期中真题必刷压轴60题（10个考点专练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

期中真题必刷压轴60题（10个考点专练） 【含江苏各市八年级上学期期中压轴题】 考点一 全等三角形的判定与性质压轴题 1．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，在和中，，过作，垂足为交的延长线于点，连接．四边形的面积为，则的长是（    ） A．4 B． C．3 D． 2．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，四边形中，，，，则是 三角形；若，，，则的长为 ． 3．（23-24八年级上·江苏南京·期中）（1）【旧题重现】《学习与评价》有这样一道习题： 如图①，、分别是和的、边上的中线，，，．求证：． 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． （2）【深入研究】 如图②，、分别是和的、边上的中线，，，．判断与是否仍然全等． 4．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的面积． 5．（23-24八年级上·江苏南通·期中）（1）如图1，与均是顶角为的等腰三角形，分别是底边，求证：； （2）如图2，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接． 填空：的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ． （3）拓展探究 如图3，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接．请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由．    考点二 全等三角形各类模型压轴题 1．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，已知是的平分线，，若，则的面积（    ）    A． B． C． D．不能确定 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，直线经过点，且、，垂足分别为，则之间的数量关系是 ． 3．（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是______________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 4．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．    【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．    5．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（1）如图1，，射线在这个角的内部，点分别在的边上，且于点于点．求证：； （2）如图2，点分别在的边上，点都在内部的射线上，分别是的外角．已知，且，点是的中点，．求的长； （3）如图3，在中，，点在边上，点在线段上，点是的中点，，连接．若的面积为4，求的面积．    考点三 等腰三角形的判定与性质压轴 1．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在等腰中，，平分，平分，M、N分别为射线、上的动点，若，则的最小值为（    ）    A．7 B．6 C．5 D．10 2．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，点D是边上的动点，连接，以为边在的左下方作等边，连接，则点D在运动过程中，线段长度的最小值是 ．    3．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知点D为内一点，平分，，．若，则的长为 ． 4．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）已知中，，，为边上一点，点在延长线上，连接． (1)如图1，已知，，当时，求的面积； (2)如图2，过点作的垂线，分别交于点，过点作交于，连接，求的度数； (3)如图3，当点在上运动，且始终为时，过点作，垂足为，则的值是否发生改变？若不变，求出这个值；若发生改变，说明理由． 5．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）在等边中，点是边上的两个动点（不与重合），点在点的左侧，且 (1)若，则_______________； (2)在图1中，求证： (3)如图2，点在边上，，点为的中点，连接并延长交于点，连接．猜想的形状是_______________，并说明理由． 6．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“形似分割线”． 理解概念应用： (1)如图1，在中，，，请写出图中的“形似三角形”（写出两对即可）． (2)如图2，在中，为角平分线，，．求证：为的形似分割线． (3)在中，若，是的形似分割线，直接写出的度数． 考点四 轴对称中多结论问题 1．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，，为的角平分线．与相交于点F，平分，有下列四个结论：①；②；③；④若，．其中正确的是（　　） A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 2．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，、分别是高、角平分线，为线段上的一个动点（不与、重合），与交于点，给出下列四个说法： ①若点为线段的中点，则； ②若等于，则等于； ③当时，； ④当时，，其中正确的说法的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（23-24八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在中，延长到点，延长到点．的角平分线交于点，过点分别作，垂足为，则下列结论正确的有（    ） ①平分；②；③；④．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，是的角平分线，延长至E，使得，连接．下列判断：①；②；③平分；④，不一定成立的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）已知：如图，在中，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接，以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中结论正确的个数是（  ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 考点五 勾股定理解三角形压轴题 1．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，过点A作的垂线交于点D，平分交于点E．若，则的长为（    ）    A．3 B．4 C． D． 2．（23-24八年级上·江苏南京·期中）解决问题常常需要最近联想，迁移经验，例如研究直角三角形边的关系时需要想到…… 【经验积累】 （1）如图①，中，，，则与的数量关系为_____．    