小升初典型奥数：列方程问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

列方程问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 2024年10月 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 1.知识概要 列方程解应用题是在初步学会用含有未知数的等式解一些需要逆向思考的简单应用题的基础上学习的。学好列方程解应用题的关键是在理解题意分析数量关系的基础上正确找出应用题中数量间的相等关系。列方程解应用题是简易方程知识的实际应用，也是一种重要的数学方法。它能使一些问题化难为易，拓展解题思路，提高解题的灵活性和变通性。 2.列方程解应用题的一般步骤 （1）审题（弄清未知数和未知数与已知条件之间的数量关系）。 （2）设未知数。 （3）概括等量关系，列出方程。 （4）解方程。 （5）检验，作答（将解得的结果代入原应用题.依题意检验，看答案是否正确）。 3.掌握分析等量关系的方法 （1）根据常见的数量关系找等量关系。如：时间、速度、路程；单价、数量、总价等之间的关系。 （2）根据周长、面积、体积等计算公式找等量关系。如： 三角形的面积=底×高÷2； 长方形的周长=（长+宽）×2等。 （3）根据题中的重点叙述句，从整体上确定基本数量关系。 （4）对于较难理解的应用题，利用线段图、列表等方法分析题意找出等量关系。 4.弄清列方程解应用题和用算术方法解应用题的区别与联系 （1）列方程解应用题，未知数用字母表示参加列式。根据题中数量间的相等关系，列出含有未知数x的等式。 （2）用算术方法解应用题，未知数不参加列式，根据题中数量间的关系，确定解答方法，再列式计算。 （3）列方程解应用题和用算术方法解应用题是以四则运算的意义和常见的数量关系为基础和依据的。 第二部分 典型例题 例题1：一个小学生在期末考试时，语文、数学两门功课的成绩平均是91.5分，又知数学成绩比语文成绩多5分，求这两门功课各多少分？ 【答案】语文89 分，数学94分 【详解】解：设这个学生的语文成绩是x分，那么数学成绩是x5分． 根据题意列出方程：xx591.52 解得 x89   所以这个学生的语文成绩是89 分，那么数学成绩是89594（分）． 例题2：将球装入两种盒子中, 每个大盒子装12个, 每个小盒子装5个，正好装完．如果弹子数为99，盒子数大于9，大盒和小盒各多少个？ 【答案】大盒子有2个，小盒子有15个，或大盒子有7个，小盒子有3个 【详解】两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它的自然数解． 解：设大盒x个，小盒y个． 12x+5y=99（x＞0，y＞0，x+y＞9）         y＝（99－12x）÷5 结合奇偶性、尾数分析，99是奇数，12x是偶数，5y尾数是5，12x尾数是4，x取2、7． 经列举试验，x=2时，y=15；x=7时，y=3． 所以，大盒子有2个，小盒子有15个，或大盒子有7个，小盒子有3个． 由题中可以看出，对于不定方程，要尽量缩小未知数的取值范围，再求解．不定方程常常利用奇偶性和尾数来帮助解决 例题3：在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强想逆行从上到下，如果每秒向下迈两级台阶，那么他走过100级台阶后到达站台；如果每秒向下迈三级台阶，那么走过75级台阶到达站台．自动扶梯有多少级台阶? 【答案】50级 【详解】每秒向下迈2级台阶，走100级台阶的时间为100÷2=50，每秒迈3级台阶，走75级台阶时间为75÷3=25，自动扶梯分别上行了2x级和x级，列式为100-2x=75-x，解得x=25级，自动扶梯有50级． 例题4：一个班有学生48人，每人至少参加跑步、跳高两项比赛中的一项．已知参加跑步的有37人，参加跳高的有40人，请问：这两项比赛都参加的学生有多少人？ 