专题06 轴对称中的最值模型问题（将军饮马）重难点题型专训（8大题型+29道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题07 轴对称中的最值模型问题（将军饮马等）重难点题型专训（8大题型+29道拓展培优） 题型一 将军饮马之线段和最值 题型二 将军饮马之线段差最值 题型三 将军饮马之两定一动最值 题型四 三点共线最大值 题型五 双对称关系求周长最小值 题型六 两定两动型最值 题型七 两动一定最值 题型八 费马点最值问题 将军饮马中最短路径问题四大模型 一 两定点在直线的异侧 问题1 作法 图形 原理 在直线l上找一点P,使得 PA+PB的和最小。 连接AB，与直线l的交点P即为所求。 两点之间，线段最短，此时PA+PB的和最小。 二 两定点在直线的同侧 问题2：将军饮马 作法 图形 原理 在直线l上找一点P,使得 PA+PB的和最小。 作B关于直线l的对称点C，连AC，与直线l的交点P即为所求。 化折为直； 两点之间，线段最短，此时PA+PB的和AC最小。 三 两动点一定点问题 问题3：两个动点 作法 图形 原理 点P在锐角∠AOB的内部，在OA边上找一点C,在OB 边上找一点D,,使得 PC+PD+CD的和最小。 作P关于OA的对称点P1，作P关于OB的对称点P2，连接P1P2 。 两点之间，线段最短，此时PC+PD+CD的和最小。 四 造桥选址问题 问题4：造桥选址 作法 图形 原理 直线m∥n，在m，n上分别求点M、N，使MN⊥m，MN⊥n，且AM+MN+BN的和最小。 将点A乡向下平移MN的长度得A1，连A1B，交n于点N，过N作NM⊥m于M。 两点之间，线段最短，此时AM+MN+BN的最小值为A1B+MN。 注意：本专题部分题目涉及勾股定理，各位同学可以学习完第3章后再完成该专题训练． 勾股定理公式：a2+b2=c2 【经典例题一 将军饮马之线段和最值】 【例1】如图，在中，，分别以点为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于，画直线为的中点，为直线上任意一点，若的面积为15，则的最小长度为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 1．如图，在中，，平分，若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．1.2 B．2.4 C．4.8 D．9.6 2．如图，在中，，，，是的角平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值是 ． 3．唐朝著名诗人李颀的代表作品《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含着一个有趣的数学问题．如图1，诗中将士在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问在何处饮马才能使总路程最短？我们可以用轴对称的方法解决这个问题． (1)如图2，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 理由：如图3，在直线 l上另取不同于点C的任一点，连接 因为点B 、关于直线l对称，点C、在直线l上， 所以 ， ， 所以 ， 在中，依据 ， 可得 所以 即最小． (2)迁移应用：如图4，是等边三角形，N是的中点，是边上的中线，，M是上的一个动点，连接、，则的最小值是 ． 【经典例题二 将军饮马之线段差最值】 【例2】如图，在中，，．延长线段至点，使，过点作射线，点为射线上的动点，分别过点，作直线的垂线，．当的值最大时，的度数为 ． 1．如图，，为上一动点，，过作交直线于，过作交直线于点，若，当的值最大时，则 ． 2．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知的顶点均在格点上． (1)画出格点三角形关于直线对称的； (2)的面积是 (3)在直线上找出点P，使最大，并求出最大值为 ．（保留作图痕迹） 3．如图，已知的三个顶点在格点上． (1)画出，使它与关于直线对称； (2)在直线上画出点D，使． (3)在直线上画出点P，使最大． 【经典例题三 将军饮马之两定一动最值】 【例3】小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（　　）． A． B． C． D． 【变式4-1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？    【变式4-2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是 ． 【变式4-3】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，若， (1)求的长； (2)若点P是直线上的动点，直接写出的最小值为_________． 【经典例题四 三点共线最大值】 【例5】如图，在中，的垂直平分线交于点N，交于点M，，的周长是，若点P在直线上，则的最大值为 . 1．如图，，在的同侧，，，，M 为的中点， 若，则的最大值为（    ） A．12 B．15 C．18 D．20 2．如图，为等腰直角三角形，在的内部，，为射线上一点，当最大时，的度数是 ． 3．如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上． (1)画出关于直线对称的． (2)若以N点为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为，则关于x轴对称，写出点的坐标． (3)在直线MN上找点P使最大，在图形上画出点P的位置，并直接写出的最大值． 【经典例题五 双对称关系求周长最小值】 【例5】如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点 M、N，使得的周长最小，则的度数为（　　 ）    A． B． C． D． 1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（　　） A．110° B．112° C．114° D．116° 2．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，在直线上存在一点，使、、三点构成的的周长最小，则的周长最小值为 ．    3．在草原上有两条交叉且笔直的公路、，在两条公路之间的点P处有一个草场，如图，，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得的周长最小，则周长的最小值是 ． 【经典例题六 两定两动型最值】 【例6】几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 解法：作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为线段的长．    (1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形； (2)应用：①如图2，已知，其内部有一点P，，在的两边分别有C、D两点（不同于点O），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值； ②如图3，，点M、N分别在边、上，且，点P，Q分别在、上，则的最小值是________． 1、如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，则AM＋MN＋EN的最小值是 ． 2、如图，在等边中，，是边上的中线，点P是上一点，且．如果点M、N分别是和上的动点，那么的最小值为 ．    【经典例题七 两动一定最值】 【例7】如图，在锐角三角形ABC中，，的面积为18，平分，若E、F分别是上的动点，则的最小值为 ．      1、如图所示，在等边中，点D、E、F分别在边、，上，则线段的最小值是（　　） A．边上高的长 B．线段的长度 C．边的长度 D．以上都不对 2、如图，在中，，点P、Q分别是边上的动点，则的最小值等于（    ）      A．4 B． C．5 D． 3、如图，在等腰中，，，于，点、分别是线段、上的动点，则的最小值是 ．    【经典例题八 费马点最值问题】 【例8】【问题提出】 （1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________． （2）如图2，在中，，，求的最小值． 【问题解决】 （3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积． 1．已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermat point）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为6的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD＋PE＋PF＝（ 　 ） A．6 B． C． D．9 2．定义：若P为内一点，且满足，则点P叫做的费马点． (1)如图1，若点O是等边的费马点，且，则这个等边三角形的高的长度为______； (2)如图2，已知，分别以为边向外作等边与等边，线段交于点P，连接，求证：点P是的费马点； (3)应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求． 3．定义：若为内一点，且满足，则点叫做的费马点．    (1)如图1，若点是高为的等边的费马点，则= ； (2)如图2，已知是等边外一点，且，请探究线段，，之间的数量关系，并加以证明； (3)如图3，已知，分别以、为边向外作等边与等边，线段、交于点，连接，求证： ①点是的费马点； ②． 4．若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时，的值最小． (1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到处，连接，此时，这样就可以通过旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出______． (2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使，，求证：． (3)如图4，在直角三角形ABC中 ，，，，点P为直角三角形ABC的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出的值． 1．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，中，点D在边上，过D作交于点E，P为上的一个动点，连接，若最小，则点P应该满足（   ）      A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，P是边上的一动点，要使的值最小，则点P应满足的条件是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·四川巴中·期末）如图，在中，，分别以点为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于，画直线为的中点，为直线上任意一点，若的面积为15，则的最小长度为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，四边形中，，，在，上分别找一点M，N，使周长最小，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·湖南湘西·期末）在某草原上，有两条交叉且笔直的公路、，如图，，在两条公路之间的点处有一个草场，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为、，存在、使得的周长最小．