第3章 实数 单元测试-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

第3章 实数 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第三章（实数）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．在，，0，这四个数中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D． 2．下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 3．化简的结果是（    ） A．3 B． C． D．9 4．下列整数中，最接近的是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．数轴上点到原点的距离为，则点所表示的数是（　　） A． B． C．或 D． 6．下列说法错误的是（    ） A．1的平方根是 B．的立方根是 C．是2的平方根 D．9的平方根是3 7．下列各组数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．2与 D．与 8．如图，在数轴上表示实数的点可能是（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 9．如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（    ） A． B． C． D． 10．根据表中的信息判断，下列语句正确的是（　　） n 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 A．＝16 B． C．只有3个正整数n满足16.2＜＜16.3 D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11．的平方根是 ，的算术平方根是 ． 12．比较大小： 4． 13．若，且a，b是两个连续整数，则的值为 ． 14．已知，，且，则 ． 15．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． 16．任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，．现对87进行如下操作：，这样对87只需进行3次操作后变为1，类似的：（1）对15只需进行 次操作后变为1；（2）只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ． 三、解答题：本题共7小题，共66分． 17．完成下面各题 (1)把下列实数近似的表示在数轴上： ，，0， (2)观察（1）中的数轴，在和之间一共有______个整数． 18．把下列各数填入相应的集合中 ，， ， ， ， ， 0， ，， ①正数集合{                                …} ②负数集合{                                …} ③无理数集合{                            …} ④分数集合{                                …} 19．计算：． 20．求下列各式中的x ． (1) (2) 21．若都是实数，， (1)求的值； (2)求的立方根． 22．图1为由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形．          (1)图1中拼成的正方形的面积是________，它的边长是_________． (2)如图2所示，点A表示的数是________． (3)网格中有一个由8个小正方形组成的图形（加粗部分），请仿照图1，将它剪开并拼成一个正方形，在网格中画出示意图． 再将数轴补充完整，并在数轴上表示．（保留作图痕迹） 23．【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 结合以上材料，回答下列问题： (1)的小数部分是______，的整数部分是____； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，请直接写出的平方根． 24．华罗庚先生是我国著名的数学家，他在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求42875的立方根．华罗庚看完题目脱口而出：35．众人十分惊奇，非常想知道计算的奥妙． 你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请对下面的问题进行思考． (1)，，你能确定42875的立方根是几位数吗？答：_______位数． (2)由42875的个位数字是5，你能确定42875的立方根的个位数字是几吗？答：_______． (3)如果划去42875的后三位数字875，得到数42，根据，，由此你能确定42875的立方根的十位数字是几吗？答：_______，因此42875的立方根是_______． (4)仿照上述问题，分析250047的立方根． ①250047立方根的个位数字是_______；②250047立方根是_______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 实数 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第三章（实数）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．在，，0，这四个数中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【详解】本题主要考查的是实数大小比较． 正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【分析】解：，， ， ； ， 在，，0，这四个数中，最小的数是． 故选：A． 2．下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的概念，根据无理数的概念“无限不循环小数”及常见形式有“含有的最简式子；开不尽方的数；特殊结构的数，如（相邻两个3之间1的个数逐渐增加）”，由此即可求解． 【详解】解：A、是无理数，符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、是分数，即有理数，不符合题意； 故选：A ． 3．化简的结果是（    ） A．3 B． C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根计算．根据题意先将根式中计算出来，再开根号即可得到本题答案． 【详解】解：， 故选：A． 