第二章 实数 单元测试（提升卷）-【尖子生培优】2024-2025学年八年级数学上学期重难点压轴题突破专练（北师大版）

第二章 实数 单元测试（提升卷） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．关于立方根，下列说法正确的是（　　） A．正数有两个立方根 B．立方根等于它本身的数只有 C．负数的立方根是负数 D．负数没有立方根 2．已知的小数部分为A，的小数部分是B，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列各数：，，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，，，是无理数的有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 6．有一个数值转换器，流程如下：    当输入的值为64时，输出的值是（   ） A．2 B． C． D． 7．正整数a、b分别满足，则 (  ) A．16 B．9 C．8 D．4 8．已知和是某正数a的平方根，则a的值是（    ） A．3 B．64 C．3或 D．64或 9．已知实数、、在数轴上的对应点如图所示，化简（   ） A． B． C． D． 10．当时，多项式的值为（　　） A．5 B．7 C．8 D．0 11．计算的结果为（    ） A． B． C． D．5 12．如图，将1、、三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，则与表示的两个数的积是（　　） 1        第一排                                   第二排                           1       第三排        1                  1       第四排                                          …… …… 第四列   第三列   第二列   第一列 A． B． C． D．1 二、填空题 13．计算： ． 14．我国南宋著名数学家九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，则该三角形的面积为，已知的三边分别为，，，则的面积为 ． 15．如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数为 ． 16．已知正数x的两个不等的平方根分别是和，的立方根为；c是的整数部分，若，其中m为整数，，则 ． 17．若x，y都是实数，且，则的立方根为 ． 18．已知，则 ． 三、解答题 19．计算 (1) (2) 20．已知为4的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 21．某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4． (1)求该长方形的长宽各为多少？ (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？ 22．在进行二次根式的化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还需要将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．也可以用如下方法化简：． (1)请化简：； (2)选择合适的方法化简（为正整数）； (3)求的值． 23．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由， (2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12．求m的值． 24．观察下列算式： ； ； ； 按照上面的规律完成下列各题： (1)第四个算式： ； (2)第五个算式为 ； (3)计算：． 25．在没有带开方功能的计算器的情况下，我们可以用下面的方法得到（为正整数）的近似值（为正整数），并通过迭代逐渐减小的值来提高的精确度，以求的近似值为例，迭代过程如下： ① 先估计的范围并确定迭代的初始值． ， ，取． ② 通过计算和得到精确度更高的近似值． 请根据以上信息，完成下面的问题（此题中记，以下结果都要求写成小数形式）： (1)当时，____，________，______； (2)当时，求（精确到 0.001）、的值． 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 实数 单元测试（提升卷） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．关于立方根，下列说法正确的是（　　） A．正数有两个立方根 B．立方根等于它本身的数只有 C．负数的立方根是负数 D．负数没有立方根 【答案】C 【分析】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 各项利用立方根定义判断即可． 【详解】解：A、正数有一个立方根，错误； B、立方根等于本身的数有，，，错误； C、负数的立方根是负数，正确； D、负数有立方根，错误， 故选：C． 2．已知的小数部分为A，的小数部分是B，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，代数式求值，先确定，进而求出A，B，代入求值即可． 【详解】解：， ， 的小数部分为：， 的小数部分为：， 的小数部分为：， 故选A． 3．下列各数：，，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，，，是无理数的有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的识别，初中范围内常见的无理数有三类：①含类，如等；②开方开不尽的数，如等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）等． 根据无理数的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：，，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，，，中， 则、、、、是有理数，、、（相邻两个1之间0的个数逐次加1）、、无理数，共5个． 故选：D． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式相关运算法则逐项判断即可． 