江苏省苏州市苏州中学2024--2025学年秋八年级上学期10月数学能力测评卷

2024秋季初二数学 10月能力测评卷 一．选择题 (共 8小题) 1.下 公司 志中， 轴对称图 (　　) A. 贵州 B. 江西 C. 秋 D. 港 2.如图，三 商 A、B、C所 ，现要规 一个 铁站， 该 铁站 三 商 距离相 ，该 铁站 建 (　　) A. 三角 三条中线 交点 B. 三角 三条高所 直线 交点 C. 三角 三个内角 角 线 交点 D. 三角 三条边 直 线 交点 3.对于下 四个条件：①∠A+∠B=∠C；② a:b:c= 3:4:5，③∠A= 90° -∠B；④∠A=∠B= 2∠C，能 定 ΔABC 直角三角 条件有 (　　) A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ AB C D P m n 2题图 4题图 5题图 4.如图，AB⎳CD，BP CP ∠ABC ∠DCB，AD过点P，且与AB 直．若点P BC 距离 4， AD 长为 (　　) A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 5.“赵爽 图”巧妙 用面积关系证 了勾股定 ．如图所示 “赵爽 图” 由四个全 直角三角 中 间 正方 拼成 一个大正方 ．设直角三角 两条直角边长 为m，n(m>n)．若 正方 面积 为 5，(m+n)2= 21， 大正方 面积为 (　　) A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 6.如图， ΔABC中，AB= 10，AC= 8，O为 ∠ABC、∠ACB 线 交点，若 ΔABO 面积为 30， ΔACO 面积为 (　　) A. 16 B. 20 C. 24 D. 48 ·1· 7.如图，RtΔABC中，AB= 9，BC= 6，∠B= 90°， ΔABC折叠， A点与 BC 中点 D ，折痕为 MN， 线段BN 长为 (　　) A. 4 B. 5 C. 53 D. 5 2 A B C O A B C DM N A B C P Q 6题图 7题图 8题图 8.如图， △ABC中，AB= 21cm，AC= 12cm，∠A= 60°，点P从点B出发以每秒 3cm 点A运 ，点Q从点A 时出发以每秒 2cm 点C运 ，其中一个 点 达端点时，另一个 点也 之 止运 ，设运 时间为 t秒， △APQ为直角三角 时，t 为 (　　) A. 2.5秒 B. 3秒 C. 2.5或 3秒 D. 3或 214 秒 二．填空题 (共 8小题) 9.某学 某 学 照镜子 时 发现自己 学号 镜子中 数字 示为如图 ，请问他 学号为　 　． 10.若 三角 一 上 高与另一 夹角为 40°， 这个 三角 角 数 　 　． 11.如图，已知 ΔABC 边三角 ，点B、C、D、E 一直线上，且CG=CD，DF=DE， ∠E=　　 ． A B C D E F G A B C D E F O 11题图 12题图 13题图 12.如图，OE、OF AC、BD 直 线， 足 为 E、F，且AB=CD，∠ABD= 116°，∠CDB = 28°， ∠OBD=　 　°． 13.如图， 公园内有两棵 相距 8米，一棵 高 15米，另一棵 高 9米，一只 鸟从一棵 顶端飞 另一 棵 顶端， 鸟至 要飞 　　米． 14.如图，一个长方 盒子 长、宽、高 为 3cm，4cm，5cm，一只蚂蚁想从盒 点A沿盒 表面爬 盒顶 点B，蚂蚁要爬行 最短路 　　 cm． ·2· 15.如图， ΔABC中，AB= 10，BC= 6，AC= 8， ΔABC沿AB折叠 ΔABC，连 CC， CC=　 　． 15题图 16题图 A BC C 16.如图， 长方 ABCD中，AD=BC= 6，AB=CD= 8，AC= 10， 点M 线段AC上运 (不与端点 )，点M关于边AD，DC 对称点 为M1，M2，连 M1M2，点D M1M2上， 点M 运 过 中，线段M1M2长 最 　 　． 三．解答题 (共 11小题) 17.