则周长的最小值是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 6．（22-23八年级下·福建漳州·期中）如图，在中，，，，D是中点，垂直平分，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（    ）    A．3 B．6 C．9 D．12 7．（23-24八年级上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，，动点B在x轴上，连接，将线段绕点A逆时针旋转至，连接，则线段长度最小为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（22-23七年级下·山东济南·阶段练习）如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点 M、N，使得的周长最小，则的度数为（　　 ）    A． B． C． D．   ∵， ∴， ∴， ∵，， 且，， 9．（21-22八年级上·四川广元·期末）如图所示，在四边形ABCD中，，，，，在AD上找一点P，使的值最小；则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．5 D．6 10．（21-22八年级上·广东广州·期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点P是边AC上一定点，此时分别在边AB，BC上存在点M，N使得△PMN周长最小且为等腰三角形，则此时的值为（       ） A． B．1 C． D．2 11．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为 ．    12．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，，在上分别找一点M，N，使周长最小，此时，则的度数为 ． 13．（23-24七年级下·山东济南·期末）在草原上有两条交叉且笔直的公路、，在两条公路之间的点P处有一个草场，如图，，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得的周长最小，则周长的最小值是 ． 14．（22-23七年级下·广东河源·期末）如图，在四边形中，，在边上分别找一点E、F，使周长最小，此时 ． 15．（22-23八年级上·广东东莞·期中）如图，点，，点P是在x轴上，且使最小，写出点P的坐标 ． 16．（22-23八年级上·湖南岳阳·期中）如图，直线垂直平分的边，在直线上任取一动点，连结、、．若，则 ．若， ，则的最小周长是 ． 17．（22-23八年级上·四川绵阳·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B在x轴的负半轴上且，点P与点O关于直线对称，在y轴上找到一点，使的值最小，则这个最小值为 ． 18．（22-23八年级上·海南海口·期中）如图，在四边形中，，，在边，上分别找一点E，F使的周长最小．此时的大小是 ． 19．（22-23八年级上·湖北黄石·期末）如图，已知，平分，在上有一点，，现要在上分别找点Q，N，使最小，则其最小值为 ． 20．（21-22八年级上·福建厦门·期末）小河的两条河岸线a∥b，在河岸线a的同侧有A、B两个村庄，考虑到施工安全，供水部门计划在岸线b上寻找一处点Q建设一座水泵站，并铺设水管PQ，并经由PA、PB跨河向两村供水，其中QP⊥a于点P.为了节约经费，聪明的建设者们已将水泵站Q点定好了如图位置（仅为示意图），能使三条水管长的和最小.已知，，，在A村看点P位置是南偏西30°，那么在A村看B村的位置是 ． 21．（22-23八年级上·云南昆明·期末）如图，的三个顶点坐标分别为，，． (1)作出关于y轴对称的图形． (2)求的面积； (3)在x轴上找一点P，使得 最小，请直接写出点 P 的坐标． 22．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在平面直角坐标系中画出，将平移得到，已知，则坐标是______． (2)求出的面积； (3)在轴上有一点，使得的值最小，保留作图痕迹． 23．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 24．（2023九年级·四川成都·专题练习）在中，，点E在是边上一动点（不与A、B重合），连接，点P是直线上一个动点． (1)如图1，，E是中点，，N是射线上一个动点，若使得的值最小，应如何确定M点和点N的位置？请你在图2中画出点M和点N的位置，并简述画法；直接写出的最小值； (2)如图3，，连接，且．求证：． 25．（23-24七年级下·广东深圳·期末）【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用． 【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见． 【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置． （1）请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空： 证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴　　　　，　　　　， ∴　　　　． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． （2）如图4，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点，若，则的最小值为　　　　． 【拓展应用】 （3）“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点A表示龙潭公园，点B表示宝能广场，点C表示万科里，点D表示万科广场，点E表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B宝能广场和D万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C万科里、D万科广场和E龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A与点C关于对称，请你用尺子在上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G表示)． 26．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，B、C两点关于y轴对称，点A的坐标是，点C坐标为． (1)直接写出点B的坐标为___________； (2)用尺规作图，在x轴上作出点P，使得的值最小； (3)___________度． 27．（21-22七年级上·陕西商洛·期末）点为内一点．    (1)在上求作点上求作点，使的周长最小，请画出图形； (2)在（1）的条件下，若，，求周长的最小值． 28．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）在四边形中，，， ，，在、上分别找一点、，使得的周长最小，求周长的最小值．    29．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在Rt中，，，，平分交斜边于点D，动点P从点C出发，沿折线向终点D运动． (1)点P在上运动的过程中，当 时，与的面积相等；（直接写出答案） (2)点P在折线上运动的过程中，若是等腰三角形，求度数； (3)若点E是斜边的中点，当动点P在上运动时，线段所在直线上存在另一动点M，使两线段的长度之和，即的值最小，则此时的长度 （直接写出答案）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 轴对称中的最值模型问题（将军饮马等）重难点题型专训（8大题型+29道拓展培优） 题型一 将军饮马之线段和最值 题型二 将军饮马之线段差最值 题型三 将军饮马之两定一动最值 题型四 三点共线最大值 题型五 双对称关系求周长最小值 题型六 两定两动型最值 题型七 两动一定最值 题型八 费马点最值问题 将军饮马中最短路径问题四大模型 一 两定点在直线的异侧 问题1 作法 图形 原理 在直线l上找一点P,使得 PA+PB的和最小。 连接AB，与直线l的交点P即为所求。 两点之间，线段最短，此时PA+PB的和最小。 二 两定点在直线的同侧 问题2：将军饮马 作法 图形 原理 在直线l上找一点P,使得 PA+PB的和最小。 作B关于直线l的对称点C，连AC，与直线l的交点P即为所求。 化折为直； 两点之间，线段最短，此时PA+PB的和AC最小。 三 两动点一定点问题 问题3：两个动点 作法 图形 原理 点P在锐角∠AOB的内部，在OA边上找一点C,在OB 边上找一点D,,使得 PC+PD+CD的和最小。 作P关于OA的对称点P1，作P关于OB的对称点P2，连接P1P2 。 两点之间，线段最短，此时PC+PD+CD的和最小。 四 造桥选址问题 问题4：造桥选址 作法 图形 原理 直线m∥n，在m，n上分别求点M、N，使MN⊥m，MN⊥n，且AM+MN+BN的和最小。 将点A乡向下平移MN的长度得A1，连A1B，交n于点N，过N作NM⊥m于M。 两点之间，线段最短，此时AM+MN+BN的最小值为A1B+MN。 注意：本专题部分题目涉及勾股定理，各位同学可以学习完第3章后再完成该专题训练． 勾股定理公式：a2+b2=c2 【经典例题一 将军饮马之线段和最值】 【例1】如图，在中，，分别以点为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于，画直线为的中点，为直线上任意一点，若的面积为15，则的最小长度为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的面积，三线合一定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．如图，连接，．利用三角形的面积公式求出，再根据两点之间线段最短，线段的垂直平分线的性质判断即可． 【详解】解：如图，连接，． ∵， 为的中点， ∴， ，， ， 由作图可知：垂直平分线段， ， ， 的最小值为6， 故选：B． 1．如图，在中，，平分，若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．1.2 B．2.4 C．4.8 D．9.6 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质、垂线段最短等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．