专题01 轴对称重难点题型专训（12大题型+14道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题01 轴对称重难点题型专训（12大题型+14道拓展培优） 题型一 轴对称图形的识别 题型二 根据成轴对称图形的特征进行判断 题型三 根据成轴对称图形的特征进行求解 题型四 台球桌面上的轴对称问题 题型五 轴对称中的光线反射问题 题型六 折叠问题 题型七 画对称轴 题型八 求对称轴条数 题型九 车牌号码的镜面对称 题型十 钟表的镜面对称 题型十一 画轴对称图案 题型十二 设计轴对称图案 知识点一：轴对称与轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 3. 轴对称和轴对称图形的区别和联系： 区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 轴对称和轴对称图形的性质 轴对称的性质： 垂直平分线：垂直并且评分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 1 由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同） 2 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。 3 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 知识点二：设计轴对称图形 问题一：已知对称轴l和一个点A，如何画出点A关于l的对称点A′? 作法: 过点A作直线l的垂线，在垂线上截取OA′=OA, 垂足为点O，点A′就是点A关于直线l的对称点. 问题二：如何画线段AB关于直线l 的对称线段A′B′? 作法： 1. 过点A作直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截OA′=OA， 点A′就是点A关于直线l的对称点； 2.类似地，作出点B关于直线l的对称点B′； 3.连结A′B′. 问题三：如图已知△ABC和直线l，怎样作出与△ABC关于直线l对称的图形呢？ 作法： △ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别作出这三个顶点 关于直线l的对称点，连结这些对称点，就能得到要作的图形. ∴△A′B′C′即为△ABC关于直线l对称的图形. 归 纳 一．作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步骤: 1.找点（确定图形中的一些特殊点）； 2.画点（画出特殊点关于已知直线的对称点）； 3.连线（连结对称点）. 二．设计轴对称图案的步骤： （1）画出对称轴； （2）画出图形的基本形状的部分线条； （3）按照其中一条对称轴画出基本形状的对称图形； （4）按照另一条对称轴继续画对称图形； （5）完成对称图案设计. 注：本讲义部分题型可用勾股定理答题；a²+b²=c² 【经典例题一 轴对称图形的识别】 【例1】如图，这是由8个边长相同的正六边形组成的图形，若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有（    ） A．10种 B．9种 C．8种 D．6种 1．用两个全等的含30°角的直角三角板以相等的边为公共边进行不重叠拼图，能拼成几个轴对称图形（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在正方形网格中，分别将①②③④四个网格涂上阴影，能与原阴影部分构成一个轴对称图形的有 ．（填网格序号） 3．如图，在四边形中，，点分别在，上，．    (1)判断该图形是否是轴对称图形 （填“是”或“否”）； (2)求证：． 【经典例题二 根据成轴对称图形的特征进行判断】 【例2】如图，和关于直线1对称，下列结论：①；②；③垂直平分；④直线和的交点不一定在上．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 1．如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 2．如图，方格纸中的每个小方格的边长为1，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是小方格的顶点）．若格点△ACP与△ABC全等（不与△ABC重合），则所有满足条件的点P有 个． 3．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了（顶点是网格线的交点）和直线l． (1)在直线l上找一点P，使点P到边，的距离相等； (2)画出关于直线l对称的图形；再将向下平移4个单位长度，画出平移后得到的图形； (3)结合轴对称变换和平移变换的有关性质，两个对应图形和的对应点所具有的性质是 　 　． A．对应点连线互相平行 B．对应点连线被直线l垂直平分 C．对应点连线被直线l平分或与直线l重合 【经典例题三 根据成轴对称图形的特征进行求解】 【例3】如图，，，与关于直线对称，则为（   ） A． B． C． D． 1．如图，四边形中，，点B关于的对称点B’恰好落在上，若，则3．如图，在锐角中，的面积为90，平分，若E、F分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．12 B．15 C．18 D．9 2．如图，已知，点P为内部一点，点M为射线、点N为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ． 3．如图，点在的内部，点和点关于对称，点关于的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)①若，求的度数； ②若，则__________°（用含的代数式表示）； (2) 若，则的周长为__________． 【经典例题四 台球桌面上的轴对称问题】 【例4】如图是一个小型的台球桌，四角分别是 A，B，C，D 四个球筐，桌面可以分成 12 个正方形 小区域，如果将在点 P 位置的球沿着 PQ 的方向击球 Q，那么球 Q 最终会落在（       ）    A．A 筐 B．B 筐 C．C 筐 D．D 筐 1．如图是一个经过改造的规则为3×5的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（     ）    A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 2．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为，则点的坐标是 ． 3．公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同． 如图2，长方型球桌上有两个球，．请你尝试解决台球碰撞问题： (1)请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球．在图2中画出，并说明做法的合理性． (2)请你设计一路径，使得球连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球，在图3中画出一种路径即可． 【经典例题五 轴对称中的光线反射问题】 【例5】如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（　　） A． B． C． D． 1．我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某 V 型路口放置如图所示的两个平面镜，，两个平面镜所成的夹角为，位于点 D 处的甲同学在平面镜 中看到位于点A处的乙同学的像，其中光的路径为入射光线 经过平面镜反射后，又沿射向平面镜，在点 C 处再次反射，反射光线为，已知入射光线，反射光线 ，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与反射光线的夹角为50°，则平面镜与水平地面的夹角的度数是 ． 