【答案】29人 【分析】两项比赛都参加的学生人数，就是参加跑步人数、参加跳高人数重复的部分，排除掉重复部分，所得的就是全体参赛人数，也就是全班学生人数．解答这类问题最好先画图，它可以帮助我们分析数量关系． 【详解】解：设两项比赛都参加的有X人，那么 （37+40）-X=48 X=29 【点睛】一般地，假设具有性质A的事物（人）有XA个，具有性质B的事物（人）有XB个，既具有性质A，又具有性质B的事物（人）有XAB个，至少具有A、B中一种性质的事物（人）有X个，那么：X=（XA＋XB）-XAB．这个关系式可用下图来表示： 这个示意图直观形象地揭示了包含排除原理，同时也为计算一些组合图形的面积提供了另一种思路． 第三部分 高频真题 1．志诚中学5年级有200名学生踊跃申报学科培训班，已知申报奥数班的学生有140人，申报英语班的学生有120人，申报科技班的学生有60人，参加奥数和英语班的学生有60人，申报奥数和科技班的学生有40人，申报英语班和科技班的学生有30人，那么有多少人三个班都报了？ 2．六年级有学生300人，从六年级男生中选出，女生中选出参加校运动会，这样全年级还剩下91人参加布置会场工作．六年级有男、女生各多少人？ 3．小明读一本书，第一天读83页，第二天读74页，第三天读71页，第四天读64页，第五天读的页数比这五天中平均读的页数要多3.2页．小明第五天读了多少页？ 4．一次朋友聚会，大家见面时总共握手28次．如果参加聚会的人和其余的每个人只握手一次，问参加聚会的共有多少人？ 5．10人围成一圈，每人心里想一个数，并把这个数告诉左右相邻的两个人．然后每个人把自己和左右两人的平均数亮出来，如下图所示，那么亮出5的人心中想的数是多少？ 6．某商店因换季销售某种商品，如果按定价的5折出售，将赔30元，按定价的9折出售，将赚20元，则商品的定价为多少元？ 7．甲、乙、丙三人从同一地点出发，沿同一路线追赶前面的小舟，这时三人分别用5分钟、8分钟、10分钟追上小舟．已知甲每小时走36千米，乙每小时走30千米．求丙的速度？ 8．甲、乙两人各有钱若干，现有18元奖金，如果全部给甲，则甲的钱为乙的2倍，如果全部给乙，则乙的钱为甲的．问原来两人各有多少元钱？ 9．水果店运来的西瓜的个数是白兰瓜的个数的2倍．如果每天卖白兰瓜40个，西瓜50个，若干天后卖完白兰瓜时，西瓜还剩360个．水果店运来的西瓜和白兰瓜共多少个？ 10．四个自然数，每次取其中的三个相加，得到四个和，分别为22，24，27和20，求这四个数各是多少？ 11．一人看见山上有一群羊，他自言自语到：“我如果有这些羊，再加上这些羊，然后加上这些羊的一半，又加上这些羊一半的一半，最后再加上我家里的那只，一共有只羊”．山上的羊群共有多少只？ 12．有甲、乙两块含铜率不同的合金，甲块重千克，乙块重千克，现在从甲、乙两块合金上各切下重量相等的一部分，将甲块上切下的部分与乙块剩余的部分一起熔炼，再将乙块上切下的部分与甲块剩余的部分一起熔炼，得到的两块新合金的含铜率相同，则切下重量为多少千克？ 13．甲乙两人进行400比赛，第1次甲让乙先跑18秒，结果甲落后40米．第2次甲让乙先跑25米，结果甲比乙早到7.5秒，跑400米，甲、乙各需要多少时间？ 14．26人中．有13人喜欢打篮球，9人喜欢踢足球，12人喜欢打排球，有2人篮球、足球都喜欢，另有2人排球、足球都喜欢，但没有1人三种球都喜欢．问：有多少人喜欢打排球和篮球？ 15．一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶；由乙至甲是逆水行驶，已知船在静水中的速度为每小时8公里，平时逆行与顺行所用时间的比为2：1，某天恰逢暴雨，水流速度变为原来的2倍，这条船往返共用9小时，那么甲乙两港相距多少公里？ 16．国庆期间，山西的特大暴雨，牵动了全国人民的心。山西暴雨引发省内37条河流几乎同时发生洪水，接踵而至的是山体滑坡、路面冲毁、屋舍农田被淹。解放军某部紧急调派四支队伍参加救灾，从第一队抽调一半人支援第二队，抽调35人支援第三队，又抽调剩下的一半支援第四队，后来又调进8人，这时第一队还有30人，第一队原来有多少人？ 