专题05 平方根与立方根（十一大题型，55题）-【尖子生培优】2024-2025学年八年级数学上学期重难点压轴题突破专练（北师大版）

专题05 平方根与立方根（十一大题型，55题） 目录 题型一：认识无理数 1 题型二：利用算术平方根的非负性解题 5 题型三：与算术平方根有关的规律探索题 8 题型四：算数平方根的实际应用 11 题型五：平方根概念理解 16 题型六：求一个数的平方根 18 题型七：求代数式的平方根 21 题型八：平方根的应用 25 题型九：求一个数的立方根 28 题型十：已知一个数的立方根，求这个数 31 题型十一：立方根的实际应用 34 一、题型一：认识无理数 1．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）下列各数：，，0.16，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，，，，是无理数的有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24八年级上·江苏徐州·期末）下列各数中，无理数是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，长方形OABC放在数轴上，，，以A为圆心，AC长为半径画弧交数轴于P点，则P点表示的数为 ． 4．（21-22八年级上·福建三明·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数；任意一个不为0的有理数与一个无理数的积为无理数；而0与无理数的积为0．由此可得：如果，其中，为有理数，为无理数，那么且． （1）如果，其中，为有理数，那么 ， ； （2）如果，其中，为有理数，求的值． 5．（22-23八年级上·山西太原·期中）阅读与应用： 下面是小敏学习实数之后，写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 2022年9月22日                                                            天气：晴 无理数与线段长． 今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为．类似地，我们可以在数轴上找到表示，，…的点． 拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍为原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！ 任务： (1)“拓展思考”中，线段的长为______，的长为______；点B表示的数为______，点表示的数为______． (2)请从A，B两题中任选一题作答．我选择______题． A．请在图3所示的数轴上，画图确定表示的点M，N； B．请在图3所示的数轴上，画图确定表示的点M． 二、题型二：利用算术平方根的非负性解题 6．（22-23八年级下·吉林长春·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）已知，则的值为（　   　） A． B．1 C． D． 8．（23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）若，求的值． 9．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）已知和互为相反数，求的值． 10．（23-24八年级上·宁夏中卫·阶段练习）已知x，y是实数，且与 互为相反数，求的值 三、题型三：与算术平方根有关的规律探索题 11．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）已知，，则（   ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级上·北京石景山·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表. 下面有四个推断： ① ②一定有个整数的算术平方根在之间 ③对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于 ④比大 所有合理推断的序号是 . 13．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）观察下列各式：①，②，③，……，根据以上规律，写出第10个等式： ． 14．（22-23八年级下·安徽六安·期中）观察下列等式： ，，，． (1)按照上面的规律，写出第个等式是________________； (2)猜想第个等式，并证明你的猜想． 15．（22-23八年级上·江苏·期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … (1)表格中的三个值分别为：x＝　 　；y＝　 　；z＝　 　； (2)用公式表示这一规律：当a＝4×100n（n为整数）时，＝　 　； (3)利用这一规律，解决下面的问题： 已知，则①≈　 　；②≈　 　． 四、题型四：算数平方根的实际应用 16．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中的较短直角边长为2，中间小正方形的面积为9，则大正方形的边长为 ．（结果保留根号） 17．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）用四个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形如图所示，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，若，表示直角三角形的两直角边长（），给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．    18．（23-24八年级上·河南南阳·期中）如图，正方形和正方形平放在一起（A、B、E三点在同一条直线上）． (1)若两个正方形的面积分别是16和9，直接写出边的长为______． (2)①设正方形的边长为，正方形的边长为，求图中阴影部分的面积．（用含和的代数式表示） ②在①的条件下，如果，，求阴影部分的面积． 19．（23-24八年级上·山西临汾·期中）某市开发商为减少投资金额，将原来的正方形场地改建成的长方形场地，且其长、宽的比为． (1)求原来正方形场地的周长； (2)改建后的长方形的长和宽分别为多少？如果要利用原来正方形场地的铁栅栏围墙围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由． 20．