本题考查二次根式混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，计算正确，故选项符合题意； D、与不能合并，故选项不符合题意； 故选：C． 5．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是实数与数轴，熟练掌握数轴上各点的分布和从数轴上提取已知条件是解题的关键． 由数轴可知，，，由此逐一判断各选项即可． 【详解】解：由数轴可知，，， A、∵，，∴，故此选项不符合题意； B、∵，∴，又∵0＜b＜1，∴，故此选项不符合题意； C、∵∴，∵，∴，故此选项不符合题意； D、∵，∴，∵，∴，故此选项符合题意； 故选：D． 6．有一个数值转换器，流程如下：    当输入的值为64时，输出的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】把64代入转换器，根据要求计算，得到输出的数值即可. 【详解】∵=8，是有理数， ∴继续转换， ∵=2，是有理数， ∴继续转换， ∵2的算术平方根是，是无理数， ∴输出y=， 故选：C. 【点睛】本题考查的是算术平方根的概念和性质，一个正数的平方根有两个，正的平方根是这个数的算术平方根；注意有理数和无理数的区别. 7．正整数a、b分别满足，则 (  ) A．16 B．9 C．8 D．4 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，利用无理数的估算求得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∴，， ∴， 故选：A． 8．已知和是某正数a的平方根，则a的值是（    ） A．3 B．64 C．3或 D．64或 【答案】D 【分析】与相等或者互为相反数，分别求出的值，再求出的值，最后求出的值． 【详解】解：I．当和相等时， ， 解得：， ， ； II．当和互为相反数时，，解得：， ， ； 综上所述：a的值是64或． 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根的定义，体现了分类讨论的数学思想，解题时不要漏解． 9．已知实数、、在数轴上的对应点如图所示，化简（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上点的特点、绝对值和算术平方根的运用等知识，根据数轴确定相关代数式的正负是解题的关键．先根据数轴确定、、的正负，然后根据算术平方根的性质和绝对值的性质化简，最后计算即可． 【详解】解：根据数轴可知，， ∴，， ∴． 故选：D． 10．当时，多项式的值为（　　） A．5 B．7 C．8 D．0 【答案】D 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，代数式求值．熟练掌握分母有理化，平方差公式，代数式求值是解题的关键． 由题意知，分母有理化得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ， 故选：D． 11．计算的结果为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先化简二次根式，计算乘法，再算二次根式加减即可，灵活运用二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， ， ， 故选：． 12．如图，将1、、三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，则与表示的两个数的积是（　　） 1        第一排                                   第二排                           1       第三排        1                  1       第四排                                          …… …… 第四列   第三列   第二列   第一列 A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】观察数列可得，每三个数一循环，根据有序数对的表示方法，可得有序数对表示的数，根据实数的运算，可得答案． 【详解】解：由题意可得： 每三个数一循环，1、、，则前7排共有个数， 在排列中是第个数， ， 表示的数正好是第10轮的最后一个，即表示的数是， 前2014排共有个数，而， 表示的数正好是第676369轮的第一个数，即表示的数是1， ， 与表示的两个数的积是， 故选：B． 【点睛】本题考查了数字的变化类，实数的运算，根据题意得出每三个数一循环是解题的关键． 二、填空题 13．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的混合运算，运用积的乘方以及平方差公式进行计算即可．熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解： ． 故答案为： 14．我国南宋著名数学家九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，则该三角形的面积为，已知的三边分别为，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．将的三边长，，代入求解即可． 【详解】解：根据题意，将的三边长，，代入得： ； 故答案为：． 15．如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的求解，先求出的长，再求出点E的坐标即可． 【详解】正方形的面积为3， ． ． 的坐标为，E在点A的右侧， 的坐标为． 故答案为：． 16．已知正数x的两个不等的平方根分别是和，的立方根为；c是的整数部分，若，其中m为整数，，则 ． 【答案】 【分析】由平方根、立方根可得，，可求，由，可得，则，由，可得，即，，然后代值求解即可． 【详解】解：∵正数x的两个不等的平方根分别是和，的立方根为， ∴，， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵m为整数，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方根，立方根，无理数的估算，无理数的整数部分，代数式求值等知识．熟练掌握平方根，立方根，无理数的估算，无理数的整数部分，代数式求值是解题的关键． 17．若x，y都是实数，且，则的立方根为 ． 【答案】3 【分析】根据算术平方根的非负性，得，得到，继而得到，得到，计算即可． 