4．下列整数中，最接近的是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了估计无理数的大小，常用的方法是根据平方，用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 首先确定39在哪两个整数的平方之间，从而确定的范围，从而求解． 【详解】解： ，且， 最接近的是6． 故选：C． 5．数轴上点到原点的距离为，则点所表示的数是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握实数和数轴的知识是解题关键．根据点在原点的距离为该点表示的数的绝对值，进行求解即可． 【详解】解：∵表示的点到原点的距离为， ∴点表示的数是或． 故选：C． 6．下列说法错误的是（    ） A．1的平方根是 B．的立方根是 C．是2的平方根 D．9的平方根是3 【答案】D 【分析】本题考查的是平方根与立方根的含义，根据定义逐一分析判断即可，熟记平方根与立方根的含义是解本题的关键． 【详解】解：1的平方根是，故A不符合题意； 的立方根是，故B不符合题意； 是2的平方根，故C不符合题意； 9的平方根是，故D符合题意； 故选D 7．下列各组数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．2与 D．与 【答案】A 【分析】此题考查了算术平方根的化简和求立方根、相反数的定义等知识.逐项化简后进行比较即可. 【详解】A. ，则与互为相反数，选项符合题意； B. ，则与相等，选项不符合题意； C. ，则2与相等，选项不符合题意； D. ，则与相等，选项不符合题意； 故选：A 8．如图，在数轴上表示实数的点可能是（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴和估算无理数的大小等知识点，先估算出的范围，再结合数轴得出即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 9．如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，求出正方形的边长是解题的关键．根据正方形的面积求出正方形的边长为，得到，即可表示点E． 【详解】解：∵正方形的面积为7， ∴正方形的边长为， ∴， 点A在数轴上表示的数为1， ∴点E表示的数为． 故选：D． 10．根据表中的信息判断，下列语句正确的是（　　） n 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 A．＝16 B． C．只有3个正整数n满足16.2＜＜16.3 D． 【答案】C 【分析】根据表格中数据及算术平方根的概念分析判断． 【详解】解：由表格可得：， ， 故选项A不符合题意； 由表格可得：， ， 故选项B不符合题意； 由表格可得，， 只有3个正整数满足，分别是263；264；265， 故选项C符合题意； 由题意可得：， ， 故选项D不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查求一个数的算术平方根和无理数的估算，理解算术平方根的概念是解题基础． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11．的平方根是 ，的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根和算术平方根计算．根据平方根和算术平方根定义直接计算即可得到本题答案． 【详解】解：∵的平方根是， ∵，即的算术平方根是， 故答案为：，． 12．比较大小： 4． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据中，被开方数越大，则越大可得只需要判断出17和16的大小即可得到答案． 【详解】解；∵， ∴， 故答案为：． 13．若，且a，b是两个连续整数，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提． 根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定a、b的值，再代入计算即可． 【详解】解：，而， ， ， 又，a、b是两个连续整数， ， ． 故答案为：1． 14．已知，，且，则 ． 【答案】 【分析】此题考查算术平方根的定义及绝对值的定义，比较简单根据，求出a、b的值，又，说明a、b异号，确定最终a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】∵，， ∴，， ∵， ∴a、b异号， ∴， ∴， 故答案为：． 15．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用数轴比较数的大小，化简绝对值，算术平方根，掌握是解题的关键． 由数轴得，则，可化为，再去绝对值即可． 【详解】解：由数轴得， ∴ ∴ ， 故答案为：． 16．任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，．现对87进行如下操作：，这样对87只需进行3次操作后变为1，类似的：（1）对15只需进行 次操作后变为1；（2）只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】 2 65535 【分析】（1）根据规律依次求出即可；（2）要想确定只需进行4次操作后变为1的所有正整数，关键是确定3次操作后数的大小不能大于4，3次操作时根号内的数必须小于16，二次操作时根号内的数必须小于256，而1次操作时正整数65535却好满足这一条件，即最大的正整数为65535． 【详解】解：（1）， 故对15只需进行2次操作后变为1 故答案为：2； （2）最大的是65535， ，，，， 而，，，，， 即只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最大的正整数是65535． 故答案为：65535． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，掌握算术平方根的概念是关键． 三、解答题：本题共7小题，共66分． 17．完成下面各题 (1)把下列实数近似的表示在数轴上： ，，0， (2)观察（1）中的数轴，在和之间一共有______个整数． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了在实数与数轴，掌握数轴上的点与实数一一对应，是解题的关键． （1）先将能化简的数化简吗，再在数轴上表示即可． （2）根据数轴即可解答． 【详解】（1）解：， 在数轴上表示如图所示： （2）解：由图可知：和之间一共有0，1，2，3这4个整数， 故答案为：4． 18．