3．茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的，），桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 【经典例题六 折叠问题】 【例6】如图，点为长方形纸片的边上一点，将长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 1．如图所示，在四边纸片中，，，将纸片沿折叠，点点，处，且经过点B，交于点G，连接，若平分，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．如图1，中，D是边上的点，先将沿看翻折，使点A落在点处，且交于点E（如图2），又将沿着翻折，使点C落在点处，若点恰好落在上（如图3），且，则 ° 3．在中，，、、边的长分别记为a、b、c，点E是边上的一个动点（点E不与B、C重合），连结．已知．．    (1)求点C到直线的距离． (2)线段将分为和，若这两个三角形的周长相等，求的长． (3)将沿直线折叠，使点C恰好落在边上的点处，求此时的长． 【经典例题七 画对称轴】 【例7】下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（    ） A．菱形 B．三角形 C．等腰梯形 D．正五边形 1．下图是一个轴对称图形，对称轴是直线（    ） A．a B．b C．c D．d 2．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 ；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的 ． 3．如图是由三个小正方形组成的图案，请在图中补画一个小正方形，使补画后的图案是轴对称图形．请用三种不同方法补画图形，并画出各自的对称轴．    【经典例题八 求对称轴条数】 【例8】正五边形的对称轴共有（      ） A．2条 B．4条 C．5条 D．无数条 1．如图，每个小方格均为边长为1的正方形，四个涂色的小正方形组成的图形的对称轴有m条，再将剩余的五个小正方形中的一个涂色，若由这五个涂色的小正方形组成的新图形的对称轴的条数也为m，则涂色的正方形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．在“锐角、五角星、等边三角形、圆、正六边形”这五个图形中，是轴对称图形的有 个，按对称轴条数由多到少排列是 ． 3．试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格： 正多边形的边数 3 4 5 6 7 … 对称轴的条数 … 根据上表，猜想正n边形有________条对称轴． 【经典例题九 车牌号码的镜面对称】 【例9】一列数字映在镜子里的像如图，这列数字是（　　） A． B． C． D． 1．一平面镜与水平面成角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（      ） A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动 C．以的速度，做竖直向上运动 D．以的速度，做竖直向下运动 2．小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示：    ，实际时间是 ． 3．小强用火柴棒在桌上摆了一个不正确的等式，如图所示，你有没有什么办法，在不移动火柴棒的情况下，使桌面出现一个正确的等式？    【经典例题十 钟表的镜面对称】 【例10】小江从平面镜里看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，这时的实际时刻应该是（    ） A． B． C． D． 2．小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（ ） A．B．C． D． 2．如图，小芳在镜子里看镜子对面电子钟的示数为，你能确定准确时间是 ． 3．如图所示的是在一面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的？ 【经典例题十一 画轴对称图案】 【例11】如图，点A，B在方格纸的格点位置上，若要再找一个格点C，使它们所构成的三角形为轴对称图形，则这样的格点C在图中共有（　　）    A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 1．如图，方格纸中有3个小方格被涂成黑色，若从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使所有的黑色方格构成轴对称图形，则不同的涂色方案共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图是一个英语单词，四个大写字母都关于直线l对称，如第一个字母“C”关于直线l对称．请在图中补全剩余三个字母，并用中文翻译这个单词所指的职业： ． 3．图、图是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点、在小正方形的顶点上． (1)在图中画出（点在小正方形的顶点上），使为轴对称图形； (2)在图中画出四边形（点、都在小正方形的顶点上），使四边形为轴对称图形且面积为4． 【经典例题十二 设计轴对称图案】 【例12】如图，至少要将正方形中多少个空白的小正方形涂黑后，才可以使着色后的图形关于对角线对称（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 1．如图，在的正方形网格中，选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则涂阴影的格子应为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图是正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有 个． 3．某班围棋兴趣小组的同学在一次活动时，他们用25粒围棋摆成了如图1所示的图案．甲、乙两人发现了该图案的具有以下性质： 甲：这是一个轴对称图形，且有4条对称轴； 乙：这是一个轴对称图形，且每条对称轴都经过5粒棋子． (1)请在图2中去掉4个棋子，使所得图形仅保留甲所发现的性质． (2)请在图3中去掉4个棋子，使所得图形仅保留乙所发现的性质． (3)在图4中，请去掉若干个棋子（大于0且小于10），使所得图形仍具有甲、乙两人所发现的所有性质．（图中用“×”表示去掉的棋子） 1．（23-24七年级下·四川成都·开学考试）把一张沿平行于长的方向已画2条三等分线的长方形纸条做成一个莫比乌斯带，然后沿它的三等分线剪开．下面说法正确的是（     ）． A．需要剪两次（剪1次指沿等分线剪至得到1个新纸杯） B．可以得到3个大小一样的纸环 C．可以得到2个大小一样的纸环 D．可以得到1个大纸环和1个小纸环 2．（22-23八年级上·湖北荆门·单元测试）如图，四边形中，，点B关于的对称点B’恰好落在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·山西·模拟预测）如图，将正五边形纸片沿折叠，得到，点C的对应点为点，的延长线交于点F，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为（   ） A．1.5 B． C．2 D． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，M，N分别是上的动点．当的周长最小时，的度数为（  ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在中，，，点P为边上一点，沿折叠使得点A的对应点D落在边上，则的度数为 ．    7．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，点在上，将点分别以，为对称轴，画出对称点，，并连接，，根据图中标示的角度，的度数为 ． 