第13讲 等腰三角形的性质与判定(2个知识点+9个考点+易错分析）【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

第13讲 等腰三角形的性质与判定(2个知识点+9个考点+易错分析） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解并掌握等腰三角形的性质．(重点) 2．经历等腰三角形的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题．(难点) 3．掌握等腰三角形的判定定理及其推论．(重点) 4．掌握等腰三角形判定定理的运用．(难点) 知识点1.等腰三角形的性质（重点） 1.等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 要点归纳：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . 2.等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 3.等腰三角形的性质的作用 性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据． 性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 4.等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴． 知识点2.等腰三角形的判定（重点） 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 要点归纳：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 易错点1：利用等腰三角形的性质解题时考虑问题不全面 在解决有关等腰三角形的角或边的问题时,如果没有明确已知角是顶角还是底角,已知边是底边还是腰,已知三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形时,一定要分类讨论,防止漏解. 易误点2：忽略分类讨论致错 若等腰三角形的形状不确定,则腰上的高有可能在三角形内部,也有可能在三角形外部,还可能在三角形的边上,因此解答此类问题时需分类讨论，画图分析 易误点3：误用等腰三角形“三线合一”的性质 注意：等腰三角形的“三线合一”指的是顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合,但对于底角平分线、腰上的中线、腰上的高却不一定相互重合 考点1.利用等腰三角形的概念求边长或周长 【例1】如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是(　　) A．9cm B．12cm C．15cm或12cm D．15cm 解析：当腰为3cm时，3＋3＝6，不能构成三角形，因此这种情况不成立．当腰为6cm时，6－3＜6＜6＋3，能构成三角形；此时等腰三角形的周长为6＋6＋3＝15(cm)．故选D. 方法总结：在解决等腰三角形边长的问题时，如果不明确底和腰时，要进行分类讨论，同时要养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去． 【变式1-1】已知一个等腰三角形的两边长分别为3cm、7cm，则该三角形的周长是（　　） A．13cm B．13cm或17cm C．17cm D．16cm 【分析】题中没有指出哪个底哪个是腰，故应该分情况进行分析，注意应用三角形三边关系进行验证能否组成三角形． 【解答】解：当3cm是腰时，3+3＜7，不符合三角形三边关系，故舍去； 当7cm是腰时，周长＝7+7+3＝17（cm）． 故它的周长为17cm． 故选：C． 【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 【变式1-2】已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边． 【答案与解析】 解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7； (2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长． 这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3． 而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3＋3＜7，故不能组成三角形，应舍去． ∴ 等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5． 【总结升华】唯独等腰三角形的边有专用名词“腰”“底”，别的三角形没有，此题没有说明边长为3的边是腰还是底，所以做此题应分类讨论．同时结合三角形内角和定理、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，来验证讨论哪些情况符合，哪些情况不符合，从而决定取舍，最后得到正确答案． 【变式1-3】若等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成了15cm和18cm两部分，则它的腰长为　 　cm． 【分析】等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为15和6两部分，但已知没有明确等腰三角形被中线分成的两部分的长，哪个是15，哪个是18，因此，有两种情况，需要分类讨论． 【解答】解：根据题意画出图形，如图， 设等腰三角形的腰长AB＝AC＝2x，BC＝y， ∵BD是腰上的中线， ∴AD＝DC＝x， 若AB+AD的长为15，则2x+x＝15，解得x＝5， 则x+y＝18，解得y＝13， 所以2x＝10； 若AB+AD的长为18，则2x+x＝18，解得x＝6， 则x+y＝15，即6+y＝15，解得y＝9， 所以2x＝12， 10、10、13和12、12、9均能构成三角形， 所以等腰三角形的腰长为10或12． 故答案为：10或12． 【点评】主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；解题的关键是利用等腰三角形的两腰相等和中线的性质求出腰长，再利用周长的概念求得边长．最后要注意利用三边关系进行验证． 考点2.利用“等边对等角”求角度 【例2】等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(　　) A．65°或50° B．80°或40° C．65°或80° D．50°或80° 解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A. 方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论． 【变式2-1】在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角． 【思路点拨】唯独等腰三角形的角有专用名词“顶角”“底角”，别的三角形没有，然而此题没有指明40°的角是顶角还是底角，所以要分类讨论. 【答案与解析】 解：(1)当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知： 两个底角的度数之和＝180°－40°＝140°， 又由等腰三角形的性质可知：两底角相等， 故每个底角的度数； (2)当40°的角为底角时，另一个底角也为40°， 则顶角的度数＝180°－40°－40°＝100°． ∴其余各角为70°，70°或40°，100°． 