如图， 正方 中，点A、B、C、M、N都 点上． (1) ΔABC关于直线MN对称 图 △ABC． (2)若 中最 正方 边长为 1，求ΔABC 面积． (3)点P 直线MN上， ΔPAC 长最 时，P点 什么 ， 图中 出P点． 18. RtΔABC中，∠C= 90°，∠A、∠B、∠C 边 为 a、b、c， (1)若 a:b= 3:4，c= 15，求 a，b ． (2)若 c- a= 4，b= 16，求 a ． ·3· 19.如图， 爸爸 鱼池边 了一 四边 种了一些蔬菜，爸爸让 计 这 面积，以 产 ． AB= 3m，AD= 4m，CD= 12m，BC= 13m， 已知∠A= 90°．求这 面积． 20.如图， △ABC中，点E BC边上 一点，连 AE，BD 直 AE， 足为F，交AC于点D．连 DE． (1)若△ABC 长为 19，△DEC 长为 7，求AB 长； (2)若∠ABC= 30°，∠C= 45°，求∠EAC 数． 21.“赵爽 图”巧妙 用“出人相补” 方法证 了勾股定 ． 受此 发， 发现，若 4个直角 边长 为 a、b，斜边长为 c 直角三角 拼成如图所示 五边 ，用 积法可以证 勾股定 ．于 用两种不 方法表示了五边 面积．请 完成 证 ：a2+ b2= c2． ·4· 22.如图，已知ΔABC． (1) 图中用直 规 出∠B 线 BC边 直 线， 交于点O(保留 图痕迹，不写 法)． (2) (1) 条件下，若点D，E 边BC AB上 点，且CD=BE，连 OD，OE，试说 OD=OE． 23.“儿童散学 来早，忙趁东风放纸鸢”． 了放风 最 时 ．某 八 级 (1)班 亮学习 了“勾股定 ”之 ，为了 风 直高 CE，他们进行了如下操 ：① 水 距离BD 长为 15米； ② 手中 线 长 计 出风 线BC 长为 25米；③牵线放风 高为 1.6米． (1)求风 直高 CE； (2)如果 想风 沿CD方 下 12米， 他 该 回收线多 米？ ·5· 24.如图， ΔABC中，边AB 直 线OM与边AC 直 线ON交于点O，这两条 直 线 交BC于点D、E． (1)若∠ABC= 30°，∠ACB= 40°，求∠DAE 数； (2)已知ΔADE 长 7cm， 连 OA、OB、OC，若ΔOBC 长为 15cm，求OA 长． 25.如图， ΔABC中，BD、CE 边 AC、AB上 高线，取 F为 BC中点，连 点 D，E，F ΔDEF，G ED中点． (1)求证：FG⊥DE； (2)如果∠A= 60°，BC= 16，求FG2． ·6· 26.如图，点D为 直角三角 ABC斜边AC上一 点 (点D不与线段AC两端点 )， BD绕点B顺 时针方 旋转 90° BE，连 AE、EC、ED． (1)求证：AD=EC； (2)若AD= 1，CD= 7，求BD 长； (3)若AC2= 40，请直 写出AE+BE 最 ． ·7· 27.如图①， ΔABC中，AB=AC．点D AC上一 点，点E、P BD延长线上．且AB=AE， CP=EP． 问题 考 图①中，求证：∠BPC=∠BAC； 问题再 若∠BAC= 60°，如图②． 线段AP、BP、EP之间 数 关系， 证 结论； 问题拓 若∠BAC= 90°且BD ∠ABC，如图③，请直 写出 EPBD 为 　　． ·8· 2024秋季 二数学 10月能 评 考 与试题解析 一．选择题 (共 8小题) 1 2 3 4 5 6 7 8 D D A A B C A D 3.对于下 四个条件：①∠A+∠B=∠C；② a:b:c= 3:4:5，③∠A= 90° -∠B；④∠A=∠B= 2∠C，能 定 ΔABC 直角三角 条件有 (　A　) A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 【解析】解：①∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C= 180°，∴ 2∠C= 180°，∴∠C= 90°， ∴ΔABC是直角三角形；故①正确； ②∵ a:b:c= 3:4:5，设 a= 3k，b= 4k，c= 5k，∴ a2+ b2= (3k)2+ (4k)2= 25k2= c2， ∴ΔABC是直角三角形；故②正确； ③∵∠A= 90° -∠B，∴∠A+∠B= 90°，∴∠C= 180° -∠A-∠B= 90°， ∴ΔABC是直角三角形；故③正确； ④∵∠A=∠B= 2∠C，∠A+∠B+∠C= 180°，∴ 5∠C= 180°，∴∠C= 36°， ∴∠A=∠B= 2∠C= 72°， ∴ΔABC不是直角三角形；故④错误； 综上：能确定ΔABC是直角三角形的条件有①②③； 故选：A． 4.如图，AB⎳CD，BP CP ∠ABC ∠DCB，AD过点P，且与AB 直．若点P BC 距离 4， AD 长为 (　A　) A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【解析】解：过点P作PE⊥BC于E， ∵AB⎳CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD， ∵BP和CP分别平分∠ABC 和∠DCB，∴PA=PE，PD=PE， ∴PE=PA=PD， ∵PA+PD=AD，∵PE= 4，∴AD= 2PE= 8． 5.“赵爽 图”巧妙 用面积关系证 了勾股定 ．如图所示 “赵爽 图” 由四个全 直角三角 中 间 正方 拼成 一个大正方 ．设直角三角 两条直角边长 为m，n(m>n)．若 正方 面积 为 5，(m+n)2= 21， 大正方 面积为 (　B　) m n A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【解析】【解答】解：由题意可知，中间小正方形的边长为m-n， AB C D P E ·9· ∴ (m-n)2= 5，即m2+n2- 2mn= 5①，∵ (m+n)2= 21， ∴m2+n2+ 2mn= 21②， ①+②得 2(m2+n2) = 26，∴大正方形的面积为：m2+n2= 13， 6.如图， ΔABC中，AB= 10，AC= 8，O为 ∠ABC、∠ACB 线 交点，若 ΔABO 面积为 30， ΔACO 面积为 (　C　) A B C O 6题图 A. 16 B. 20 C. 24 D. 48 【解析】【解答】解：∵O为∠ABC、∠ACB平分线的交点， ∴点O到AB，AC的距离相等，∴ΔAOB、ΔAOC面积的比=AB:AC= 10:8= 5:4， ∵ΔABO的面积为 30，∴ΔACO的面积为 24． 7.如图，RtΔABC中，AB= 9，BC= 6，∠B= 90°， ΔABC折叠， A点与 BC 中点 D ，折痕为 MN， 线段BN 长为 (　A　) A B C DM N A. 4 B. 5 C. 53 D. 5 2 【解析】【解答】解：设BN= x，由折叠的性质可得DN=AN= 9- x， ∵D是BC的中点，∴BD= 3， 在RtΔNBD中，x2+ 32= (9- x)2，解得 x= 4．即BN= 4．故选：A． 8.如图， △ABC中，AB= 21cm，AC= 12cm，∠A= 60°，点P从点B出发以每秒 3cm 点A运 ，点Q从点A 时出发以每秒 2cm 点C运 ，其中一个 点 达端点时，另一个 点也 之 止运 ，设运 时间为 t秒， △APQ为直角三角 时，t 为 (　D　) A B C P Q A. 2.5秒 B. 3秒 C. 2.5或 3秒 D. 3或 214 秒 【解析】【分析】根据题意，先列出 AP，AQ的代数式，当 △APQ为直角三角形时，则 ∠AQP = 90°， ·10· ∠APQ= 30°或∠APQ= 90°，∠AQP= 30°，再根据 30度所对的边是斜边的一半，建立关于 t的 方程求解即可． 【解答】解：根据题意得：AP=AB-BP= 21- 3t，AQ= 2t， ∵△APQ为直角三角形，∠A= 60°， ∴当∠AQP= 90°，∠APQ= 30°时，则AQ= 12 AP， ∴ 2t= 12 (21- 3t)，解得：t= 3， 当∠APQ= 90°，∠AQP= 30°时，则 12 AQ=AP， ∴ 12 × 2t= 21- 3t，解得：t= 21 4 ， 综上，当 t的值为 3秒或 214 秒时，△APQ为直角三角形， 【点评】此题主要考查 369三角 ， 题 出关于 t 方 解题 关键． 二．填空题 (共 8小题) 9.某学 某 学 照镜子 时 发现自己 学号 镜子中 数字 示为如图 ，请问他 学号为 　 20231425　． 