8．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，将沿直线折叠，使点C落在上的点E处，若，，，则的周长是 ．    9．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，将∠A 折起，使点 A落在边上的点处，折痕为．若 ，则 ．    10．（2021·广东清远·一模）点D是锐角内一点，于点E，点F是线段的一个动点，点G是射线的一个动点，连接，当的周长最小时，与的数量关系式是 11．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)的面积为 ； (2)在图中作出关于直线的对称图形． (3)利用网格纸，在上找一点P，使得的距离最短．（保留痕迹） 12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知中，，，点A、B在外，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，沿DE翻折得到，交于点G，作于点H，请直接写出除外长度为1的所有线段． 13．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，D、E分别是上两点，与关于轴对称，交于点P，已知． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 14．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，点P在四边形的内部，且点P与点M关于对称，交于点G，点P与点N关于对称，交于点H，分别交于点．    (1)连接，若求的周长； (2)若，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 轴对称重难点题型专训（12大题型+14道拓展培优） 题型一 轴对称图形的识别 题型二 根据成轴对称图形的特征进行判断 题型三 根据成轴对称图形的特征进行求解 题型四 台球桌面上的轴对称问题 题型五 轴对称中的光线反射问题 题型六 折叠问题 题型七 画对称轴 题型八 求对称轴条数 题型九 车牌号码的镜面对称 题型十 钟表的镜面对称 题型十一 画轴对称图案 题型十二 设计轴对称图案 知识点一：轴对称与轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 3. 轴对称和轴对称图形的区别和联系： 区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 轴对称和轴对称图形的性质 轴对称的性质： 垂直平分线：垂直并且评分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 1 由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同） 2 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。 3 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 知识点二：设计轴对称图形 问题一：已知对称轴l和一个点A，如何画出点A关于l的对称点A′? 作法: 过点A作直线l的垂线，在垂线上截取OA′=OA, 垂足为点O，点A′就是点A关于直线l的对称点. 问题二：如何画线段AB关于直线l 的对称线段A′B′? 作法： 1. 过点A作直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截OA′=OA， 点A′就是点A关于直线l的对称点； 2.类似地，作出点B关于直线l的对称点B′； 3.连结A′B′. 问题三：如图已知△ABC和直线l，怎样作出与△ABC关于直线l对称的图形呢？ 作法： △ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别作出这三个顶点 关于直线l的对称点，连结这些对称点，就能得到要作的图形. ∴△A′B′C′即为△ABC关于直线l对称的图形. 归 纳 一．作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步骤: 1.找点（确定图形中的一些特殊点）； 2.画点（画出特殊点关于已知直线的对称点）； 3.连线（连结对称点）. 二．设计轴对称图案的步骤： （1）画出对称轴； （2）画出图形的基本形状的部分线条； （3）按照其中一条对称轴画出基本形状的对称图形； （4）按照另一条对称轴继续画对称图形； （5）完成对称图案设计. 注：本讲义部分题型可用勾股定理答题；a²+b²=c² 【经典例题一 轴对称图形的识别】 【例1】如图，这是由8个边长相同的正六边形组成的图形，若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有（    ） A．10种 B．9种 C．8种 D．6种 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．将五块空白的正六边形变号，逐个判断即可作答． 【详解】如图， 涂黑的方案有：选择、、、、、、、时，均可得到轴对称图形， 即共计有8种， 故选：C． 1．用两个全等的含30°角的直角三角板以相等的边为公共边进行不重叠拼图，能拼成几个轴对称图形（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的特征进行设计即可； 【详解】根据题意满足条件的图如下：   ，   ，   ，    ， 总共有4个； 故选D． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的设计，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 2．如图，在正方形网格中，分别将①②③④四个网格涂上阴影，能与原阴影部分构成一个轴对称图形的有 ．（填网格序号） 【答案】②③． 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：有2个使之成为轴对称图形，分别为：②，③． 故答案是：②③． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念，正确把握轴对称图形的概念是解题关键． 3．如图，在四边形中，，点分别在，上，．    (1)判断该图形是否是轴对称图形 （填“是”或“否”）； (2)求证：． 【答案】(1)是 (2)见解析 【分析】（1）连接，证明得到，证明，即可得到答案； （2）由（1）得，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，连接，    在和中， ， ， ， 在和中， ， ， 该图形沿直线折叠后能够完全重合， 该图形是轴对称图形， 故答案为：是； （2）证明：由（1）得， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、轴对称图形的定义，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 【经典例题二 根据成轴对称图形的特征进行判断】 【例2】如图，和关于直线1对称，下列结论：①；②；③垂直平分；④直线和的交点不一定在上．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质求解． 【详解】解：∵和关于直线l对称， ∴（1），正确． （2），正确． （3）直线l垂直平分，正确． （4）直线和的交点一定在直线l上，错误． 故选：B． 1．如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键． 根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可． 