17．甲、乙、丙、丁四人共做了 270 个零件，如果甲多做 10 个，乙少做 10 个，丙做的个数乘 2，丁做的个数除以 2，那么四人做的个数恰好相等。求甲、乙、丙、丁实际做的个数。 18．有两块地共90公亩，第一块地的和第二块地的种茄子，两块地余下的共45公亩种西红柿．求第一块地有多少公亩？ 19．姐姐现在的年龄是弟弟当年年龄的倍，姐姐当年的年龄和弟弟现在的年龄相同，姐姐与弟弟现在的年龄和为岁，则弟弟现在的年龄是多少岁？ 20．向100名同学调查春游去长城还是去香山的态度，赞成去长城的人数是全体的；赞成去香山的人数比赞成去长城的多3人，另外对去两处都不赞成的学生数比对去两处都赞成的学生数的多1人，求对去长城和香山都赞成和都不赞成的学生各有多少人？ 21．甲、乙两种商品成本共200元。甲商品按30%的利润定价，乙商品按20%的利润定价。后来两种商品都按定价的90%出售，结果获利润27.7元。甲、乙两种商品的成本各是多少元？ 22．在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过30级台阶到达地面．从站台到地面有多少级台阶？． 23．修一条公路，未修的长度是已修长度的 4 倍。如果再修200m，未修的长度就是已修长度的 2 倍。这条公路长多少米？ 24．新学期开始，有一批新的教科书要分发到各位学生手中，这批教科书必须由一个小组的学生来搬，这批教科书如果由小组中的男生来搬，每人搬25本，那么还有15本没人搬，如果由小组中的女生来搬，每人搬20本，那么最后一名女生只需要搬10本．已知这个小组的学生一共有8人，求男、女生各有多少名？ 25．甲、乙、丙、丁四人一共做了370个零件，如果把甲做的个数加10个，乙做的个数减去20个，丙做的个数乘2，丁做的个数除以2，四人做的零件数就正好相等，那么乙实际做了多少个？ 26．甲、乙、丙共有100本课外书．甲的本数除以乙的本数，丙的本数除以甲的本数，商都是5，而且余数也都是1．乙有书多少本？ 27．A、B、C三瓶糖水的浓度分别为20%，18%，16%，它们混合后得到100g浓度为18.8%的糖水，如果B瓶糖水比C瓶糖水多30g，那么A瓶糖水有多少克？ 28．有红、白球若干，若每次拿出 1 个红球和 1 个白球，则拿到没有红球时，还剩下 50 个白球；若每次拿出 1 个红球和 3 个白球，则拿到没有白球时，还剩下 50 个红球；问这堆红球、白球共有多少个？ 29．一个空水池有甲、乙两根进水管和一根排水管，单开甲管需5分钟注满水池，单开乙管需10分钟注满水池，满池水如果单开排水管需要6分钟流尽．某次池中无水，打开甲管若干分钟后，发现排水管未关上，随即关上排水管，同时打开乙管．又过了同样时间，水池的注了水．如果继续注满水池，前后一共花了多少时间？ 30．一辆汽车从粮库到粮店运粮，来回共用15小时，去时用的时间是回来的1.5倍，回来时比去时每小时快12km，求两地的距离． 31．爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和是64岁．当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁；当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁．现在三个人的年龄各是多少岁？ 32．假设五家共用一井取水，甲用绳根不够，差乙家绳子根；乙用绳根不够，差丙家绳子根；丙用绳子根不够．差丁家绳子根；丁用绳子根不够，差戊家绳子根；戊用绳根不够，差甲家绳子根．如果各得所差的绳子根，都能到达井深．问井深，绳长各是多少？（井深为小于的整数） 33．苹果和梨各有若干个，如果5个苹果和3个梨装一袋，那么还多4个苹果，梨恰好装完；如果7个苹果和3个梨装一袋，那么苹果恰好装完，还多12个梨，那么苹果和梨各有多少个？ 34．有两支香，第一支长厘米；第二支长厘米，同时点燃后，都是平均每分钟燃掉厘米，多少分钟后第一支香的长度是第二支香的长度的倍? 