【总结升华】条件指代不明，做此类题应分类讨论，把可能出现的情况都讨论到，别遗漏. 【变式2-2】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )． A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120° 【答案】D； 【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答． (1)顶角为锐角如图①，按题意顶角的度数为60°； (2)顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0°不符合题意； (3)顶角为钝角如图②，则顶角度数为120°，故此题应选D． 【总结升华】这是等腰三角形按顶角分类问题，对于等腰三角形按顶角分：等腰锐角三角形、等腰直角三角形和等腰钝角三角形，故解此题按分类画出相应的图形再作答. 【变式2-3】．（2023秋·浙江宁波·八年级校考阶段练习）中，，为上的高，且为等腰三角形，则等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据题意，应该考虑两种情况，①在内部；在外部．分别结合已知条件进行计算即可． 【详解】解：如图所示，在内部， ∵，为上的高， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 如图所示，在外部， ∵，为上的高， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 所以等于或． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、角的计算．注意分类讨论．此类题一般是利用等腰三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数． 考点3.利用方程思想求等腰三角形角的度数 【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数． 解析：设∠A＝x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数． 解：设∠A＝x.∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝x.∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2x.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCD＝2x.在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋2x＝180°，∴x＝36°，∴∠A＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°. 方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x. 【变式3-1】（2023秋•中山市期中）如图，在中，，点在上，且，求各角的度数． 【分析】设，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数． 【解答】解：设． ， ； ， ； ， ， ； ， ， ，． 【点评】本题考查等腰三角形的性质；利用了三角形的内角和定理得到相等关系，通过列方程求解是正确解答本题的关键． 【变式3-2】．（2023秋•滨城区期中）如图，在中，，点在上，且，求： （1）图中有哪些等腰三角形？ （2）各角的度数． 【分析】（1）根据已知和等腰三角形的定义，即可解答； （2）设，利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答． 【解答】解：（1）图中的等腰三角形有：，，， ，， ，，都是等腰三角形； （2）设， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ，， 各角的度数分别为，，． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式3-3】．（2023秋•南岗区校级月考）填空及解答： 【教材例题展示】 如图1，在中，，点在上，且，求各角度数． 解：，，　　，（等边对等角），设，则，从而．于是在中，有，解得，所以，在中，，． 【教材习题展示】 ①如图2，在中，，若，则　　；若，则　　．（用含的式子表示） ②如图3，在中，，，延长至，使，延长至，使，连接，．则　　． 【教材习题变式】 ①如图4，在中，，，，则　　． ②如图5，在中，，，点，分别为边，上的点，，若，则　　． 【边角规律再探】 ①如图6，，连接、、，求证：． ②如图7，，点、、、、、．依次向右在的边和上，并且依次有，请解决以下问题： （1）若依次到点时，为直角三角形，则　　； （2）若此规律恰好最多可以进行到字母，则的取值范围是 　　． 【分析】【教材例题展示】由等腰三角形的性质可得，，由三角形内角和定理可求解； 【教材习题展示】①由等腰三角形的性质可求的度数，即可求解； ②由等腰三角形的性质可求，的度数，即可求解； 【教材习题变式】①由等腰三角形的性质和三角形内角和定理列出方程，即可求解； ②由等腰三角形的性质和外角的性质列出方程可求解； 【边角规律再探】①由等腰三角形的性质可设，由三角形的内角和定理可得，即可求解； ②（1）由等腰三角形的性质可得，，，，，，即可求解； （2）由此规律恰好最多可以进行到字母，可得，，即可求解． 【解答】【教材例题展示】解：如图1，，， ，（等边对等角）， 设，则， ． ， ， 在中，，， 故答案为：； 【教材习题展示】①解：如图2，，， ，， ， ； 若， ，， ， ； 故答案为：，； ②解：如图3，，， ，， ，， ，， ， 故答案为：； 【教材习题变式】 ①解：如图4，，， ，， ， ， ， 故答案为：； ②解：如图5，，， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：； 【边角规律再探】 ①证明：如图， 设， 设， ， 设， 在 和 中，， ， ， ， ； ②解：， ，，，，，， 为直角三角形， ， ， ， 故答案为：； （2）解：此规律恰好最多可以进行到字母， ，， 即：，， ． 【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 考点4.利用“等边对等角”的性质进行证明 【例4】如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF. 解析：先由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，根据角平分线定义得到∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，那么∠DBC＝∠ECB，再由∠DBC＝∠F，等量代换得到∠ECB＝∠F，于是根据平行线的判定得出EC∥DF. 证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵BD、CE为底角的平分线，∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，∴∠DBC＝∠ECB.∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，∴EC∥DF. 方法总结：证明线段的平行关系，主要是通过证明角相等或互补． 【变式4-1】已知：如图，中，，是的外角，平分． 求证：． 