精品解析：陕西省西安中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

陕西省西安中学高2025届高三第一次质量检测考试 数学试题 （时间：120分钟 满分：150分 命题人：赵昕媛） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 3 6. 已知函数，若关于的方程有2个不相等的实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则（     ） A. 有三个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 8. 已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（ ） A. B. 28 C. D. 14 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（ ） A. 甲乙不相邻的不同排法有48种 B. 甲乙中间恰排一个人的不同排法有36种 C. 甲乙不排在两端的不同排法有36种 D. 甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有20种 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如下，数据的分组依次是，则可估计这次数学测试成绩的第40百分位数是_________． 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 14. 的展开式中，的系数为__________． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性． 16. 为践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高三年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线的附近，请根据下表中的数据求出 月份x 1 2 3 4 5 6 体重超标人数y 98 77 54 48 32 27 （1）该年级体重超重人数y与月份x之间的经验回归方程系数的最终结果精确到； （2）预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10人以下. 附：经验回归方程：中，，；参考数据：，，， 17. 已知函数，，，且 （1）当且时，求不等式的解集； （2）若函数在区间上有零点，求t的取值范围. 18. 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)； (①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，. ) （2）（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望； （ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大. 19. 已知函数 （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，证明：函数在上单调递增； （3）若是函数的极大值点，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省西安中学高2025届高三第一次质量检测考试 数学试题 （时间：120分钟 满分：150分 命题人：赵昕媛） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据对数函数的单调性解不等式化简集合B，然后利用交集运算求解即可. 【详解】因为，所以，解得或， 故或，又，所以. 故选：C 2. “”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数和一次函数的单调性，再结合复合函数“同增异减”的判断法则求得对应的的取值范围即可得出结论. 【详解】易知的定义域为，且函数为单调递减函数； 根据复合函数单调性可知若函数在上单调递增， 可得，解得； 显然是的真子集， 所以“”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件. 故选：B 3. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D. 【详解】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断出，，，即可求解. 【详解】 ，故； ，故，故. 故选：B. 5. 已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由条件推得函数的周期为4，结合函数的周期，即可求解. 【详解】由，可得， 所以的周期为4，则． 故选：C. 6. 已知函数，若关于的方程有2个不相等的实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，转化为与的图象有2个交点，分、和，三种情况讨论，结合导数的几何意义与函数的图象，即可求解. 【详解】由题意，关于的方程有2个不相等的实数解， 即与的图象有2个交点，如图所示， 当，直线与的图象交于点， 又当时，，故直线与（）的图象无公共点， 故当时，与的图象只有一个交点，不合题意； 当，直线与曲线（）相切时， 此时与的图象有2个交点， 设切点，则，又由过点， 所以，解得，所以； 当时，若，则，由，可得， 所以当时，直线与的图象相切， 由图得当时，直线与的图象有2个交点． 综上所述，实数的取值范围是． 故选：C． 7. 已知函数，则（     ） A. 有三个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】C 【解析】 【分析】求导后判断单调性，从而求得极值点即可判断A；利用单调性结合零点存在性定理即可判断B；令，得到是奇函数，是的对称中心，再结合图象的平移规律即可判断C；由导数的几何意义求得切线方程即可判断D. 【详解】对于A，由题，， 令得或，令得， 所以在，上单调递增，上单调递减， 所以是极值点，故A不正确； 对应B，因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 对于C，令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 对于D，令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：C 8. 已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（ ） A. B. 28 C. D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法结合一元二次方程根的分布，数形结合计算即可. 【详解】先作出的大致图象，如下 令，则， 根据的图象可知：要满足题意必须有两个不等根， 且有两个整数根，有三个整数根， 结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数相切时符合题意， 因为，当且仅当时取得等号， 又，易知其定义域内单调递减， 即，此时有两个整数根或， 而要满足有三个整数根，结合图象知必有一根小于2， 显然只有符合题意，当时有，则， 解方程得的另一个正根为， 又， 此时五个整数根依次是， 显然最大的根和最小的根和为. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用求导公式逐项判断即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD 10. 甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（ ） A. 甲乙不相邻的不同排法有48种 B. 甲乙中间恰排一个人的不同排法有36种 C. 甲乙不排在两端的不同排法有36种 D. 甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有20种 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据排列和组合的定义、结合捆绑法逐一判断即可. 