本题考查了算术平方根的非负性，立方根，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得， 解得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 18．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，先根据题意得到，再由非负数的性质 ，据此化简绝对值推出，则，求出b、c的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 19．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式的性质和运算法则，是解题关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式乘除混合运算法则计算即可； （2）先化简二次根式，再计算二次根式的加减混合运算法则即可解题． 【详解】（1）； （2）． 20．已知为4的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根的定义计算即可； （2）将a，b的值代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵为4的算术平方根，2为的立方根， ，， 解得：，； （2）解：∵，， ， 则的平方根是． 21．某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4． (1)求该长方形的长宽各为多少？ (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？ 【答案】(1)该长方形的长为35米，宽为20米 (2)能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，原来的铁栅栏围墙不够用 【分析】（1）设该长方形的长为米，则宽为米，再根据面积为700平方米建立方程，利用平方根解方程即可得； （2）设较大的小正方形的边长为米，则较小的小正方形的边长为米，根据面积之和为600平方米建立方程，解方程可得，再根据无理数的估算进行分析判断即可得． 【详解】（1）解：设该长方形的长为米，则宽为米， 由题意得：， 解得或（不符题意，舍去）， 则， 答：该长方形的长为35米，宽为20米． （2）解：设较大的小正方形的边长为米，则较小的小正方形的边长为米， 由题意得：， 解得或（不符题意，舍去）， 则较大的小正方形的边长为米，较小的小正方形的边长为米， ， ，， 能改造出这样的两块不相连的正方形试验田， 改造出这样的两块不相连的正方形试验田所需铁栅栏围墙长为（米）， 原来长方形空地的铁栅栏围墙长为米， ， ， 原来的铁栅栏围墙不够用， 答：能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，原来的铁栅栏围墙不够用． 【点睛】本题考查了算术平方根的应用、利用平方根解方程、无理数的估算、实数运算的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 22．在进行二次根式的化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还需要将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．也可以用如下方法化简：． (1)请化简：； (2)选择合适的方法化简（为正整数）； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键． （1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （3）先分母有理化，然后合并即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3） ． 23．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由， (2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12．求m的值． 【答案】(1)，，这三个数是“完美组合数”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据“完美组合数”的定义进行求解判断即可； （2）分，两种情况分别求出m的值，再根据“完美组合数”的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：，，这三个数是“完美组合数”，理由如下： ∵，，，且4，6，12都是整数， ∴，，这三个数是“完美组合数”； （2）解：∵其中有两个数乘积的算术平方根为12， ∴这两个数的乘积为144， 当时，则， ∵， ∴，此时符合题意； 当时，则不符合题意； 综上所述，． 24．观察下列算式： ； ； ； 按照上面的规律完成下列各题： (1)第四个算式： ； (2)第五个算式为 ； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索： （1）仿照题意求解即可； （2）仿照题意写出第五个算式即可； （3）根据题意可得规律，据此把所求式子裂项约分即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：由题意得，第五个算式为， 故答案为：； （3）； ； ； 以此类推可知，， ∴ ． 25．在没有带开方功能的计算器的情况下，我们可以用下面的方法得到（为正整数）的近似值（为正整数），并通过迭代逐渐减小的值来提高的精确度，以求的近似值为例，迭代过程如下： ① 先估计的范围并确定迭代的初始值． ， ，取． ② 通过计算和得到精确度更高的近似值． 请根据以上信息，完成下面的问题（此题中记，以下结果都要求写成小数形式）： (1)当时，____，________，______； (2)当时，求（精确到 0.001）、的值． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，正确理解题干所给信息是解此题的关键． （1）将带入即可求得，再将、代入求出的值，然后将代入计算即可； （2）参照（1）中的方法将的值代入计算即可． 【详解】（1）解：由题干所给的信息分析可得： 当时，将带入得， ∴，； （2）解：当时，将代入得， ∴，． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$