【问题解决】用问题（1）中结论解决以下问题    （2）如图②，中，，，，求的长； （3）如图③，中，，，，，求长； 【拓展提升】 （4）如图④，中，，，，，，则______．    3．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验． 【初步感知】数学课上，同学们用纸片进行折纸操作． 如图①，在中，，，．将沿着翻折，使点A落在AB边上的处，且，则______，______． 【方法探索】折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法． 小明遇到这样一个问题：如图②，在中，，，平分，求证：．小明的思路如下：如图③，将沿翻折，使点落在边上的处，连接， （1）请完成小明的证明过程； （2）如图④，是边上的高线，其他条件不变，请你用刚刚获得的方法探索、、之间的数量关系，并直接写出它们之间的数量关系______． 【思维拓展】 如图⑤，在中，，，，、是边上的点，连接、，先将边沿折叠，使点的对称点落在边上：再将边沿折叠，使点的对称点落在的延长线上，则线段的长为______． 考点六 勾股定理中的折叠问题 1．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． (1)【初步尝试】如图1，已知中，，，，P为上一点，当__________时，与为积等三角形； (2)【理解运用】如图2，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长； (3)【综合应用】如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为中点．请根据上述条件，回答以下问题． ①的度数为__________°． ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． 2．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知矩形，，，点P是射线上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． (1)当点Q落在边上时， ； (2)当直线经过点D时，求的长； (3)如图2，点M是的中点，连接、． ①的最小值为 ； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 3．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）在中，点是上一点，将沿翻折后得到，边交线段于点． (1)如图1，当，时． 和有怎样的位置关系，为什么？ 若，，求线段的长． (2)如图2，若，折叠后要使和，这两个三角形其中一个是直角三角形而另一个是等腰三角形．求此时的度数． 4．（23-24八年级上·江苏南京·期中）在中，，D是边上的一个动点，把沿折叠得，点B的对应点为． (1) ______． (2)若点恰好落在的边上，求的长； (3)若点落在外，且，则______． 5．（23-24八年级上·四川成都·期中）（1）在中，，，过点作直线的垂线，垂足为． （i）如图1，若，求线段的长； （ii）若，求线段的长． （2）如图2，在中，，过点作直线的垂线，交线段于点．将沿直线翻折后得到对应的，连接，若，求线段的长． 6．（23-24八年级下·山东淄博·期中）在四边形中，． (1)若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长； (2)如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长． 考点七 最短路径求最值 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 与点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿长方体的表面从点A爬行到点B，需要爬行的最短距离是（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处所走的最短路程为 cm．（杯壁厚度不计） 3．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，、是公路同侧的两个村庄，村到公路的距离，村到公路的距离，且．用尺规作图（不写作法．保留作图痕迹）并计算：        (1)为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．在图1中作出点P的位置，并求得点P距点C的距离 km； (2)为了方便运输两村的垃圾，现计划在公路边建一个垃圾中转站M，要求该垃圾中转站到村庄A、B的距离之和最小．在图2中作出点M的位置，并求得距离之和的最小值为 km． 4．（23-24八年级下·山东德州·期末）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 【思想应用】 （1）已知a，b均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小军想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设，． ①用含a的代数式表示________，用含b的代数式表示________． ②据此写出的最小值：________． 【类比应用】 （2）根据上述方法，求代数式的最小值． 5．（23-24七年级下·广东深圳·期末）【问题背景】如图1，深圳市洪湖公园内有一大湖，湖心有一人造小岛，那是鸟儿们的乐园，湖四周各有一条步道．为了提升公园内人与自然的和谐品质，尽量避免人类活动影响鸟类生活，现对步道进行升级改造，要求步道离小岛至少40米．为了测得步道离岛的距离，施工人员计划实施如下方案：如图2，记小岛为点P，首先在笔直的步道上找一处A（），一工人沿步道从点A出发直走80米到达B处，又继续前行80米到达点C处，接着从C处沿与步道垂直的方向行走，当到达D处时，P、B、D刚好在同一直线上，最后工人测得的长为75米． 请根据以上信息，回答下面的问题： 【问题探究】 （1）求小岛离步道的垂直距离． 【问题拓展】 （2）在第（1）问的条件下，如图3，有相邻的另一条笔直步道，小岛P到的距离米，点A到的距离米，在之间有一任意点E，当的最小值为100米时， ① 米（直接写出结果）．②为了避免人类活动影响鸟类生活，请问步道是否符合要求？请用学过的数学知识说明原因． 【方法迁移】 （3）若将x，，2，2分别看作四条线段的长，结合图2，构造适当的几何图形求代数式的最小值为 （直接写出）． 考点八 实数的综合 1．（23-24七年级下·安徽六安·期中）定义为不超过的最大整数，如，对于任意实数，下列式子中正确的是（    ） A． B． C．（为整数） D． 2．（23-24七年级下·江苏南通·期中）对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，例如已知，．若实数a满足，则实数a的取值范围是 3．（23-24七年级下·河南信阳·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 3．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）探究发散： (1)完成下列填空 ①______，②______，③______， ④______，⑤______，⑥______； (2)计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：_____________________ (3)利用你总结的规律，计算：若，则______； (4)有理数在数轴上的位置如图．    