作点关于的对称点，连接，则，从而可得，先根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为，再根据轴对称的性质可得点在边上，然后根据垂线段最短可得当时，的值最小，最后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， 由轴对称的性质得：， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， ∵平分， ∴点在边上， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， 则此时，即， 解得， 即的最小值是， 故选：C． 2．如图，在中，，，，是的角平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，轴对称−最短路线问题，三角形的面积，垂线段最短，作关于的对称点，由对称性可知，点在上，当时，的最小值为，再利用面积法求出的长即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：作关于的对称点， ∵是的平分线， ∴点在上， ∴， ∴当时，的最小值为， ∵，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 3．唐朝著名诗人李颀的代表作品《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含着一个有趣的数学问题．如图1，诗中将士在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问在何处饮马才能使总路程最短？我们可以用轴对称的方法解决这个问题． (1)如图2，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 理由：如图3，在直线 l上另取不同于点C的任一点，连接 因为点B 、关于直线l对称，点C、在直线l上， 所以 ， ， 所以 ， 在中，依据 ， 可得 所以 即最小． (2)迁移应用：如图4，是等边三角形，N是的中点，是边上的中线，，M是上的一个动点，连接、，则的最小值是 ． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）根据轴对称的性质得到，，然后利用三角形的任意两边之和大于第三边求解即可； （2）连接，，根据题意得到当点N，M，C三点共线时，有最小值，即的长度，然后根等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：理由：如图3，在直线 l上另取不同于点C的任一点，连接 因为点B 、关于直线l对称，点C、在直线l上， 所以，， 所以， 在中，依据三角形的任意两边之和大于第三边 可得 所以 即最小． 故答案为：，，三角形的任意两边之和大于第三边； （2）解：如图所示，连接，， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当点N，M，C三点共线时，有最小值，即的长度， ∵，N是的中点，是等边三角形， ∴， ∴的最小值为6． 【点睛】本题主要考查的是轴对称图形的性质以及两点之间线段最短，三角形三边关系，等边三角形的性质等知识，正确掌握两点之间，线段最短是解题的关键． 【经典例题二 将军饮马之线段差最值】 【例2】如图，在中，，．延长线段至点，使，过点作射线，点为射线上的动点，分别过点，作直线的垂线，．当的值最大时，的度数为 ． 【答案】/130度 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质．如图，过点作直线于点．证明，推出与重合时，的值最大，此时，画出相应的图形，根据条件，利用三角形的内角和、邻补角的意义，求出结果． 【详解】解：如图，过点作直线于点． 直线，直线， ， ，， ， ， ， 与重合时，的值最大， 当与重合，与重合时，的值最大，此时， ， ， ， ， ， 又， ， ， 故答案为：． 1．如图，，为上一动点，，过作交直线于，过作交直线于点，若，当的值最大时，则 ． 【答案】123° 【分析】当DM与DP重合，AN与AB重合时，|AN-DM|的值最大，此时|AN-DM|=AB，画出相应的图形，根据条件，利用三角形的内角和、邻补角的意义，求出结果． 【详解】解：当DM与DP重合，AN与AB重合时，|AN-DM|的值最大，此时|AN-DM|=AB， ∵∠ABC=114°， ∴∠CDE=180°-114°=66°， ∴∠MCD=90°-66°=24°， 又∵AB=BC， ∴∠ACB=（180°-114°）÷2=33°， ∴∠ACE=180°-∠ACB-∠DCM=180°-33°-24°=123°， 故答案为：123°． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和、直角三角形、等腰三角形的性质等知识，根据题意画出相应图形是解决问题的关键． 2．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知的顶点均在格点上． (1)画出格点三角形关于直线对称的； (2)的面积是 (3)在直线上找出点P，使最大，并求出最大值为 ．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析， 【分析】本题考查作图-轴对称变换，线段最短，勾股定理； （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）延长，交直线于点，则点即为所求．利用勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）的面积是 （3）如图所示，延长，交直线于点， 此时，为最大值， 则点即为所求． 由勾股定理得，， 最大值为． 故答案为：． 3．如图，已知的三个顶点在格点上． (1)画出，使它与关于直线对称； (2)在直线上画出点D，使． (3)在直线上画出点P，使最大． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）分别作点A、B、C关于直线的对称点、、；顺次连接、、所得的三角形即为所求． （2）连接交直线于点D即可作答； （3）延长交直线于点P即可作答； 【详解】（1）如图， 即为所求； （2）如图， 点D即为所求； 证明：根据对称性可知， 根据对顶角相等可得：， 即有； （3）如图， 点P即为所求． 证明：如图，当点P在处时，根据三角形三边的关系可知：； 当点A、C、P在三点共线时，此时有：； 综上有：，当且仅当点A、C、P在三点共线时取等号， 即点P满足要求． 【点睛】本题考查了作轴对称图形，轴对称的性质，对顶角相等，三角形三边的关系等知识，掌握轴对称图形的性质，是解答本题的关键． 【经典例题三 将军饮马之两定一动最值】 【例3】小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称-最短路线的问题，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题．会作对称点是解此类问题的基础，要求学生能熟练掌握，并熟练应用．另外本题的解决还应用了三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边．先作点关于街道的对称点，再根据三角形的两边之和大于第三边，得出，再进行边的等量代换，即可作答． 【详解】解：如图：作点关于街道的对称点，连接交街道所在直线于点， ， ， 在街道上任取除点以外的一点，连接，，， ， 在中，两边之和大于第三边， ， ， 点到两小区送奶站距离之和最小． 故选：C． 【变式4-1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？    【答案】 【分析】如图（见详解），将小河看成直线，由题意先作A关于的对称点，连接，构建直角三角形，则就是最短路线；在中，，，，利用勾股定理即可求出． 【详解】如图，做出点A关于小河的对称点，连接交MN于点P，则就是牧童要完成这件事情所走的最短路程长度．    由题意知：，，， 在中，由勾股定理求得， 则他要完成这件事情所走的最短路程是． 【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，掌握轴对称的性质和勾股定理是解题的关键． 【变式4-2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是 ． 【答案】4 【分析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2，证明△CBD≌△BD，得到CD=D，推出当A、D、三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=B+AB=4． 【详解】解：如图，连接D， ∵正△ABC的边长为2，△ABC与△A′BC′关于直线l对称， ∴∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2， ∴∠CB=60°， ∴∠CB=∠B， ∵BD=BD， ∴△CBD≌△BD， ∴CD=D， ∴AD+CD=D+CD， ∴当A、D、三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=B+AB=4， 故答案为：4． ． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【变式4-3】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，若， (1)求的长； (2)若点P是直线上的动点，直接写出的最小值为_________． 【答案】(1)9 (2)9 【分析】（1）根据垂直平分线的性质可证为等腰三角形，由角度可证为直角三角形，再由线段之间的关系即可求出的长； （2）根据将军饮马原理即可得出的最小值为的长度． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵边的垂直平分线交于点D， ∴， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ （2）解：如图， 取点关于直线的对称点，即点；连接两点，与直线交于点， 根据两点之间线段最短 则即为的最小值，最小值为9 【点睛】本题考查了图形的轴对称，相关知识点有：垂直平分线的性质、将军饮马等，轴对称性质的充分利用是解题关键． 【经典例题四 三点共线最大值】 【例5】如图，在中，的垂直平分线交于点N，交于点M，，的周长是，若点P在直线上，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质得到，再利用三角形两边之差小于第三边解答即可． 【详解】解：垂直平分， ， 又，， ， 在上取点，连接、、， 垂直平分， ， ， 在中， 当、、共线时，即运动到与重合时，有最大值， 此时． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段之差的最大值，熟练运用三角形边角关系与垂直平分线的性质是解题的关键． 1．如图，，在的同侧，，，，M 为的中点， 若，则的最大值为（    ） A．12 B．15 C．18 D．20 【答案】B 【分析】作点关于的对称点，点关于的对称点，连接、、、、，由对称的性质得，，，，再由“有一个角为的等腰三角形是等边三角形．”