【详解】解：和关于直线对称， ∴，故①正确， 和关于直线对称，点D与点关于直线对称的对称点， ∴，故②正确； 和关于直线对称， 线段、、被直线垂直平分， 直线垂直平分，故③正确； 和关于直线对称， 线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误， ∴正确的有①②③， 故选：A． 2．如图，方格纸中的每个小方格的边长为1，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是小方格的顶点）．若格点△ACP与△ABC全等（不与△ABC重合），则所有满足条件的点P有 个． 【答案】3 【分析】如图，把沿直线对折可得： 把沿直线对折，从而可得答案. 【详解】解：如图，把沿直线对折可得： 把沿直线对折可得： 所以符合条件的点有3个， 故答案为：3 【点睛】本题考查的轴对称的性质，全等三角形的概念，掌握“利用轴对称的性质确定全等三角形”是解本题的关键. 3．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了（顶点是网格线的交点）和直线l． (1)在直线l上找一点P，使点P到边，的距离相等； (2)画出关于直线l对称的图形；再将向下平移4个单位长度，画出平移后得到的图形； (3)结合轴对称变换和平移变换的有关性质，两个对应图形和的对应点所具有的性质是 　 　． A．对应点连线互相平行 B．对应点连线被直线l垂直平分 C．对应点连线被直线l平分或与直线l重合 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)C 【分析】（1）作的平分线交l于点P； （2）利用对称的性质和平移的性质画出和； （3）利用和被l平分，在直线l上可对各选项进行判断． 【详解】（1）解∶ 如图，点P为所作， （2）解∶ 如图，和为所作， （3）解：对应点连线被对称轴平分或与对称轴重合． 故选：C． 【点睛】本题考查了作图-对称性变换：在画一个图形的轴对称图形时，先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． 【经典例题三 根据成轴对称图形的特征进行求解】 【例3】如图，，，与关于直线对称，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键．根据轴对称图形的性质得到，再由三角形内角和定理求出答案即可． 【详解】解：与关于直线对称， ， ． 故选D． 1．如图，四边形中，，点B关于的对称点B’恰好落在上，若，则3．如图，在锐角中，的面积为90，平分，若E、F分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．12 B．15 C．18 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称的性质等知识，熟练掌握“将军饮马”模型是解题的关键． 如图：在上取一点G，使，连接，作于H，可得出得到的最小值为的长，再求出的长即可． 【详解】解：如图：在上取一点G，使，连接，作于H， ∵平分， ∴直线是的对称轴， ∴， ∴， ∴的最小值为的长， ∵，的面积为90， ∴，解得：， ∴的最小值为：12． 故选：A． 2．如图，已知，点P为内部一点，点M为射线、点N为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ． 【答案】/84度 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点，正确构造对称点是解题的关键． 作点P关于的对称点E,连接作点P关于的对称点F，连接由轴对称的性质可知，故当E，M，N，F四点共线时，的周长最小，再根据三角形的内角和定理和轴对称的性质即可求解． 【详解】解：如图，作点P关于的对称点E,连接 ， 作点P关于的对称点F，连接 ， ，当E，M，N，F四点共线时，的周长最小． ， ， 又 ， ∴在中，， ， ， ， ． 故答案为：． 3．如图，点在的内部，点和点关于对称，点关于的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)①若，求的度数； ②若，则__________°（用含的代数式表示）； (2)若，则的周长为__________． 【答案】(1)①；② (2)4 【分析】本题考查轴对称的性质与运用， （1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出的度数； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 熟知轴对称的性质是关键． 【详解】（1）解：①点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ； ②点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， 故答案为：； （2）点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为4， 故答案为：4． 【经典例题四 台球桌面上的轴对称问题】 【例4】如图是一个小型的台球桌，四角分别是 A，B，C，D 四个球筐，桌面可以分成 12 个正方形 小区域，如果将在点 P 位置的球沿着 PQ 的方向击球 Q，那么球 Q 最终会落在（       ）    A．A 筐 B．B 筐 C．C 筐 D．D 筐 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质画出图形即可得出答案． 【详解】由题意，可画出图形如下：    由图可知，球Q最终会落在C筐， 故选：C． 【点睛】本题考查了生活中的轴对称想象，掌握轴对称的性质是解题关键． 1．如图是一个经过改造的规则为3×5的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（     ）    A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】A 【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：    所以球最后将落入的球袋是1号袋， 故选A． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想；严格按轴对称画图是正确解答本题的关键． 2．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为，则点的坐标是 ． 【答案】（3，0） 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2023除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形， 根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3）， ∵2023÷6=337…1， 当点P第2023次碰到矩形的边时为第338个循环组的第1次反弹，点P的坐标为（3，0）， 故答案为：（3，0）． 【点睛】本题考查了台球桌面上的对称、点的坐标的规律；作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 3．公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同． 如图2，长方型球桌上有两个球，．请你尝试解决台球碰撞问题： (1)请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球．在图2中画出，并说明做法的合理性． (2)请你设计一路径，使得球连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球，在图3中画出一种路径即可． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作点P关于的对称点，连接交于T，线路即为所求． （2）作点P关于的对称点，作点Q关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于E，交于F，连接交于点G，即为所求． 