化简：． 4、（23-24七年级下·福建龙岩·期中）新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． (3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 考点九 图形几何中的动点问题 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒． (1)出发2秒后，求的周长． (2)问为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 2．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，中，，，，是从点出发的动点，沿着在三角形边上运动，速度为每秒．设点的运动时间为秒． (1)当P点运动到中点时， 秒； (2)当点在上运动时， cm；（用含t的代数式表示） (3)若存在某一时刻，使得时间为秒时的面积与时间为秒时的面积相等，求出此时的值； (4)点P运动多少秒时，为等腰三角形（直接写出答案）． 3．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，中，，，，若动点从点出发，沿着的三条边顺时针走一圈回到点，且速度为每秒，设出发的时间为秒． (1)当为几秒时，平分； (2)问为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点开始，沿着的三条边逆时针走方向运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当______s时，直线把的周长分成相等的两部分？ 考点十 江苏各市八年级上学期期中压轴题 1．（23-24八年级上·江苏南京·期中）【概念认识】 定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． 【概念运用】 （1）如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，，两点均在格点上，线段上的8个格点中，是，两点的勾股点的有 　 　个． （2）如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． 【拓展提升】 （3）如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当是任意两个顶点的强勾股点时，直接写出的长． 2．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，等边中，于点，为线段上一动点不与、重合，连接、，将绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接交于，连接． ①直接写出的度数为______； ②求证：是的垂直平分线． (3)动点从点出发，以每秒个单位的速度沿方向运动，当到达点时，立即以每秒个单位的速度沿方向运动，当点到达点时运动停止．为使能最短时间到达处，若，运动所需的总时间为，直接写出的最小值是多少，并标出此时的位置，用表示． 3．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）已知：如图，在中，，，，动点从点出发，按的路径，以的速度运动，设运动的时间为秒．    (1)当时，求的面积； (2)为何值时，线段是的平分线？ (3)请利用备用图2继续探索，当为______时，是以为腰的等腰三角形．(直接写出结果) 4．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）【教材重现】教材第69页“数学活动”栏目的主题是“折纸与证明”，该栏目强调：“折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法”．例如，在中，（如图1）．求证：． 我们可以通过折叠来证明．将沿的平分线翻折，因为，所以点C落在上的点处（如图2），于是，由，，可得． 小明在学习完这一段内容，对该内容中的结论和方法分别作如下反思和应用． 【反思应用1】小明类比“等边对等角”，将上面的结论概括为“大边对大角”，请你和小明一起利用这一结论解答下面这个问题： （1）如图3，在四边形中，四边都不相等，且边最大，边最小．求证：； 【反思应用2】小明觉得折纸活动其实就是翻折变换，应用翻折变换确实可以将试题中的信息进行重新组合，进而易于找到问题解决的突破口，请解决下面的问题： （2）如图4，在中，，，，． ①求的长； ②点M、N分别是边、上的动点，连接、，请直接写出的最小值． 5．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）在中，，，点为边上一动点，连接．    (1)边上的高的长度为 ； (2)如图1，若点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，设运动时间为秒．是否存在值，使得为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，把沿着直线翻折，点的对应点为点，交边于点，当时，求的长度． 6．（23-24八年级上·江苏常州·期中）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【思想应用】已知m，n均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设，． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ； ②据此写出的最小值 ； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ； (3)【拓展应用】①已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积 ． 7．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知中，，是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)出发2秒后，求的面积； (2)当点Q在边上运动时，求能使成为直角三角形的运动时间． (3)当两点其中有一点落在某内角的角平分线上时，请直接写出满足条件的t的值． 8．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．小聪在学习过程中，遇到这样一个问题：如图，中，，求边上的中线的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决办法：延长到点E，使．请根据小聪的方法解决以下问题： （1）求得的取值范围是___________； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题 如图，已知，，P为的中点． （2）如图1，若A，C，D共线，，，求四边形的面积； （3）如图2，若A，C，D不共线，，求证：； （4）如图3，若点C在上，记锐角，且，则的度数是______．（用含α的代数式表示） 9．（23-24八年级上·江苏南京·期中）【了解概念】 如图1，已知A，B为直线同侧的两点，连接，，若，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”． 