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）小明的爸爸打算用如图一块面积为的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为的桌面．    (1)求正方形工料的边长； (2)若要求裁出的桌面的长宽之比为，你认为小明的爸爸能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，说明理由． 五、题型五：平方根概念理解 21．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）关于平方根的说法：①1是1的平方根；②1的平方根是1；③的平方根是；④2是的平方根；⑤的平方根是．若正确的用“✓”，错误的用“×”．下列判断正确的是（　　） A．①√②×③×④√⑤× B．①×②√③×④×⑤× C．①×②×③×④√⑤× D．①×②×③√④×⑤√ 22．（23-24八年级上·安徽芜湖·开学考试）下列说法正确的是（　　） A．是的平方根 B．是的平方根 C．的平方根是 D．的平方根是 23．（23-24八年级上·山东东营·单元测试）已知字母a、b满足，则的值为 ． 24．（23-24八年级上·四川达州·期中）若正数的平方根分别是和，则_____． 25．（23-24八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如果一个数的平方根分别是与，那么这个数的算术平方根是 ． 六、题型六：求一个数的平方根 26．（23-24八年级上·河南南阳·期中）观察：，，……据此规律，当时，的结果是（    ） A．1 B． C．1或 D．1或 27．（23-24八年级上·山东青岛·期中）下列说法正确的是（　　） A．0.2是的算术平方根 B．是25的平方根 C．的算术平方根是9 D．16的平方根是4 28．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若单项式与是同类项，则的平方根是 ． 29．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）若，则a的值为 ． 30．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）已知：，求：的平方根． 七、题型七：求代数式的平方根 31．（22-23八年级上·四川巴中·阶段练习）若，求的平方根是 ． 32．（20-21八年级上·上海浦东新·期中）已知正数x满足，那么代数式 x的值是 ． 33．（23-24八年级上·湖北黄冈·期末）请认真观察下列等式： ；； 并解决下列问题： (1)填空：①______； ②已知，则______； (2)计算：①已知，求的值； ②已知，求的值． 34．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）（1）已知正数x的两个平方根分别是和，求和x的值； （2）若，求的平方根． 35．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）数学课上老师要同学们用纸片拼图，一位同学用4个全等的长方形拼出了下图的大正方形，请观察图形并解答下列问题： (1)请写出下列三个代数式，，之间的等量关系：________． (2)根据（1）中的等量关系，若，，求的值． 八、题型八：平方根的应用 36．（19-20七年级下·河北邯郸·阶段练习）已知≈4.858，≈1.536，则﹣≈（　　） A．﹣485.8 B．﹣48.58 C．﹣153.6 D．﹣1536 37．（23-24八年级上·陕西榆林·阶段练习）若一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是 ． 38．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：秒）和高度（单位：米）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒．物体落地时产生的动能物体质量重力加速度高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：焦耳． (1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？ (2)一个0.5 千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1 秒，） 39．（23-24八年级上·吉林长春·期末）一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或． (1)根据上述平方根的意义，试求方程的解． (2)自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系是，若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 40．（22-23七年级下·福建福州·期中）已知一个正数的平方根是和． (1)求出的值； (2)求这个正数； (3)求的平方根． 九、题型九：求一个数的立方根 41．（23-24八年级上·重庆·期末）若则的立方根为（    ） A．4 B．2 C． D．8 42．（23-24八年级上·湖北恩施·阶段练习）计算的结果等于 ． 43．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知实数a，b在数轴上的对应点如图，化简：． 44．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若都是实数，，求的立方根． 45．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）已知是49的算术平方根，的立方根是． (1)求x，y的值； (2)求的立方根． 十、题型十：已知一个数的立方根，求这个数 46．（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）（1）如果的算术平方根是2，的立方根是，求的平方根． （2）已知：的平方根为，的算术平方根为它本身，的立方根是4，求的值． 47．（23-24八年级上·陕西榆林·期中）已知的平方根为，的立方根为． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 48．（23-24八年级上·四川攀枝花·期中）已知的平方根是，的立方根是4，求的算术平方根． 49．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）已知的平方根是，的立方根是，求 50．（23-24八年级上·甘肃酒泉·期中）已知的平方根是，的立方根是3，求的值． 十一、题型十一：立方根的实际应用 51．