精品解析：天津市实验中学滨海学校2023-2024学年高二下学期第一次质量调查数学试题

2023-2024年度第二学期高二年级第一次质量调查（数学）试卷 命题人：董安妮 审核人：郭赢男 学科组长:郭军霞 满分：150分 时长：100分钟 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共60分） 1. 函数在点处切线的斜率为（    ） A. B. C. D. 2. 函数，若，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. －1 3. 已知曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 4. 函数的导函数的图象如图所示，则下面说法正确的是（ ） A. 为函数的极大值点 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在区间上单调递减 D. 函数在区间上单调递增 5. 已知函数在处取得极小值1，则（ ） A. B. C. D. 6. 若点P是曲线上任意一点，则点P到直线最小距离为（ ）． A. B. C. 2 D. 7. 已知函数存在极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数最小值为， 则 （ ） A. B. C. e D. 9. 丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果．设函数在上的导函数为在上的导函数记为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 10. 若，则（ ） A. B. C D. 11. 已知，若对任意两个不等的正实数、都有恒成立，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 12. 已知函数，若方程有且仅有三个实数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题5分，共30分） 13. 已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则__________. 14. 已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为__________万件． 15. 函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是______. 16. 已知在区间上最大值就是函数的极大值，则m的取值范围是________． 17. 已知函数，其中是的导函数，则__________；的解集为__________． 18. 已知函数，若，，使得成立，则实数的取值范围为____________. 三、解答题（每题12分，共60分） 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在,上的最大值和最小值. 20. 设函数． （1）求在上的最大值； （2）设函数，关于x的方程有3个不同的根，求m的取值范围． 21. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围． 22. 已知函数在和处取得极值. （1）求的值及的单调区间； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 23. 设函数,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2. (1)求 (2)证明: 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024年度第二学期高二年级第一次质量调查（数学）试卷 命题人：董安妮 审核人：郭赢男 学科组长:郭军霞 满分：150分 时长：100分钟 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共60分） 1. 函数在点处切线的斜率为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义即可得. 【详解】由于，所以. 故选：D 2. 函数，若，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. －1 【答案】A 【解析】 【分析】先对求导，再由得到关于的方程，解之即可. 【详解】因为，所以，， 因，所以，故. 故选：A. 3. 已知曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，根据即可求解，进而可求解. 【详解】,则， 又，所以， 故， 故选：D 4. 函数的导函数的图象如图所示，则下面说法正确的是（ ） A. 为函数的极大值点 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在区间上单调递减 D. 函数在区间上单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】由导数符号与函数单调性的关系结合导函数图象逐一判断即可. 【详解】对于A，由图可知，当时，，单调递减，时，，单调递增，所以为函数的极小值点，故A错误； 对于B，的符号在区间上是先负后正，意味着函数在区间上先单调递减再单调递增，故B错误； 对于C，的符号在区间上是先正后负，意味着函数在区间上先单调递增再单调递减，故C错误； 对于D，当时，，所以函数在区间上单调递增，故D正确. 故选：D. 5. 已知函数在处取得极小值1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据极值定义进行求解即可. 【详解】由， 因为在处取得极小值1， 所以有， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以是函数的极小值点，故满足题意， 于是有. 故选：C 6. 若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ）． A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，求出切点坐标，利用点线距求解. 【详解】∵，设为所求的点， 则 得，，则点P到直线的最小距离为． 故选:A. 7. 已知函数存在极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，由题意可得在上有变号零点，即可分离参数，利用换元法，结合二次方程的判别式以及二次函数的性质，即可求得a的物质范围. 【详解】函数的定义域为，且， 由于函数存在极值点，即在上有变号零点， 由，得， 令，则，则a的取值范围为在上的值域， 且需满足的，即； 对于，当时，， 故，即实数的取值范围是， 故选：A 【点睛】关键点睛：本题考查了导数的应用，根据函数存在极值点求参数的范围，解答的关键是求导后，将原问题转化为在上有变号零点的问题，继而参变分离，结合二次方程以及二次函数的性质即可求解. 8. 已知函数的最小值为， 则 （ ） A. B. C. e D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出导函数，求出函数的最小值，列方程即得. 【详解】由，得， 当时，则，函数在上为减函数，函数无最小值，不合题意， 当时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 时，函数有最小值， 解得. 故选：D. 9. 丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果．设函数在上的导函数为在上的导函数记为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求函数导数，结合导数不等式进行求解，构造函数，利用函数的单调性研究函数的最值即可． 【详解】由于，则， 得，由于在上为“凸函数”， 所以 在上恒成立，即在上恒成立， 由对勾函数的性质知在上单调递增， 于是，故. 故选: C 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断单调性，结合单调性分析判断. 【详解】因为， 构造函数，则， 令，解得；当时，令，解得； 可得在上单调递减，在上单调递增； 且，所以，即. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据题意构建，结合函数单调性比较大小. 11. 已知，若对任意两个不等的正实数、都有恒成立，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，可得出，令，可知函数在单调递增或为常函数，可得出对任意的恒成立，利用参变量分离法可求得实数的取值范围. 