专题02 垂直平分线的判定与性质重难点题型专训（11大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题02 垂直平分线的判定与性质重难点题型专训（11大题型+20道拓展培优） 题型一 根据垂直平分线的性质求长度 题型二 根据垂直平分线的性质求周长 题型三 根据垂直平分线的性质求角度 题型四 利用垂直平分线的性质求最值 题型五 利用垂直平分线的性质判断角、线段的关系 题型六 垂直平分线的判定方法 题型七 作已知线段的垂直平分线 题型八 尺规作垂线 题型九 垂直平分线的判定与性质综合 题型十 垂直平分线的判定与性质应用 题型十一 垂直平分线常见辅助线添加 知识点一：垂直平分线的性质与判定 1.命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．1. P 1. A 1. B 1. l 1. C 证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB． 　　 又 AC =CB，PC =PC，∴ △PCA ≌△PCB（SAS），∴ PA =PB． 2.命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 求证：如图，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 证明：（1）当点P在线段AB上时， ∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上； （2）当点P在线段AB外时，如右图所示. ∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC. ∴直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 3.线段垂直平分线的作法 ①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线， ②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线； ③尺规法： （1） 分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E 、F； （2） 过点E 、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。 4.总结 注：本讲义部分题型可用勾股定理答题；a²+b²=c² 【经典例题一 根据垂直平分线的性质求长度】 【例1】如图，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．3 C． D．9 1．如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点M，N，连接，分别与边，相交于点D，E，若，的周长为17，则BC的长为（    ） A．7 B．10 C．12 D．17 2．如图所示中，，的垂直平分线交于，的周长是，则 ． 3．如图，，，的垂直平分线交于点，求： (1)的度数； (2)若的周长是，求的长． 【经典例题二 根据垂直平分线的性质求周长】 【例2】如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点．作直线，交于点，交于点，连接．若，则的周长为（）． A．25 B．21 C．16 D．17 1．如图，在中，，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，则的周长是（    ） A． B．10 C．12 D． 2．如图，中，，，的垂直平分线交于点，交边于点，那么的周长为 ． 3．如图，在中，点是边上的一点．连接，垂直平分，垂足为，交于点．连接． (1)若的周长为19，为6，求的周长 (2)若，，求的度数． 【经典例题三 根据垂直平分线的性质求角度】 【例3】如图，，点O是，的垂直平分线，的交点，则的度数为（    ）    A．145° B．150° C．160° D．165° 1．如图，已知中，，尺规作图如下：分别以点、点为圆心，大于长为半径作弧，连接两弧交点的直线交于点，连接：以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点，为半径，以大于长为半径作弧，两弧交于点，连接，延长交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，分别是的垂直平分线，垂足分别为，且，，，则 ． 3．如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点． (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． 【经典例题四 利用垂直平分线的性质求最值】 【例4】如图，在中，，D为的中点，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，M为直线上任意一点．若，面积为10，则长度的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 1．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD=105°，在BC，CD上分别找一点M、N，使得△AMN周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为                         （     ） A．100° B．105° C．120° D．150° 2．如图，在中，，边上的垂直平分线分别交、于点、，若的周长是，则直线上任意一点到、距离和最小为 ． 3．已知直线同侧有两点． (1)在直线上求作一点，使最小（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)在直线上求作一点，使最大； (3)在（1）和（2）的条件下，若，，求的最小值． 【经典例题五 利用垂直平分线的性质判断角、线段的关系】 【例5】如图，已知，和的垂直平分线交于点D，连接，，，下列角度关系正确的是（    ）    A． B． C． D． 1．如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，得到如下结论：①；②；③，其中正确的结论有 （填序号）． 3．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．    【阅读理解】如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用与全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证与全等的判定方法是：__________；中线的取值范围是__________． 【阅读感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【理解与应用】如图2，在中，，点是的中点，点在边上，点在边上，若．证明：． 【问题解决】如图3，在中，点是的中点，，，其中，连接，探索与的关系，并说明理由． 【经典例题六 垂直平分线的判定方法】 【例6】如图，，则有（　　）    A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分 1．在中国传统戏剧《白蛇传》中，许仙与白蛇在西湖断桥之上以一把红色油纸伞为媒，演绎了一段千古奇缘．如图，油纸伞是我国传统工艺品之一，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞骨的点固定不动，且满足，伞柄平分，当点D在滑动的过程中，下列说法错误的是（    ） A． B．平分 C．线段垂直平分线段 D． 2．如图，，，这个图形叫做“筝形”，数学兴趣小组几名同学探究出关于它的如下结论：    ①；②；③；④.其中正确结论的序号是 . 3．如图，中，，平分，于． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【经典例题七 作已知线段的垂直平分线】 【例7】已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 1．如图，在中，点在边上，，分别以为圆心，大于的一半长度为半径作圆弧，交于一点．连接，交于点周长为周长为16，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，已知线段，分别以点为圆心，5为半径作弧相交于点．