（22-23八年级上·江西九江·期中）已知，则 52．（23-24八年级上·陕西榆林·期中）有一块正方体木块，体积是216，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，那么每个小正方体木块的表面积是多少？（正方体的体积棱长的立方） 53．（23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）求下列各式中的值． (1)； (2)． 54．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）小红妈妈的水果销售店新进了50箱新品种水果，装这种水果的纸箱尺寸为（单位：），现在由于经营需要，小红妈妈准备将这批水果分装在80个完全相同的正方体纸箱内，试问：这种正方体纸箱的棱长应为多少厘米？ 55．（23-24八年级·全国·假期作业）观察下列规律回答问题：，，，，， (1)则　　；　　；按上述规律，已知数小数点的移动与它的立方根的小数点移动间有何规律？ (2)已知，若，用含的代数式表示，则　　； (3)根据规律写出与a的大小情况． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平方根与立方根（十一大题型，55题） 目录 题型一：认识无理数 1 题型二：利用算术平方根的非负性解题 5 题型三：与算术平方根有关的规律探索题 8 题型四：算数平方根的实际应用 11 题型五：平方根概念理解 16 题型六：求一个数的平方根 18 题型七：求代数式的平方根 21 题型八：平方根的应用 25 题型九：求一个数的立方根 28 题型十：已知一个数的立方根，求这个数 31 题型十一：立方根的实际应用 34 一、题型一：认识无理数 1．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）下列各数：，，0.16，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，，，，是无理数的有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数，根据无理数的特征即可解答． 【详解】，是有限小数，有理数， ，开方开不尽的数，是无限不循环小数，是无理数， 0.16，是有限小数，有理数， ，是无限不循环小数，是无理数， （两个1之间的0的个数逐次增加1），是无限不循环小数，是无理数， ，是分数，是有理数， ，开方开不尽的数，是无限不循环小数，是无理数， ，是有限小数，有理数， ，开方开不尽的数，是无限不循环小数，是无理数， 综上所述：共有5个无理数， 故选：D． 2．（23-24八年级上·江苏徐州·期末）下列各数中，无理数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，熟练掌握无理数的定义：“无限不循环小数、根号开不尽的数”是解题的关键，根据无理数的定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、，是有理数，此选项不符合题意； B、是无理数，此选项符合题意； C、为有限小数，是有理数，此选项不符合题意； D、为分数，是有理数，此选项不符合题意； 故选：B． 3．（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，长方形OABC放在数轴上，，，以A为圆心，AC长为半径画弧交数轴于P点，则P点表示的数为 ． 【答案】 【分析】利用勾股定理列式求出AC，然后根据数轴写出点P所表示的数即可． 【详解】解：∵长方形OABC的长OA为2，宽OC为1， ∴由勾股定理得，， ∴， ∵点A表示的数是2， ∴点P表示的数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴，主要是无理数在数轴上的表示，熟记定理是解题的关键． 4．（21-22八年级上·福建三明·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数；任意一个不为0的有理数与一个无理数的积为无理数；而0与无理数的积为0．由此可得：如果，其中，为有理数，为无理数，那么且． （1）如果，其中，为有理数，那么 ， ； （2）如果，其中，为有理数，求的值． 【答案】（1）-1，2；（2）15 【分析】（1）根据，为有理数，是无理数，可得m+1=0，n-2=0，进而即可求解； （2）先把原等式化为，即可得到m-2n=0，3m-18=0，进而即可求解． 【详解】解：（1）∵，，为有理数，是无理数， ∴m+1=0，n-2=0， ∴m=-1，n=2， 故答案是：-1，2； （2）∵， ∴， ∵，为有理数，是无理数， ∴m-2n=0，3m-18=0，即：m=6，n=3， ∴=15． 【点睛】本题主要考查无理数的意义以及整式的混合运算，理解“如果，其中，为有理数，为无理数，那么且”，是解题的关键． 5．（22-23八年级上·山西太原·期中）阅读与应用： 下面是小敏学习实数之后，写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 2022年9月22日                                                            天气：晴 无理数与线段长． 今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为．类似地，我们可以在数轴上找到表示，，…的点． 拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍为原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！ 任务： (1)“拓展思考”中，线段的长为______，的长为______；点B表示的数为______，点表示的数为______． (2)请从A，B两题中任选一题作答．我选择______题． A．请在图3所示的数轴上，画图确定表示的点M，N； B．请在图3所示的数轴上，画图确定表示的点M． 【答案】(1)；；； (2)见解析 【分析】（1）记表示的数为1的点（记作C）为圆心作弧，，由等量关系可得，点B，分别在原点的右侧、左侧，注意为负数； （2）选A题：，作出单位长度以1和3为直角边的直角三角形，其斜边即是，然后以原点为圆心，以为半径画弧，与数轴相交的两个交点即为所求；选B题：以表示的数为2的点为圆心，在圆心的左侧，作出单位长度以1和3为直角边的直角三角形，其斜边即是，然后，以为半径画弧，与数轴负半轴相交的点即为所求． 