【详解】A：甲乙不相邻的不同排法有种，所以本选项不正确； B：甲乙中间恰排一个人的不同排法有种，所以本选项正确； C：甲乙不排在两端的不同排法有种，所以本选项正确； D：甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有种，所以本选项正确. 故选：BCD 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项ABD，利用不等式的性质计算即可，选项C，因为可正可负，所以不容易化简解决，一般当乘或除以一个不知正负的数，基本上错误，我们只需要找反例即可. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，所以，故B正确； 因为，不妨令，得，此时，故C错误； 因为，所以，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如下，数据的分组依次是，则可估计这次数学测试成绩的第40百分位数是_________． 【答案】65 【解析】 【分析】利用百分位数的定义求解. 【详解】解：成绩在的频率是， 成绩在的频率为， 所以第40百分位数一定在内， 所以这次数学测试成绩的第40百分位数是， 故答案为：65 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 14. 的展开式中，的系数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】二项式的通项公式为， 所以的系数为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性． 【答案】（1）极小值为，极大值为 （2） 当时，在上递增， 当时，在上递增，在上递减， 当时，在上递增；在上递减． 【解析】 【分析】（1）对求导，分析单调性，再根据极值定义即可求解； （2），对分，和讨论单调性即可. 【小问1详解】 . 所以或时，，时，， 则在上递减，在递增， 所以的极小值为，极大值为. 【小问2详解】 ， 当时，，所以在上递增， 当时，或时，；时，， 所以在上递增，在上递减， 当时，或时，；时，， 所以在上递增；在上递减． 16. 为践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高三年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线的附近，请根据下表中的数据求出 月份x 1 2 3 4 5 6 体重超标人数y 98 77 54 48 32 27 （1）该年级体重超重人数y与月份x之间的经验回归方程系数的最终结果精确到； （2）预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10人以下. 附：经验回归方程：中，，；参考数据：，，， 【答案】（1） （2）从第十个月开始 【解析】 【分析】（1）由计算公式与参考数据，求出则可得回归方程； （2）根据经验回归方程建立不等式，解出不等式则可预测. 【小问1详解】 由得， 由题意得，， 所以， ， 所以， 即y关于x的经验回归方程为 【小问2详解】 令， 所以， 又由于，所以解得，且， 所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至10人以下. 17. 已知函数，，，且 （1）当且时，求不等式的解集； （2）若函数在区间上有零点，求t的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）当时，将不等式转化为，利用对数函数的单调性结合一元二次不等式求解即可； （2）解法一：分离参数，将原函数的零点问题转化为且有根，设且，则，利用对勾函数的单调性求解值域即可求解； 解法二：先判断时，不合题意，当时，根据二次函数零点分布分类讨论，列不等式组求解即可. 【小问1详解】 当时，，又，则， ， 不等式的解集为； 【小问2详解】 解法一：由题设， 由，得且，则， 设且，则， 令， 当时，单调递减，当时，单调递增， 且，故且 或， t的取值范围为：或 解法二：，若，则在上没有零点． 下面就时分三种情况讨论： ①方程在上有重根，则，解得， 又； ②在上只有一个零点，且不是方程的重根，则，解得或， 经检验或时，在上都有零点，则或 ③方程在上有两个相异实根，则有或，解得， 综上可知：t的取值范围为或 18. 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)； (①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，. ) （2）（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望； （ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大. 【答案】（1） （2）（i） 0 1 2 3 . （ii） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求得样本平均数，然后利用正态分布的对称性求解概率. （2）（i）先求出的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可； （ii）先根据二项分布的期望求出，然后构造函数，利用导数求出最大值时的即可. 【小问1详解】 由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为： ． 即，，所以， 因为质量指标值近似服从正态分布， 所以， 所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为等品的概率约为. 【小问2详解】 （i），所以所取样本的个数为20件， 质量指标值在的芯片件数为10件，故可能取的值为0，1，2，3， 相应的概率为： ，， ，， 随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望. （ii）设每箱产品中A等品有件，则每箱产品中等品有件， 设每箱产品的利润为元， 由题意知：， 由（1）知：每箱零件中A等品的概率为， 所以，所以， 所以 . 令，由得，， 又，，单调递增，，，单调递减， 所以当时，取得最大值. 所以当时，每箱产品利润最大. 19. 已知函数 （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，证明：函数在上单调递增； （3）若是函数的极大值点，求实数a的取值范围. 【答案】（1）函数的单调增区间为，单调减区间为 （2）因为，所以，且知， 要证函数单调递增，即证在上恒成立， 设，，则， 注意，在上均为增函数， 故在上单调递增，且， 于是在上单调递减，在上单调递增， ，即，因此函数在上单调递增; （3） 【解析】 【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）对函数二次求导，判断导函数的单调性，求出导函数的最小值，即可证明； （3）对求导得，，令，再求导，分的不同取值讨论的性质，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 当时，，且知， 在上，， 在上单调递增； 在上，， 在上单调递减； 所以函数的单调增区间为，单调减区间为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，有， 令，有， ①当时，在上恒成立，因此在上单调递减， 注意到，故函数的增区间为，减区间为， 此时是函数的极大值点; ②当时，与在上均为单调增函数， 故在上单调递增， 注意到，若， 即时，此时存在，使， 因此在上单调递减，在上单调递增，又知， 则在上单调递增，在上单调递减，此时为函数的极大值点， 若，即时，此时存在，使， 因此在上单调递减.在上单调递增，又知， 则在上单调递减，在上单调递增， 此时为函数的极小值点. 当时，由可知单调递增，因此非极大值点， 综上所述，实数 a的取值范围为 【点睛】关键点点睛：已知函数的极大值点，求出函数的导数，根据导数的导数分类讨论，确定函数极值点是解题的关键，据此可得符合题意的参数取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $