第十三章 轴对称 重难点检测卷-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

第十三章 轴对称 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）在下列四个图案中，不是轴对称图案的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）在联合会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（    ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线交点 C．三边中垂线的交点 D．三边上高交点 3．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，和关于直线对称，交于点，若，，，则五边形的周长为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 4．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．轴对称图形的对应点所连线段被对称轴垂直平分 B．全等三角形是关于某直线对称的 C．有一条公共边的两个全等三角形关于公共边所在的直线对称 D．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合 5．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是的垂直平分线．若，则的周长是（    ） A．13 B．5 C．8 D．26 6．（24-25八年级上·海南儋州·阶段练习）如图，已知是等边三角形，且边长为3，点、分别在边、上，将沿所在的直线折叠，若点落在点处，、分别交边于点、．则阴影部分图形的周长等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．（24-25八年级上·云南·阶段练习）如图，在中，，，，，垂直平分，点为直线上的任一点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，分别以， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于，两点，且分别与相交于，两点，连接，若，则 （      ） A． B． C． D． 9．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，点A和点是对应顶点，，记，当时，与之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，已知，C是内部的一点，且，点D、E分别是上的动点，若周长的最小值等于3，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个汽车牌照在水中的倒影为，则该汽车牌照号码为 ． 12．（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）一个等腰三角形的两边长分别为3，4，它的周长为 ． 13．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，是关于直线的轴对称图形，则点的坐标为 ． 14．（22-23八年级下·安徽宿州·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点G，F．若，则的值为 ． 15．（23-24八年级下·四川达州·期中）如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则 ．      16．（14-15八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知：的平分线与的垂直平分线相交于点，，垂足分别为，，则 ．    17．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为 ． 18．（23-24八年级下·江西九江·期末）如图，在中，，将一块足够大的直角三角尺（，）按如图放置，顶点P在边AC上滑动，三角尺的直角边始终经过点B，斜边交于点D，若点P在滑动中恰能使与均为等腰三角形，则∠C的度数为 ． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）请在下列三个的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画四角形涂上阴影．（注：所画的个图形不能重复） 20．（24-25八年级上·云南·阶段练习）如图，是的角平分线，，分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，，，求的长． 21．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 22．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、，连接，，若的周长为，求线段的长．    23．（23-24八年级下·全国·期中）如图1，是李倩同学过直线外一点A 作直线l的垂线的尺规作图过程，步骤如下： 第一步：以直线上任一点 为圆心，线段的长为半径画弧； 第二步：以直线上异于点B 的任一点C为圆心，线段 的长为半径画弧，两弧交于点A，点 D； 第三步：连接，则． (1)连接 ， 后，李倩同学做的第一步和第二步的目的是使 ， ，从而得到点 B，C 在线段的垂直平分线上，得到上述结论的依据是 ； (2)如图2，已知，请按照李倩的作法用圆规和无刻度的直尺作出DE 边上的高． 24．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D． 连接． (1)若的周长为19，的周长为7，求的长； (2)若，，求的度数． 25．（2024八年级上·全国·专题练习）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”，“ ”或“”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F） (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，则线段的长___________． 26．（2024·江苏常州·模拟预测）定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为“融通三角形”，相等的边所对的相等的角称为“融通角”． (1)①如图1，在中，，D是上任意一点，则与 “融通三角形”；（填“是”或“不是”） ②如图2，与是“融通三角形”，其中，则 ． (2)若互为“融通三角形”的两个三角形都是等腰三角形，求“融通角”的度数． (3)如图3，在四边形中，对角线，且与是“融通三角形”，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 轴对称 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）在下列四个图案中，不是轴对称图案的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的概念求解．此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，故不合题意； B、该图形不是轴对称图形，故合题意； C、该图形是轴对称图形，故不合题意； D、该图形是轴对称图形，故不合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）在联合会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（    ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线交点 C．三边中垂线的交点 D．三边上高交点 【答案】C 【分析】本题考查了与三角形相关的线段以及线段的垂直平分线．当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，再由线段垂直平分线的性质，即可求解． 【详解】解：根据题意得：当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平， ∵线段垂直平分线上的到线段两端的距离相等， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边中垂线的交点， 故选：C． 3．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，和关于直线对称，交于点，若，，，则五边形的周长为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，直接利用轴对称的性质得出，，，再用周长公式即可得出答案，正确得出对应线段是解题关键． 