可判定为等边三角形，由等边三角形的性质得，由，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接、、、、， ， ， ， ， M 为的中点， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 的最大值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了对称在几何变换中的应用，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等，根据题意构建等边三角形来转移线段是解题的关键． 2．如图，为等腰直角三角形，在的内部，，为射线上一点，当最大时，的度数是 ． 【答案】/117度 【分析】作点A关于直线的对称点，连接并延长交于点，交于点D，则点就是使的值最大的点，，连接，根据题意得出，再由等角的余角相等及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，作点A关于直线的对称点，连接并延长交于点，交于点D，则点就是使的值最大的点，，连接， 为等腰直角三角形， ，， ∵ ， ， ， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及等角的余角相等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 3．如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上． (1)画出关于直线对称的． (2)若以N点为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为，则关于x轴对称，写出点的坐标． (3)在直线MN上找点P使最大，在图形上画出点P的位置，并直接写出的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)画图见解析，3 【分析】（1）先画出A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据点B的坐标，建立坐标系，然后求出A、C的坐标，再根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可； （3）如图所示，连接，由轴对称的性质得到，由三角形三边的关系可知，，故当三点共线，点P与点重合时，的值最大，最大为，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，建立平面直角坐标系， ∴点A的坐标为，点C的坐标为， ∵与关于x轴对称， ∴点的坐标为，点的坐标为； （3）解：如图所示，连接， ∵与关于直线对称， ∴， ∴， 由三角形三边的关系可知，， ∴当三点共线，点P与点重合时，的值最大，最大为， ∴． 【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，坐标与图形变化——轴对称，写出坐标系中点的坐标，三角形三边关系的应用等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 【经典例题五 双对称关系求周长最小值】 【例5】如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点 M、N，使得的周长最小，则的度数为（　　 ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，A关于和的对称点，，即可得出，进而得出即可得出答案． 【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，，交于M，交于N，则，即为的周长最小值．作延长线，   ∵， ∴， ∴， ∵，， 且，， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键． 1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（　　） A．110° B．112° C．114° D．116° 【答案】D 【分析】如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求，结合四边形的内角和即可得出答案． 【详解】解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求． ∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°， ∴∠ADC＝180°﹣32°， 由轴对称知，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q， 在△PDQ中，∠P+∠Q＝180°﹣∠ADC ＝180°﹣（180°﹣32°） ＝32°， ∴∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q＝32°， ∴∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′） ＝180°﹣32°-32° ＝116°． 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短线路问题求法以及四边形的内角和定理等知识，根据已知得出E，F的位置是解题的关键． 2．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，在直线上存在一点，使、、三点构成的的周长最小，则的周长最小值为 ．    【答案】 【分析】如图所示，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，则当三点共线时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵的垂直平分线交于点，交于点，点在直线上， ∴， ∴的周长， ∴当最小时，最小，即此时的周长最小， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∴的周长最小值， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 3．在草原上有两条交叉且笔直的公路、，在两条公路之间的点P处有一个草场，如图，，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得的周长最小，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称——最短路线问题．作出轴对称图形，熟练掌握轴对称性质，等边三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 作点P关于直线的对称点C，作点P关于直线的对称点D，连接，分别交、于M、N，得到，其周长的最小值等于长，由轴对称性质证明， ，得到是等边三角形，即得． 【详解】如图，作点P关于直线的对称点C，作点P关于直线的对称点D，连接，分别交、于点M、N， 则，， ∴的周长的最小值为， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长的最小值为6.5． 故答案为：6.5． 【经典例题六 两定两动型最值】 【例6】几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 解法：作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为线段的长．    (1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形； (2)应用：①如图2，已知，其内部有一点P，，在的两边分别有C、D两点（不同于点O），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值； ②如图3，，点M、N分别在边、上，且，点P，Q分别在、上，则的最小值是________． 【答案】(1)见解析 (2)①12；②2 【分析】（1）根据模型作出图形； （2）①分别作关于、的对称点、，连接，交、于、，则的周长最小，进而根据轴对称的性质推出为等边三角形，进一步得出结果；②作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、，此时的值最小，最小值为，进而推出为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图1，    （2）①如图2，    作法：（Ⅰ）作关于的对称点， （Ⅱ）作点关于的对称点， （Ⅲ）连接，分别交于点，交于， 则的周长最小， 连接、， 点和点关于对称， ，， 同理可得，，， ， ， 为等边三角形， ， 的周长； ②如图3，      作法：（Ⅰ）作点关于的对称点，点关于的对称点， （Ⅱ）连接交于，交于， （Ⅲ）连接、， ， ， 此时的值最小，最小值为， ，，，， ，， ， 为等边三角形， ，即 的值最小为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型． 1、如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，则AM＋MN＋EN的最小值是 ． 【答案】10 【分析】作A点关于BC的对称点A1，连接A1M，作E点关于DC的对称点E1，连接E1N，因此，所以最小值为，用勾股定理算出即可． 【详解】解：如图，作A点关于BC的对称点A1，连接A1M，作E点关于DC的对称点E1，连接E1N， ∵∠B＝∠D＝90°，点A和点A1关于BC对称，点E和点E1关于DC对称， ∴，， ∴， ∴AM＋MN＋EN的最小值是， ∵AD＝AB＝4，E是AD中点， ∴，， ∴，， ∵∠BAD＝90°， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了线段和的最值问题，勾股定理、轴对称性质，作出辅助线是本题的关键． 2、如图，在等边中，，是边上的中线，点P是上一点，且．如果点M、N分别是和上的动点，那么的最小值为 ．    【答案】13 【分析】作点P关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接，，连接，根据等边三角形的性质得出，，根据三线合一得出，，证明垂直平分，得出，根据轴对称的性质得出，，，证明为直角三角形，得出，根据，由两点之间线段最短，得出当点M在处，点N在处时，最小，且最小值为的长度，即最小值为5． 【详解】解：作点P关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接，，连接，如图所示：    ∵为等边三角形， ∴，， ∵是边上的中线， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∵点P关于的对称点为， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点M在处，点N在处时，最小，且最小值为的长度，即最小值为5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握轴对称的性质． 【经典例题七 两动一定最值】 【例7】如图，在锐角三角形ABC中，，的面积为18，平分，若E、F分别是上的动点，则的最小值为 ．      