35．几位裁判员为一位体操运动员评分，去掉一个最高分后，平均成绩为8.82分．如果记入最高分，平均成绩为9.04分．已知这位运动员的最高分是9.70分，问：共有几位裁判员？ 36．有甲、乙、丙三堆石子，从甲堆中取出8个给乙堆后，甲、乙两堆的石子数就相等了；再从乙堆中取出6个给丙堆，乙、丙两堆的石子数也相等；此时又从丙堆中取2个给甲堆，使甲堆石子数是丙堆石子数的2倍，问：原来甲堆有多少个石子？ 37．甲每小时生产 12 个零件，乙每小时生产 8 个零件。一次，二人同时生产同样多的零件，结果甲比乙提前 5 小时完成了任务。 问：甲一共生产了多少个零件？ 38．某缝纫社有甲、乙、丙、丁4个小组，甲组每天能缝制8件上衣或10条裤子；乙组每天能缝制9件上衣或12条裤子；丙组每天能缝制7件上衣或11条裤子；丁组每天能缝制6件上衣或7条裤子．现在上衣和裤子要配套缝制（每套为一件上衣和一条裤子）．问：7天中这4个小组最多可缝制多少套衣服？ 39．寒暑表上通常有两个刻度，摄氏度(记为℃)和华氏度(记为)，它们之间的换算关系是：摄氏度华氏度，那么在摄氏多少度时，华氏度的值恰好是摄氏度的倍． 40．一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶．已知船在静水中的速度为8千米/时，平时逆行与顺行所用的时间比为2∶1．某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用9时．问：甲、乙两港相距多少千米？ 41．有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒．问：队伍有多长？ 42．甲、乙两件商品的成本共600元，已知甲商品按45%的利润定价，乙商品按40%的利润定价，后来甲打8折出售，乙打9折出售，结果共获利110元．两件商品中，成本较高的那件商品的成本是多少元？（列二元一次方程组解） 43．甲、乙、丙、丁四人共做零件270个．如果甲多做10个，乙少做10个，丙的个数乘2，丁做的个数除以2，那么四人做的零件数恰好相等，问丙实际做了多少个？ 44．一批葡萄运进仓库时的质量是100千克，测得含水量为99%，过一段时间，测得含水量为 98%，这时葡萄的质量是多少千克？ 45．有五堆桃，较小的3堆平均有18个桃，较大的2堆桃数之差为4较大的2平均有26较小的2桃之差为5个，最大堆与最小堆平均有21。问：每堆各有多少个桃？ 参考答案： 1．10人 【分析】此题为涉及三者关系的容斥原理典型题型，可以画出韦恩图，根据条件对应逐一填入，然后直接运用公式将未知求出． 【详解】 解法一：如图，设三个班都报的同学为x人 140+120+60－60－40－30+x=200 解得x=10 答：共有10人三个班都报了． 解法二： 200－（140+120+60－60－40－30）=10（人）． 2．男生236人，女生64人 【详解】解：设六年级有男生x人，那么女生300-x人．根据题意列方程： 300-x-（300-x）×=91 解得，x=236 300-x=300-236=64（人） 答：六年级有男生236人，女生64人． 3．77页 【分析】根据题意，设小明第五天读的页数是x页，则根据第五天读的页数比这五天中平均读的页数要多3.2页，即第五天读的页数﹣这五天中平均读的页数要=3.2，列方程解答即可． 【详解】解：设小明第五天读的页数是x页 x﹣（83+74+71+64+x）÷5=3.2， 5x﹣292﹣x=16， 4x=308， x=77； 答：小明第五天读了77页． 4．8 【详解】解：设共有n人参加了聚会，因为要求参加聚会的人和其余的每个人只握手一次，所以一共握手（n-1）+（n-2）+…+2+1=n×（n-1）÷2，因为共握手28次，所以n×（n-1）÷2=28，即n×（n-1）=56.又因为n是正整数，通过计算，可知8×7=56，n=8，所以参加聚会的共有8人． 答：参加聚会的共有8人． 5．