连接，点E在上，连接．若与的周长之差为4，则的长为 ． 3．如图，在中，． (1)尺规作图：在边上找一点D，使；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下若，求的长． 【经典例题八 尺规作垂线】 【例8】如图，已知，直线l与直线a，b分别交于点A，B，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交直线a，b于点D、C，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 1．下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线交于点 D，交 于点 E，连结，则 ．    3．已知：，点M、N．求作： ①的平分线； ②点P在上，且． 【经典例题九 垂直平分线的判定与性质综合】 【例9】如图，中，，点M，N分别在，上，将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），下列结论：①直线垂直平分；②；③；④若M是中点，则．其中一定正确的是（ ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④ 1．如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为　　 A． B． C． D．以上都有可能 2．如图，在中，，，分别为，边上的高，，相交于点，连接，则下列结论：；；；若，则周长等于的长其中正确的有 写出所有正确结论的序号 3．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点，使，连接．根据________可以判定________，得出________． 这样就能把线段，，集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，使问题解决． 【问题解决】 （2）如图，在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于点，求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，直接写出的长． 【经典例题十 垂直平分线的判定与性质应用】 【例10】如图，在公路异侧、同侧有两个村庄，，高速公路管理处要建一处服务区，按照设计要求，服务区到两个村庄，的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，符合条件的服务区有（   ） A．处 B．处 C．处 D．处 1．如图，电信部门要在区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇，的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应该修建在（　　）    A．的平分线和线段的交点处 B．的平分线和线段的垂直平分线的交点处 C．的平分线和线段的交点处 D．的平分线和线段的垂直平分线的交点处 2．如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点，于点，，交的延长线于点．若，，则的长为 ． 3．【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求  的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”    【初步感知】 （1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】 （2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，  教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】 ( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 【经典例题十一 垂直平分线常见辅助线添加】 【例11】如图，已知的平分线与BC的垂直平分线相交于点，垂足分别为、，则（    ） A．6 B．3 C．2 D．1.5 1．如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于D，交的延长线于E，于F，现有下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，中，的角平分线与的中垂线交于点，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，若，则的长为 ． 3．如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，，，则的长为？ 1．如图，在中， 垂直平分，点 P为直线上的任意一点，则的最小值是（   ）    A．6 B．7 C．8 D．10 2．已知是线段的垂直平分线，下列说法中正确的是（    ） A．与距离相等的点在MN上 B．与点和点距离相等的点在上 C．与距离相等的点在上 D．垂直平分 3．如图，在中，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接，已知，的周长为，则的周长是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接，以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接，若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，为的外角平分线上一点并且在的垂直平分线上，过作于，交的延长线于，则下列结论：；；；．其中正确的结论是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．如图，在中，，分别作边的垂直平分线，垂足分别是．甲、乙、丙的结论如下，下列判断正确的是（　　） 甲：； 乙：点在线段的垂直平分线上； 丙：直线上到点的距离之和最小的点是点 A．甲、乙、丙都正确 B．只有甲、乙正确 C．只有甲、丙正确 D．只有乙、丙正确 7．如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点D，于点E，，交的延长线于点F．若，，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，的周长为24，的垂直平分线交于点D，垂足为E，若，则的周长是 9．如图，在中，，分别为，的垂直平分线，如果，那么的周长为 ．    10．如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上，若，，，则线段的长为 ． 11．如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点，于点，，交的延长线于点．若，，则的长为 ． 12．如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，，则 ． 13．如图，的面积为，垂直的平分线于点，则的面积为 ．    14．如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于，两点，与相交于点．    （1）若，则的周长为 ； （2）若，则的度数为 ． 15．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，点为的中点，连接，此时，．试说明：． 16．尺规作图：如图所示，一条铁路经过、两地，计划修一条经过到铁路的最短公路，并在公路上建一个维修站，使得到、距离相等． 17．如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，，．若的周长为，的周长为．求线段的长． 18．如图，在中，，． (1)尺规作图： ①作边的垂直平分线交于点D； ②连接，作的平分线交于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求的度数． 19．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． (1)如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的；延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是：_____；中线的取值范围是 ． (2)如图2，在中，，点是的中点，点在边上，点在边上，若．试猜想线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论． (3)如图3，在中，点是的中点，，，其中，连接，探索与的关系，并说明理由． 20．如图，在中，垂直平分平分．    (1)若，求的度数； (2)若，与的周长之差为，且的面积为，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 垂直平分线的判定与性质重难点题型专训（11大题型+20道拓展培优） 题型一 根据垂直平分线的性质求长度 题型二 根据垂直平分线的性质求周长 题型三 根据垂直平分线的性质求角度 题型四 利用垂直平分线的性质求最值 题型五 利用垂直平分线的性质判断角、线段的关系 题型六 垂直平分线的判定方法 题型七 作已知线段的垂直平分线 题型八 尺规作垂线 题型九 垂直平分线的判定与性质综合 题型十 垂直平分线的判定与性质应用 题型十一 垂直平分线常见辅助线添加 知识点一：垂直平分线的性质与判定 1.命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．1. P 1. A 1. B 1. l 1. C 证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB． 　　 又 AC =CB，PC =PC，∴ △PCA ≌△PCB（SAS），∴ PA =PB． 2.命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 求证：如图，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 证明：（1）当点P在线段AB上时， ∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上； （2）当点P在线段AB外时，如右图所示. ∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC. ∴直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 3.线段垂直平分线的作法 ①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线， ②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线； ③尺规法： （1） 分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E 、F； （2） 过点E 、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。 4.总结 注：本讲义部分题型可用勾股定理答题；a²+b²=c² 【经典例题一 根据垂直平分线的性质求长度】 【例1】如图，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．3 C． D．9 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理，线段垂直平分线定理，通过添加辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．连结，，过点C作于点H，根据线段垂直平分线定理可得，根据角平分线的性质定理可得，根据“斜边直角边”可证明，可得，进一步推得，再证明，可得，由此即得答案． 【详解】连结，，过点C作于点H， 垂直平分， ， 平分，， ， ，， ， ， ， 在和中，，， ， ， ． 故选D． 1．如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点M，N，连接，分别与边，相交于点D，E，若，的周长为17，则BC的长为（    ） A．7 B．10 C．12 D．17 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，由作图可知是的垂直平分线，得，再根据的周长得，进而可求解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，是的垂直平分线， ∴， ∵，的周长，即：， ∴， 故选：C． 2．如图所示中，，的垂直平分线交于，的周长是，则 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得，然后求出的周长，再代入数据进行计算即可得解． 【详解】 解：是的垂直平分线， ， 的周长， ，的周长是， ． 故答案为：． 3．如图，，，的垂直平分线交于点，求： (1)的度数； (2)若的周长是，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质； （1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质求解即可； （2）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可求出． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴； （2）解：∵，的周长是， ∴， ∵， ∴． 【经典例题二 根据垂直平分线的性质求周长】 【例2】如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点．作直线，交于点，交于点，连接．若，则的周长为（）． A．25 B．21 C．16 D．17 【答案】B 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线，则可得，进而可得的周长为，即可得出答案． 【详解】解：由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线， 的周长 故选：B． 1．如图，在中，，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，则的周长是（    ） A． B．10 C．12 D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由是的垂直平分线，是的垂直平分线，得出，即可求解，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴， ∵ ∴的周长， 故选：C． 2．如图，中，，，的垂直平分线交于点，交边于点，那么的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 的周长， 故答案为：． 3．如图，在中，点是边上的一点．连接，垂直平分，垂足为，交于点．连接． (1)若的周长为19，为6，求的周长 (2)若，，求的度数． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的证明与性质，三角形内角和定理，邻补角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质可知，，，结合的周长，可以推出，即可得到答案； （2）根据三角形内角和定理，可知，再证明，得到，结合邻补角，得到的度数，最后结合三角形内角和定理，推出． 【详解】（1）解：垂直平分， ， 的周长为19 的周长为：7 （2）解：， 垂直平分， ， 又 【经典例题三 根据垂直平分线的性质求角度】 【例3】如图，，点O是，的垂直平分线，的交点，则的度数为（    ）    A．145° B．150° C．160° D．165° 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线性质、等腰三角形性质、以及三角形内角和定理，根据垂直平分线性质和等腰三角形性质，得到，，再利用三角形内角和定理进行求解，即可解题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵、的垂直平分线交于点O， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选C．    1．如图，已知中，，尺规作图如下：分别以点、点为圆心，大于长为半径作弧，连接两弧交点的直线交于点，连接：以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点，为半径，以大于长为半径作弧，两弧交于点，连接，延长交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对“线段垂直平分线”与“角平分线”的作法理解，解题的关键是知晓作法的过程． 