【详解】（1）记表示的数为1的点（记作C）为圆心作弧， ∵圆的半径为，即， ∴；； 又点B，分别在原点的右侧、左侧， ∴点B表示的数为，点表示的数为 （2）选A题：因为，作出单位长度以1和3为直角边的直角三角形，其斜边即是，然后以原点为圆心，以为半径画弧，如图所示： 选B题：∵，∴点在数轴的负半轴； ，以表示的数为2的点为圆心，在圆心的左侧，作出单位长度以1和3为直角边的直角三角形，其斜边即是，然后，以为半径画弧，与数轴负半轴相交的点即为所求，如图所示： 【点睛】本题考查了无理数与数轴上的点的对应关系，作图时通常借助于作直角三角形，利用勾股定理得斜边或直角边． 二、题型二：利用算术平方根的非负性解题 6．（22-23八年级下·吉林长春·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，由非负数的性质可得，，即得，，再代入代数式计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 7．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）已知，则的值为（　   　） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，算术平方根的非负性，代数式求值．熟练掌握完全平方公式，算术平方根的非负性，代数式求值是解题的关键． 由题意知，即，计算求出的值，最后代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得，， ∴， 故选：A． 8．（23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，根据绝对值、完全平方及二次根式的非负性可得，，，求出的值再代入代数式计算即可求解，掌握几个非负数的和为时，这几个非负数都为是解题的关键． 【详解】解：，，，且， ，，， ，，， ． 9．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）已知和互为相反数，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了非负数的性质和负指数次幂，根据互为相反数的两个数的和等于0列式，再根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：由题意得 ， ， ， 10．（23-24八年级上·宁夏中卫·阶段练习）已知x，y是实数，且与 互为相反数，求的值 【答案】5 【分析】本题考查了相反数，偶次方与算术平方根的非负性，代数式求值，算术平方根的求解，根据相反数的定义可得，从而得到，，解出x，y的值代入求解即可． 【详解】解：与 互为相反数， ， ，， 解得：，， ． 三、题型三：与算术平方根有关的规律探索题 11．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，由即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 12．（23-24八年级上·北京石景山·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表. 下面有四个推断： ① ②一定有个整数的算术平方根在之间 ③对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于 ④比大 所有合理推断的序号是 . 【答案】D 【分析】此题考查了乘方运算，算术平方根，平方差公式；根据表格中的信息可知和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各题即可． 【详解】解：根据表格中的信息知： ，故①正确； 根据表格中的信息知：， ∴正整数或或， ∴一定有个整数的算术平方根在之间，故②正确； ∵由题意设且， 由，， ∴对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于，故③正确； ∵，，，故④正确； ∴合理推断的序号是①②③④． 故答案为：①②③④． 13．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）观察下列各式：①，②，③，……，根据以上规律，写出第10个等式： ． 【答案】 【分析】本题考查的是数字的变化规律和算术平方根，根据上述等式找出一般规律是解题的关键． 根据上述等式，得出一般规律：第个等式为，即可得出第10个等式． 【详解】解：根据上述等式，得出一般规律：第个等式为， 第10个等式：， 故答案为：． 14．（22-23八年级下·安徽六安·期中）观察下列等式： ，，，． (1)按照上面的规律，写出第个等式是________________； (2)猜想第个等式，并证明你的猜想． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【分析】（1）由题目式子的规律，即可得到答案； （2）由（1）式子的规律，即可猜想出结论，证明即可． 【详解】（1）解：第个等式是； 故答案为：； （2）解：第个等式：． 证明：左边， 右边， 所以，等式成立． 【点睛】本题考查算术平方根，规律型：数字的变化类，关键是发现数字的变化规律． 15．（22-23八年级上·江苏·期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … (1)表格中的三个值分别为：x＝　 　；y＝　 　；z＝　 　； (2)用公式表示这一规律：当a＝4×100n（n为整数）时，＝　 　； (3)利用这一规律，解决下面的问题： 已知，则①≈　 　；②≈　 　． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用算术平方根定义计算填表即可； （2）归纳总结得到一般性规律，然后求出的值即可； （3）利用（2）得出的规律即可解答． 【详解】（1）解：根据算术平方根定义可得：． 故答案为． （2）解：当（n为整数）时，． 故答案为． （3）解：若，则①；②． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了算术平方根、数字规律等知识点，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． 四、题型四：算数平方根的实际应用 16．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中的较短直角边长为2，中间小正方形的面积为9，则大正方形的边长为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了以赵爽弦图为背景的勾股定理，算术平方根．熟练掌握勾股定理，算术平方根是解题的关键．由题意知，小正方形的边长为，则直角三角形的另外一条直角边的长度为，根据大正方形的边长为直角三角形的斜边长，利用勾股定理计算求解即可． 【详解】解：由题意知，小正方形的边长为， ∴直角三角形的另外一条直角边的长度为， 由勾股定理得，直角三角形的斜边长即大正方形的边长为， 故答案为：． 