5 【详解】将分别亮出、、、……、的人依次编号为①、②、③、……、⑩，设①号心中想的数字为； 那么①②③=，②③④，因此④号比①号大，所以④号是； 同理⑦号比④号大，所以⑦号是； 依此类推，⑩号是，③号是，⑥号是，⑨号是； 由①、⑩、⑨三人的平均数是，列方程得，解得. 6．125元 【详解】解：设商品的定价是x元 90%x-20=50%x+30 90%x-50%x=30+20 0.4x=50 x=125 答：商品的定价是125元． 7．每小时28千米 【分析】因为三人从同一地点出发追赶小舟，因此他们与小舟的路程差是相等的 【详解】解：设小舟的速度为x米／分钟，36千米/小时=0．6千米／分钟，30千米／小时=0.5千米／分钟．甲与小舟的路程差：（0．6－x）×5．乙与小舟的路程差：（0．5－x）×8． （0．6-x）×5=（0．5-x）×8 三人与小舟的路程差为：（千米） 丙与小舟的速度差：（千米/分钟） 丙的速成度：（千米/分钟） 千米/分钟=（）千米/小时=28（千米/小时） 答：丙的速度是每小时28千米． 8．甲原有72元，乙原有45元 【详解】解：设乙原有x元钱，则甲原有2x-18元， ×（2x-18）=x+18 解得，x=45 2x-18=2×45-18=72（元） 答：甲原有72元，乙原有45元钱． 9．1440 【详解】解：设白兰瓜进了x个，则西瓜进了2x个，有，得 所以西瓜和白兰瓜共（个）． 法一：(涉及到分数，慎重选讲) 注意到两种瓜卖的天数相等这一等量关系，设白兰瓜进了个，则西瓜进了个， 列方程得：，解得，， 所以西瓜和白兰瓜共个． 法二： 设卖了天，根据题意列方程得，解得， 所以西瓜和白兰瓜共有 10．9、7、4、11 【详解】设这四个数的总和为，那么这四个数分别为，，和，那么 ． 所以这四个数分别为、、、． 11．36 【详解】设山上的羊有只， 那么有等量关系，解得； 所以山上的羊一共有． 12．2.4 【详解】设切下的部分重量为千克，则甲切下的千克与乙剩下的千克混合．由于得到的两块新合金的含铜率相同，所以若将这两块新合金混合，得到的大块合金的含铜率应与原来的两块新合金的含铜率相同，而这一大块合金是由千克甲块合金与千克乙块合金混合而成的，所以千克甲块合金与千克乙块合金混合后的含铜率与千克甲块合金与千克乙块合金混合后的含铜率相同，而甲、乙两块合金含铜率不同，所以这两种混合中甲、乙两种合金的重量比相同，即，所以：，解得．即切下的重量为千克． 13．甲需要60秒，乙需要72秒 【详解】解：设甲跑400米需要秒，乙跑400米需要秒． 依题意可列方程组： 化简得 解得： 答：甲跑400米需要60秒，乙跑400米需要72秒． 14．4个 【详解】解：设喜欢排球和篮球的人数为x,根据题意列方程： 26+2+2+x=13+12+9=34 解得，x=4 15．20公里 【详解】解：设原水速为每小时x公里，甲乙两港相距y公里；因路程一定，时间与速度成反比例， 平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为2：1，所以平时逆水航行与顺水航行的速度比为1：2；故得方程： （8-x）：（8+x）=1：2 解得， 又因暴雨时的水速为原来的2倍，再据往返两地的时间为9小时，可得方程： 解得，； 答：甲乙两港相距20公里． 【点睛】此题主要考查流水行船问题，关键是弄清楚：顺水速=静水速+水速，逆水速=静水速-水速． 16．158人 【分析】设第一组原有人数为未知数，根据其人数的变化情况列方程求解。 【详解】解：设第一组原有人； 答：第一队原来有158人。 【点睛】本题也可以按照还原问题的思路来求解，从后往前进行考虑。 17．甲:50  乙:70  丙:30  丁:120 【详解】解：设恰好相等的数量为x， （x-10）+（x+10）+2x+x÷2＝270 解得x＝60 可得，甲:50，乙:70，丙:30，丁:120。 18．36公亩 【详解】解：设第一块地有x公亩，则第二块地有（90-x）公亩，依题意可得： 答：第一块地有36公亩． 