【分析】由角平分线定义可得，再由三角形外角性质可得，然后利用平行线的判定定理即可证明题目结论． 【解答】证明：平分， ． 又， ，， ． ． 所以． 【点评】本题主要考查角平分线的性质和三角形外角性质，也利用了平行线的判定． 【变式4-2】（2022春•海州区校级期中）如图，在中，，是的中点，是延长线上一点，是上一点，且，连接并延长交于点，证明：． 【分析】根据等腰三角形的性质，得出，，，然后根据三角形的外角的性质得出，从而得出，即可证得结论． 【解答】证明：， 是等腰三角形，， 是的中点， ， ， ， ， ， 即， ， ． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的判定等，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【变式4-3】．已知，如图，中，，是三角形外一点，于，于，且，求证：． 【分析】由，得到，由于，于是得到，推出，求得，根据平行线的判定定理即可得到结论． 【解答】证明：， ， 于，于， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握各定理是解题的关键． 考点5.利用等腰三角形“三线合一”的性质进行证明 【例5】如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC. (1)若AD＝AE，求证：BD＝CE； (2)若BD＝CE，F为DE的中点，如图②，求证：AF⊥BC. 解析：(1)过A作AG⊥BC于G，根据等腰三角形的性质得出BG＝CG，DG＝EG即可证明；(2)先证BF＝CF，再根据等腰三角形的性质证明． 证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE； (2)∵BD＝CE，F为DE的中点，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC. 方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线． 【变式5-1】如图①所示，点，在的边上，． （1）若，求证：． （2）如图②所示，若，为的中点，，求的度数． 【分析】（1）过作于，根据等腰三角形的性质得出，，即可求出答案； （2）证明，根据等腰三角形的性质得出即可． 【解答】（1）证明：如图，过作于， ，， ，， ， ； （2）解：，为的中点， ， ， ， ， ，， ． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质的应用，注意：等腰三角形的底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合． 【变式5-2】如图，中，点在延长线上，且，是的中线，平分，交于点，求证： （1）； （2）． 【分析】（1）根据三线合一定理证明平分，然后根据平分，根据邻补角的定义即可证得； （2）根据等腰三角形的性质得到，然后根据（1）题得到，从而得到结论． 【解答】证明：（1），是的中点， ． 平分， ． ， ． 即． ； （2），是的中线， ， ， ． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，顶角的平分线、底边上的中线和高线、三线合一． 【变式5-3】如图，点，在的边上，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【分析】（1）作于点，利用等腰三角形三线合一的性质得到，，相减后即可得到正确的结论． （2）根据等边三角形的判定得到是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解． 【解答】解：（1）过点作于． ，． ，， ． （2）， 是等边三角形， ． ， ． ． 同理可求得， ． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，等腰三角形底边上的中线、底边上的高与顶角的平分线三线合一． 考点6.与等腰三角形的性质有关的探究性问题 【例6】如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D. (1)请你写出图中所有的等腰三角形； (2)请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由． (3)如果BC＝10，求AB＋AE的长． 解析：(1)由△ABC是等腰直角三角形，BE为角平分线，可证得△ABE≌△DBE，即AB＝BD，AE＝DE，所以△ABD和△ADE均为等腰三角形；由∠C＝45°，ED⊥DC，可知△EDC也符合题意；(2)BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，根据角平分线定理可知△ABE关于BE与△DBE对称，可得出BE⊥AD；(3)根据(2)，可知△ABE关于BE与△DBE对称，且△DEC为等腰直角三角形，可推出AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10. 解：(1)△ABC，△ABD，△ADE，△EDC. (2)AD与BE垂直．证明：由BE为∠ABC的平分线，知∠ABE＝∠DBE，∠BAE＝∠BDE＝90°，BE＝BE，∴△ABE≌△DBE，∴△ABE沿BE折叠，一定与△DBE重合，∴A、D是对称点，∴AD⊥BE. (3)∵BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，EA⊥AB，∴AE＝DE.在Rt△ABE和Rt△DBE中，∵∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL)，∴AB＝BD.又∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴∠C＝45°.又∵ED⊥BC，∴△DCE为等腰直角三角形，∴DE＝DC，∴AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10. 【变式6-1】（2024春•杨浦区期末）如图，已知等腰，，是边上一点（不与点、重合），是线段延长线上一点，． （1）说明的理由； （2）小华在研究这个问题时，提出了一个新的猜想：点在运动的过程中（不与点、重合），与是否会相等？，小丽思考片刻后，提出了自己的想法：可以在线段上取一点，使得，联结，然后通过学过的知识就能得到与相等．你能否根据小丽同学的想法，说明的理由． 【分析】（1）由三角形的内角和定理得，，则，再根据，即可得出结论； （2）在线段上取一点，使得，连接，根据及三角形内角和定理得，再依据“”判定和全等得，，进而得，然后根据及三角形内角和定理得，由此即可得出结论． 【解答】（1）证明：，， ， 又，， ； （2）解：在线段上取一点，使得，连接，如下图所示： ， ， 由（1）可知：， 在和中， ， ， ，， ， 即， ， ， ． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【变式6-2】．（2023秋•龙泉驿区期末）如图，，，，． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的度数． 【分析】（1）结论：．证明，即可； （2）求出，，可得结论． 【解答】解：（1）结论：． 理由：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是掌握等腰三角形的性质平行线的性质． 【变式6-3】．