【详解】（1）解：如图2中，作点P关于的对称点，连接交于T，线路即为所求， 原理：∵点和点P关于对称， ∴， ∵， ∴； （2）如图3中， 作点P关于的对称点，作点Q关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于E，交于F，连接交于点G，即为所求． 【点睛】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题． 【经典例题五 轴对称中的光线反射问题】 【例5】如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质和平行线的性质，根据“入射光线与直线的夹角始终与反射光线与该直线的夹角相等”得到，由平行线的性质可得，即可得出结论．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵从点光源射出的光线射到直线上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点， ∴， ∵， ∴， ∴当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为． 故选：D 1．我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某 V 型路口放置如图所示的两个平面镜，，两个平面镜所成的夹角为，位于点 D 处的甲同学在平面镜 中看到位于点A处的乙同学的像，其中光的路径为入射光线 经过平面镜反射后，又沿射向平面镜，在点 C 处再次反射，反射光线为，已知入射光线，反射光线 ，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了光的反射定律，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由光的反射定律以及平行线的性质，推出，再结合三角形内角和，推出的度数． 【详解】如图所示，由光的反射定律，可以知道， ， ， 故选：C ． 2．如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与反射光线的夹角为50°，则平面镜与水平地面的夹角的度数是 ． 【答案】65° 【分析】作CD⊥平面镜，垂足为G，交地面于D．根据垂线的性质可得∠CDH+α=90°，根据平行线的性质可得∠AGC=∠CDH，根据入射角等于反射角可得，从而可得夹角的度数． 【详解】解：如图，作CD⊥平面镜，垂足为G，交地面于D． ∴∠CDH+α=90°， 根据题意可知：AG∥DF， ∴∠AGC=∠CDH， ， ∴∠CDH=25°， ∴α=65°． 故答案为：65°． 【点睛】本题考查了入射角等于反射角问题，解决本题的关键是掌握平行线的性质、明确法线CG平分∠AGB． 3．茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的，），桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 【答案】见解析 【分析】本题意思是在上找一点D，在上找一点E，使的周长最小．如果设点C关于的对称点是M，关于的对称点是N，当点D、E在上时，的周长为，此时周长最小． 【详解】.解：①分别作点C关于OA、OB的对称点是M、N，②连接MN，分别交OA于D，OB于E． 则C→D→E→C为所求的行走路线． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，灵活运用对称性的基本性质是解题关键． 【经典例题六 折叠问题】 【例6】如图，点为长方形纸片的边上一点，将长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、几何图中角度的计算，由折叠的性质可得，，求出，结合得出，，即可得解，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 1．如图所示，在四边纸片中，，，将纸片沿折叠，点点，处，且经过点B，交于点G，连接，若平分，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了折叠的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识，连接，由平角的定义求出，由折叠可得，，进一步求出，，由三角形内角和定理得到，由折叠可得. 【详解】如图所示，连接， ∵， ∴， 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴中，， 由折叠可得， 故选：C． 2．如图1，中，D是边上的点，先将沿看翻折，使点A落在点处，且交于点E（如图2），又将沿着翻折，使点C落在点处，若点恰好落在上（如图3），且，则 ° 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，折叠性质，三角形内角和定理，先由平行线性质得：，再由折叠可得：，，，则，由三角形内角和定理知，而，可求得，然后由，则，即可求出度数． 【详解】解：∵， ， 由折叠可得：，，， ， ，， ， ①， ， ②， 由①②解得，， 故答案为：． 3．在中，，、、边的长分别记为a、b、c，点E是边上的一个动点（点E不与B、C重合），连结．已知．．    (1)求点C到直线的距离． (2)线段将分为和，若这两个三角形的周长相等，求的长． (3)将沿直线折叠，使点C恰好落在边上的点处，求此时的长． 【答案】(1) (2)6 (3)3 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，一元一次方程的应用，以及折叠的性质． （1）利用三角形等面积法即可求解． （2）设，则，根据线段把分成两个周长相等的三角形和，列出关于x的一元一次方程求解即可． （3）设．由折叠的性质可得出，，根据列出关于m的一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：过C点作交与点D．如下图：    在中， ∴， 即， ∴ ∴点C到直线的距离为． （2）设，则， ∵线段把分成两个周长相等的三角形和， ∴， 即 ∴， 解得：， ∴当线段把分成两个周长相等的三角形时，的长是6． （3）根据题意如图所示：    设． 由翻折的性质可知：， ∴， 解得：， ∴． 【经典例题七 画对称轴】 【例7】下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（    ） A．菱形 B．三角形 C．等腰梯形 D．正五边形 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的特点以及菱形、三角形、等腰梯形和正五边形的性质逐项判断即可． 【详解】A、菱形，对角线所在的直线即为对称轴，可以用直尺画出，故A选项错误； B、三角形对称轴只用一把无刻度的直尺无法画出，故B选项正确； C、等腰梯形，延长两腰相交于一点，作两对角线相交于一点，根据等腰梯形的对称性，过这两点的直线即为对称轴，故C选项错误； D、正五边形，作一条对角线把正五边形分成一个等腰三角形与一个等腰梯形，根据正五边形的对称性，过等腰三角形的顶点与梯形的对角线的交点的直线即为对称轴，故D选项错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的性质以及以及菱形、三角形、等腰梯形和正五边形的性质等知识．轴对称：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，而这条直线就是这个图形的对称轴． 1．下图是一个轴对称图形，对称轴是直线（    ） A．a B．b C．c D．d 【答案】C 【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；分别将图形按折叠，能使图形完全重合的就是该图形的对称轴． 