19．10 【详解】设弟弟现在的年龄是岁，那么姐姐的年龄为岁，年龄差为，弟弟当年年龄为岁，由题意可列方程，解得所以，弟弟现在的年龄是岁． 20．都赞成的：36人；都不赞成的：13人 【分析】所求的都赞成和都不赞成的学生都包含在100名同学中，由于问题较复杂，我们在100人中利用逐步排除法进行计算．如下图所示，用长方形I表示100名被调查的学生，A表示赞成去长城的学生，B表示赞成去香山的学生，则A中有（人），B中有60＋3＝63（人），若设去两处都赞成的学生有x人，则去两都不赞成的学生有（）人． 【详解】解：设去两处都赞成的学生有x人，则两都不赞成去的学生有（）人 解得x＝36 故两都不赞成去的学生有：（人） 答：去两处都赞成的学生有36人，去两处都不赞成的学生有13人． 21．甲商品的成本是130元，乙商品的成本是70元。 【分析】根据“两种商品都按定价的90%出售，结果仍获得27.7元的利润”可知，两种商品售出后，共收入227.7元。由此可求出如果两种商品按原来的定价出售，共应该收入253元。这样，就可以求出两种商品如果按原来的定价出售，共应获利53元。 我们可以假设两种商品都按30%的利润来定价。那么两种商品出售后，共应获得利润60元。因为乙商品实际是按20%的利润来定价的，而我们却假设它按30%的利润来定价，因此比实际多获得利润相当于乙商品10%的利润，这样就可以求出乙商品的成本，进而求出商品的成本。 【详解】解法一：若两种商品都按原来的定价出售，一共应该获得利润 （200＋27.7）÷90%－200 ＝227.7÷90％ ＝53（元） 假设两种商品都按30%利润出售，一共应该得利润200×30%＝60（元） 比实际多获利润60－53＝7（元）所以，乙商品的成本： 7÷（30%－20%） ＝7÷10% ＝70（元）。 甲商品的成本是：200－70＝130（元） 解法二：设甲商品的成本是x元，则乙商品的成本是（200－x）元。根据题意，列方程得： [（1＋30%）x＋（1＋20%）×（200－x）]×90%＝200＋27.7 [1.3x＋1.2×（200－x）]×90%＝227.7 [1.3x＋240－1.2x]＝227.7÷90% x＝130 所以，甲商品的成本是130元，乙商品的成本是200－130＝70（元）。 答：甲商品的成本是130元，乙商品的成本是70元。 【点睛】根据题目已知数学信息，分析各个量之间的数量关系，可用不同方法进行解答，发散思维，一题多解。 22．60级 【详解】每秒迈一级台阶走20级所花时间为20秒，每秒迈二级台阶走30级所花的时间为15秒，设20秒扶梯向上走级，则15秒走了级．由扶梯长度可得20+=30+，解得=40，扶梯长20+40=60（级）． 23．1500米 【详解】解：设一开始已经修建的长度为X 由题意得，（x+200)×2=4x-200 解得，X=300 道路全长：5X=1500米 答：这条公路长1500米。 24．男生3人，女生5人 【详解】设这个小组中的男生的人数为人，那么女生的人数为人， 由两种搬书方式的数量关系可以列出方程： ． 所以这个小组中有男生3人，女生人． 25．100个 【分析】此题包含了四个未知数，它们之间的关系是经过加减乘除的运算后，四人做的零件个数相等，由此可以设出零件数相等时是x个，从而可以得出他们实际所做的零件个数：甲为（x-10 ）个，乙为（x+20）个，丙为（x÷2）个，丁为2x个．根据等量关系四人所做的零件个数之和=370，可以列出方程解决问题． 【详解】解：设四人做的零件数相等时为x个，那么原来甲为（x-10 ）个，乙为（x+20）个，丙为（x÷2）个，丁为2x个．根据题意列方程： （x-10）+（x+20）+（x÷2）+2x=370 解得x=80 乙为：80+20=100（个） 答：乙实际做了100个零件． 26．3 【详解】方法一：设乙有课外书x本，则甲有课外书本，丙有课外书（本）， 于是有，即，解得． 方法二：丙的本数超过乙的25倍，所以乙至多有3本书．