） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类的规律探索，根据所给等式，总结出一般规律是解题的关键． （1）根据题目所给的等式，总结出一般规律，即可解答； （2）根据（1）中的规律，即可解答； （3）根据一般规律，先将算式转化，再进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， 故答案为：； （2）解：根据题意可得： ， 故答案为：； （3）解： ． 3．观察下面的变形规律： 解答下面的问题： (1)若n为正整数，且写成上面式子的形式，请你猜想_____． (2)计算： (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、数字规律等知识点，熟练掌握与运用对相应的运算法则是解答的关键． （1）分析所给的等式的形式，猜想规律即可解答； （2）利用（1）所得的规律对代数式进行变形即可解答； （3）利用（1）所得的规律对代数式进行变形即可解答． 【详解】（1）解：∵；；； 猜想． 故答案为：． （2）解： ． （3）解： ． 类型八、代数式中的新定义 【解惑】符号“f”表示一种运算，表示x在运算f作用下的结果，如表示x在运算f作用下的结果，它对一些数或式的运算结果如下： ，，，…． 利用上述运算定义计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查新定义运算，有理数的乘法及整式的加减，掌握行定义运算法则，利用新定义规则转化为正常运算是解题关键． （1）按新定义的运算法则代入计算即可； （2）按新定义法则将，代入转化为正常运算，去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：由题意，可知 ． （2）解： ． 【融会贯通】 1．新定义一种新运算“”，认真观察，寻找规律： ， ， ， ， (1)直接写出新定义运算律： ______； (2)新运算“”是否满足交换律？请说明理由； (3)先化简，再求值：，其中 【答案】(1) (2)新运算“”不满足交换律，见解析 (3)， 【分析】本题考查了有理数的混合运算，规律型：数字的变化类，理解定义的新运算是解题的关键． （1）从数字找规律进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论进行计算，即可解答； （3）按照定义的新运算先进行化简，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：新定义运算律：， 故答案为：； （2）解：新运算“”不满足交换律， 理由：∵，， ∴； （3）解： ， 当时，原式． 2．【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”， 记作，读作“的下4次方”一般地，把记作，读作“a的下n次方”． 直接写出计算结果： ______，______． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： （1）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式：______． （2）将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：______． 【结论应用】计算：． 【答案】概念学习：；；深入探究：（1）；（2）；结论应用： 【分析】本题考查了有理数的混合运算，涉及新定义，解题的关键是熟练掌握有理数相关运算法则，能根据新定义列出算式． 概念学习：由新定义列出算式计算即可； 深入探究：（1）根据新定义列出算式，化为乘方形式即可； （2）根据（1）的计算结果得出规律即可； 结论应用：根据有理数的混合运算顺序和运算法则及除方的运算法则计算即可． 【详解】解：概念学习：， ， 故答案为：，； 深入探究：（1） ； 故答案为：； （2） ． 故答案为：． 结论应用： ． 3．阅读理解题 我们定义：如果两个多项式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅常式”，这个常数称为关于的“雅常值”，如多项式，，，则是的“雅常式”，关于的“雅常值”为9 (1)已知多项式，，则关于的“雅常值”是______； (2)多项式是多项式的“雅常式”且“雅常值”是3，已知多项式，求多项式 (3)已知多项式（为常数），，是的“雅常式”，求关于的“雅常值” 【答案】(1)1 (2) (3)4 【分析】本题考查了整式的加减运算，注意计算的准确性即可． （1）计算即可求解； （2）由题意得，据此即可求解； （3）计算，令含未知数的项的系数为零即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴关于的“雅常值”是1 故答案为： （2）解：多项式是的“雅常式”且“雅常值”是3， ， . （3）解： . 是的雅常式， ， ， ， 关于的“雅常值”是4. 【一览众山小】 1．正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为和0，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2024次后，数轴上数2024所对应的点是（ ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，图形规律探究题目，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键． 