【详解】解：该图形的对称轴是直线c． 故选：C． 2．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 ；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的 ． 【答案】 垂直平分线 垂直平分线 【分析】根据轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）．据此填空． 【详解】解：根据轴对称的性质，可得如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线．或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线， 故答案为：垂直平分线，垂直平分线． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）． 3．如图是由三个小正方形组成的图案，请在图中补画一个小正方形，使补画后的图案是轴对称图形．请用三种不同方法补画图形，并画出各自的对称轴．    【答案】见解析 【分析】此题考查了利用轴对称设计图案，根据轴对称与对称轴的定义，即可求得答案，注意如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形． 【详解】解：如图所示． 【经典例题八 求对称轴条数】 【例8】正五边形的对称轴共有（      ） A．2条 B．4条 C．5条 D．无数条 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的性质判断即可． 【详解】解：如图： 一个正五边形的对称轴共有5条． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，正五边形过每个顶点垂直对边的直线都是正五边形的对称轴． 1．如图，每个小方格均为边长为1的正方形，四个涂色的小正方形组成的图形的对称轴有m条，再将剩余的五个小正方形中的一个涂色，若由这五个涂色的小正方形组成的新图形的对称轴的条数也为m，则涂色的正方形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了对称轴的数量，根据对称轴的定义逐一判断即可． 【详解】解：由题意可知，四个涂色的小正方形组成的图形的对称轴有条，即， A、涂色的正方形是①，组成的图形的对称轴有条，不符合题意； B、涂色的正方形是②，组成的图形的对称轴有条，不符合题意； C、涂色的正方形是③，组成的图形的对称轴有条，符合题意； D、涂色的正方形是④，组成的图形的对称轴有条，不符合题意； 故选：C． 2．在“锐角、五角星、等边三角形、圆、正六边形”这五个图形中，是轴对称图形的有 个，按对称轴条数由多到少排列是 ． 【答案】 5 圆、正六边形、五角星、等边三角形、锐角 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，进行求解即可． 【详解】解：锐角时轴对称图形，对称轴为1条；五角星是轴对称图形，对称轴有5条；等边三角形是轴对称图形，对称轴有3条；圆是轴对称图形，对称轴有无数条；正六边形是轴对称图形，对称轴有6条， 故答案为：5；圆，正六边形，五角星，等边三角形，锐角． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 3．试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格： 正多边形的边数 3 4 5 6 7 … 对称轴的条数 … 根据上表，猜想正n边形有________条对称轴． 【答案】对称轴见解析；3，4，5，6，7；n. 【分析】轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义即可解答． 【详解】解：如图． 故表格中依次填3，4，5，6，7； 猜想正n边形有n条对称轴． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，正确理解轴对称图形的定义是解决本题的关键. 【经典例题九 车牌号码的镜面对称】 【例9】一列数字映在镜子里的像如图，这列数字是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查镜面对称性质，属于简单题，关键在于能够理解镜面对称性质.根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，据此作答即可. 【详解】根据镜面对称的性质，可以得到号码为， 故选：B. 1．一平面镜与水平面成角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（      ） A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动 C．以的速度，做竖直向上运动 D．以的速度，做竖直向下运动 【答案】A 【分析】本题考查了镜面反射的原理与性质．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，在平面镜中的顺序与现实中的恰好相反，且关于镜面对称， 则小球在平面镜中的像是以的速度，做竖直向上运动． 故选：A． 2．小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示：    ，实际时间是 ． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质——镜面对称解答即可． 【详解】解：根据平面镜成像原理及轴对称图形的性质可知实际时间为； 故答案为： 【点睛】本题实际上考查轴对称图形的性质，解题的关键是理解镜面对称是指在平面镜中的像与现实中的事物刚好顺序相反；且关于镜面对称解答这类关于数字在镜中成像问题的一般方法是画出平面镜中的图像的对称图形，再读出对称图形的时间，所得即是所求． 3．小强用火柴棒在桌上摆了一个不正确的等式，如图所示，你有没有什么办法，在不移动火柴棒的情况下，使桌面出现一个正确的等式？    【答案】见解析 【分析】根据镜面对称的性质即可解答. 【详解】沿着镜面反射即可，如图所示．    【点睛】本题考查镜面对称，熟练掌握镜面对称的性质是解题关键. 【经典例题十 钟表的镜面对称】 【例10】小江从平面镜里看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，这时的实际时刻应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查镜面对称的原理与性质，即轴对称的性质．解决此类题应认真观察和有空间想象力． 根据镜面对称的性质，求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称， 所以此时实际时刻为10：51， 故选：C． 2．小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了镜面对称的性质的运用，解答此题的关键是要注意联系生活实际． 镜面对称的性质：平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称，据此判断即可． 【详解】解：实际时间最接近8时的时钟，在镜子里看起来应该是4点， 所以图C所示的时间最接近8时． 故选：C． 2．如图，小芳在镜子里看镜子对面电子钟的示数为，你能确定准确时间是 ． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质——镜面对称解答即可．解题的关键是理解镜面对称是指在平面镜中的像与现实中的事物刚好顺序相反；解答这类关于数字在镜中成像问题的一般方法是画出平面镜中的图像的对称图形，再读出对称图形的时间，所得即是所求． 【详解】解：根据平面镜成像原理及轴对称图形的性质可知实际时间为； 故答案为： 3．如图所示的是在一面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的？ 