2.2平方根 教学设计 2024—2025学年北师大版数学八年级上册

教学设计 课题 平方根 课型 新授课 复习课□试卷讲评课□ 其它课o 教学内容分析 本节课主要讲解了平方根的定义、性质以及求法.在本节课之前，学生对有理数的5种运算已经有了较深刻的认识，也学习了算术平方根，对平方与开平方的互逆关系有了一定的直观感受。因此，我们类比算术平方根的学习过程，提出“已知一个数的平方等于某个具体数，求这个数是多少”的问题，引导学生从具体的数入手，利用前面所学知识开展探究活动，形成对平方根的直观感知，体会算术平方根与平方根的联系与区别.在此基础上，引导学生抽象出问题本质，归纳出平方根的定义，总结算术平方根和平方根的关系；再联系平方运算，指出开平方和平方互为逆运算，从而给出求解平方根的方法。而后通过例题讲解，加深学生对平方根定义、性质的理解，配以巩固练习强化认知. 学情分析 在刚开始接触平方根时，可能有两点不习惯，一是正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，这与学生过去遇到的运算结果唯一的情况有所不同；二是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，这种对运算对象有限定要求的情况以前一般不会遇到．针对学生理解平方根概念中存在的困难，通过乘方运算帮助理解平方根的概念．通过计算多个平方根是整数或有理数的例子，加深学生对平方根的理解，让学生理解求一个正数的平方根实际上就求一个方程中的未知数．从而加深对平方根概念的理解． 学习目标 1. 能说出平方根的定义并会计算一个非负数的平方根． 2. 会根据正数的两个平方根互为相反数求字母的值． 重难点 1. 能说出平方根的定义并会计算一个非负数的平方根． 2. 会根据正数的两个平方根互为相反数求字母的值． 评价任务 目标1达成的标志是：学生了解如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，并能用符号准确表示平方根．学生知道开平方运算与平方运算互为逆运算，给出一个非负数a，能找出所有满足x2=a的x． 目标2达成的标志是：学生能归纳出平方根的特征，即正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，并能根据性质进行推理与判断． 教学评活动过程 环节一:创设情境，引出概念 教师活动 学生活动 问题 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？ 教师汇总学生的讨论结果，引导学生初步认识平方根. 学生先独立思考教师提出的问题，然后进行小组讨论. 学习完算术平方根后我们知道，这个数可以是3. 思考：除了3以外，还有没有别的数的平方也等于9呢？ 由于=9，所以这个数也可以是－3. 因此，如果一个数的平方等于9，那么这个数是3或－3. 设计意图：学生在学习算术平方根的基础上，探究平方根的定义。这里学生很容易想到3这个答案，此时对比有关算术平方根的题目，发现本环节的问题中没有限定这个数的正负，从而引发分类讨论，得到两个答案. 环节二：探究新知 教师活动 学生活动 问题1 如果一个数的平方等于1，那么这个数是多少呢？如果一个数的平方等于16呢？等于36呢？等于秀呢？请填写下表. 问题2 观察上面的问题，它们有共同点吗？能否抽象概括出一般性的问题？ 问题1 和上面思考类似，这里每一空都应该填写互为相反数的两个数. 问题2 仿照算术平方根的学习过程，抽象归纳出这些问题的本质： 已知一个数的平方，求这个数 设计意图：学生通过动手探索，形成对平方根的初步感知；再类比算术平方根的学习过程，归纳概括问题的本质，体会从具体情境抽象出一般性问题的过程. 环节三:自主探究 归纳概念 教师活动 学生活动 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.即如果=a，那么x叫做a的平方根. 求一个数a的平方根的运算，就叫开平方. 例如，±3的平方等于9，9的平方根是士3，所以开平方与平方互为逆运算. 根据这种互逆关系，就可以求一个数的平方根. 对比算术平方根的定义，得出：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.我们发现二者区别就在于平方根没有限定x是正数.更进一步，我们可以思考这两个概念之间的区别与联系： 平方根和算术平方根两者既有区别又有联系.区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根. 对于逆运算这种关系，可以类比我们学过的运算方法.