17．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）用四个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形如图所示，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，若，表示直角三角形的两直角边长（），给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．    【答案】①②③ 【分析】本题考查了勾股定理的应用，完全平方公式，算术平方根的应用，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键．本题利用算术平方根的含义可判断②，再利用勾股定理可判断①，利用等面积法可判断③，结合完全平方公式可判断④，从而可得答案． 【详解】解：如图，    ∴，故②符合题意， ∵为直角三角形， ∴根据勾股定理：，故①符合题意， 由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 可得：， 即；故③符合题意； ∵， ∴， 整理得，， ∵， ∴；故④不符合题意， ∴正确结论有①②③． 故答案为：①②③． 18．（23-24八年级上·河南南阳·期中）如图，正方形和正方形平放在一起（A、B、E三点在同一条直线上）． (1)若两个正方形的面积分别是16和9，直接写出边的长为______． (2)①设正方形的边长为，正方形的边长为，求图中阴影部分的面积．（用含和的代数式表示） ②在①的条件下，如果，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)7 (2)①；②14 【分析】本题考查了正方形的性质，割补法求不规则图形面积，整式混合运算； （1）分别由正方形的面积直接可以求出边长，即可求解； （2）①，②由①可得，即可求解； 掌握割补法，能根据已知等式化简整式的形式用整体代换的思想求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ， ， ； 故答案：． （2）解：① ； ②由①知 ， 当，时， ． 19．（23-24八年级上·山西临汾·期中）某市开发商为减少投资金额，将原来的正方形场地改建成的长方形场地，且其长、宽的比为． (1)求原来正方形场地的周长； (2)改建后的长方形的长和宽分别为多少？如果要利用原来正方形场地的铁栅栏围墙围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由． 【答案】(1) (2)够用，见解析 【分析】（1）正方形边长面积的算术平方根，周长边长，由此解答即可； （2）长、宽的比为，设这个长方形场地宽为，则长为，计算出长方形的长与宽可知长方形周长，同理可得正方形的周长，比较大小可知是否够用． 【详解】（1）解：（m），（m）， 答：原来正方形场地的周长为； （2）解：设这个长方形场地宽为，则长为． 由题意有：， 解得：， 表示长度， ∴， ∴ ∴这个长方形场地宽为，则长为 这些铁栅栏够用．理由如下： 这个长方形场地的周长为 ∵， ∴这些铁栅栏够用． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的简单应用，根据题意设出合适未知数是基础，依据相等关系列出方程求出各自周长是解题的关键． 20．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）小明的爸爸打算用如图一块面积为的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为的桌面．    (1)求正方形工料的边长； (2)若要求裁出的桌面的长宽之比为，你认为小明的爸爸能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】（1）设正方形工料的边长为a，则，可得； （2）设长方形的长、宽分别为，则，可得．故不能裁出符合要求的长方形． 【详解】（1）解：设正方形工料的边长为，则， ∵， ∴，即正边形边长为． （2）解：设长方形的长、宽分别为，则 ，， ∴． ∴． ∴不能裁出符合要求的长方形． 【点睛】本题考查算术平方根的定义及求解；掌握算术平方根的求解方法是解题的关键． 五、题型五：平方根概念理解 21．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）关于平方根的说法：①1是1的平方根；②1的平方根是1；③的平方根是；④2是的平方根；⑤的平方根是．若正确的用“✓”，错误的用“×”．下列判断正确的是（　　） A．①√②×③×④√⑤× B．①×②√③×④×⑤× C．①×②×③×④√⑤× D．①×②×③√④×⑤√ 【答案】A 【分析】本题考查对平方根的定义的理解，正数的平方根有两个，且互为相反数；根据平方根的意义与性质进行判断即可． 【详解】①1的平方根是，故1是1的平方根，①对； ②1的平方根是，故1的平方根是1错，故②错； ③负数没有平方根，故的平方根是错，故③错； ④的平方根，所以是的平方根对，故④对； ⑤的平方根是，所以的平方根是错，故⑤错； 故选：A． 22．（23-24八年级上·安徽芜湖·开学考试）下列说法正确的是（　　） A．是的平方根 B．是的平方根 C．的平方根是 D．的平方根是 【答案】B 【分析】利用平方根的定义求解即可． 【详解】、没有平方根，故此选项说法错误，不符合题意； 、，的平方根有两个为，故此选项说法正确，符合题意； 、，的平方根有两个为，故此选项说法不全，不符合题意； 、的平方根是，不是，故此选项说法错误，不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了平方根的定义，解题的关键是正确理解一个正数的平方根有两个，互为相反数，的平方根是，负数没有平方根． 23．（23-24八年级上·山东东营·单元测试）已知字母a、b满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性求参数及裂项相消法求值，熟练掌握算术平方根的非负性及裂项相消法求值是解决问题的关键．根据算术平方根的非负性求出、，将、代入式子后，再利用裂项法对代数式进行化简，即可得解． 【详解】解： ，，， ，， 解得，， 故答案为：． 24．（23-24八年级上·四川达州·期中）若正数的平方根分别是和，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，根据平方根互为相反数，可得和的关系，根据解一元一次方程，可得的值，根据平方运算即可求值，解题的关键是正确理解平方根的概念． 【详解】解：∵一个数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数， ∴， ∴，即，， ∴， 故答案为：． 