10.若 三角 一 上 高与另一 夹角为 40°， 这个 三角 角 数 　 65°或 25°　． 【 析】 状 不 定 ，可 为高 以 矮胖 两类 【解析】【解答】解：在等腰ΔABC中，AB=AC，BD为腰AC上的高，∠ABD= 40°， (高瘦型)当BD在ΔABC内部时，如图 1， ∵BD为高，∴∠ADB= 90°，∴∠BAD= 90° -40° = 50°， ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB= 12 (180° -50°) = 65°； (矮胖型)当BD在ΔABC外部时，如图 2， ∵BD为高，∴∠ADB= 90°，∴∠BAD= 90° -40° = 50°， ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，而∠BAD=∠ABC+∠ACB， ∴∠ACB= 12 ∠BAD= 25°， 综上所述，这个等腰三角形底角的度数为 65°或 25°． A B C D 图1 A B C D 图2 ·11· 11.如图，已知ΔABC 边三角 ，点B、C、D、E 一直线上，且CG=CD，DF=DE， ∠E= 15 ． 【解析】【解答】解：∵ΔABC是等边三角形， ∴∠ACB= 60°，∠ACD= 120°， ∵CG=CD， ∴∠CDG= 30°，∠FDE= 150°， ∵DF=DE， ∴∠E= 15°． 12.如图，OE、OF AC、BD 直 线， 足 为 E、F，且AB=CD，∠ABD= 116°，∠CDB = 28°， ∠OBD=　 44　°． 【解析】【解答】解：如图，连接OA、OC， ∵OE、OF分别是AC、BD的垂直平分线，∴OA=OC，OB=OD，∴∠OBD=∠ODB， 在ΔAOB和ΔCOD中， OA=OB AB=CD OB=OD  ， ∴ΔAOB≅ΔCOD(SSS)， ∴∠ABO=∠CDO， 设∠OBD=∠ODB= x°, ∴∠ABD- x=∠CDB+ x, ∵∠ABD= 116°，∠CDB= 28°， 则 116- x= 28+ x,解得：∠OBD= 44°， 13.如图， 公园内有两棵 相距 8米，一棵 高 15米，另一棵 高 9米，一只 鸟从 一棵 顶端飞 另一棵 顶端， 鸟至 要飞 　 10　米． 【解析】【解答】解：如图所示，AB，CD为树，且AB= 15米，CD= 9米， BD为两树距离 8米， 过C作CE⊥AB于E，则CE=BD= 8米，AE=AB-CD= 6米， 在直角三角形AEC中，AC= AE 2+EC2= 62+82= 10(米)， 答：小鸟至少要飞 10米． A B C D E A B C D E F G 11题图 A B C D E F O 12题图 ·12· 14.如图，一个长方 盒子 长、宽、高 为 3cm，4cm，5cm，一只蚂蚁想从盒 点A沿盒 表面爬 盒顶 点B，蚂蚁要爬行 最短路 　 74　 cm． 【解析】【分析】分为三种情况展开，根据勾股定理求出线段AB的长度，再进行比较即可． 【解答】解：设定字母如图所示： 长方体有6个面，前=后，左=右，上=下，即有3组相等的面， 从A到F，侧面走，需要经过两个面 ①红色线，前+右； ②绿色线，前+上； ③蓝色线，左+上. ①如图 1，展开后连接AB， 则AB就是在表面上从A到B的 最短距离， 3 4 5 ②如图 2，展开后连接AB， 则AB就是在表面上从A到B的 最短距离， 3 4 5 ③如图 3，展开后连接AB， 则AB就是在表面上A到B的最 短距离， 3 4 5 在RtΔABM中，由勾股定理得： AB= AM 2+BM 2= (3+4)2+52= 74 (cm)； 在RtΔADB中，由勾股定理得： AB= AD2+BD2= 32+(4+5)2= 90 (cm)； 在RtΔANB中，由勾股定理得： AB= AN 2+BN 2= 42+(3+5)2= 80 (cm)． ∵ 74< 80< 90 ∴蚂蚁爬行的最短路程是 74cm． 15.如图， ΔABC中，AB= 10，BC= 6，AC= 8， ΔABC沿AB折叠 ΔABC，连 CC， CC=　 48 5 　． 