【详解】解：和关于直线对称，交于点， ，，， ，，， ，，， 五边形的周长为， 故选：B． 4．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．轴对称图形的对应点所连线段被对称轴垂直平分 B．全等三角形是关于某直线对称的 C．有一条公共边的两个全等三角形关于公共边所在的直线对称 D．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的定义，全等三角形的性质，轴对称的定义及三线合一，根据轴对称的定义，全等三角形的性质，轴对称的定义及三线合一进行判断即可，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】、轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，原选项符合题意； 、全等三角形不一定是关于某直线对称的，原选项不符合题意； 、有一条公共边的两个全等三角形不一定关于公共边所在的直线对称，原选项不符合题意； 、等腰三角形的顶角平分线、底边的中线、底边的高线互相重合，原选项不符合题意， 故选：． 5．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是的垂直平分线．若，则的周长是（    ） A．13 B．5 C．8 D．26 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质，得到，进而推出的周长是，计算即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长是． 故选A． 6．（24-25八年级上·海南儋州·阶段练习）如图，已知是等边三角形，且边长为3，点、分别在边、上，将沿所在的直线折叠，若点落在点处，、分别交边于点、．则阴影部分图形的周长等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，由折叠的性质得，是解题的关键．利用折叠的性质可得，，利用等量代换和等式的性质解答即可． 【详解】解：利用折叠的性质可得：，． ∴阴影部分图形的周长 ， ∵是边长为3的等边三角形， ∴， ∴， ∴阴影部分图形的周长等于9， 故选：D． 7．（24-25八年级上·云南·阶段练习）如图，在中，，，，，垂直平分，点为直线上的任一点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的性质和三角形三边关系，先根据垂直平分线的性质得到，然后根据解题即可． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴的最小值是4， 故选：B． 8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，分别以， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于，两点，且分别与相交于，两点，连接，若，则 （      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的尺规作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，由作图可知垂直平分，垂直平分，则，，从而有，，然后根据三角形的内角和定理即可求解，熟练掌握垂直平分线的尺规作图是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，点A和点是对应顶点，，记，当时，与之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题和要考查了全等三角形．解题的关键是熟练掌握全等三角形性质，等边对等角，三角形内角和，平行线的性质．根据全等三角形的性质得到，从而得到，求出，根据平行线的性质得到，从而得到关于α和β的关系，化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，已知，C是内部的一点，且，点D、E分别是上的动点，若周长的最小值等于3，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称最短路径问题，涉及垂直平分线的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等，设点C关于的对称点为M，关于的对称点为N，当点D、E在上时，的周长为，此时周长最小，由可得为等边三角形，进而可得． 【详解】解：作点C关于的对称点为M，关于的对称点为N，连接， 由轴对称的性质可得，， ， 当点D、E在上时，等号成立，如图： 由轴对称的性质可得垂直平分线段，垂直平分线段， ，，，， ，， 为等边三角形， ， ． 故选D． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个汽车牌照在水中的倒影为，则该汽车牌照号码为 ． 【答案】 【分析】解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形．根据所求的牌照与看到的牌照关于水面成轴对称，作出相应图形即可求解． 【详解】 解：作汽车牌照在水中的倒影关于水平方向的轴对称图形，如图所示： ∴该汽车牌照号码为． 故答案是：． 12．（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）一个等腰三角形的两边长分别为3，4，它的周长为 ． 【答案】10或11 【分析】本题考查了等腰三角形的性质“等腰三角形的两腰相等”．分腰为4和腰为3两种情况讨论，再求其周长． 【详解】解：①当腰为4时，则三角形的三边长分别为4、4、3，满足三角形的三边关系， 周长为； ②当腰为3时，则三角形的三边长分别为3、3、4，满足三角形的三边关系， 周长为． 综上可知：等腰三角形的周长为10或11． 故答案为：10或11． 13．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，是关于直线的轴对称图形，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、轴对称的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．根据轴对称的性质可知，点和点到的距离相等，是3个单位长度，且轴，据此即可获得答案． 【详解】解：根据题意，点和点是关于直线对称的对应点， ∴它们到的距离相等，是3个单位长度，且轴， ∵点的坐标为， ∴点的坐标是． 故答案为：． 14．（22-23八年级下·安徽宿州·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点G，F．若，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定；掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 由角平分线与平行线易得，从而得到，同理可得，再根据即可得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：6． 15．（23-24八年级下·四川达州·期中）如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则 ．      【答案】10 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，求三角形的面积，连接，根据，再代入数值可得答案． 【详解】如图所示． 连接， ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：10．    16．（14-15八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知：的平分线与的垂直平分线相交于点，，垂足分别为，，则 ．    【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质．连接，角平分线的性质，得到，证明，得到，线段垂直平分线的性质，得到，证明，得到，根据以及线段之间的等量关系，进行转化后计算即可． 【详解】解：∵平分，， ∴，， ∴， ∴， 连接，    ∵垂直平分， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， ∵，， ∴． 故答案为：． 17．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，根据题意作P作交于点F，证是等边三角形，再证明，利用全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】过P作交于点F． ∵是等边三角形， ∴． 又∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴． 又∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 18．（23-24八年级下·江西九江·期末）如图，在中，，将一块足够大的直角三角尺（，）按如图放置，顶点P在边AC上滑动，三角尺的直角边始终经过点B，斜边交于点D，若点P在滑动中恰能使与均为等腰三角形，则∠C的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等边对等角等知识，根据①当，时，②当，时，③当，时，④当，时，四种情况讨论即可作答． 【详解】①当，时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当，时，如图， 同①可得：， ∵， ∴， ③当，时，如图， 同①可得：， ∵， ∴； ④当，时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 综上：∠C的度数为或或 故答案为：或或． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）请在下列三个的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画四角形涂上阴影．（注：所画的个图形不能重复） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称图形的性质，分别选择不同的直线当对称轴，得到相关图形即可． 【详解】如图所示： 20．（24-25八年级上·云南·阶段练习）如图，是的角平分线，，分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，与三角形高有关的计算等知识．解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题． （1）由角平分线的性质定理可推出，从而可证，即得出，结合，即证明垂直平分； （2）由图可知，结合和三角形面积公式可得出，即，解出的值即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵分别是和的高， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 21．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查了线段垂直平根线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，由线段垂直平分线的性质得到，得到，根据等腰三角形的三线合一证明； （2）根据等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质得到，然后利用等边对等角求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，   ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴ ∵ ∴． 22．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、，连接，，若的周长为，求线段的长．    【答案】线段的长为． 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质．根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”得到，，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴线段的长为． 23．（23-24八年级下·全国·期中）如图1，是李倩同学过直线外一点A 作直线l的垂线的尺规作图过程，步骤如下： 第一步：以直线上任一点 为圆心，线段的长为半径画弧； 第二步：以直线上异于点B 的任一点C为圆心，线段 的长为半径画弧，两弧交于点A，点 D； 第三步：连接，则． (1)连接 ， 后，李倩同学做的第一步和第二步的目的是使 ， ，从而得到点 B，C 在线段的垂直平分线上，得到上述结论的依据是 ； (2)如图2，已知，请按照李倩的作法用圆规和无刻度的直尺作出DE 边上的高． 【答案】(1)；；到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． (2)见解析. 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质定理的逆定理， （1）根据作法和到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可得出答案； （2）模仿题干的作法即可按要求作图. 【详解】（1）解：根据作法可知：，，从而得到点 B，C 在线段的垂直平分线上，得到上述结论的依据是线段的垂直平分线的性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． （2）如图：即所求作高； 24．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D． 连接． (1)若的周长为19，的周长为7，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． （1）先证明，，结合的周长为19，的周长为7，可得，从而可得答案； （2）先求解，然后利用等边对等角和三角形内角和定理得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为19，的周长为7， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵ ∴ ∴． 25．（2024八年级上·全国·专题练习）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”，“ ”或“”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F） (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，则线段的长___________． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)3 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质： （1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后证，得，即可得出结论； （2）过点E作，交于点F，证为等边三角形，得，再证，得，即可得出结论； （3）过点E作，交于点F，同（2 ）得是等边三角形，，则，即可得出答案． 【详解】解：（1）：，理由如下： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点作，交于点， 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：过点作，交的延长线于点，如图3所示： 同（2 ）得：是等边三角形，， ，， ， ． 26．（2024·江苏常州·模拟预测）定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为“融通三角形”，相等的边所对的相等的角称为“融通角”． (1)①如图1，在中，，D是上任意一点，则与 “融通三角形”；（填“是”或“不是”） ②如图2，与是“融通三角形”，其中，则 ． (2)若互为“融通三角形”的两个三角形都是等腰三角形，求“融通角”的度数． (3)如图3，在四边形中，对角线，且与是“融通三角形”，，求的长． 【答案】(1)①是；② (2) (3)的值为4或 【分析】（1）①由题意得 ，，由融通三角形定义即可得出结论；②在线段上取点G，使，连接，证明，得出，即可证明； （2）在线段上取点G，使，连接，由（1）可得，设，由等腰三角形的性质证出，由三角形内角和即可求解； （3）分两种情况：当时；当时． 【详解】（1）①∵ ∴ ∵ ∴与是“融通三角形”； ②如图，在线段上取点G，使，连接 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ （2）由题意可得： 在线段上取点G，使，连接 由（1）可知 ∴ ∴ ∴ 设 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴，解得： ∴ ∴融通角是 （3）分两种情况：当时，如图， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴符合题意 ∴； 当时，过点D作， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴符合题意 设，则 ∵，即 ∴ ∴ ∴ 综上：的值为4或 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$