由作法过程可知垂直平分线段，由对称性可得出；再由作法过程知平分，于是得出，故的度数可求． 【详解】解：根据作图过程可知，是线段的垂直平分线， ∴点A与点C关于直线对称，则， ∵，且由作图过程知平分， ∴， ∴． 故选：A． 2．如图，分别是的垂直平分线，垂足分别为，且，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查垂直平分线性质，全等三角形判定和性质等．根据题意连接，利用垂直平分线性质得，再证明，继而得到后计算即可． 【详解】解：连接， ， ∵分别是的垂直平分线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 故答案为：． 3．如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点． (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长； （）根据三角形的内角和定理列式求出 ，再求出，根据等边对等角可得，，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解； 此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． 【详解】（1）解：∵、分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， ∵的周长为， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 【经典例题四 利用垂直平分线的性质求最值】 【例4】如图，在中，，D为的中点，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，M为直线上任意一点．若，面积为10，则长度的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称-最短路径问题，连接，交直线于点N，设交于点G，当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长，结合已知条件求出即可． 【详解】解：连接，交直线于点N，设交于点G， 由题意得，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长． ∵，D为的中点， ∴， ∵，面积为10， ∴， 解得． 故选：B． 1．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD=105°，在BC，CD上分别找一点M、N，使得△AMN周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为                         （     ） A．100° B．105° C．120° D．150° 【答案】D 【详解】分析：根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案． 详解：作A关于BC和CD的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC于M,交CD于N,则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH， ∵∠DAB=105°， ∴∠HAA′=75°， ∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=75°， ∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″， 且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM， ∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×75°=150°. 故选D. 点睛：本题考查了轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题的求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线等知识，根据已知得出M、N的位置是解题的关键. 2．如图，在中，，边上的垂直平分线分别交、于点、，若的周长是，则直线上任意一点到、距离和最小为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质“垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等”； 利用垂直平分线的性质和已知的周长计算． 【详解】解：是的中垂线， ， 则， 又的周长为， 故， 直线上任意一点到、距离和最小为． 故答案为：． 3．已知直线同侧有两点． (1)在直线上求作一点，使最小（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)在直线上求作一点，使最大； (3)在（1）和（2）的条件下，若，，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)9 【分析】本题考查了轴对称，以及含30度角的直角三角形的特征，正确确定如何使线段的和最小是关键． （1）要使最短，根据同一平面内线段最短，可知要作点B关于直线l的对称点，连接交直线l于P； （2）根据三角形两边之差小于第三边，当点A，B，Q三点共线时，最大，延长交直线l于Q； （3）过点A作交直线l于G，根据直角三角形的性质，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】（1）解：如图所示，作点B关于直线l的对称点，连接交直线l于P， 即点P为所求； （2）解：如图所示，延长交直线l于Q， 即点Q为所求； （3）解：如图，过点A作交直线l于G， 由（1）（2）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 的最小值为9． 【经典例题五 利用垂直平分线的性质判断角、线段的关系】 【例5】如图，已知，和的垂直平分线交于点D，连接，，，下列角度关系正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由垂直平分线的性质得到，设，，根据三角形内角和定理证明即可． 【详解】解：和的垂直平分线交于点D， ， ，， 设，， ， ， ， ， ， ， 故选B． 1．如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，由作图方法可知，则可证明得到，进一步可证明垂直平分，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可知， 又∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， 根据现有条件无法得到， 故选：C． 2．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，得到如下结论：①；②；③，其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查垂直平分线的判定、全等三角形的判定，根据垂直平分线的判定得出是的垂直平分线，根据证明，即可得解．解题的关键是掌握：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 【详解】解：∵， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴①②正确， 在和中， ， ∴， ∴③正确， ∴正确的结论有①②③． 故答案为：①②③． 3．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．    【阅读理解】如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用与全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证与全等的判定方法是：__________；中线的取值范围是__________． 【阅读感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【理解与应用】如图2，在中，，点是的中点，点在边上，点在边上，若．证明：． 【问题解决】如图3，在中，点是的中点，，，其中，连接，探索与的关系，并说明理由． 