【答案】6 【分析】过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，    ∵平分，，， ∴， ∴的最小值． ∵的面积为18，， ∴， ∴． 即的最小值为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将的最小值为转化为，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目． 1、如图所示，在等边中，点D、E、F分别在边、，上，则线段的最小值是（　　） A．边上高的长 B．线段的长度 C．边的长度 D．以上都不对 【答案】A 【分析】作于点D，当、时，线段有最小值，根据等边三角形的性质可得，进而得结论． 【详解】解：如图，作于点D，当、时，线段有最小值， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最小值是边上高的长． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． 2、如图，在中，，点P、Q分别是边上的动点，则的最小值等于（    ）      A．4 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】由勾股定理可得，作A关于的对称点，过点作，交于点，交于点，根据对称可得：，得到当三点共线时，最小，再根据垂线段最短，得到时，最小，据此求解即可． 【详解】解：在中，， ∴ 作A关于的对称点，过点作，交于点，交于点，    ∵， ∴当三点共线时，最小， ∵垂线段最短， ∴时，最小， 连接， ∵关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴． 故选D． 【点睛】本题主要考查利用轴对称求线段和最小问题．熟练掌握通过构造轴对称解决线段和最小是解题的关键． 3、如图，在等腰中，，，于，点、分别是线段、上的动点，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】过点作，垂足为，连接，，根据等腰三角形三线合一性质可得是边上的中线，则垂直平分，，得到，则线段的长为的最小值，根据含的直角三角形的性质求出即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，连接， ∵，， ∴是边上的中线，   ∴垂直平分，直线是等腰的对称轴， ∴， ∵点、分别是线段、上的动点， ∴， ∴当点、、三点共线且点与点重合时，取得最小值， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：．    【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过三线合一的性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．也考查了含的直角三角形的性质，垂直平分线的判定和性质． 【经典例题八 费马点最值问题】 【例8】【问题提出】 （1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________． （2）如图2，在中，，，求的最小值． 【问题解决】 （3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积． 【答案】（1）等边三角形；（2）BC的最小值为；（3）平行四边形公园ABCD的面积为（平方米）． 【分析】（1）由旋转得BN=BM，∠MBN=60°，可判断出△BMN是等边三角形即可； （2）设AB=a，则AC=10-a，进而根据勾股定理得出即可得出结论； （3）先判断出点A'，E'，E，C在同一条线上，设BF=x，进而依次得出AB=2x，BC=6-2x，CF=6-x，再利用勾股定理得出，得出x=是A'C最小，进而求出A'F，BC，利用平行四边形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：的形状是等边三角形，理由如下; 由旋转知，BN=BM，∠MBN=60° ∴△BMN为等边三角形 故答案为：等边三角形； （2）解：设AB=a， ∵AB+AC=10， ∴AC=10-AB=， 在Rt△ABC中，根据勾股定理得， ， ∵， ∴，即， ∴， 即BC的最小值为； （3）解：如图3， 将△ABE绕点B逆时针旋转60°得到△A'BE'， ∴△ABE≌△A'BE'， ∴∠A'E'B=∠AEB，AB=A'B，A'E'=AE，BE'=BE，∠EBE'=60°， ∴△EBE'为等边三角形， ∴∠BE'E=∠BEE'=60°，EE'=BE， ∴AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE， 要AE+BE+CE最小，即点A'，E'，E，C在同一条线上，即最小值为A'C， 过点A'作A'F⊥CB，交CB的延长线于F， 在Rt△A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°， 设BF=x，则A'B=2x， 根据勾股定理得，A'F=， ∵AB=A'B， ∴AB=2x， ∵AB+BC=6， ∴BC=6-AB=6-2x， ∴CF=BF+BC=6-x， 在Rt△A'FC中，根据勾股定理得， ， ∴当x=，即AB=2x=3时，最小， 此时，BC=6-3=3，A'F=， ∴平行四边形公园ABCD的面积为（平方千米）． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，用代数式表示线段，利用配方法确定极值问题，判断出AB=BC时，AE+BE+CE最小是解本题的关键． 1．已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermat point）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为6的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD＋PE＋PF＝（ 　 ） A．6 B． C． D．9 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，根据勾股定理可得EF，由过点D作DM⊥EF于点M，过E、F分别作∠MEP=∠MFP=30°就可以得到满足条件的点P，易得EM=DM=MF＝，根据勾股定理列方程求出PM、PE、PF，继而求出PD的长即可求解． 【详解】解：如图：等腰Rt△DEF中，DE=DF=6， ∴， 过点D作DM⊥EF于点M，过E、F分别作∠MEP=∠MFP=30°，则∠EPF=∠FPD=∠DPE=120°，点P就是马费点， ∴EM=DM=MF＝， 设PM＝x，PE＝PF=2x， 在Rt△EMP中，由勾股定理可得： ，即， 解得：，（负数舍去）， 即PM=， ∴PE＝PF＝ 故DP=DM－PM＝， 则PD+PE+PF===． 故选B． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理的应用，正确画出做辅助线构造直角三角形进而求出PM的长是解题关键． 2．定义：若P为内一点，且满足，则点P叫做的费马点． (1)如图1，若点O是等边的费马点，且，则这个等边三角形的高的长度为______； (2)如图2，已知，分别以为边向外作等边与等边，线段交于点P，连接，求证：点P是的费马点； (3)应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求． 【答案】(1)9 (2)见解析 (3)能，当点Q是的费马点时，的值最小．证明该位置满足设计要求见解析 【分析】（1）根据证明得，从而点O是三边垂直平分线的交点，延长交于点D，根据30度角的性质求出即可求解； （2）作于M，于N，设与交点为G．根据证明得，，然后证明平分，可得，进而可证结论成立； （3）分别以为边向外作等边与等边，线段交于一点，该点即为所求的点，根据证明得，从而可判断当D、K、Q、C四点共线时，为最小值，进而可证结论成立． 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴， ∴． ∵点O是等边的费马点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点O是三边垂直平分线的交点， ∴． ∵， ∴． ∴延长交于点D，如图1， ∴， ∴． 故答案为：9． （2）如图2，作于M，于N，设与交点为G． ∵与都是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴，． 又∵ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分 ∴ ∴ ∴点P是的费马点． （3）能，如第（2）小题那样，分别以为边向外作等边与等边，线段交于一点，由（2）小题知该点是的费马点，即为所要建的污水处理站Q的位置． 证明如下：如图3，设点Q是内一点，连接，并在同侧作等边与等边，连接． ∵与都是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴． 当D、K、Q、C四点共线时，为最小值， 又∵， ∴这时， ∴， ∴点Q是的费马点 即当点Q是的费马点时，的值最小． 【点睛】本题考查了费马点，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，角平分线的判定，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 3．定义：若为内一点，且满足，则点叫做的费马点．    (1)如图1，若点是高为的等边的费马点，则= ； (2)如图2，已知是等边外一点，且，请探究线段，，之间的数量关系，并加以证明； (3)如图3，已知，分别以、为边向外作等边与等边，线段、交于点，连接，求证： ①点是的费马点； ②． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)①见解析；②见解析 【分析】（1）延长交于点，根据费马点的定义可得，进而根据等腰三角形的性质得出，根据含度角的直角三角形的性质，求得，即可求解； （2）延长至，使得，连接，证明，根据等边三角形的性质以及全等三角形的性质，即可得出结论； （3）①作于，于设交 于．证明（）即可解决问题； ②在线段上取一点，使得，连接．证明（），推出即可解决问题． 【详解】（1）解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到，    ∴是等边三角形，是等边三角形， ∵点是高为的等边的费马点， ∴， ∴ ∴四点共线， ∵ ∴在的垂直平分线上， ∴， ∴， 如图所示，延长交于点    ∵点是高为的等边的费马点， ∴， ∴， ∴，则 ∴ ∵ ∴ ∴, 故答案为：． （2）解：，理由如下， 如图所示，延长至，使得，连接，    ∵， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， 又， ∴， ∴， ∴， 即； （3）①证明：如图，作A于，于设交 于．   ，都是等边三角形， ，，， ， )， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点是就是费马点． ②在线段上取一点，使得，连接．   ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，构造等边三角形是解答本题的关键． 4．