25．（23-24八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如果一个数的平方根分别是与，那么这个数的算术平方根是 ． 【答案】5 【分析】先根据一个数的两个平方根互为相反数求得m的值，再根据算术平方根的定义即可解答． 【详解】解：∵一个数的平方根分别是与， ∴，解得： ∵． ∴这个数的算术平方根是5． 故答案为5． 【点睛】本题主要考查了平方根的性质、算术平方根的定义等知识点，理解平方根与算术平方根的区别与联系是解答本题的关键． 六、题型六：求一个数的平方根 26．（23-24八年级上·河南南阳·期中）观察：，，……据此规律，当时，的结果是（    ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查探索规律，平方差公式、多项式乘以多项式，分类讨论等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．本题题目所给规律，得出，进而推出或，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： ， ∴， 则， ∴， ∴或， ∴或， 故选：C． 27．（23-24八年级上·山东青岛·期中）下列说法正确的是（　　） A．0.2是的算术平方根 B．是25的平方根 C．的算术平方根是9 D．16的平方根是4 【答案】B 【分析】本题考查平方根及算术平方根，根据算术平方根及平方根的定义逐项判断即可． 【详解】0.2是0.04的算术平方根，则A不符合题意； 是25的平方根，则B符合题意； ，其算术平方根是3，则C不符合题意； 16的平方根是，则D不符合题意； 故选：B． 28．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若单项式与是同类项，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项，平方根，根据同类项的定义：如果两个单项式所含的字母相同，相同字母的指数也相同，那么这两个单项式就叫做同类项，可得，求出的值，再求出的值，最后利用平方根的定义即可求解，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 29．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）若，则a的值为 ． 【答案】/或/或 【分析】本题考查的是平方根的含义，平方差公式的应用，解决问题的关键是先把方程化为，再利用平方根的含义解方程即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴； 故答案为：． 30．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）已知：，求：的平方根． 【答案】 【分析】由，可得，解得，，则，，根据的平方根为，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∴，， ∴的平方根为， ∴的平方根为． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，平方根．解题的关键在于熟练掌握的平方根为． 七、题型七：求代数式的平方根 31．（22-23八年级上·四川巴中·阶段练习）若，求的平方根是 ． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：，， ， 的平方根是． 故答案为： 【点睛】本题考查了非负数的性质与求代数式的平方根，即几个非负数的和为0，则每个非负数都是0．现阶段学习的非负数的形式主要有三种：，，（为正整数）． 32．（20-21八年级上·上海浦东新·期中）已知正数x满足，那么代数式 x的值是 ． 【答案】 【分析】将已知条件变形为，两边平方得可得，再变形为，结合x＞0即可得出结论． 【详解】解：由，得，即， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵x＞0， ∴ 故答案为： 【点睛】此题主要考查了完全平方公式的应用，也不想奇葩热闹我擦哎哟嘎就解答此题的关键． 33．（23-24八年级上·湖北黄冈·期末）请认真观察下列等式： ；； 并解决下列问题： (1)填空：①______； ②已知，则______； (2)计算：①已知，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)①4；② (2)①；② 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值以及求一个数的平方根，解题的关键是理解并掌握完全平方公式． （1）①根据题干提供的信息，利用完全平方公式进行计算即可；②先利用完全平方公式变形求出，然后求出的值即可； （2）①先将两边都除以，得出，然后求出，再求出，即可获得答案；②分两种情况讨论：当时和当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：① ； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①4；②； （2）①已知，， 则两边同时除以，可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，， ∴， ∴， ∵， ∴不合题意，舍去； 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴． ∴． 34．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）（1）已知正数x的两个平方根分别是和，求和x的值； （2）若，求的平方根． 【答案】（1），    （2） 【分析】本题考查了平方根的应用： （1）根据平方根的定义可得，求得的值，进而求得和x； （2）根据被开方数为非负数，可得，求得的值，代入求得的平方根即可． 【详解】解：（1）， 解得， 则， ； （2）， ， ， 则的平方根是． 35．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）数学课上老师要同学们用纸片拼图，一位同学用4个全等的长方形拼出了下图的大正方形，请观察图形并解答下列问题： (1)请写出下列三个代数式，，之间的等量关系：________． (2)根据（1）中的等量关系，若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式，平方根： （1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出，，之间的等量关系； （2）由（1）的等量关系求出，再利用平方差公式即可解答． 