（2023秋•潍城区期中）如图，点为线段上一点，分别以，为底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点，使，连接，． （1）如图1，判断与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若，延长交于点，探究与的关系，并说明理由． 【分析】（1）先证，进而得，，根据平行线的性质得，，由此得，据此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质可得出与的数量关系； （2）由（1）可知：，，则，利用三角形的内角和定理和对顶角的性质可得，即，据此可得得出与的关系． 【解答】解：（1）与的数量关系是：，理由如下： 、分别是以，为底边的等腰三角形， ，，， ， ， ，， ，， ， 在和 ， ， ； （2）与的关系是：，理由如下： 由（1）可知：，， ， ， ，， 又， ， ， ． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理等，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 考点7.确定等腰三角形的个数 【例7】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有(　　) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 解析：共有5个．(1)∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；(2)∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD.∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC＝∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；(3)∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝(180°－36°)＝72°.又∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠ABC＝36°＝∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△CDE和△BCD也是等腰三角形．故选A. 方法总结：确定等腰三角形的个数要先找出相等的边和相等的角，然后确定等腰三角形，再按顺序不重不漏地数出等腰三角形的个数． 【变式7-1】（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，和分别是和的平分线，且相交于点P．在图中，等腰三角形（不再添加线段和字母）的个数为（      ）    A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内外角关系直接求出，，，，，，即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∵和分别是和的平分线， ∴， ∴，， ∴，，，，，，，，是等腰三角形， 故选：B；． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理与内外角关系，解题的关键是求出角度． 【变式7-2】如图，在中，，，是的角平分线，则图中的等腰三角形共有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由是的角平分线，可得，又可求，所以是等腰三角形；又，故，所以是等腰三角形；由，得，可求，故，所以是等腰三角形． 【解答】解：是的角平分线， ， ， 是等腰三角形①． ， ， 是等腰三角形②． ，， ， ， 是等腰三角形③． 故图中的等腰三角形有3个． 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键． 【变式7-3】已知平面直角坐标系中，点A的坐标为(－2，3)，在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有(　　) A．3个 B．4个 C．5个 D．6 解析：因为△AOP为等腰三角形，所以可分三类讨论：(1)AO＝AP(有一个)．此时只要以A为圆心AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于O点和另一个点，另一个点就是点P；(2)AO＝OP(有两个)．此时只要以O为圆心AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于两个点，这两个点就是P的两种选择；(3)AP＝OP(一个)．作AO的中垂线与y轴有一个交点，该交点就是点P的最后一种选择．综上所述，共有4个．故选B. 方法总结：解决此类问题的方法主要是线段垂直平分线与辅助圆的灵活运用以及分类讨论时做到不重不漏． 考点8.判定一个三角形是等腰三角形 【例8】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形． 解析：根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE＝∠ACD，然后根据三角形外角的性质求得∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边求得CE＝CF，从而求得△CEF是等腰三角形． 证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形． 方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立． 【变式8-1】如图，已知是等腰直角三角形，，是的平分线，，垂足为． （1）是等腰三角形吗？请说明理由； （2）与垂直吗？请说明理由？ 【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据等腰三角形的定义解答； （2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上解答． 【解答】（1）解：是等腰三角形． 理由如下：，是的平分线，， ， 是等腰三角形； （2）． 理由如下：在和中，， ， ， 又， ． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 【变式8-2】已知：如图，在中，，是的角平分线，是高，与相交于点． （1）若，，，求上的高． （2）求证：． 【分析】（1）根据三角形的面积公式可求上的高． （2）根据余角的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义可证． 【解答】（1）解： ． 故上的高是4.8． （2）证明：， ， 是的角平分线， ， ， ． 【点评】考查了三角形的面积，余角的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，关键是熟练掌握并且灵活运用． 【变式8-3】如图，在中，，是边上的高， （1）尺规作图：作的平分线，交于点，交于点（要求：先用铅笔作图，再用黑色笔把它涂黑，不写作法，保留作图痕迹）． （2）求证：为等腰三角形． 【分析】（1）以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，分别以、为圆心大于长为半径画弧，两弧交于点，直线射线交于，线段即为所求； （2）只要证明，即可推出． 【解答】解：（1）如图线段即为所求； （2）， ， ，， ， ，，， ， ， 是等腰三角形． 