根据题意可知每4次翻转为一个循环组依次循环，用2024除以4，根据正好能整除即可得解． 【详解】解：第一次翻转后，点B所对应的数为1， 第二次翻转后，点C所对应的数为2， 第三次翻转后，点D所对应的数为3， 第四次翻转后，点A所对应的数为4， 第五次翻转后，点B所对应的数为5， … ∴每4次翻转为一个循环组依次循环， ∴， ∴根据正好整除可知点数2024对应的是点A． 故选：A． 2．如图，将比大的所有整数从小到大按照如图所示的位置顺序排列，则2024应在第（    ） A B C D …… A．A列 B．B列 C．C列 D．D列 【答案】C 【分析】本意考查了数字的变化类，掌握变化规律是解题的关键．根据图形中有理数的排列规律，进行计算求解． 【详解】解：观察发现，每行3个数， 当为奇数时，最右边的数在列，最右边的数为， ，可得， 即2023在1385行第2个数， 即2023在奇数行第2个数， 应在列； 故选：C 3．已知 ，，， 根据前面各式的规律，可得： （1） ( )； （2）的值的个位数字是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字规律，掌握整式的混合运算，找出数字计算的规律是解题的关键． （1）根据材料提示的运算法则即可求解； （2）由材料提示找到运算规律可得，再计算幂的结果的个位数，由此即可求解． 【详解】解：（1）根据材料提示得，， 故答案为：； （2） ， ∵，，，，，，……即个位数字4次以循环，在， ∴的个位数为， ∴， 故答案为：． 4．若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数为，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，……，依此类推，则 ． 【答案】/0.75 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据题意列出前几项数字，根据所得规律求出 【详解】解：， ， ， ， 每三个数字为一循环， ∴， ∴， 故答案为： 5．若，试求： (1)当时，有何结论？ (2)当时，有何结论？ (3)当时，有何结论？ (4)你能求出． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了代数式求值：先把所求的代数式根据已知条件进行变形，然后利用整体的思想进行计算． （1）把代入所给等式中得到，即可得出结论； （2）把代入所给等式中得到，整理即可得出结论； （3）把代入所给等式中得到，整理即可得出结论； （4）把（2）和（3）中的两结论相减可计算出． 【详解】（1）解：当时，， 即； （2）解：当时，， 即①； （3）解：当时，， 即②； （4）解：由得， 所以． 6．【阅读理解】 已知代数式的值为9，求代数式的值． 嘉琪采用的方法如下： 由题意得，则有， ．所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若，则______． （2）若代数式的值为15，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，求代数式的值． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【分析】本题考查了代数式求值，整体代入是解题的关键； （1）先由可得，然后整体代入计算即可； （2）先由可得，由可得，然后整体代入计算即可； （3）先由可得、，然后把可得化成，然后整体代入计算即可． 【详解】解：（1）由可得， 则． 故答案为：1； （2）由可得， 则； （3）由、可得、， 则． 7．观察下列各式：；；；；； (1)探索式子的规律，试写出第个等式； (2)运用上面的规律，计算； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据式子的规律，可得； （）利用（）的结论递推，得出答案即可； （）把式子乘递推得出答案即可； 本题考查了数字类变化规律，得出数字次数的变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：∵；；；；， ∴第个等式为； （2）解： ， ， ； （3）解： ， ， ． 8．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题 ；；； (1)按以上规律，第个等式为：______；第个等式为：______（用含的式子表示，为正整数）； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】（）根据已给三个等式反映出的规律写出第个等式，第个等式即可； （）利用（）的规律分别将每个分数写出差的形式，再计算即可； （）找出三个连续奇数乘积的倒数与三个奇数的倒数间的关系，再利用这种关系对每个分数进行变形，并计算即可； 本题考查了数字变化类规律探究，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，找出三个连续奇数乘积的倒数与三个奇数的倒数间的关系． 【详解】（1）解：由规律可得，第个等式为， 第个等式为， 故答案为：，； （2）解：原式 ， ， ； （3）解：∵， ∴原式 ， ， ， ， ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$