【详解】（1）解：大正方形的面积为：，中间小正方形的面积为：，四个小长方形的面积为：， 因此有， 故答案为：； （2）解：由（1）得， ， ． 八、题型八：平方根的应用 36．（19-20七年级下·河北邯郸·阶段练习）已知≈4.858，≈1.536，则﹣≈（　　） A．﹣485.8 B．﹣48.58 C．﹣153.6 D．﹣1536 【答案】A 【分析】根据平方根小数点的移动规律解答． 【详解】解：236000是由23.6小数点向右移动4位得到，则﹣＝﹣485.8； 故选：A． 【点睛】此题考查了平方根小数点的移动规律：当被开方数的小数点向右每移动两位，则平方根的小数点向右移动一位；当被开方数的小数点向左每移动两位，则平方根的小数点向左移动一位． 37．（23-24八年级上·陕西榆林·阶段练习）若一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是 ． 【答案】 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数即可求解； 【详解】解：∵该正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平方根的概念，掌握相关知识是解题的关键． 38．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：秒）和高度（单位：米）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒．物体落地时产生的动能物体质量重力加速度高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：焦耳． (1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？ (2)一个0.5 千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1 秒，） 【答案】(1)大约需要4秒 (2)大约2.8秒 【分析】本题考查了平方根的应用，理解公式，正确代入求值是解此题的关键． （1）将米代入得：，即，计算即可得解； （2）先求出米，再将米代入得，即，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：把米代入得：，即， 解得：（负值舍去）， 答：一个物品从80米的高楼坠落到地面大约需要4秒； （2）解：由题意得：， 解得， 把代入得：，即， 解得（负值舍去）， ∴秒， 答：该物品坠落地面用了大约2.8秒． 39．（23-24八年级上·吉林长春·期末）一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或． (1)根据上述平方根的意义，试求方程的解． (2)自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系是，若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 【答案】(1)或 (2)秒 【分析】本题考查平方根及应用， （1）由平方根的知识可得，从而求出方程的解； （2）将代入，得到，再根据平方根的定义求出t的值即可； 熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ∴或； （2）根据题意，得：， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， 答：这个物体到达地面所需的时间为秒． 40．（22-23七年级下·福建福州·期中）已知一个正数的平方根是和． (1)求出的值； (2)求这个正数； (3)求的平方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平方根的特征得出，进行计算即可得到答案； （2）先求出的值，再平方即可得到答案； （3）先计算出的值，再求出的平方根即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的平方根是和， ∴， ∴； （2）解：， 这个正数为； （3）解：， ， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、平方根、算术平方根，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 九、题型九：求一个数的立方根 41．（23-24八年级上·重庆·期末）若则的立方根为（    ） A．4 B．2 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质、求立方根，根据非负数的性质求出，，再求出的值，最后根据立方根的定义计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的立方根为， 故选：C． 42．（23-24八年级上·湖北恩施·阶段练习）计算的结果等于 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根的求法，根据立方根定义求值， 理解立方根的定义是求解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 43．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知实数a，b在数轴上的对应点如图，化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用数轴比较大小，算术平方根和立方根，整式的加减运算，解决问题的关键是熟练掌握算术平方根与绝对值的性质，去括号与合并同类项法则． 根据，，得到，进而化简求解即可． 【详解】由数轴可知，，， ∴， ∴ ． 44．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若都是实数，，求的立方根． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，非负数的性质，先根据被开方数要大于等于0得到，进而求出，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】解；∵式子要有意义， ∴ 解得：， ∴， ∴， ∴的立方根是3． 45．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）已知是49的算术平方根，的立方根是． (1)求x，y的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查立方根，平方根以及算术平方根的定义，熟记概念并求出、的值是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义求出x，再根据立方根的定义求出y，即可解答； （2）将，代入求出的值，再根据立方根的定义解答． 