若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时，的值最小． (1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到处，连接，此时，这样就可以通过旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出______． (2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使，，求证：． (3)如图4，在直角三角形ABC中 ，，，，点P为直角三角形ABC的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出的值． 【答案】(1)150° (2)见解析 (3) 【分析】（1）由全等三角形的性质得到AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4，∠AP′C＝∠APB，再根据旋转性质，证明△APP′为等边三角形，△PP′C为直角三角形，最后由∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C解答； （2）由费马点的性质得到，，再证明 (ASA)，由全等三角形对应边相等的性质解得，最后根据线段的和差解答； （3）将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A′P′B处，连接PP′，由勾股定理解得，由旋转的性质，可证明△BPP′是等边三角形，再证明C、P、A′、P′四点共线，最后由勾股定理解答． 【详解】（1）解：∵， ∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4，∠AP′C＝∠APB， 由题意知旋转角∠PAP′＝60°， ∴△APP′为等边三角形， PP′＝AP＝3，∠AP′P＝60°， 由旋转的性质可得：AP′＝AP＝PP′=3，CP′＝4，PC=5， ∵32+42=52 ∴△PP′C为直角三角形，且∠PP′C＝90°， ∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C＝60°＋90°＝150°； 故答案为：150°； （2）证明：∵点P为△ABC的费马点， ∴， ∴， 又∵， ∴APD为等边三角形 ∴，， ∴， ∴， 在△APC和△ADE中， ∴ (ASA)； ∴， ∵， ∴BE＝PA＋PB＋PC； （3）解：如图，将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A′P′B处，连接PP′， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2， ∴， 把△APB绕点B顺时针方向旋转60°得到△A′P′B， ∴∠A′BC＝∠ABC＋60°＝30°＋60°＝90°， ∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝2， ∵△APB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′P′B， ∴A′B＝AB＝2，BP＝BP′，A′P′＝AP， ∴△BPP′是等边三角形， ∴BP＝PP′，∠BPP′＝∠BP′P＝60°， ∵∠APC＝∠CPB＝∠BPA＝120°， ∴∠CPB＋∠BPP′＝∠BP′A′＋∠BP′P＝120°＋60°＝180°， ∴C、P、A′、P′四点共线， 在Rt△A′BC中，， ∴PA＋PB＋PC＝A′P′＋PP′＋PC＝A′C＝． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、费马点等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识，正确做出辅助线是解题关键． 1．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，中，点D在边上，过D作交于点E，P为上的一个动点，连接，若最小，则点P应该满足（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．作点E关于直线的对称点F，连接交于P，此时的值最小，即可求解． 【详解】解：如图，作点E关于直线的对称点F，连接交于P，此时的值最小．    由对称性可知：， ∵， ∴， ∴最小时，点P应该满足，此时无法确定与，的大小关系，的度数． 故选：D． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，P是边上的一动点，要使的值最小，则点P应满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查轴对称的性质，明确轴对称的相关性质并正确作图，是解题的关键；作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，则的最小值为的长． 【详解】如图，作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，则的最小值为的长，此时点P即为所求． ∵点与点A关于对称， ∴． ∵， ∴． 故选：D． 3．（23-24八年级下·四川巴中·期末）如图，在中，，分别以点为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于，画直线为的中点，为直线上任意一点，若的面积为15，则的最小长度为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的面积，三线合一定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．如图，连接，．利用三角形的面积公式求出，再根据两点之间线段最短，线段的垂直平分线的性质判断即可． 【详解】解：如图，连接，． ∵， 为的中点， ∴， ，， ， 由作图可知：垂直平分线段， ， ， 的最小值为6， 故选：B． 4．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，四边形中，，，在，上分别找一点M，N，使周长最小，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平面内最短路线问题求法，以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识的综合应用，根据轴对称的性质，得出，的位置是解题的关键．根据要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为周长的最小值．作延长线，如图所示，结合图形及已知条件，不难得出；再结合三角形外角的性质不难得到，由此分析即可得出答案． 【详解】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为周长的最小值．作延长线，如图所示． ， ， ． ，，且，， ． 故选：B 5．（23-24八年级上·湖南湘西·期末）在某草原上，有两条交叉且笔直的公路、，如图，，在两条公路之间的点处有一个草场，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为、，存在、使得的周长最小．则周长的最小值是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称－最短路线问题、等边三角形的判定和性质．作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，分别交、于、，得到的周长的最小值为，再证得为边长为4的等边三角形即可得出答案． 【详解】解：作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接， 分别交、于、，如图： ∴，， ∴的周长的最小值为， 由轴对称的性质得：，， ，， ，， ，， 为边长为4的等边三角形， ， 的周长的最小值为4． 故选：A． 6．（22-23八年级下·福建漳州·期中）如图，在中，，，，D是中点，垂直平分，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（    ）    A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】如图：连接，先根据等腰三角形的性质和三角形的面积可得，再根据垂直平分线的性质、轴对称的性质可得，进而说明的最小值为即可解答． 【详解】解：如图所示：连接．    ∵，D是中点， ∴于点D， ∵，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为6． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，确定的长度的最小值是解题的关键． 7．（23-24八年级上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，，动点B在x轴上，连接，将线段绕点A逆时针旋转至，连接，则线段长度最小为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】在x轴上取点E、点F，使，则，所以，由旋转得，，则，作直线交y轴于点D，作于点H，可证明，则，所以，可知点C在经过点E且与x轴所夹的锐角为的直线上运动，可证明，则，则线段长度最小为2，于是得到问题的答案． 【详解】解：在x轴上取点E、点F，使，则， ∵， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， 作直线交y轴于点D，作于点H，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点C在经过点E且与x轴所夹的锐角为的直线上运动， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴线段长度最小为2， 故选：C． 【点睛】此题重点考查图形与坐标、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 8．（22-23七年级下·山东济南·阶段练习）如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点 M、N，使得的周长最小，则的度数为（　　 ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，A关于和的对称点，，即可得出，进而得出即可得出答案． 【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，，交于M，交于N，则，即为的周长最小值．作延长线，   ∵， ∴， ∴， ∵，， 且，， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键． 9．