【理解运用】 （1）如图2，在中，D为上一点，E关于直线对称，连接并延长至点F，判断点B是否为点D、F关于直线的“等角点”，并说明理由； 【拓展提升】 （2）如图2，在（1）的条件下，若点Q是射线EF上一点，且点D、Q关于直线的“等角点”为点C，请利用无刻度的直尺和圆规在图2中确定点Q的位置； （3）如图3，在中，，的平分线交于点O，点O到的距离为2，直线l垂直平分边，点P为O，B关于直线l“等角点”，连接，，当时，的值为 ． 10．（23-24八年级上·江苏南京·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型理解】 （1）如图①，，共顶点A，，，，连．由，得．又，，可以推理得到，进而得到______，______． 【问题研究】 （2）小明同学在思考完上述问题后，解决了下面的尺规作图问题． 如图②，已知直线a、b及点P，a与b不平行．作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上．    小明同学作法简述如下：如图③，过点P作，垂足为点D，以P为直角顶点作等腰直角三角形，过点E作，交b于点B，在a上截取，连．即为所要求作的等腰直角三角形． 请证明小明的作法是正确的． 【深入研究】 小明同学经过研究发现：在上题条件下，也能作出等边，使得点A、B分别在直线a、b上． （3）请你简述作法，并在图④中画出示意图．（不需要尺规作图）    11．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，．点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以2单位/秒和3单位/秒的速度同时开始运动，运动时间为秒；在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止． (1)点在边上时，_____；点在边上时，_____；（用含的代数式表示）； (2)若点是的中点，是以为腰的等腰三角形，求运动时间的值； (3)分别过和作于点，于点，当与全等时，求运动时间的值． 12．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）若和均为等腰三角形，且，当和互余时，称与互为“底余等腰三角形”， 的边上的高叫做的“余高”．如图，与互为“底余等腰三角形”．    (1)若连接，，判断与是否互为“底余等腰三角形”，并说明理由． (2)当时，若的“余高” ，则______； (3)当时，判断与之间的数量关系，并说明理由． 13．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若， ，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考：    （1）由已知和作图能得到，依据是___________． A．SSS    B．ASA    C．AAS    D．SAS （2）由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【初步运用】 （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 【灵活运用】 （4）如图3，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接，试猜想线段，，三者之间的等量关系，并证明你的结论． 14．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图1，中，，BD平分，于点B．动点P从点D出发沿线段DB以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发沿射线BE以每秒4个单位的速度运动，运动时间为t秒，当点P到达点B时，P、Q同时停止运动． (1)求证：； (2)若是直角三角形，求t的值． (3)若，则t的值为______（直接写出答案，不要求书写求解过程）． 15．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）【情境建模】（1）苏科版教材八年级上册第60页，研究了等腰三角形的轴对称性，我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”． 小明尝试着逆向思考：若三角形一个角的平分线与这个角对边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形．即如图1，已知，点D在的边上，平分，且，求证：．请你帮助小明完成证明； 请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题： 【理解内化】（2）①如图2，在中，是角平分线，过点B作的垂线交、于点E、F，．求证：； ②如图3，在四边形中，，平分，当的面积最大时，请直接写出此时的长． 【拓展应用】（3）如图4，是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中，，，该绿化带中修建了健身步道，其中入口M、N分别在上，步道分别平分和，，．现要用围挡完全封闭区域，修建地下排水和地上公益广告等设施，试求需要围挡多少m？（步道宽度和接头忽略不计） 16．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 17．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）（1）下面是小李探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是3的正方形的边长是，且． 设，可画出如下示意图．由面积公式，可得． 当足够小时，略去，得方程 ，解得 ，即 ． （2）仿照上述方法，若设，求的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出的近似值） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷压轴60题（10个考点专练） 【含江苏各市八年级上学期期中压轴题】 考点一 全等三角形的判定与性质压轴题 1．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，在和中，，过作，垂足为交的延长线于点，连接．四边形的面积为，则的长是（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识．过点作于，证，得，再证，同理，得，进而得到的长． 【详解】解：过点作于，如图所示： 在和中， ， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， 同理：， ∴， ∵， ， ， ∴， 解得：； 故选：A． 2．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，四边形中，，，，则是 三角形；若，，，则的长为 ． 【答案】 等边 【分析】设交于点，则，证明是等边三角形，则有，在上截取，连接，所以是等边三角形，根据性质得，，则，然后证明，再根据全等三角形的性质和线段和差即可求解． 【详解】解：设交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：等边，． 【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出所需要的辅助线，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 3．（23-24八年级上·江苏南京·期中）（1）【旧题重现】《学习与评价》有这样一道习题： 如图①，、分别是和的、边上的中线，，，．求证：． 