【点评】本题考查作图基本作图，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 考点9.等腰三角形性质和判定的综合运用 【例9】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE. (1)求证：△DEF是等腰三角形； (2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数． 解析：(1)根据等边对等角可得∠B＝∠C，利用“边角边”证明△BDE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝EF，再根据等腰三角形的定义证明即可；(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE＝∠CEF，然后求出∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B＝∠DEF. (1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△BDE和△CEF中，∵∴△BDE≌△CEF(SAS)，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形； (2)解：∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF，∴∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE.∵∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF，∴∠B＝∠DEF.∵∠A＝50°，AB＝AC，∴∠B＝×(180°－50°)＝65°，∴∠DEF＝65°. 方法总结：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 【变式9-1】已知：如图，中，，AD⊥BC于D，CF交AD于点F，连接BF并延长交AC于点E，． 求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC． 【思路点拨】此题由等腰三角形的判定知AD＝DC，易证△ABD≌△CFD，要证BE⊥AC，只需证∠BEC＝90°即可，DF＝BD，可知∠FBD＝45°，由已知∠ACD＝45°，可知∠BEC＝90°. 【答案与解析】 证明：(1) ∵ AD⊥BC，∴ ∠ADC＝∠FDB＝90°. ∵ ， ∴ ∴ AD＝CD ∵ ， ∴ △ABD≌△CFD (2)∵△ABD≌△CFD ∴ BD＝FD. ∵ ∠FDB＝90°， ∴ . ∵ ， ∴ . ∴ BE⊥AC． 【总结升华】本题主要考查全等三角形判定定理及性质，垂直的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质等知识点，关键在于熟练的综合运用相关的性质定理，通过求证△ABD≌△CFD，推出BD=FD，求出∠FBD=∠BFD=45°． 【变式9-2】如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E，EH⊥AB，垂足是H．在AB上取一点M，使BM=2DE，连接ME．求证：ME⊥BC． 【思路点拨】根据EH⊥AB于H，得到△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，从而得到△HEM是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【答案与解析】 证明：∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠B=∠C=45°， ∵EH⊥AB于H， ∴△BEH是等腰直角三角形， ∴HE=BH，∠BEH=45°， ∵AE平分∠BAD，AD⊥BC， ∴DE=HE， ∴DE=BH=HE， ∵BM=2DE， ∴HE=HM， ∴△HEM是等腰直角三角形， ∴∠MEH=45°， ∴∠BEM=45°+45°=90°， ∴ME⊥BC． 【总结升华】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并证明出等腰直角三角形是解题的关键． 【变式9-3】．（2023春·江苏南通·八年级校考开学考试）已知：在中，，，点D边上运动，以为边作且，与交于点G，连结．    (1)当时，求的度数； (2)当且时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据题意证明出，然后得到，进而得到，然后利用三角形内角和定理和等腰三角形的性质求解即可； （2）首先根据题意证明出，然后得到，然后利用垂直平分线的性质得到，进而求解即可． 【详解】（1）∵在和中 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴； （2）∵ ∴，即 ∴在和中 ∴ ∴ ∵， ∴垂直平分 ∴ ∵ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 一．选择题（共8小题） 1．（2023秋•保定期末）如图，在中，，是中线，是上一点，若，则　　 A．7 B．6 C．5 D．4 【分析】由，为中线，利用三线合一得到垂直于，，再根据线段垂直平分线的判定与性质即可得解． 【解答】解：，是中线， ，， 垂直平分， ， 故选：． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 2．（2023秋•新乡期末）已知等腰三角形一边长为2，周长为8，则它的腰长为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】如果等腰三角形的腰长是2，得到等腰三角形的底边长是4，不满足三角形三边关系定理，因此等腰三角形的腰长不能是2；如果等腰三角形的底边长是2，求出等腰三角形的腰长是3，满足三角形三边关系定理，等腰三角形的腰长是3． 【解答】解：如果等腰三角形的腰长是2， 等腰三角形的底边长是， ，不满足三角形三边关系定理， 等腰三角形的腰长不能是2； 如果等腰三角形的底边长是2， 等腰三角形的腰长是， ，满足三角形三边关系定理， 等腰三角形的腰长是3， 综上所述，等腰三角形的腰长是3． 故选：． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，关键是要分两种情况讨论，由三角形三边关系定理进行判断． 3．（2023秋•无锡期末）已知一个等腰三角形的顶角等于，则它的底角等于　　 A． B． C． D． 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【解答】解：一个等腰三角形的顶角等于， 且等腰三角形的底角相等， 它的底角， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的两个底角相等是解决问题的关键． 4．（2023秋•湘西州期末）生物小组的同学想用18米长的篱笆围成一个等腰三角形区域作为苗圃，如果苗圃的一边长是4米，那么苗圃的另外两边长分别是　　 A．4米，4米 B．4米，10米 C．7米，7米 D．7米，7米，或4米，10米 【分析】分两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解． 【解答】解：当4米为腰时，另两边为，4米，10米， ， 不合题意舍去， 当4米为底边时，另两边为：7米，7米， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 5．