显然乙的书至少2本，如果乙有2本书，那么甲有（本），丙有（本），三人共有的书不到100本，所以乙有书3本． 27．50克 【分析】三瓶糖水的浓度都是已知的，并且知道B瓶比C瓶多30克，可以假设C瓶为x克，那么B瓶为（x+30）克，A瓶糖水为：100-（x+x+30）=70-2x克，混合前后溶质的质量和没有发生变化，我们可以用这个等量关系来列方程解题． 【详解】解：设C瓶糖水有x克，则B瓶糖水为x+30克，A瓶糖水为100-（x+x+30）=70-2x， （70-2x）×20%+（x+30）×18%+x×16%=100×18.8%，整理得0.06x=0.6，解得x=10，所以A瓶糖水为：70-2×10=50（g） 答：A瓶糖水有50克． 28．250个 【详解】解：设红球X个，则有白球（X+50）个，根据题意得 （X+50）÷3=X-50 X+50=（X-50）×3 X+50=3X-150 2X=200 X=100 白球：X+50=100+50=150； 100+150=250（个） 答：这堆红球、白球一共有250个． 29．4分钟 【分析】一方面，可以根据：第一段注入的水+第二段注入的水=，列出方程来求解． 另外，由题目知甲、乙管及排水管的工效率以及两上阶段所用时间相等，可求出工作效率和，进而求解． 【详解】解法一：设打甲管未发现排水管关上这段时间为x分钟，列出方程得： 那么注满水池共需 解法二：甲管的工作效率为，排水管的工作效率为，那么在单开甲管，没有发现排水管未关上这段时间内，每分钟只能注入：的水；又关上排水管，同时打开乙管后每分钟注入：的水． 我们又知道这段时间相等．所以，可以认为用的工作效率之和注水若干分钟后，水池注入，以后继续注水时间为．因此，注满水池，前后一共花了1.5+2.5=4(分钟)． 答：注满水池共用4分钟． 30．216千米 【详解】回来用时：15÷（1+1.5）=6（小时） 去时用：15-6=9（小时） 12×6=72（千米） 设汽车速度为X，根据题意列方程： 9X=6X+72 X=24 两地距离：6X+72 =6×24+72 =216（千米） 31．爸爸40岁，哥哥14岁，妹妹10岁. 【详解】（法1）操作分析法．①妹妹9岁时，爸爸年龄是哥哥年龄的3倍，如果妹妹再增加25岁，妹妹便是34岁．此时，哥哥和爸爸也都增加25岁．那么此时爸爸年龄是此时哥哥的三倍减去50岁； ②当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁，假设此时妹妹是岁，则哥哥是岁．则妹妹到34岁时，爸爸是岁，哥哥是岁． 根据①的分析，妹妹34岁时爸爸年龄是哥哥年龄的3倍减去50岁，有：．可以得到．则此时妹妹4岁，哥哥是岁，爸爸是岁． ③此时三人的年龄和为，而三人现在的年龄和为64岁，所以还要过岁．则现在妹妹是岁，哥哥是岁，爸爸是岁． （法2）年龄问题中不变的数量是年龄差，所以我们可以以年龄差为未知数．设爸爸和哥哥的年龄差为岁，哥哥和妹妹的年龄差为岁，那么爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，哥哥年龄为岁，哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，妹妹的年龄为岁，根据题目给出的条件有以下等量关系： ，这个二元一次方程组的解为． 如果现在妹妹的年龄为岁，那么有．解得，所以现在妹妹10岁，哥哥和爸爸的年龄分别是14岁和40岁． 32．甲265、乙191、丙148、丁129、戊76 【详解】依次设甲、乙、丙、丁、戊家绳长为、、、、，井深，则可列出方程组如下： 这个方程组不是二元一次方程组，但是解方程组的思想方法与二元一次方程组相同，依次迭代，，，， 代入最后一个式子，，即，所以，． 于是，，，，． 33．苹果84个，梨48个 【详解】这也是一个盈亏问题． 方法一：设第一次装了x袋，则第二次装了（袋），有，解得，所以原有苹果（个），原有梨（个）． 