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． （2）【深入研究】 如图②，、分别是和的、边上的中线，，，．判断与是否仍然全等． 【答案】（1）见解析（2）和仍然全等，理由见解析 【分析】（1）根据中点可得，运用“边边边”可证，可得，在运用“边角边”可证； （2）延长至，使，连接，延长至，使，连接， 可得，，可证，同理可证，由此即可求证． 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握中点的运用，倍长中线的运用，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：（1）证明：是的中线， ， 分别是的中线， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：①；②；③；④； （2）解：和仍然全等，理由如下： 延长至，使，连接，延长至，使，连接， 和分别是和的和边上的中线， ，． 在和中， ， ， ，， 同理，， ， ， ，，， ， ， ， ，， ， ， 又，， ∴． 4．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的面积，解决问题的关键是理解全等三角形的面积相等，三角形的中线将原三角形分成两个面积相等的三角形； （1）由是的中点得，再根据得，，由此可得出结论； （2）由（1）的结论得，由此可证和全等，则，进而得，根据是边上的中线得，则，然后求出的面积可得四边形的面积． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ， ，， 在和中， ， ； （2）解：由（1）可知：， ， 是边上的中线， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 5．（23-24八年级上·江苏南通·期中）（1）如图1，与均是顶角为的等腰三角形，分别是底边，求证：； （2）如图2，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接． 填空：的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ． （3）拓展探究 如图3，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接．请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由．    【答案】（1）见解析；（2）度，相等；（3） 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出． （2）由题意得，据此判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，进而判断出的度数为即可． （3）由题意得，据此判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出BE＝AD，，进而判断出的度数为即可；最后根据，可得，所以，据此判断出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 又∵ ∴ ∴． （2）解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：度，相等． （3）解：∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 考点二 全等三角形各类模型压轴题 1．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，已知是的平分线，，若，则的面积（    ）    A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】延长交于点C，根据题意，易证，因为和同高等底，所以面积相等，根据等量代换便可得出． 【详解】如图所示，延长，交于点D，   ， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴, ∴， ∵和同底等高， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和全等三角形的判定． 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，直线经过点，且、，垂足分别为，则之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，证明即可． 【详解】解：∵、， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 即， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是______________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可； （2）延长到，使得，连接，由（1）的结论以及已知条件证明，进而可得，由，即可求得与的数量关系； （3），取中点，连接并延长至点，使得，连接和，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1所示，延长到点，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：． （2），理由： 如图2，延长到，使得，连接， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵，即， 又∵， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）证明：如图所示，取中点，连接并延长至点，使得，连接和， ∵为中点， 为三等分点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴, 同理可得: , ∴， 此时, 延长交于 点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．    【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．    【答案】【问题背景】，理由见详解；【初步探索】；【探索延伸】仍然成立，理由见详解；【结论运用】 【问题背景】将绕点逆时针旋转得，与重合，可证点共线，可证，，由此即可求证；【初步探索】根据作图可证，再证即可；【探索延伸】证明方法与“初步探索”的证明方法相同；【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，证明，，由此即可求解． 【详解】解：【问题背景】，理由如下， 如图所示，    ∵，， ∴将绕点逆时针旋转得，与重合， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴点共线， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【初步探索】根据题意，，延长至点， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【探索延伸】仍然成立，理由如下， 如图所示，延长至点，使得，    ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 在中， ， ∴， ∴，且， ∴； 【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，    根据题意可得，，，，， ∴在中，，，则， ∴， ∵， ∴， ∵舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙以海里/小时的速度前进，形式小时， ∴（海里），（海里）， 如图所示，延长至点，使得，则，    在中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在中， ， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴此时两舰艇之间的距离为海里， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查四边形的综合，全等三角形的判定和性质的综合，方位角的运用，理解图示，掌握全等三角形的判定和性质是解题的的关键． 