（2023秋•龙华区校级期末）如图，是内一点，，，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】利用等腰三角形的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而可得，即可解答． 【解答】解：， ，，， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 6．（2024春•惠济区校级月考）如图，在中，的平分线与的外角平分线交于点，过点作，交于，交于，若，，则的长是　　 A．4 B．2.5 C．3 D．2 【分析】根据角平分线和平行线的性质证明，则，同理可证，即可得到． 【解答】解：平分， ， ， ， ， ， 同理可证， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，熟知相关知识是解题的关键． 7．（2023秋•顺义区期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为　　 A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【分析】分三种情况：当时；当时；当时；即可解答． 【解答】解：如图： 分三种情况： 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点为，； 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点为，； 当时，作的垂直平分线，交正方形网格的格点为，；，，，； 综上所述：这样的等腰三角形的个数为10， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，分三种情况讨论是解题的关键． 8．（2024春•中原区校级月考）如图，已知中，，，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有　　 A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【分析】根据等腰三角形性质，结合构造等腰三角形的方法，分三种情况：①构造中垂线；②以为圆心，长为半径作圆；③以为圆心，长为半径作圆；他们与直线或射线的交点即是点，从而得到结论． 【解答】解：分三种情况： ①构造中垂线，、即为所求，如图所示： ②以为圆心，长为半径作圆，、即为所求，如图所示： ③以为圆心，长为半径作圆，即为所求，如图所示： 综上所述，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，符合条件的点有、、、、共5个， 故选：． 【点评】本题考查等腰三角形的判定和三角形内角和定理，关键是等腰三角形判定的应用． 二．填空题（共6小题） 9．（2024春•两江新区期末）已知等腰三角形的一边长等于6，一边长等于12，则它的周长等于 　30　． 【分析】根据三角形三边之间的关系，即可得第三边的长，据此即可求解． 【解答】解：设第三边长为x，则6＜x＜18， 故此等腰三角形的第三边长为12， 故它的周长为：6+12+12＝30， 故答案为：30． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系，确定出第三边的长是解决本题的关键． 10．（2023秋•冠县期末）如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是　4　秒． 【分析】设运动的时间为，则，当是等腰三角形时，，则，解得即可． 【解答】解：设运动的时间为， 在中，，， 点从点出发以每秒的速度向点运动，点从点同时出发以每秒的速度向点运动， 当是等腰三角形时，， ， 即， 解得． 故答案为：4． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题． 11．（2024春•松江区期末）如图，在中，，、分别是、的平分线，且，，点、在边上，则的周长为 　3　． 【分析】分别利用角平分线的性质和平行线的判定，求得和为等腰三角形，由等腰三角形的性质得，，那么的周长就转化为边的长，即为． 【解答】解：、分别是和的角平分线， ，， ，， ，， ，， ，， 的周长． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质及等腰三角形的判定与性质等知识点．本题的关键是将的周长就转化为边的长． 12．（2024春•白塔区校级月考）如图所示，，，，分别是，的平分线，经过点且平行于，则　125　度． 【分析】由，，，分别是，的平分线可以得到、的度数，又因为经过点且平行，所以根据平行线性质可以求出，，而是平角即，所以可以求出． 【解答】解：，，，分别是，的平分线， ，， 又经过点且平行， ，， ． 故答案为：125． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，关键是等腰三角形性质的熟练应用． 13．（2023秋•昭通期末）等腰三角形的一个内角是，则这个等腰三角形的底角是　或　． 【分析】题中未指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解． 【解答】解：①当这个角是顶角时，底角； ②当这个角是底角时，另一个底角为，顶角为； 故答案为：或． 【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用． 14．（2023秋•赣州期末）已知：如图中，，，在射线上找一点，使为等腰三角形，则的度数为　或或　． 【分析】分三种情形分别求解即可； 【解答】解：如图，有三种情形： ①当时，． ②当时，． ③当时，， 故答案为或或 【点评】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 三．解答题（共5小题） 15．（2023秋•华容县期末）如图，在中，点为边上的一点，，过点作交于点，且平分．求证：． 【分析】由平行线的性质及角平分线的定义证出，则可得出结论． 【解答】证明：平分， ， 又， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 16．（2024•雁塔区校级二模）已知：如图，中，是中点，垂足为，垂足为，且，求证：是等腰三角形． 【分析】由是中点可得，再证明可得，然后根据等角对等边可得即可证明结论． 【解答】证明：是中点， ， 在和中， ， ， ， ，即是等腰三角形． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定等知识点，证得是解答本题的关键． 17．（2023秋•嵊州市期末）一个等腰三角形的周长是． （1）若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长． （2）若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长． 【分析】（1）设等腰三角形的底边长为 ，则腰长为 ，根据“周长是”列方程求解即可； （2）根据等腰三角形的定义，分腰为与底为两种情况分别求出其他两边即可． 【解答】解：（1）设等腰三角形的底边长为 ，则腰长为 ， 由题意得：， 解得： ，这个等腰三角形的底边长为，腰长分别为，， 即各边长分别是，，； （2）当腰为时，底边长为：， 其余两边分别为，，此时能构成三角形； 当底为时，腰长为：， 其余两边分别为，，此时能构成三角形； 综上所述：其余两边分别为与，或与． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，等腰三角形的定义等知识，掌握分类讨论思想是解题的关键． 