【答案】120＋85＝205 【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】由题意可知，该算式的实际情况是：120＋85＝205. 【点睛】本题考查了镜面对称，物体平行对着镜子时，镜中的成像改变了物体的左右位置，即关于一条竖直的直线对称，镜中的像与原像之间实际上只是进行了左右翻折. 【经典例题十一 画轴对称图案】 【例11】如图，点A，B在方格纸的格点位置上，若要再找一个格点C，使它们所构成的三角形为轴对称图形，则这样的格点C在图中共有（　　）    A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】D 【分析】此题考查利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称的性质，利用轴对称的作图方法作图是解此题的关键． 【详解】解：如图所示：    这样的格点C共有10个， 故选：D． 1．如图，方格纸中有3个小方格被涂成黑色，若从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使所有的黑色方格构成轴对称图形，则不同的涂色方案共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题利用格点图作轴对称性图形．根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可． 【详解】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形． 故选：D． 2．如图是一个英语单词，四个大写字母都关于直线l对称，如第一个字母“C”关于直线l对称．请在图中补全剩余三个字母，并用中文翻译这个单词所指的职业： ． 【答案】厨师 【分析】本题考查了轴对称图形的画法，学科整合，解题关键是画出图形，还要会翻译成汉语． 首先画出轴对称图形，发现单词是，翻译成汉语是厨师． 【详解】解：如图根据轴对称的定义画出对称图形，得到单词：，该单词的汉语意思是：厨师． 故答案为：厨师． 3．图、图是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点、在小正方形的顶点上． (1)在图中画出（点在小正方形的顶点上），使为轴对称图形； (2)在图中画出四边形（点、都在小正方形的顶点上），使四边形为轴对称图形且面积为4． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图轴对称变换，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． （1）画等腰三角形即可（答案不唯一）． （2）画出四边形，使四边形为轴对称图形且面积为4即可． 【详解】（1）如图中，即为所求． （2）如图中，四边形即为所求． 【经典例题十二 设计轴对称图案】 【例12】如图，至少要将正方形中多少个空白的小正方形涂黑后，才可以使着色后的图形关于对角线对称（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形，根据轴对称图形的性质涂色得到轴对称图形成为解题的关键． 根据轴对称图形的性质先确定对称轴对角线所在直线，再找出阴影部分的图形的关键点的对称点，画出图形即可解答． 【详解】解：如图所示：至少要将正方形中4个空白的小正方形涂黑后，才可以使着色后的图形关于对角线对称． 故选：C． 1．如图，在的正方形网格中，选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则涂阴影的格子应为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，根据轴对称的定义，沿着虚线进行翻折后能够重合，所以阴影应该涂在标有数字1的格子内． 【详解】解：根据轴对称的定义，沿着虚线进行翻折后能够重合， 根据题意，阴影应该涂在标有数字1的格子内； 故选：D． 2．如图是正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有 个． 【答案】5 【分析】根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可．此题考查的是利用轴对称设计图案，解答此题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置，可以有5种画法． 【详解】解：依题意，如图： 有5个位置使之成为轴对称图形， 故答案为：5． 3．某班围棋兴趣小组的同学在一次活动时，他们用25粒围棋摆成了如图1所示的图案．甲、乙两人发现了该图案的具有以下性质： 甲：这是一个轴对称图形，且有4条对称轴； 乙：这是一个轴对称图形，且每条对称轴都经过5粒棋子． (1)请在图2中去掉4个棋子，使所得图形仅保留甲所发现的性质． (2)请在图3中去掉4个棋子，使所得图形仅保留乙所发现的性质． (3)在图4中，请去掉若干个棋子（大于0且小于10），使所得图形仍具有甲、乙两人所发现的所有性质．（图中用“×”表示去掉的棋子） 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】本题主要考查了利用轴对称设计图案，熟练利用轴对称图形的性质得出是解题关键． （1）根据图形是一个轴对称图形，且有4条对称轴，进而得出结合轴对称图形的性质得出； （2）去掉一行上的左右两粒棋子即可符合要求的答案； （3）根据题意可以去掉8个棋子，进而得出答案． 【详解】（1）解：如图2所示： （2）解：如图3所示： （3）解：如图4所示： 1．（23-24七年级下·四川成都·开学考试）把一张沿平行于长的方向已画2条三等分线的长方形纸条做成一个莫比乌斯带，然后沿它的三等分线剪开．下面说法正确的是（     ）． A．需要剪两次（剪1次指沿等分线剪至得到1个新纸杯） B．可以得到3个大小一样的纸环 C．可以得到2个大小一样的纸环 D．可以得到1个大纸环和1个小纸环 【答案】D 【分析】本题考查了折叠问题以及数学常识里的莫比乌斯带问题，理解题意是解题的关键． 通过实际操作，取一条长方形纸条，沿平行于长的方向画2条三等分线，将纸条的两端粘上，做成一个莫比乌斯带．沿莫比乌斯带的2条三等分线剪开，即可解答． 【详解】解：通过动手操作，发现：沿着莫比乌斯环3等分处剪开，会在剪完2个圈后又回到原点，形成一大一小相互套连的两个环；沿它的三等分线剪开，因为两条线粘结成莫比乌斯带的时候一条线的尾部和第二条线的头是接上的，第二条线的尾部也是和第一条线的头是接上的，所以就成了一条线． 故选：D． 2．（22-23八年级上·湖北荆门·单元测试）如图，四边形中，，点B关于的对称点B’恰好落在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．连接，过A作于F，得到，依据，，即可得出，再根据直角三角形两锐角互余，即可得到． 【详解】解：如图，连接，过A作于F， ∵点B关于的对称点E恰好落在上， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 3．（2024·山西·模拟预测）如图，将正五边形纸片沿折叠，得到，点C的对应点为点，的延长线交于点F，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角和，折叠的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握正多边形的内角和，折叠的性质，三角形内角和定理是解题的关键．由正五边形纸片，可得，由，可得，由折叠的性质可知，，，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵正五边形纸片， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴， 故选：B． 4．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为（   ） A．