【解析】【解答】解：如图，连接CC ′交AB于点O， ∵AB= 10，BC= 6，AC= 8，102= 62+ 82，∴AC2+BC2=AB2， ∴∠ACB= 90°， 根据翻折的性质得，OC=OC ′，CC ′⊥AB， ∵SΔABC= 1 2 AC ⋅BC= 1 2 AB ⋅OC，∴OC= AC ⋅BC AB = 8×610 = 24 5 ， ∴CC ′ = 2CO= 485 ， A BC C O ·13· 16.如图， 长方 ABCD中，AD=BC= 6，AB=CD= 8，AC= 10， 点M 线段AC上运 (不与端点 )，点M关于边AD，DC 对称点 为M1，M2，连 M1M2，点D M1M2上， 点M 运 过 中，线段M1M2长 最 　 48 5 　． 【解析】【解答】解：过D作DM ⊥AC于M ，连接DM，如图： 长方形ABCD中，AD=BC= 6，AB=CD= 8，AC= 10， ∴SΔADC= 1 2 AD ⋅CD= 1 2 AC ⋅DM ， ∴DM = AD ⋅CD AC = 245 ， ∵M关于边AD，DC的对称点分别为M1，M2， ∴DM1=DM=DM2， ∴M1M2= 2DM， 线段M1M2长度最小即是 DM长度最小，此时 DM⊥ AC，即M与M 重合，M1M2最小值为 2DM = 485 ． 三．解答题 (共 11小题) 17.如图， 正方 中，点A、B、C、M、N都 点上． (1) ΔABC关于直线MN对称 图 △ABC． (2)若 中最 正方 边长为 1，求ΔABC 面积． (3)点P 直线MN上， ΔPAC 长最 时，P点 什么 ， 图中 出P点． 【解析】【解答】解：(1)如图，△ABC即为所求； (2)ΔABC的面积为：12 × 3× 2= 3； (3)因为点A关于MN的对称点为A′， 连接A′C交直线MN于点P，此时ΔPAC周长最小． 所以点P即为所求． ·14· 18. RtΔABC中，∠C= 90°，∠A、∠B、∠C 边 为 a、b、c， (1)若 a:b= 3:4，c= 15，求 a，b ． (2)若 c- a= 4，b= 16，求 a ． 【解析】【解答】解：(1)RtΔABC中，∠C= 90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为 a、b、c，且 a:b= 3:4， ∴设 a= 3x，则 b= 4x． ∵ a2+ b2= c2，即 (3x)2+ (4x)2= 152， 解得 x= 9， ∴ a= 3x= 27，b= 4x= 36； (2) ∵ΔABC中，∠C= 90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为 a，b，c， ∴ a2+ b2= c2， ∵ c- a= 4，b= 16， ∴ a2+ 256= (a+ 4)2， 解得：a= 30． 19.如图， 爸爸 鱼池边 了一 四边 种了一些蔬菜，爸爸让 计 这 面积，以 产 ． AB= 3m，AD= 4m，CD= 12m，BC= 13m， 已知∠A= 90°．求这 面积． 【解析】【解答】解：连接BD， ∵∠A= 90°， ∴BD2=AD2+AB2= 25， ∵BD2+CD2= 132=BC2， ∴∠CDB= 90°， ∴S四边形ABCD=SΔADB+SΔCBD = 12 × 3× 4+ 1 2 × 5× 12= 36(平方米)， 答：这块土地的面积为 36平方米． 20.如图， △ABC中，点E BC边上 一点，连 AE，BD 直 AE， 足为F，交AC于点D．连 DE． (1)若△ABC 长为 19，△DEC 长为 7，求AB 长； (2)若∠ABC= 30°，∠C= 45°，求∠EAC 数． 【解析】【解答】解：(1) ∵BD是线段AE的垂直平分线， ∴AB=BE，AD=DE， ∵△ABC的周长为 19，△DEC的周长为 7， ∴AB+BE+CE+CD+AD= 19，CD+EC+DE=CD+CE+AD= 7， ∴AB+BE= 19- 7= 12， ∴AB=BE= 6； (2) ∵∠ABC= 30°，∠C= 45°， ∴∠BAC= 180° -30° -45° = 105°， ∵AB=BE， ∴∠BAE=∠BEA= 12 (180° -∠ABC) = 75°， ∴∠EAC=∠BAC-∠BAE= 30°． ·15· 21.