（21-22八年级上·四川广元·期末）如图所示，在四边形ABCD中，，，，，在AD上找一点P，使的值最小；则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先作出点C关于AD的对称点，判断出CC'=BC，进而判断出∠C'=30°，再构造出直角三角形，利用含30°角的直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解∶如图，延长CD至C'，使C'D=CD， ∵∠ADC=90°，C'D=CD， ∴点C'与点C关于AD对称， 连接C'B交AD于P'，此时P'C'+BP'=BC'最小， ∵∠A=∠ADC=90° ∴CD//AB， ∴∠C'=∠ABC'，∠BCC'=180°-∠ABC= 120°， ∵C' D=CD，∠ADC=90° ∴CC' =2CD， ∵BC=2CD， ∴CC' =BC， ∴∠C'=∠CBC'， ∴∠C'=∠ABC'=∠CBC'=30°， 过点B作BE⊥CD交DC的延长线于E， 则BE=AD=2， 在Rt△BEC'中，∠C'=30°， BE=2， ∴BC' =2BE=4， 即PB+ PC的值最小值为4， 故选∶A． 【点睛】此题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，判断出CC'= BC是解本题的关键． 10．（21-22八年级上·广东广州·期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点P是边AC上一定点，此时分别在边AB，BC上存在点M，N使得△PMN周长最小且为等腰三角形，则此时的值为（       ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】作P点关于AB的对称点E，关于BC的对称点F，连接EF，交AB于M，交BC于N，此时△PMN周长最小，最小值为EF，分三种情况通过证明△PEN≌△PFM，得出PE=PF，即可得到PH=PC，根据30°角的直角三角形的性质即可证得 ． 【详解】解：作P点关于AB的对称点E，关于BC的对称点F，连接EF，交AB于M，交BC于N，此时△PMN周长最小，最小值为EF， 当PM=PN时， ∴∠PMN=∠PNM， ∵PM=EM，PN=FN， ∴EN=FM， 在△PEN与△PFM中， ， ∴△PEN≌△PFM（SAS）， ∴PE=PF， ∴PH=PC， ∵∠A=30°， ∴PH=AP， ∴PC=AP， ， 当PM=MN时，则∠MPN=∠MNP， ∵PM=ME， ∴∠MPE=∠E， ∴∠EPN=90°，∠PNM=2∠E， ∴∠PNM=60°， ∴△PMN是等边三角形， ∴PE=PF， ∴PH=PC， ∴PH=AP， ∴PC=AP， ， 当PN=MN时， 同理，， 故选择：D 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，证得PE=PF是解题的关键． 11．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为 ．    【答案】6 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，根据三角形的面积公式即可得到，由垂直平分，得到点A，B关于对称，再说明的最小值，即可得到结论． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴点P到A，B两点的距离相等， 即， 要求最小，即求最小，则A、P、D三点共线， ∴的长度即的最小值， 即的最小值为6， 故答案为：6． 12．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，，在上分别找一点M，N，使周长最小，此时，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查轴对称的性质，三角形内角和定理，作A点关于的对称点F，作A点关于的对称点E，连接交于N，交于M，连接，则此时的周长有最小值，由轴对称的性质得到，，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：作A点关于C的对称点F，作A点关于的对称点E，连接交于N，交于M，连接， ， ， 的周长 ，即此时的周长有最小值， 由轴对称的性质可得，， ， ， ， ， 故答案为：． 13．（23-24七年级下·山东济南·期末）在草原上有两条交叉且笔直的公路、，在两条公路之间的点P处有一个草场，如图，，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得的周长最小，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称——最短路线问题．作出轴对称图形，熟练掌握轴对称性质，等边三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 作点P关于直线的对称点C，作点P关于直线的对称点D，连接，分别交、于M、N，得到，其周长的最小值等于长，由轴对称性质证明， ，得到是等边三角形，即得． 【详解】如图，作点P关于直线的对称点C，作点P关于直线的对称点D，连接，分别交、于点M、N， 则，， ∴的周长的最小值为， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长的最小值为6.5． 故答案为：6.5． 14．（22-23七年级下·广东河源·期末）如图，在四边形中，，在边上分别找一点E、F，使周长最小，此时 ． 【答案】/度 【分析】如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于的对称点Q，连接，交于，交于，则点即为所求，利用轴对称的性质结合四边形的内角和即可得出答案． 【详解】解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于的对称点Q，连接，交于，交于， 由轴对称的性质可得， ∴的周长， ∴当Q、E、F、P四点共线时，最小，即此时的周长最小， ∴当E与重合，F与重合时的周长最小， ∵四边形中，，   ∴， 由轴对称知，， 在中，， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查的是轴对称—最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及四边形的内角和定理等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键． 15．（22-23八年级上·广东东莞·期中）如图，点，，点P是在x轴上，且使最小，写出点P的坐标 ． 【答案】 【分析】如图所示，作点A关于x轴对称的点，连接交轴于，取，连接，过点作于D， 根据轴对称的性质可得当三点共线时，最小，即最小，此时P与重合，利用三角形面积之间的关系求出点P的坐标即可． 【详解】解：如图所示，作点A关于x轴对称的点，连接交轴于，取 ，连接，过点作于D， ∴，， ∴， ∴当三点共线时，最小，即最小，此时P与重合， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，轴对称最短路径问题，确定当三点共线时，最小，即最小是解题的关键． 16．（22-23八年级上·湖南岳阳·期中）如图，直线垂直平分的边，在直线上任取一动点，连结、、．若，则 ．若， ，则的最小周长是 ． 【答案】 【分析】根据直线是边的垂直平分线，则，最小，此时的周长有最小值为，进而即可求解． 【详解】当直线与的交点为时即点移到上时，如图， 直线是边的垂直平分线， ， ，此时最小， 的周长， 此时的周长有最小值为， ，， 周长的最小值为 【点睛】 本题考查了垂直平分线的性质，轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． 17．（22-23八年级上·四川绵阳·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B在x轴的负半轴上且，点P与点O关于直线对称，在y轴上找到一点，使的值最小，则这个最小值为 ． 【答案】6 【详解】作点关于轴对称的点，连接，交轴于点，连接， 则：， ∴当三点共线时，的值最小， ∵，， ∴， ∴， ∵点P与点O关于直线对称， ∴， 交于点D，过点作轴，交轴于点， 则：，， ∴， ∴， ∵点和点关于轴对称， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值为：6； 故答案为：6． 【点睛】本题考查坐标系下的轴对称，以及含角的直角三角形．熟练掌握轴对称的性质，以及利用轴对称法解决线段和最小问题，是解题的关键． 18．（22-23八年级上·海南海口·期中）如图，在四边形中，，，在边，上分别找一点E，F使的周长最小．此时的大小是 ． 【答案】/108度 【分析】如图，作点D关于的对称点P，点D关于的对称点Q，连接交于，交于，则点，即为使的周长最小时E、F的位置，根据四边形的内角和定理求出，可得，然后由轴对称的性质得出，进而可求的度数，即可得出答案． 【详解】解：如图，作点D关于的对称点P，点D关于的对称点Q，连接交于，交于，则点，即为使的周长最小时E、F的位置． ∵四边形中，，， ∴， 由轴对称知，，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是轴对称—最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题的求法，三角形内角和定理，四边形的内角和定理等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键． 19．（22-23八年级上·湖北黄石·期末）如图，已知，平分，在上有一点，，现要在上分别找点Q，N，使最小，则其最小值为 ． 【答案】 【分析】作M关于的对称点P，过点P作于N，交于Q，则此时的值最小，可求，，，再根据含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】作M关于的对称点P，过点P作于N，交于Q，则此时的值最小， ∵，平分，在上有一点， ∴关于对称， ∴点P在上， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，轴对称—最短路线问题，垂线段最短的应用，能够确定的位置是解题的关键． 20．（21-22八年级上·福建厦门·期末）小河的两条河岸线a∥b，在河岸线a的同侧有A、B两个村庄，考虑到施工安全，供水部门计划在岸线b上寻找一处点Q建设一座水泵站，并铺设水管PQ，并经由PA、PB跨河向两村供水，其中QP⊥a于点P.为了节约经费，聪明的建设者们已将水泵站Q点定好了如图位置（仅为示意图），能使三条水管长的和最小.已知，，，在A村看点P位置是南偏西30°，那么在A村看B村的位置是 ． 【答案】北偏西60° 【分析】根据题意作出图形，取的中点，连接，过点作，过点作，交的延长线于点，作关于的对称点，平移至处，则最小，即三条水管长的和最小，进而找到村的位置，根据方位角进行判断即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，过点作，过点作，交的延长线于点 作关于的对称点，平移至处，则最小，即三条水管长的和最小， 此时三点共线， 点在的延长线上， 在A村看点P位置是南偏西30°， , 是等边三角形 , 即在A村看B村的位置是北偏西60° 故答案为：北偏西60° 【点睛】本题考查了轴对称的性质，方位角的计算，等边三角形的性质与判定，等边对等角，根据题意作出图形是解题的关键． 21．