【答案】阅读理解：；；理解与应用：证明见解析；问题解决：，，理由见解析 【分析】阅读理解：由证明得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论； 理解与应用：延长至点，使，连接、，同（1）得：，由全等三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论； 问题解决：延长至，使，连接，由（1）得：，由全等三角形的性质得出，，证出，证明得出，，则，延长交于，根据 ，，可得，即有，则有． 【详解】阅读理解：解：延长至E，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ，即， ， ， ； 故答案为：；； 理解与应用：证明：延长至点，使，连接、，如图2所示：    同上可证：， ， ，， ∴是线段的垂直平分线， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ； 问题解决：解：，，理由如下： 延长至，使，连接，如图3所示：    由（1）得：， ，， ， ，即， ， ， ∵，， ∴， 在和中， ， ， ，， ． 延长交于， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，解题的关键是通过作辅助线证明三角形全等． 【经典例题六 垂直平分线的判定方法】 【例6】如图，，则有（　　）    A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分 【答案】A 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，根据证明，根据全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵，    ∴， 在与中， ， ， ， ∴垂直平分，故A正确， 无法得出，故不能垂直平分，故B和C错误， 也无法得出，故不能平分，故D错误， 故选：A． 1．在中国传统戏剧《白蛇传》中，许仙与白蛇在西湖断桥之上以一把红色油纸伞为媒，演绎了一段千古奇缘．如图，油纸伞是我国传统工艺品之一，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞骨的点固定不动，且满足，伞柄平分，当点D在滑动的过程中，下列说法错误的是（    ） A． B．平分 C．线段垂直平分线段 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，先证明，得出，，，根据，，得出点A、D在线段的垂直平分线，证明线段垂直平分线段． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴平分， ∵，， ∴点A、D在线段的垂直平分线， ∴线段垂直平分线段， 无法证明，故D符合题意，不符合题意． 故选：D． 2．如图，，，这个图形叫做“筝形”，数学兴趣小组几名同学探究出关于它的如下结论：    ①；②；③；④.其中正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【分析】先通过“”判定两三角形全等，再利用线段垂直平分线的判定和性质即可得到正确结论． 【详解】解：在和中， ， ∴，故①正确； ∵， ∴垂直平分， ∴，， 故②③正确； 由已知和图形无法判断， 故④错误； 故答案为：①②③． 【点睛】该题考查了 全等三角形的判定和线段的垂直平分线的判定与性质，解决本题的关键是牢记相关概念，该题较基础，考查了学生对教材基础知识的理解与应用，以及学生的推理分析的能力． 3．如图，中，，平分，于． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）在中，求出即可解决问题； （2）利用等腰三角形的性质得出，，根据线段垂直平分线的判定即可证明． 本题考查了线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）证明：， ， 又平分， ， 在和中， ， ， ，， 点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，（两点确定一条直线）， ． 【经典例题七 作已知线段的垂直平分线】 【例7】已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据即，只需作线段的垂直平分线即可． 本题考查了线段的垂直平分线的基本作图，熟练掌握作图是解题的关键． 【详解】解：根据题意，即，只需作线段的垂直平分线即可． 故选B． 1．如图，在中，点在边上，，分别以为圆心，大于的一半长度为半径作圆弧，交于一点．连接，交于点周长为周长为16，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的定义，根据题意可得是的垂直平分线，从而可得，然后根据的周长为16，周长为，可得，从而可解答． 【详解】解：由作图可得：，， ∴， ∵周长为周长为16， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，已知线段，分别以点为圆心，5为半径作弧相交于点．连接，点E在上，连接．若与的周长之差为4，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的尺规作图，正确理解作图的意义，并灵活计算是解题的关键．根据作图的意义，可得是线段的垂直平分线，与的周长之差为4，就是，即可求解． 【详解】解：根据作图的意义，可得是线段的垂直平分线， ， ∴与的周长之差为4，即， ∵， ∴， 解得， 故答案为：3． 3．如图，在中，． (1)尺规作图：在边上找一点D，使；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图——作垂直平分线，等腰三角形的判定及性质，等角的余角相等． （1）由可得点D在的垂直平分线，运用尺规作图——作垂直平分线的方法作出的垂直平分线，与的交点D即为所求； （2）由（1）可得，从而，根据等角的余角相等得到，从而，根据即可解答． 【详解】（1）解：如图，点D为所求． （2）解： 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴． 【经典例题八 尺规作垂线】 【例8】如图，已知，直线l与直线a，b分别交于点A，B，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交直线a，b于点D、C，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图−垂直平分线、三角形内角和定理、平行线的性质，由题意得，是直线l的垂直平分线，可得，根据三角形内角和定理求得，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：由题意得，是直线l的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 1．下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查尺规作图，根据尺规作图绘制一条线段的垂直平分线、一个角的平分线、一个角等于已知角的作法，逐项判断即可． 【详解】①作一个角的角平分线正确， ②作一个角等于已知角正确， ③如图所示，作一条线段的垂直平分线，不正确， 综上①②正确． 故选：A． 2．如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线交于点 D，交 于点 E，连结，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，角的计算，由得到由作图可知，垂直平分，得到，再得出即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ 由作图可知，垂直平分， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 3．已知：，点M、N．求作： ①的平分线； ②点P在上，且． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，先根据角平分线的尺规作图方法作出，再由线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等作出线段的垂直平分线，其与交于点P即可． 【详解】解：如图所示，即为所求； 【经典例题九 垂直平分线的判定与性质综合】 【例9】如图，中，，点M，N分别在，上，将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），下列结论：①直线垂直平分；②；③；④若M是中点，则．