1.5 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】如图，延长和相交于点，根据翻折的性质可以证明，可得，再证明，可得． 【详解】解：如图，延长和相交于点， 由翻折可知： ，， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ． 故选：C． 【点睛】此题考查了折叠的性质、角平分线的定义，全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的性质和折叠的性质是解决问题的关键． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，M，N分别是上的动点．当的周长最小时，的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用成轴对称的特征进行求解，作点A关于的对称点，关于的对称点，连接与的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理和三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：作点A关于的对称点，关于的对称点，则：． ∵的周长， ∴当四点共线时，的周长最短， 连接与的交点即为所求的点M、N，如图： ∵， ∴三点共线，三点共线， ， 由轴对称的性质得： 故选：B． 6．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在中，，，点P为边上一点，沿折叠使得点A的对应点D落在边上，则的度数为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、轴对称图形的性质、三角形外角的性质，解题的关键是能够熟练运用这些性质． 根据直角三角形的锐角互补、轴对称图形对应角相等、三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角之和等性质即可求解． 【详解】∵ ∴， ∵点A与点D关于直线对称， ∴ ∵是的一个外角， ∴． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，点在上，将点分别以，为对称轴，画出对称点，，并连接，，根据图中标示的角度，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和，根据三角形内角和为得到，通过对称性特征得到即可得出结果． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意可得，，，， 则 故答案为：． 8．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，将沿直线折叠，使点C落在上的点E处，若，，，则的周长是 ．    【答案】7 【分析】本题主要考查折叠的性质，根据题意得，，则有，，即可求得的周长． 【详解】解：∵将沿直线折叠，使点C落在上的点E处， ∴，， ∵，， ∴，， ∴的周长， 答案为：7． 9．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，将∠A 折起，使点 A落在边上的点处，折痕为．若 ，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质的运用，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，先根据直角三角形的性质，再由轴对称的性质和三角形的内角和定理可以求出结论，解答时利用三角形的内角和定理求解是关键． 【详解】解： 与关于成轴对称， 故答案为：． 10．（2021·广东清远·一模）点D是锐角内一点，于点E，点F是线段的一个动点，点G是射线的一个动点，连接，当的周长最小时，与的数量关系式是 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 作关于的对称点，作关于的对称得，连接，交、于，此时的周长最小，最小值为，连、、，根据轴对称的性质得出，即可得出，，由根据三角形内角和定理即可得出． 【详解】解：作关于的对称点，作关于的对称得，连接，交、于、， 此时四点共线，此时的周长最小，最小值为，连、、， 由轴对称的性质可知， ， ， ， ， 故答案为：． 11．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)的面积为 ； (2)在图中作出关于直线的对称图形． (3)利用网格纸，在上找一点P，使得的距离最短．（保留痕迹） 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质以及画轴对称图形，根据题意准确作图是解题的关键． （1）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可； （2）分别作出各点关于直线的对称点，再顺次连接即可； （3）连接交直线于点P，则点P即为所求点． 【详解】（1）解：． 故答案为：5； （2）如图，即为所求； （3）如图，点P即为所求． 12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知中，，，点A、B在外，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，沿DE翻折得到，交于点G，作于点H，请直接写出除外长度为1的所有线段． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，折叠的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由，推出，然后证明出； （2）由（1）得，，得到，然后由折叠得到，然后证明出，得到，然后利用线段的和差求出． 【详解】（1）∵， ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴； （2）由（1）得， ∴ ∵沿DE翻折得到， ∴， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴由折叠得， ∴． 综上所述，除外长度为1的所有线段有：，，，． 13．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，D、E分别是上两点，与关于轴对称，交于点P，已知． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了轴对称性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，平行线性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）由轴对称的性质得，进而根据三角形的外角性质即可求解； （2）由（1）得，，再根据平行线的性质得，从而根据三角形的内角和定理即可得解． 【详解】（1）解：∵与轴对称， ∴， 又∵， ∴； （2）由（1）得，， 又∵， ∴， ∴． 14．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，点P在四边形的内部，且点P与点M关于对称，交于点G，点P与点N关于对称，交于点H，分别交于点．    (1)连接，若求的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)12cm (2)134° 【分析】本题主经考查了轴对称与多边形综合．熟练掌握轴对称性质，多边形内角和公式，是解决问题的关键．n边形内角和公式． （1）根据轴对称性质得到，， ，得到的周长等于线段的长度，即为． （2）根据轴对称性质得到，，，，，根据四边形内角和为与，得到，根据五边形内角和为，得到． 【详解】（1）解：如图，∵点P与点M关于对称， ∴， ∵点P与点N关于对称， ∴， ∵， ∴的周长为． （2）解：∵点P与点M 关于对称， ∴， 即， ∵点P 与点N 关于 对称， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$