“赵爽 图”巧妙 用“出人相补” 方法证 了勾股定 ． 受此 发， 发现，若 4个直角 边长 为 a、b，斜边长为 c 直角三角 拼成如图所示 五边 ，用 积法可以证 勾股定 ．于 用两种不 方法表示了五边 面积．请 完成 证 ：a2+ b2= c2． 【解析】【分析】五边形的面积=边长为 c的正方形面积+2个全等的直角边分别为 a，b的直角三角形的 面积，或五边形的面积=边长为 a的正方形面积+边长为 b的正方形面积+2个全等的直角边 分别为 a，b的直角三角形的面积，依此列式计算即可求解． 【解答】证明：五边形的面积为： ①S= c2+ 12 ab× 2= c 2+ ab， ②S= a2+ b2+ 12 ab× 2= a 2+ b2+ ab， ∴ c2+ ab= a2+ b2+ ab， ∴ c2= a2+ b2． 22.如图，已知ΔABC． (1) 图中用直 规 出∠B 线 BC边 直 线， 交于点O(保留 图痕迹，不写 法)． (2) (1) 条件下，若点D，E 边BC AB上 点，且CD=BE，连 OD，OE，试说 OD=OE． 【解析】【解答】(1)解：如图，∠ABC的平分线BO以及BC边的垂直平分线PQ即为所求． (2)证明：连接OC， ∵PQ为BC的垂直平分线， ∴BO=CO， ∴∠OBC=∠OCB， ∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO=∠CBO， ∴∠OCB=∠ABO， ∵CD=BE， ∴ΔBOE≅ΔCOD(SAS)， ∴OD=OE． 23.“儿童散学 来早，忙趁东风放纸鸢”． 了放风 最 时 ．某 八 级 (1)班 亮学习 了“勾股定 ”之 ，为了 风 直高 CE，他们进行了如下操 ：① 水 距离BD 长为 15米； ② 手中 线 长 计 出风 线BC 长为 25米；③牵线放风 高为 1.6米． (1)求风 直高 CE； (2)如果 想风 沿CD方 下 12米， 他 该 回收线多 米？ 【解析】【解答】解：(1)在RtΔCDB中， 由勾股定理得，CD2=BC2-BD2= 252- 152= 400， 所以，CD= 20(负值舍去)， 所以，CE=CD+DE= 20+ 1.6= 21.6(米)， 答：风筝的高度CE为 21.6米； (2)由题意得，CM= 12， ∴DM= 8， ∴BM= DM 2+BD2= 82+152= 17(米)， ∴BC-BM= 25- 17= 8(米)， ∴他应该往回收线 8米． ·16· 24.如图， ΔABC中，边AB 直 线OM与边AC 直 线ON交于点O，这两条 直 线 交BC于点D、E． (1)若∠ABC= 30°，∠ACB= 40°，求∠DAE 数； (2)已知ΔADE 长 7cm， 连 OA、OB、OC，若ΔOBC 长为 15cm，求OA 长． 【解析】【解答】解：(1) ∵∠ABC= 30°，∠ACB= 40°， ∴∠BAC= 180° -∠ABC-∠ACB= 180° -30° -40° = 110°， ∵DM是线段AB的垂直平分线， ∴DA=DB， ∴∠DAB=∠ABC= 30°， 同理，EA=EC， ∴∠EAC=∠ACB= 40°， ∴∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠EAC= 110° -30° -40° = 40°； (2)连接OA，OB，OC， ∵ΔADE的周长 7cm ∴AD+DE+EA= 7(cm)， ∴BC=DB+DE+EC=AD+DE+EA= 7(cm)； ∵ΔOBC的周长为 15， ∴OB+OC+BC= 15， ∵BC= 7， ∴OB+OC= 8， ∵OM垂直平分AB， ∴OA=OB， 同理，OA=OC， ∴OA=OB=OC= 4(cm)． ·17· 25.如图， ΔABC中，BD、CE 边 AC、AB上 高线，取 F为 BC中点，连 点 D，E，F ΔDEF，G ED中点． (1)求证：FG⊥DE； (2)如果∠A= 60°，BC= 16，求FG2． 