比如参考加法与减法、乘法与除法，我们发现减法、除法的运算分别可以转化为加法、乘法.那么这里，开平方的求解方法实际上也是利用了转化。 设计意图：在探究归纳的基础上，教师给出平方根的定义，引导学生探讨算术平方根和平方根之间的联系与区别.类比加法与减法、乘法与除法的关系理解平方与开平方的互逆关系.这样在复习旧知识的基础上学习新知识，使学生的学习形成正迁移，符合认知规律。 环节四:尝试应用 巩固新知 教师活动 学生活动 求下列各数的平方根： (1)100; （2）. 思考：正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？ 例2 已知3a－1与13－5a是正数x的两个平方根，求x的值. 例3 求满足下列各式的x的值： ⑴ －＝0 （2）=144； （3）－121=0； （4）－169=0. 例1 解：（1）∵=100， ∴100的平方根是士10，即士=±10； （2）∵＝ ∴的平方根是，即 =. 归纳：一个正数必定有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. 例2 分析与解答：因为正数的两个平方根互为相反数，所以3a-1+13-5a=0，解得a=6. 将a=6代入3a-1，得3a-1=17，所以x=289. 例3 分析：在第（1）题中，要求x的值，实际上求的平方根就可以了，即x=。其余几道小题求x的值的方法与第（1）题相同。 解：（1）由题意得= ∴x=； （2）由题意得x－1=±12， ∴x=13或x=－11； （3）由题意得=， ∴x=士号； （4）由题意得x－2=士13， ∴x=15或x=－11. 环节五:课堂小结 你能总结一下本课研究的内容吗？ 1.什么叫做平方根？如何正确表示？ 2.如何求一个数的平方根？ 3.平方根有何性质？ 4.什么叫做开平方？平方和开平方有什么关系？ 设计意图：结合知识图谱，用问题梳理本节课内容，使学生加深对平方根概念及平方根特征的理解，清晰平方和开平方的关系． 板书设计 1. 定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.即如果=a，那么x叫做a的平方根. 求一个数a的平方根的运算，就叫开平方. 2. 性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. 3. 平方根和算术平方根的区别和联系 区别：正数的平方根有两个，而算术平方根只有一个. 联系：正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根. 作业与拓展学习设计 1. （A）25的平方根是_____；3的平方根是_____，它的平方根的和是_____；的平方根是_____. 2.（A）小明房间的面积为10.8，房间地面恰由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多少？ 3.（B）若实数x的平方根是a＋3和a－15，求x的值。 4.（B）已知一个数的两个平方根分别是2a－3和4－a，求这个数的负平方根是多少. 教学反思与改进 本节课留给了学生很多探究交流的时间，例如，学生通过探究完成“回顾引入”环节提出的问题后，又尝试将问题中的数更换为其他一组数，形成新的探究问题.通过讨论这些问题的共同点，抽象出算术平方根的定义.在例题解答过程中，学生求解了一系列的平方根，而后观察、归纳出平方根的性质，这是本节课的一个重要结论.这两个探究过程都是从特殊到一般，学生在这个过程中形成大量的直观感知，有利于数感的培养，也能充分调动其思考的积极性. 本节课也十分注重学生认知过程中新旧知识的联系。平方根定义是本单元的第二个定义，在建立过程中突出了它和已有的算术平方根定义的区别与联系；同时，开平方运算也是学生学习的第6种运算，它与平方的互逆关系也是类比前面几组运算的关系习得.这样的学习过程既帮助学生理解新知识，也是对旧知识的强化. 不足之处在于，本节课例题中应当再增设判断题，对算术平方根、平方根进行定义辨析.另外，在例题讲解示范和学生练习过程中也应当强调平方根的书写规范. 针对以上问题，在今后的教学中，应注意以下几点： 1、学生回答问题或上台展示时，出现讲解不清或错误时，应引导学生质疑学生，学生启发学生。 2、学生回答问题后要及时给与激励性评价，使学生产生喜悦感，从而促使更多学生积极回答问题。 3、教学设计要打磨精准，减少重复性的环节，教师课堂用语要准确，简练 4、针对学生的个体差异，尊重学生对问题解决的思路，方法。 5、多观摩一些优秀课堂教学设计，多读数学理论的书籍，报刊，杂志。 — _ 学科网（北京）股份有限公司 $$