18．（2023秋•安康期末）如图，在中，，点是上一点，于点，于点． （1）若点是的中点，求证：； （2）若，求的度数． 【分析】（1）连接，根据，点是的中点，证得，，进而证得，根据证得，从而证得得出结论； （2）先求出的度数，再根据求出，再根据垂直的定义求出，再利用四边形的内角和为解答． 【解答】（1）证明：连接， ，点是的中点， ，， ， ， ． ； （2）解： ， ，， ， 在中，， ， ， ， ． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质并灵活运用． 19．（2023秋•广州期末）如图，在中，点是的中点，于，点在的垂直平分线上， （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的度数． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：点是的中点，于， 垂直平分， ， 点在的垂直平分线， ， ， 是等腰三角形； （2）解：，， ，， ， ， ， ． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 等腰三角形的性质与判定(2个知识点+9个考点+易错分析） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解并掌握等腰三角形的性质．(重点) 2．经历等腰三角形的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题．(难点) 3．掌握等腰三角形的判定定理及其推论．(重点) 4．掌握等腰三角形判定定理的运用．(难点) 知识点1.等腰三角形的性质（重点） 1.等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 要点归纳：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . 2.等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 3.等腰三角形的性质的作用 性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据． 性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 4.等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴． 知识点2.等腰三角形的判定（重点） 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 要点归纳：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 易错点1：利用等腰三角形的性质解题时考虑问题不全面 在解决有关等腰三角形的角或边的问题时,如果没有明确已知角是顶角还是底角,已知边是底边还是腰,已知三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形时,一定要分类讨论,防止漏解. 易误点2：忽略分类讨论致错 若等腰三角形的形状不确定,则腰上的高有可能在三角形内部,也有可能在三角形外部,还可能在三角形的边上,因此解答此类问题时需分类讨论，画图分析 易误点3：误用等腰三角形“三线合一”的性质 注意：等腰三角形的“三线合一”指的是顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合,但对于底角平分线、腰上的中线、腰上的高却不一定相互重合 考点1.利用等腰三角形的概念求边长或周长 【例1】如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是(　　) A．9cm B．12cm C．15cm或12cm D．15cm 【变式1-1】已知一个等腰三角形的两边长分别为3cm、7cm，则该三角形的周长是（　　） A．13cm B．13cm或17cm C．17cm D．16cm 【变式1-2】已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边． 【变式1-3】若等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成了15cm和18cm两部分，则它的腰长为　 　cm． 考点2.利用“等边对等角”求角度 【例2】等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(　　) A．65°或50° B．80°或40° C．65°或80° D．50°或80° 【变式2-1】在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角． 【变式2-2】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )． A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120° 【变式2-3】．（2023秋·浙江宁波·八年级校考阶段练习）中，，为上的高，且为等腰三角形，则等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 考点3.利用方程思想求等腰三角形角的度数 【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数． 【变式3-1】（2023秋•中山市期中）如图，在中，，点在上，且，求各角的度数． 【变式3-2】．（2023秋•滨城区期中）如图，在中，，点在上，且，求： （1）图中有哪些等腰三角形？ （2）各角的度数 【变式3-3】．（2023秋•南岗区校级月考）填空及解答： 【教材例题展示】 如图1，在中，，点在上，且，求各角度数． 解：，，　　，（等边对等角），设，则，从而．于是在中，有，解得，所以，在中，，． 【教材习题展示】 ①如图2，在中，，若，则　　；若，则　　．（用含的式子表示） ②如图3，在中，，，延长至，使，延长至，使，连接，．则　　． 【教材习题变式】 ①如图4，在中，，，，则　　． ②如图5，在中，，，点，分别为边，上的点，，若，则　　． 【边角规律再探】 ①如图6，，连接、、，求证：． ②如图7，，点、、、、、．依次向右在的边和上，并且依次有，请解决以下问题： （1）若依次到点时，为直角三角形，则　　； （2）若此规律恰好最多可以进行到字母，则的取值范围是 　　． 考点4.利用“等边对等角”的性质进行证明 【例4】如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF. 【变式4-1】已知：如图，中，，是的外角，平分． 求证：． 【变式4-2】（2022春•海州区校级期中）如图，在中，，是的中点，是延长线上一点，是上一点，且，连接并延长交于点，证明：． 【变式4-3】．已知，如图，中，，是三角形外一点，于，于，且，求证：． 考点5.利用等腰三角形“三线合一”的性质进行证明 【例5】如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC. (1)若AD＝AE，求证：BD＝CE； (2)若BD＝CE，F为DE的中点，如图②，求证：AF⊥BC. 【变式5-1】如图①所示，点，在的边上，． （1）若，求证：． （2）如图②所示，若，为的中点，，求的度数． 【变式5-2】如图，中，点在延长线上，且，是的中线，平分，交于点，求证： （1）； （2）． 【变式5-3】如图，点，在的边上，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 考点6.