方法二：设苹果有x个，则根据两种装法梨的个数相等有 有时候同一个题目设未知量可以有很多角度，但不同的设法可能会造成解方程难度上的差异，如方法二中的方程显然比方法一的方程难解，所以学会合理巧妙地设未知数很重要． 34．5分钟 【详解】设分钟后第一支香是第二支香长度的倍．由题意得：，分钟后第一支香的长度是第二支香的长度的倍． 35．4位 【详解】解：设有x个裁判员 [(x-1)×8.82+9.70]÷x=9.04 8.82x=9.04x-0.88 x=4 答：共有4位裁判员． 36．26 【详解】解：设甲堆原来有x个石子，那么甲堆取出8个给乙堆后，甲乙两堆都是个石子；再从乙 堆中取出6个给丙堆，乙、丙两堆的石子数都变成（）个石子；此时又从丙堆中取2个给甲堆，那么甲堆石子数变成（）个，丙堆石子数变成（）个，有，解得．题目中的变化过程比较多，在设立未知数后，一步步跟上分析，把每一步的变化结果都用x的式子表示出来，最后建立等量关系． 37．120个 【详解】解：设甲一共生产了x小时 （x+5）×8=12x 解得，x=10 10×12=120（个） 答：甲一共生产了120个。 38．125套 【分析】本题仍为两个未知数，一个方程，不能有确定解．本题求套数最多，实质上是化为“一元函数”在一定范围内的最值． 【详解】安排甲、丁组7天都生产上衣，丙组7天全做裤子，乙组3天做上衣，4天做裤子，这样生产的套数最多，共计125套． 39．摄氏10度 【详解】设所求温度是摄氏度，由题意得：，，答：在摄氏度时，华氏度的值恰好是摄氏度的倍． 40．20千米 【分析】这是流水中的行程问题： 顺水速度=静水速度+水流速度， 逆水速度=静水速度-水流速度． 解答本题的关键是要先求出水流速度． 【详解】解：设甲、乙两港相距x千米，原来水流速度为a千米/时根据题意可知，逆水速度与顺水速度的比为2∶1，即（8-a）∶（8＋a）＝1∶2， 于是有8+a=2（8-a），解得a= 再根据暴雨天水流速度变为2a千米/时，则有 把a=代入，得x=20． 答：甲、乙两港相距20千米． 41．600米 【分析】这是一道“追及又相遇”的问题，通讯员从末尾到排头是追及问题，他与排头所行路程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所行路程和为队伍长．如果设通讯员从末尾到排头用了x秒，那么通讯员从排头返回排尾用了（650-x）秒，于是不难列出方程． 【详解】解：设通讯员从末尾赶到排头用了x秒，依题意得 2.6x-1.4x=2.6（650-x）+1.4（650-x）． 解得x＝500． 推知队伍长为（2.6-1.4）×500=600（米）． 答：队伍长为600米． 【点睛】在设未知数时，有两种办法：一种是设直接未知数，求什么、设什么；另一种设间接未知数，当直接设未知数不易列出方程时，就设与要求相关的间接未知数．对于较难的应用题，恰当选择未知数，往往可以使列方程变得容易些． 42．460元 【详解】详解过程：设甲商品的成本是元，乙商品的成本是元，列方程组得： 解得： 答：成本较高的那件商品的成本是460元． 43．30 【详解】设四人做的零件数恰好都为，根据题意可得： ，解得 ， 丙实际做了（个 ）． 44．50千克 【详解】解：设减少的水重x千克 减少之前水重100×99%=99（千克） 根据题意列方程：×100%=98% 解得，x=50 这时葡萄的重量为：100-50=50（千克） 答：这时葡萄的质量是50千克． 45．从多到少分别为28个、24个、21个、19个、14个 【详解】解：设五堆桃按数量从多到少分别为X、Y、Z、M、N. （1）因为“较大的两堆桃数之差为4个,较大的两堆平均有26个桃” 所以有方程： 联解得： （2）因为“最大堆与最小堆平均有21个桃” 所以有方程：X+N=2×21 解得：N=14 （3）因为“较小的2堆桃之差为5个” 所以有方程：M-N=5 解得：M=19 （4）因为“较小的3堆平均有18个桃” 所以有方程：Z+M+N=3*18 解得：Z=21 所以五堆桃,按数量从多到少分别为28个、24个、21个、19个、14个。 学科网（北京）股份有限公司 $$