【解析】【解答】(1)证明：在ΔABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线， ∴∠BDC=∠CEB= 90°， ∵F是BC的中点， ∴EF=DF= 12 BC， ∴ΔDEF是等腰三角形， ∵G是ED的中点， ∴FG⊥DE； (2)解：∵BD、CE分别是边AC、AB上的高线． ∴∠BDC=∠CEB= 90°， ∵F是BC的中点，BC= 16， ∴EF=DF= 12 BC=BF=CF= 8， ∴∠BEF=∠ABC，∠CDF=∠ACB， ∵∠A= 60°， ∴∠ABC+∠ACB= 120°， ∴∠BFE+∠CFD= 360° -2(∠ABC+∠ACB) = 120°， ∴∠EFD= 60°，(斜中模型倒角) ∴ΔDEF是等边三角形， ∵G是ED的中点， ∴EG= 12 DE= 1 2 EF= 4， ∴FG2=EF 2-EG2= 82- 42= 48． ·18· 26.如图，点D为 直角三角 ABC斜边AC上一 点 (点D不与线段AC两端点 )， BD绕点B顺 时针方 旋转 90° BE，连 AE、EC、ED． (1)求证：AD=EC； (2)若AD= 1，CD= 7，求BD 长； (3)若AC2= 40，请直 写出AE+BE 最 ． 【解析】【解答】(1)证明：∵将BD绕点B顺时针方向旋转 90°到BE， ∴BD=BE，∠DBE= 90°， ∵ΔABC是等腰直角三角形， ∴AB=BC，∠ABC= 90°， ∴∠ABD=∠EBC， ∴ΔABD≅ΔCBE(SAS)， ∴AD=EC； (2)解：∵ΔABD≅ΔCBE， ∴∠BAD=∠BCE= 45°， ∴∠DCE=∠DCB+BCE= 90°， 在RtΔDCE中，由勾股定理得，DE 2= 72+ 12= 50， ∵ΔBDE是等腰直角三角形， ∴DE 2= 2BD2= 50 ∴BD= 5； (3)解：由 (2)知，∠BCE= 45°， 则点E在直线CE上运动， 作点B关于CE的对称点B，连接AB，交GC于E，此时AE+BE最小， ∵AC2= 40， ∴AB2=BG2=GB2= 20， ∴AG2= (2AB)2= 80， 在RtΔAGB中，由勾股定理得，AB2=AG2+BG2= 80+ 20= 100， ∴AB= 10， ∴AE+BE的最小值为 10． ·19· 27.如图①， ΔABC中，AB=AC．点D AC上一 点，点E、P BD延长线上．且AB=AE， CP=EP． 问题思考 图①中，求证：∠BPC=∠BAC； 【解析】【解答】问题思考：证明：∵AB=AC，AB=AE，∴AC=AE， 在ΔAPC和ΔAPE中， AC=AE CP=EP AP=AP  ，∴ΔCAP≅ΔEAP(SSS)， ∴∠E=∠ACP， 又∵AB=AE，∴∠E=∠ABE，∴∠ABE=∠ACP， 又∵∠ADB=∠PDC，∴∠BPC=∠BAC； 问题再探 若∠BAC= 60°，如图②． 线段AP、BP、EP之间 数 关系， 证 结论； 【解析】问题再探：解：线段AP、BP、EP之间的数量关系为AP+EP=BP．理由如下： 如图 2中，在BP上取点G，使PG=PC，连接CG． ∵∠BAC= 60°，∴∠BPC= 60°， ∵PG=PC，∴ΔGPC为等边三角形， 又∵AB=AC，∠BAC= 60°，∴ΔABC为等边三角形， ∴∠ACB=∠GCP= 60°，∴∠BCG=∠ACP， 又∵BC=AC，GC=PC，∴ΔBGC≅ΔAPC(SAS)， ∴AP=BG， 由 (1)得ΔACP≅ΔAEP．EP=CP， ∵CP=GP，∴EP=GP． ∵BP=BG+GP，∴BP=AP+EP； 问题拓展 若∠BAC= 90°且BD ∠ABC，如图③，请直 写出 EPBD 为 　 1 2 　． 【解析】问题拓展：如图 3中，延长BA，CP交于点H． ∵∠BPC=∠BAC= 90°， ∴∠BPC=∠BPH= 90°，BD平分∠ABC， ∴∠ABP=∠CBP， 又∵BP=BP， ∴ΔHBP≅ΔCBP(ASA)， ∴CP=HP= 12 CH， 又∵∠BAC=∠HAC= 90°，AB=AC，∠ABD=∠ACH， ∴ΔABD≅ΔACH(ASA)， ∴BD=CH= 2CP， ∵CP=EP， ∴BD= 2EP， ∴ EPBD = 1 2， 故答案为：12． ·20·