其中一定正确的是（ ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】①根据将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），证明直线垂直平分，故①正确； ②证明与不一定相等，得到与不一定相等，故②错误； ③先由①得，直线垂直平分，则，，再根据”等边对等角“证明，，则，再根据是的一个外角，是的一个外角，证明，，进一步证明，根据，得到，则，然后根据，证明，从而得到，故③正确； ④先根据是的中点，证明，再由①得，直线垂直平分，则，再证明，最后证明，即，故④正确． 【详解】解：①∵将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C）， ∴直线垂直平分， 故①正确； ②∵， ∴， ∴ 又∵， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等， 故②错误； ③由①得，直线垂直平分， ∴，， ∴，， ∴ ∵是的一个外角，是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴ 即， 又∵(已证)， ∴， 故③正确； ④∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 综上所述，一定正确的有①③④， 故选：D． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是能够根据题意的条件，进行恰当的推理论证． 1．如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为　　 A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C 【分析】如图，延长到，使得，连接，，证明，推出，由，可得． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 2．如图，在中，，，分别为，边上的高，，相交于点，连接，则下列结论：；；；若，则周长等于的长其中正确的有 写出所有正确结论的序号 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，外角的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 延长交于，先利用“”证明，得出，，可判断①符合题意；由，得出，再由三角形外角的性质，可判断②不符合题意；由，，得出，得出，可判断③符合题意；由，，可证明垂直平分，得出，，得出的周长，可判断④符合题意；即可得出答案． 【详解】解：如图，延长交于， ，分别为，边上的高， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，故①符合题意； ， ， ， ，故②不符合题意； ，， ， ，故③符合题意； ，， ， ， ， 垂直平分， ，， 的周长 ，故④符合题意． 故答案为：． 3．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点，使，连接．根据________可以判定________，得出________． 这样就能把线段，，集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，使问题解决． 【问题解决】 （2）如图，在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于点，求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）8 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）根据点是的中点，延长到点，得到，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到中的两个角相等，然后用等角对等边证明等于． （3）延长交于，证明，则，所以，根据线段垂直平分线的性质可得的长． 【详解】（1）解：如图1，延长到点，使， ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （2）证明：如图，延长到点，使得，连接． ∵是边上的中线(已知)， ∴， 在和中， ， ， 又， ， ， ， ， 即：， ． （3）解：如图3，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴． 【经典例题十 垂直平分线的判定与性质应用】 【例10】如图，在公路异侧、同侧有两个村庄，，高速公路管理处要建一处服务区，按照设计要求，服务区到两个村庄，的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，符合条件的服务区有（   ） A．处 B．处 C．处 D．处 【答案】C 【分析】此题考查了作图-应用与设计作图，本题的关键是：①对角平分线、线段垂直平分线作法的运用，②对题意的正确理解． 作两条公路夹角的平分线，作线段的垂直平分线，则其交点就是所求的位置 ． 【详解】解：作两条公路夹角的平分线，作线段的垂直平分线，则其交点就是所求的位置，如图所示，点C位置即为所求， 故选：C． 1．如图，电信部门要在区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇，的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应该修建在（　　）    A．的平分线和线段的交点处 B．的平分线和线段的垂直平分线的交点处 C．的平分线和线段的交点处 D．的平分线和线段的垂直平分线的交点处 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质与垂直平分线的性质，根据题意可得发射塔必须建在线段的垂直平分线上，且在的平分线上，即可求解． 【详解】解：要两个城镇，的距离，发射塔必须建在线段的垂直平分线上，要到两条高速公路和的距离相等需要建在的平分线上， ∴发射塔应该修建在的平分线和线段的垂直平分线的交点处． 答案：B． 2．如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点，于点，，交的延长线于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．连接、，由是的垂直平分线，得，由是的平分线，，，得出，证出，可得，证明，可得，从而有，即可得到，即可求出的长． 【详解】解：如图，连接、， 是的垂直平分线， ， 是的平分线，，， ， 在和中， ， ， , 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求  的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”    【初步感知】 （1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】 （2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，  教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】 ( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），，证明见解析 【分析】（1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）如图，延长交于点．证明，得出，，再进一步结合线段的垂直平分线的性质，即可证明结论． （3）如图，延长，使，连接，证明，可得，，，再证明，可得，，在进一步可得结论． 【详解】解：（1）如图，延长到点，使，    ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）如图，延长交于点，    ∵的中点为D， ∴， ∵由题意可得：， 而， ∴， ∴，， ∵，， ∴，是的垂直平分线， ∴； （3），，理由如下： 如图，延长，使，连接，      ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的应用，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的定义与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【经典例题十一 垂直平分线常见辅助线添加】 【例11】如图，已知的平分线与BC的垂直平分线相交于点，垂足分别为、，则（    ） A．