把下列各数填入相应的集合中 ，， ， ， ， ， 0， ，， ①正数集合{                                …} ②负数集合{                                …} ③无理数集合{                            …} ④分数集合{                                …} 【答案】； ， ，，，； ，；， ，， ， ． 【分析】根据正负数的意义，实数的意义，有理数的分类，按照要求填出答案即可． 【详解】解：①正数集合{  …} ②负数集合{ ， ，，，…} ③无理数集合{ ，…} ④分数集合{， ，， ， …} 【点睛】本题考查了正负数的意义，实数的意义，有理数的分类之间的关系，掌握有理数的分类是解题的关键． 19．计算：． 【答案】 【分析】先对算术平方根和立方根进行化简，同时求绝对值和去括号，然后进行加减计算即可． 【详解】解： 原式 ． 【点睛】此题考查了实数的混合运算；正确掌握运算法则及运算顺序是解题的关键． 20．求下列各式中的x ． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的值，再根据平方根的定义进行求解即可； （2）先利用立方根定义求得后再求的值即可． 【详解】（1）解：， ， ， （2）， ， ， ． 【点睛】本题是对平方根和立方根的考查，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，的平方根是，负数没有平方根，注意整体思想的利用是解题的关键． 21．若都是实数，， (1)求的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题主要考查了平方根有意义的条件，求一个数的立方根，实数的性质： （1）根据被开方数要大于等于0求出，进而可求出y的值； （2）根据（1）所求求出的值，再根据立方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∵27的立方根是3， ∴的立方根是3． 22．图1为由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形．          (1)图1中拼成的正方形的面积是________，它的边长是_________． (2)如图2所示，点A表示的数是________． (3)网格中有一个由8个小正方形组成的图形（加粗部分），请仿照图1，将它剪开并拼成一个正方形，在网格中画出示意图． 再将数轴补充完整，并在数轴上表示．（保留作图痕迹） 【答案】(1)5， (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了实数与数轴，算术平方根，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键．正方形的面积是由组成正方形的面积的小正方形的个数决定的；边长为面积的算术平方根． （1）正方形的面积是由五个边长为1的小正方形组成的，由此可得面积，进而可得边长； （2）根据（1）正方形是由4个直角三角形组成的，从而求出图2中的长，再根据实数与数轴的关系即可得到答案； （3）仿照（1）画出正方形，进而可得正方形边长为，再仿照图2求解即可． 【详解】（1）解：∵图1中拼成的正方形是由五个边长为1的小正方形组成的， ∴图1中拼成的正方形的面积是5， ∴图1中拼成的正方形的边长为， 故答案为：5，； （2）解：由图1可知，边长为的正方形是由4个直角边为1，2的直角三角形组成的， ∴此直角三角形的斜边长为， 同理可得， ∴点A表示的数为， 故答案为：；    （3）解：如图所示，即为所求．    23．【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 结合以上材料，回答下列问题： (1)的小数部分是______，的整数部分是____； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，请直接写出的平方根． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握无理数的估算方法是解此题的关键． （1）先估算出的范围，即可得其的小数部分；估算出的范围，进而估算出的范围，即可得其整数部分； （2）先估算出、的范围，求出、的值，再代入所求式子计算即可； （3）先估算出的范围，进而估算出的范围，求出、的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是， 的小数部分是； ， ， ， ， 的整数部分是； 故答案为：，； （2）， ， 的小数部分为，即， ， ， 的整数部分为，即， ； （3）， ， ， ，其中是整数，且， ，， ， 的平方根为． 24．华罗庚先生是我国著名的数学家，他在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求42875的立方根．华罗庚看完题目脱口而出：35．众人十分惊奇，非常想知道计算的奥妙． 你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请对下面的问题进行思考． (1)，，你能确定42875的立方根是几位数吗？答：_______位数． (2)由42875的个位数字是5，你能确定42875的立方根的个位数字是几吗？答：_______． (3)如果划去42875的后三位数字875，得到数42，根据，，由此你能确定42875的立方根的十位数字是几吗？答：_______，因此42875的立方根是_______． (4)仿照上述问题，分析250047的立方根． ①250047立方根的个位数字是_______；②250047立方根是_______． 【答案】(1)两 (2)5 (3)3，35 (4)3，63 【分析】（1）根据，得出，即可得出结论‘ （2）分别求出各个一位数的立方，即可得出结论； （3）根据，得出，即可得出42875的立方根的十位数字是3，即可得出结论； （4）按照题目所给求立方根的方法和步骤即可进行解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴42875的立方根是两位数， 故答案为：两； （2）解：∵， ∴42875的立方根的个位数字是5， 故答案为：5； （3）解：∵， ∴， ∴42875的立方根的十位数字是3， ∴42875的立方根是35， 故答案为3，35； （4）解：∵， ∴，则的立方根是两位数， ∵个位数字为7，， ∴250047立方根的个位数字是3， ∵， ∴，则250047立方根十位数字为6， ∴250047立方根是63， 故答案为：3，63． 【点睛】本题主要考查了求一个数的立方根，解题的关键是掌握立方根的定义，以及题目所给求一个较大数的立方根的方法和步骤． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$