（22-23八年级上·云南昆明·期末）如图，的三个顶点坐标分别为，，． (1)作出关于y轴对称的图形． (2)求的面积； (3)在x轴上找一点P，使得 最小，请直接写出点 P 的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3) 【分析】本题考查了作图轴对称变换，找到x轴、y轴，即可找到对称点，要注意点的坐标相对应． （1）找到A、B、C关于y轴的对称点即可； （2）利用三角形面积公式求解即可； （3）作B点关于x轴对称的对称点，连接，与x轴交点即为P． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）的面积； （3）如图所示，点P即为所求； ∴． 22．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在平面直角坐标系中画出，将平移得到，已知，则坐标是______． (2)求出的面积； (3)在轴上有一点，使得的值最小，保留作图痕迹． 【答案】(1)画图见解析，； (2)； (3)画图见解析 【分析】（）在平面直角坐标系中描出点，然后连接，即可画出，根据平移作出点对应点，然后连接即可，最后即可求出坐标； （）利用矩形面积减去三个直角三角形面积即可； （）先作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，则点即为所求； 本题考查了作图——平移变换，轴对称——最短路线问题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）如图，描出点，然后连接，即可画出，根据平移作出点对应点，然后连接， ∴， ∴即为所求，坐标是； （2）的面积为； （3）如图，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点， ∵， ∴， 则根据两点之间线段最短，可知点即为所求． 23．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 【答案】【数学建模】， ① ，；【问题拓展】见解析【迁移应用】米 【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法． 【数学建模】由垂直平分线的性质得，由两点之间线段最短得； 【问题拓展】解过作垂直于河岸，使得，连接交另一河岸于，过 作垂直河岸于，即为所求； 【迁移应用】过作，使得，作关于直线对称点，连接交直线于，此时使得最短，最后由勾股定理求解即可． 【详解】，①，； 解：【问题拓展】桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短； 解：【迁移应用】如图所示， 过作，使得，作关于直线对称点，延长交于，连接交直线于，此时使得最短， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵关于直线对称点， ∴，，, ∴， 在△中，由勾股定理得 ， ∴， 故步行观光路线的最短长度为米． 24．（2023九年级·四川成都·专题练习）在中，，点E在是边上一动点（不与A、B重合），连接，点P是直线上一个动点． (1)如图1，，E是中点，，N是射线上一个动点，若使得的值最小，应如何确定M点和点N的位置？请你在图2中画出点M和点N的位置，并简述画法；直接写出的最小值； (2)如图3，，连接，且．求证：． 【答案】(1)绘图及说明见解析，5 (2)见解析 【分析】（1）画法：作点M关于的对称点，过作交于点P，交于点N，根据作图直接写出的最小值即可； （2）过P作于点F，于点D，通过导角得到，则．再证明，得到由平行线间间距相等可得，则，即可证明垂直平分则． 【详解】（1）解：作点M关于的对称点，过作交于点P，交于点N， ∵，E是中点， ∴， ∵，点是M关于的对称点， ∴，且点在上， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴在中， ∴得到最小值为5； （2）解：过P作于点F，于点D， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴ 由平行线间间距相等可得， ∴， ∵， ∴垂直平分 ∴， 【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． 25．（23-24七年级下·广东深圳·期末）【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用． 【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见． 【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置． （1）请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空： 证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴　　　　，　　　　， ∴　　　　． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． （2）如图4，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点，若，则的最小值为　　　　． 【拓展应用】 （3）“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点A表示龙潭公园，点B表示宝能广场，点C表示万科里，点D表示万科广场，点E表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B宝能广场和D万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C万科里、D万科广场和E龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A与点C关于对称，请你用尺子在上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G表示)． 【答案】（1），，（2）5（3）见解析 【分析】本题考查轴对称，最短路径问题，文字量多，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意利用对称性和三角形的三边关系填空即可； （2）根据对称性和垂线段最短，以及等边三角形每条边上的高相等即可得解； （3）连接交于点G，即可得解． 【详解】解：（1）证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴，， ∴． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． 故答案为：，，； （2）∵是的平分线， ∴可在上找到点E关于直线对称的对称点， 作出点，连接，则， 过点B作， 由垂线段最短可知，当点B、P、三点共线，且垂直时，有最小值， 即的最小值是的长度， ∵等边三角形每条边上的高相等， ∴的最小值为：， 故答案为：5； （3）到的距离和最小的点在线段上， ∵点A与点C关于对称， ∴到的距离和最小的点是线段和的交点， ∴到这四个点的距离和最小的点是线段和的交点， 故连接交于点G，点G即为所求作的点， 26．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，B、C两点关于y轴对称，点A的坐标是，点C坐标为． (1)直接写出点B的坐标为___________； (2)用尺规作图，在x轴上作出点P，使得的值最小； (3)___________度． 【答案】(1) (2)见解析 (3)45 【分析】本题考查了轴对称﹣最短距离问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． （1）根据关于y轴对称的点的特点即可得到结论； （2）如图所示，作点A 关于x轴的对称点，连接交x轴于P，点P即为所求； （3）过B作轴于D，，则，，由（2）知A与关于x轴对称，于是得到，推出，在中，，，于是得到，即可得到结论． 【详解】（1）解： B、C两点关于y轴对称，点C坐标为， 点B的坐标为； 故答案为：． （2）解：如图所示，点P即为所求； （3）解：过B作轴于D，， 则，， 由（2）知A与关于x轴对称， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵A与关于x轴对称， ∴． 故答案为：45． 27．（21-22七年级上·陕西商洛·期末）点为内一点．    (1)在上求作点上求作点，使的周长最小，请画出图形； (2)在（1）的条件下，若，，求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了轴对称作图和轴对称的性质、两点之间线段最短、等边三角形的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据两点之间线段最短和轴对称的性质可确定动点的位置，从而可得所求图形； （2）由轴对称的性质得对应线段和对应角相等，从而得出等边三角形并根据等边三角形的性质，结合条件即可求解． 【详解】（1）解：如图即为所作三角形    分别过点作、的对称点，连接分别交、于点、，连接、，则即为所求； （2）如图，由（1）知， ， ， ， 是等边三角形 周长的最小值为．    28．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）在四边形中，，， ，，在、上分别找一点、，使得的周长最小，求周长的最小值．    【答案】 【分析】本题考查对称的性质和勾股定理，根据两点间线段最短找到的周长最小的情况是本题解题的关键．作关于的对称点，关于的对称点，连接、，与、分别交于、，找到的周长最小的情况．再过作延长线的垂线，交延长线于点，利用勾股定理求出，即的周长的最小值． 【详解】如图所示，作关于的对称点，关于的对称点，连接、，与、分别交于、，则此时的周长最小．    证明如下：作关于的对称点，关于的对称点， ，， ， 两点之间线段最短 的周长最小，． 作延长线的垂线，交延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 29．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在Rt中，，，，平分交斜边于点D，动点P从点C出发，沿折线向终点D运动． (1)点P在上运动的过程中，当 时，与的面积相等；（直接写出答案） (2)点P在折线上运动的过程中，若是等腰三角形，求度数； (3)若点E是斜边的中点，当动点P在上运动时，线段所在直线上存在另一动点M，使两线段的长度之和，即的值最小，则此时的长度 （直接写出答案）． 【答案】(1) (2)或或或 (3)3 【分析】本题考查角平分线性质，等腰三角形性质，最短路径问题． （1）根据题意可推出上的高和上的高相等，所以； （2）根据题意可分为三种情况，对三种情况分类讨论即可得到本题答案； （3）最短路径问题，作点E关于对称点F，作于P，交于M，则最小，即可求得结果． 【详解】（1）解：∵平分， ∴点D到和的距离相等， ∴当时，与的面积相等， 故答案为：6； （2）解：如图1， ， 当时，（点P在处）， ∴， 当时，（点P在处）， ∴， ∵， ∴， 当时，（点P在处时）， ∵， ∴， 综上所述：或或或； （3）解：如图2， ， 作点E关于对称点F，作于P，交于M，则最小， 延长交于Q， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 学科网（北京）股份有限公司 $$