6 B．3 C．2 D．1.5 【答案】B 【分析】本题主要考查的是线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． 连接、，由的平分线与的垂直平分线相较于点D，，，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得，，从而得到，可证的，则可得，即可得到结果． 【详解】连接、， 是的平分线，，， ，， ， 是的垂直平分线， ， 在和中 ， ， ，， ． 故选：B 1．如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于D，交的延长线于E，于F，现有下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质．连接常用的辅助线构造全等三角形是解题关键． 【详解】解：∵为的平分线， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵，平分， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，即平分． ∵与不重合， ∴不平分，故③错误； 如图，连接，    ∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． ∵，， ∴，故④正确． 综上可知正确的有3个． 故选C． 2．如图，中，的角平分线与的中垂线交于点，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．根据题意，连接，由垂直平分得到平分，，则，即可证明，则，即可得到的长． ，通过等边代换计算即可． 【详解】连接，如图： ∵垂直平分， ∴ 又∵平分，， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为： 3．如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，，，则的长为？ 【答案】2.5 【分析】连接、，由可证，则可得、，由可证，则可得，设，则，，由此得，求出x的值即可得解． 【详解】解：如图，连接、 ∵是的角平分线，且、， ，， 又， ， ，， ∵垂直平分， ， ， ， ，， 设，则，， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 1．如图，在中， 垂直平分，点 P为直线上的任意一点，则的最小值是（   ）    A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线可得，故当点P在上时，有最小值． 【详解】连接，    ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当点A，P，C在一条直线上，即当点P在上时，有最小值，最小值． 故选：C． 2．已知是线段的垂直平分线，下列说法中正确的是（    ） A．与距离相等的点在MN上 B．与点和点距离相等的点在上 C．与距离相等的点在上 D．垂直平分 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据性质即可求解，熟练掌握垂直平分线的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等， ∴与点和点距离相等的点在上； 故选：． 3．如图，在中，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接，已知，的周长为，则的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等即可得到结论． 【详解】解：∵是的的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴周长． 故选：C． 4．如图，在中，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接，以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接，若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，由题意可得是线段的垂直平分线，，可得，由，可得，则的周长为．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 【详解】解：由题意可得是线段的垂直平分线，，则， ， ， ， 的周长为． 故选：D． 5．如图，为的外角平分线上一点并且在的垂直平分线上，过作于，交的延长线于，则下列结论：；；；．其中正确的结论是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出；根据全等三角形对应角相等可得，利用三角形内角和定理可得；利用三角形的外角性质得到． 【分析】解：∵平分，，， ∴， ∵在的垂直平分线上， ∴， 在和中， ， ∴，故正确； ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，故正确； 在中，，故错误； 综上，正确，共个． 故选：． 【点睛】此题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键． 6．如图，在中，，分别作边的垂直平分线，垂足分别是．甲、乙、丙的结论如下，下列判断正确的是（　　） 甲：； 乙：点在线段的垂直平分线上； 丙：直线上到点的距离之和最小的点是点 A．甲、乙、丙都正确 B．只有甲、乙正确 C．只有甲、丙正确 D．只有乙、丙正确 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、三角形三边关系，由三角形内角和定理得出，由线段垂直平分线的性质可得，，从而得出，，进而得出，即可判断甲；由线段垂直平分线的性质得出，即可判断乙；由线段垂直平分线的性质结合三角形三边关系即可判断丙；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ，， ， ，故甲说法正确； 如图，连接、、， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 点在线段的垂直平分线上，故乙说法正确； 垂直平分， ， ， 如图，在上任意取一点， ， 垂直平分， ， ， 直线上到点的距离之和最小的点是点，故丙说法正确； 综上所述，说法正确的有：甲、乙、丙， 故选：A． 7．如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点D，于点E，，交的延长线于点F．若，，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由是的垂直平分线，得,由是的平分线，，，得出,借助证出，由证出，从而有，即可得到，即可求出的长． 【详解】解：如图，连接，，    是的垂直平分线， ， 是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 8．如图，的周长为24，的垂直平分线交于点D，垂足为E，若，则的周长是 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，先由线段垂直平分线的性质得到，再由三角形周长公式得到，则的周长． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，垂足为E，， ∴， ∵的周长为24， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 9．如图，在中，，分别为，的垂直平分线，如果，那么的周长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质．根据垂直平分线的性质得到，，再由得到答案． 【详解】解：，分别为，的垂直平分线， ，， ， ． 故答案为：． 10．如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上，若，，，则线段的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查轴对称的性质，垂直平分线的性质． 由轴对称的性质可得垂直平分，进而得到，同理得到，进而根据线段的和差即可解答． 