【详解】若对任意两个不相等的正实数、都有恒成立, 不妨设，所以，即， 令，则， 所以函数在上单调递增或为常函数， 则对任意的恒成立，则， 又函数，当时，等号成立， 所以，所以实数的取值范围是． 故选：B. 12. 已知函数，若方程有且仅有三个实数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出函数的图象，利用导数的几何意义求出对应的切线方程以及斜率，利用数形结合进行求解即可． 【详解】解：作出函数的图象如图： 依题意方程有且仅有三个实数解，即与有且仅有三个交点， 因为必过，且， 若时，方程不可能有三个实数解，则必有， 当直线与在时相切时， 设切点坐标为，则，即， 则切线方程为， 即， 切线方程为， 且，则，所以， 即当时与在上有且仅有一个交点， 要使方程有且仅有三个的实数解， 则当时与有两个交点，设直线与切于点，此时，则，即， 所以， 故选：B 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题5分，共30分） 13. 已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则__________. 【答案】6 【解析】 【分析】求导得切线斜率，利用直线平行求解即可. 【详解】由题意知，所以，解得. 故答案为：6. 14. 已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为__________万件． 【答案】9 【解析】 【详解】由得， 由得（舍去），， 当时，，函数增函数， 当时，，函数为减函数， 所以当时，函数有最大值为（万元）， 使该生产厂家获取最大年利润的年产量为万件. 故答案为：9. 15. 函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】求导，即或恒成立，分类讨论即可. 【详解】因为函数在区间上是单调函数， 则在上有或恒成立， 当时，即，则， 当时，即，则， 综上：实数a的取值范围是. 故答案为： 16. 已知在区间上的最大值就是函数的极大值，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先对函数求导，然后令导函数等于零，则解在区间内，从而得解. 【详解】因为，所以， 令，得. 由题意得， 故． 故答案为：. 17. 已知函数，其中是的导函数，则__________；的解集为__________． 【答案】 ①. 0 ②. 【解析】 【分析】求出函数的导数，先求出，即可求得；利用导数判断的单调性，确定其最小值，即可求得的解集. 【详解】由函数，得， 令，则，故， 则； 由以上分析得，则， 又，当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 即，故的解集为， 故答案为：0； 18. 已知函数，若，，使得成立，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】设在上的值域为，在上的值域为，由题意可得，当时，根据二次函数的性质可得，当时，分，和三种情况，结合导数判断在内的单调性和值域，列式求解即可. 【详解】设在上的值域为，在上的值域为， 若，，使得成立，则. 1.当时，则， 可知开口向下，对称轴为， 则在上单调递增，可得， 所以在上的值域为，所以； 2.当时，则， （1）若，则在内单调递减， 且当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于， 所以，符合题意； （2）若，则，即，不合题意； （3）若，则， 令，解得；令，解得； 则在上单调递增，在上单调递减，可得， 且当x趋近于0或时，均趋近于，所以， 又因为，则， 注意到，即，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：若，，使得成立，则在内的值域是在内的值域的子集. 三、解答题（每题12分，共60分） 19. 已知函数. （1）求曲线在点处切线方程； （2）求函数在,上的最大值和最小值. 【答案】（1）；（2）最大值是，最小值是. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，结合切点和斜率求出切线方程； （2）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值，最值即可. 详解】（1），则， ，切点是， 故切线方程是即； （2）令，解得：或， ，，在，的变化如下： 0 2 0 0 递增 极大值 递减 在，递增，在，递减， 最大值是，又（2），， 在，的最大值是， 在，在最小值是. 20. 设函数． （1）求在上的最大值； （2）设函数，关于x的方程有3个不同的根，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数讨论函数单调性，然后可解； （2）利用导数讨论函数的性质，然后作出图象，利用图象求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以． 令，解得，令，解得或， 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以在上的最大值为． 【小问2详解】 ，它的定义域是， 且， 解得，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 因为，， 且当x趋于0时，趋于，当x趋于时，趋于. 所以可得的草图如图所示： 由图可知，要使方程有3个不同根， 只需满足，解得， 即m的取值范围为． 21. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据导函数的正负判断函数的递增递减区间即得； （2）通过代入不等式整理成在上存在实数解问题，故可转化成求函数在得最小值问题，计算即得. 【小问1详解】 当时，， ∴，由，得，由，得， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为； 【小问2详解】 原条件等价于：在上存在实数解． 化为在上存在实数解， 令， 则， ∴在上，，得，故在上单调递增， ∴的最小值为， ∴时，不等式在上存在实数解． 22. 已知函数在和处取得极值. （1）求的值及的单调区间； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1），．单调递增区间为，；函数单调递减区间为． （2）,,． 【解析】 【分析】（1），根据函数在和处取得极值．可得导数值为0，即可求解，．进而得出函数的单调区间． （2）由（1）可得，利用函数在上单调性，可得的最大值，利用即可得出的取值范围． 【小问1详解】 ， 函数在和处取得极值． ，， 联立解得：，． ， 令，解得和， 时，，函数单调递增；时，，函数单调递减；时，，函数单调递增． 故和是的极值点， 故函数单调递增区间为，；函数单调递减区间为． 【小问2详解】 由（1）知在单调递减，在单调递增， 要使得对任意，不等式恒成立，则需且， 故且， 解得，或， 的取值范围是,,． 23. 设函数,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2. (1)求 (2)证明: 【答案】（1）；（2）详见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据求导法则求出原函数的导函数，由某点的导数是在该点的切线的斜率，结合切线方程以及该点的函数值，将函数值和切线斜率代入原函数和导函数可求得参数值；（2）由（1 )可得的解析式，为多项式，对要证的不等式进行变形，使之成为两个函数的大小关系式，再分别利用导函数求出两函数在定义域内的最值，可证得两函数的大小关系，进而证得. 试题解析：（1）函数的定义域为， . 由题意可得，.故，. （2）证明：由（1）知，， 从而等价于. 设函数，则. 所以当，； 当时，. 故在上单调递减，上单调递增，从而在上的最小值为. 设函数，则. 所以当时，；当时，.故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为. 综上，当时，，即. 考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性进而证明不等式恒成立. 【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.本题（2）的证明过程就是利用导数分别求出在上的最小值及在上的最大值，进而得证的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$