与等腰三角形的性质有关的探究性问题 【例6】如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D. (1)请你写出图中所有的等腰三角形； (2)请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由． (3)如果BC＝10，求AB＋AE的长． 【变式6-1】（2024春•杨浦区期末）如图，已知等腰，，是边上一点（不与点、重合），是线段延长线上一点，． （1）说明的理由； （2）小华在研究这个问题时，提出了一个新的猜想：点在运动的过程中（不与点、重合），与是否会相等？，小丽思考片刻后，提出了自己的想法：可以在线段上取一点，使得，联结，然后通过学过的知识就能得到与相等．你能否根据小丽同学的想法，说明的理由． 【变式6-2】．（2023秋•龙泉驿区期末）如图，，，，． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的度数． 【变式6-3】．（2023秋•潍城区期中）如图，点为线段上一点，分别以，为底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点，使，连接，． （1）如图1，判断与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若，延长交于点，探究与的关系，并说明理由． 考点7.确定等腰三角形的个数 【例7】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有(　　) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式7-1】（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，和分别是和的平分线，且相交于点P．在图中，等腰三角形（不再添加线段和字母）的个数为（      ）    A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【变式7-2】如图，在中，，，是的角平分线，则图中的等腰三角形共有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-3】已知平面直角坐标系中，点A的坐标为(－2，3)，在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有(　　) A．3个 B．4个 C．5个 D．6 考点8.判定一个三角形是等腰三角形 【例8】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形． 【变式8-1】如图，已知是等腰直角三角形，，是的平分线，，垂足为． （1）是等腰三角形吗？请说明理由； （2）与垂直吗？请说明理由？ 【变式8-2】已知：如图，在中，，是的角平分线，是高，与相交于点． （1）若，，，求上的高． （2）求证：． 【变式8-3】如图，在中，，是边上的高， （1）尺规作图：作的平分线，交于点，交于点（要求：先用铅笔作图，再用黑色笔把它涂黑，不写作法，保留作图痕迹）． （2）求证：为等腰三角形． 考点9.等腰三角形性质和判定的综合运用 【例9】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE. (1)求证：△DEF是等腰三角形； (2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数． 【变式9-1】已知：如图，中，，AD⊥BC于D，CF交AD于点F，连接BF并延长交AC于点E，． 求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC． 【变式9-2】如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E，EH⊥AB，垂足是H．在AB上取一点M，使BM=2DE，连接ME．求证：ME⊥BC． 【变式9-3】．（2023春·江苏南通·八年级校考开学考试）已知：在中，，，点D边上运动，以为边作且，与交于点G，连结．    (1)当时，求的度数； (2)当且时，求的值． 一．选择题（共8小题） 1．（2023秋•保定期末）如图，在中，，是中线，是上一点，若，则　　 A．7 B．6 C．5 D．4 2．（2023秋•新乡期末）已知等腰三角形一边长为2，周长为8，则它的腰长为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2023秋•无锡期末）已知一个等腰三角形的顶角等于，则它的底角等于　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•湘西州期末）生物小组的同学想用18米长的篱笆围成一个等腰三角形区域作为苗圃，如果苗圃的一边长是4米，那么苗圃的另外两边长分别是　　 A．4米，4米 B．4米，10米 C．7米，7米 D．7米，7米，或4米，10米 5．（2023秋•龙华区校级期末）如图，是内一点，，，则等于　　 A． B． C． D． 6．（2024春•惠济区校级月考）如图，在中，的平分线与的外角平分线交于点，过点作，交于，交于，若，，则的长是　　 A．4 B．2.5 C．3 D．2 7．（2023秋•顺义区期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为　　 A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 8．（2024春•中原区校级月考）如图，已知中，，，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有　　 A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 二．填空题（共6小题） 9．（2024春•两江新区期末）已知等腰三角形的一边长等于6，一边长等于12，则它的周长等于 　 　． 10．（2023秋•冠县期末）如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是　 　秒． 11．（2024春•松江区期末）如图，在中，，、分别是、的平分线，且，，点、在边上，则的周长为 　　． 12．（2024春•白塔区校级月考）如图所示，，，，分别是，的平分线，经过点且平行于，则　　度． 13．（2023秋•昭通期末）等腰三角形的一个内角是，则这个等腰三角形的底角是　 　． 14．（2023秋•赣州期末）已知：如图中，，，在射线上找一点，使为等腰三角形，则的度数为　　． 三．解答题（共5小题） 15．（2023秋•华容县期末）如图，在中，点为边上的一点，，过点作交于点，且平分．求证：． 16．（2024•雁塔区校级二模）已知：如图，中，是中点，垂足为，垂足为，且，求证：是等腰三角形． 17．（2023秋•嵊州市期末）一个等腰三角形的周长是． （1）若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长． （2）若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长． 18．（2023秋•安康期末）如图，在中，，点是上一点，于点，于点． （1）若点是的中点，求证：； （2）若，求的度数． 19．（2023秋•广州期末）如图，在中，点是的中点，于，点在的垂直平分线上， （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$