【详解】解：点关于的对称点恰好落在线段上， 垂直平分， ， ， 点关于的对称点落在的延长线上， 垂直平分， ， ． 故答案为：6 11．如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点，于点，，交的延长线于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．连接、，由是的垂直平分线，得，由是的平分线，，，得出，证出，可得，证明，可得，从而有，即可得到，即可求出的长． 【详解】解：如图，连接、， 是的垂直平分线， ， 是的平分线，，， ， 在和中， ， ， , 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，，则 ． 【答案】 【分析】连接，过E作于R，交于Q，交于O，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出，，根据全等求出，求出，求出，求出的度数，再求出，求出，根据三角形的外角性质求出，再求出答案即可． 【详解】解：连接，过E作于R，交C于Q，交于O， ∵是线段的中垂线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意： ① 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ② 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 13．如图，的面积为，垂直的平分线于点，则的面积为 ．    【答案】 【分析】延长交于，根据垂直的平分线于，即可求出，又知和等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形的面积． 【详解】解：延长交于， ∵垂直的平分线于， ∴， 又知，， ∴， ∴，， ∴和等底同高， ∴， ∴， 故答案为    【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，面积及等积变换的知识点．证明出三角形PBC的面积和原三角形的面积之间的数量关系是解题的难点． 14．如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于，两点，与相交于点．    （1）若，则的周长为 ； （2）若，则的度数为 ． 【答案】 /50度 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案； （2）根据三角形内角和定理得到，根据对顶角相等得到，再根据三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：（1），分别垂直平分边和边， ，， 的周长， ， 的周长为； （2）， ， ， ，， ， 由（1）可知：，， ，， ， ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 15．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，点为的中点，连接，此时，．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，根据等腰三角形的判定与性质得到，，等量代换证明结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴是等腰三角形 ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴． 16．尺规作图：如图所示，一条铁路经过、两地，计划修一条经过到铁路的最短公路，并在公路上建一个维修站，使得到、距离相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作垂线，垂线段最短，垂直平分线的性质；先过点作的垂线，再作的垂直平分线，两直线相交于，点即为所求 【详解】如图所示，点即为所求； 17．如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，，．若的周长为，的周长为．求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的性质得，由三角形周长，即可求解；能根据性质进行线段转换是解题的关键． 【详解】解：是边的垂直平分线， ，， 是边的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ． 故线段的长． 18．如图，在中，，． (1)尺规作图： ①作边的垂直平分线交于点D； ②连接，作的平分线交于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查作图—基本作图，线段的垂直平分线的性质以及角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）根据垂直平分线与角平分线的尺规作图方法即可； （2）首先证明，推出，再利用三角形内角和定理推出，最后依据角平分线的定义即可求出． 【详解】（1）解：如图，点D，射线AE即为所求． （2）∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 19．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． (1)如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的；延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是：_____；中线的取值范围是 ． (2)如图2，在中，，点是的中点，点在边上，点在边上，若．试猜想线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论． (3)如图3，在中，点是的中点，，，其中，连接，探索与的关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3)，，理由见解析 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是通过作辅助线证明三角形全等． （1）由证明得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论； （2）延长至点，使，连接、，同（1）得，由全等三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论； （3）延长至，使，连接，由（1）得：，由全等三角形的性质得出，，证出，证明得出，则．延长交于点，根据同角的余角相等即可证明． 【详解】（1）解：是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ，即， ， ， ， 故答案为：，； （2），证明如下： 延长至点，使，连接、，如图2所示： 同（1）可证：， ， ，， 是线段的垂直平分线， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ； （3），，理由如下： 延长至，使，连接，如图3所示： 同（1）得：， ，， ， ，即， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 延长交于点， ， ， ， ， ， 即，． 20．如图，在中，垂直平分平分．    (1)若，求的度数； (2)若，与的周长之差为，且的面积为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质结合三角形外角的性质易求出，再根据角平分线的定义即得出，最后根据三角形内角和定理求解即可； （2）由线段垂直平分线的性质结合与的周长之差为，即可求出．过点D作于H．由的面积为，，可求出，结合角平分线的性质定理可得出，即可计算． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵垂直平分， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即． 过点D作于H．    ∵的面积为，且，， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∴． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义及其性质．熟练掌握上述知识是解题关键．在解（2）时正确作出辅助线也是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$