【详解】（1）解：∵是49的算术平方根， ， 解得， 的立方根是， ， 解得：． （2）解：，， ， ∴的立方根是． 十、题型十：已知一个数的立方根，求这个数 46．（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）（1）如果的算术平方根是2，的立方根是，求的平方根． （2）已知：的平方根为，的算术平方根为它本身，的立方根是4，求的值． 【答案】（1）；（2）35 【分析】此题考查了算术平方根、平方根、立方根等知识， （1）根据的算术平方根是2得到，求出，再根据的立方根是求出，即可求出的平方根； （2）根据的平方根为解得，根据的算术平方根为它本身，得到，则，根据的立方根是4得到，解得，即可求出的值． 【详解】解：（1）∵的算术平方根是2， ∴， ∴， 即， 又∵的立方根是， ∴， 则 即， ∴， ∴的平方根为； （2）∵的平方根为， ∴，， 解得， ∵的算术平方根为它本身，算术平方根等于其本身的有0或1，且， ∴，即， ∴， 解得，， ∵的立方根是4， ∴，解得，， ∴，，， ∴． 47．（23-24八年级上·陕西榆林·期中）已知的平方根为，的立方根为． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，根据平方根和立方根求原数： （1）对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此先求出a的值，进而求出b的值即可； （2）根据（1）所求求出的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵的平方根为， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵25的平方根是， ∴的平方根是． 48．（23-24八年级上·四川攀枝花·期中）已知的平方根是，的立方根是4，求的算术平方根． 【答案】10 【分析】本题考查平方根、立方根、算术平方根的定义，解答时需要紧扣定义即可． 本题首先根据平方根以及立方根的定义求出，，最后按照算术平方根定义求解本题． 【详解】由已知得：，， ∴，， ∴， ∴100的算术平方根为10， ∴的算术平方根是10． 49．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）已知的平方根是，的立方根是，求 【答案】 【分析】本题考查了平方根和立方根，代数式求值，根据平方根和立方根的定义求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， 即， ∴， ∴． 50．（23-24八年级上·甘肃酒泉·期中）已知的平方根是，的立方根是3，求的值． 【答案】9 【分析】本题考查了平方根，立方根，代数式求值．熟练掌握平方根，立方根是解题的关键． 由的平方根是，可得，可求，由的立方根是3，可得，可求，然后代值求解即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， 解得， ∵的立方根是3， ∴， 解得， ∴， ∴的值为9． 十一、题型十一：立方根的实际应用 51．（22-23八年级上·江西九江·期中）已知，则 【答案】 【分析】移项后直接开立方即可得到答案． 【详解】解：， ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查了开立方解方程，正确理解一个数的立方根只有一个是解答本题的关键． 52．（23-24八年级上·陕西榆林·期中）有一块正方体木块，体积是216，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，那么每个小正方体木块的表面积是多少？（正方体的体积棱长的立方） 【答案】54 【分析】本题考查了正方体的表面积，以及开立方运算，根据题意得到每个小正方体木块体积，进而得到每个小正方体木块棱长，最后求出正方形表面积，即可解题． 【详解】解：由题知每个小正方体木块体积为：（）， 每个小正方体木块棱长为：， 每个小正方体木块的表面积是：（）， 答：每个小正方体木块的表面积是54． 53．（23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方根、立方根的应用，掌握运用平方根、立方根解方程成为解题的关键． （1）直接运用平方根解方程即可； （2）先移向、然后再运用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴中的值为． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴中的值为， ∴中的值为． 54．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）小红妈妈的水果销售店新进了50箱新品种水果，装这种水果的纸箱尺寸为（单位：），现在由于经营需要，小红妈妈准备将这批水果分装在80个完全相同的正方体纸箱内，试问：这种正方体纸箱的棱长应为多少厘米？ 【答案】正方体纸箱的棱长应为厘米 【分析】本题主要考查立方根的应用，设正方体纸箱的棱长为x厘米，根据体积相等列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设正方体纸箱的棱长为x厘米， 根据题意得：， 即， 解得：， 则正方体纸箱的棱长应为厘米． 答：这种正方体纸箱的棱长应为厘米． 55．（23-24八年级·全国·假期作业）观察下列规律回答问题：，，，，， (1)则　　；　　；按上述规律，已知数小数点的移动与它的立方根的小数点移动间有何规律？ (2)已知，若，用含的代数式表示，则　　； (3)根据规律写出与a的大小情况． 【答案】(1) (2)﹣ (3)当或时，；当或时，；当或时，． 【分析】（1）根据立方根的概念进行求解、归纳； （2）运用（1）题规律进行求解； （3）根据题目中求立方根的结果进行规律归纳． 【详解】（1）解：；； 按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位， 故答案为：； （2）解：由（1）中规律可得，已知，若， 则的绝对值是的且符号相反； 用含的代数式表示，则， 故答案为：； （3）解：，，，，， 与的大小情况为： 当或时，； 当或时，； 当或时，． 【点睛】此题考查了立方根的求解与规律归纳能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、归纳． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$