5．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（1）如图1，，射线在这个角的内部，点分别在的边上，且于点于点．求证：； （2）如图2，点分别在的边上，点都在内部的射线上，分别是的外角．已知，且，点是的中点，．求的长； （3）如图3，在中，，点在边上，点在线段上，点是的中点，，连接．若的面积为4，求的面积．    【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）的面积为8 【分析】（1）利用等角的余角相等得到，证明，推出，，即可证明结论成立； （2）利用三角形的外角性质求得，，证明，推出，，据此求解即可； （3）过点作垂足为，过点作垂足为，得到，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图，    ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵，，，， ∴，， 在和中，， ∴， ∴，， ∵点是的中点，， ∴，    ∴； （3）解：过点作垂足为，过点作垂足为，    由（2）得， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为8． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． 考点三 等腰三角形的判定与性质压轴 1．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在等腰中，，平分，平分，M、N分别为射线、上的动点，若，则的最小值为（    ）    A．7 B．6 C．5 D．10 【答案】C 【分析】过点C作，交的延长线于点F，则的最小值为．延长两线交于点G，证明，，根据全等三角形的性质，得到． 【详解】过点C作，交的延长线于点F，则的最小值为，    延长两线交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴的最小值为5， 故选D． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定性质，垂线段最短原理，熟练掌握三角形全等的判定和性质，垂线段最短原理是解题的关键． 2．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，点D是边上的动点，连接，以为边在的左下方作等边，连接，则点D在运动过程中，线段长度的最小值是 ．    【答案】3 【分析】如图，取的中点Q，连接，由，推出，推出当时，最小，此时的值最小． 【详解】解：如图， 取的中点Q，连接，    ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，最小，此时的值最小， 在中，∵， ∴， ∴的最小值为3． 故答案为：3 【点睛】本题旋转的性质，考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 3．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知点D为内一点，平分，，．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，勾股定理，延长与交于点E，由题意可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形，可推出，根据，即可推出的长度． 【详解】解：延长与交于点E， ， ， ， ， 平分， ， ， 为等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）已知中，，，为边上一点，点在延长线上，连接． (1)如图1，已知，，当时，求的面积； (2)如图2，过点作的垂线，分别交于点，过点作交于，连接，求的度数； (3)如图3，当点在上运动，且始终为时，过点作，垂足为，则的值是否发生改变？若不变，求出这个值；若发生改变，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不发生改变，2 【分析】（1）由，，可得，由，可得，计算求解即可； （2）由，可得，由三角形内角和定理，对顶角相等可得，证明，则，进而可得是等腰直角三角形，； （3）如图，作交于点，同理（2）可证，，则，是等腰直角三角形，是的中点，，由，进而可求得，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ； （3）解：如图，作交于点， 同理（2）可证，， ∴，是等腰直角三角形， ∵， ∴是的中点， ∴， ∴ ， ∴ ∴的值不发生改变，值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，中线与面积，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，中线与面积，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 5．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）在等边中，点是边上的两个动点（不与重合），点在点的左侧，且 (1)若，则_______________； (2)在图1中，求证： (3)如图2，点在边上，，点为的中点，连接并延长交于点，连接．猜想的形状是_______________，并说明理由． 【答案】(1)85 (2)证明见解析 (3)是等边三角形，理由见解析 【分析】（1）由是等边三角形，得到，由外角的性质得到，由，得到是等腰三角形，即可得到结论； （2）证明，则，，即可得到结论； （3）连接，先证明是等边三角形，再证明，最后证明，则，得到，则，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， 故答案为：85； （2）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）是等边三角形， 证明：连接， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 6．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“形似分割线”． 理解概念应用： (1)如图1，在中，，，请写出图中的“形似三角形”（写出两对即可）． (2)如图2，在中，为角平分线，，．求证：为的形似分割线． (3)在中，若，是的形似分割线，直接写出的度数． 【答案】(1)与，与，与； (2)见解析； (3)或或或． 【分析】本题是三角形综合题，考查了“形似三角形”的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1） 根据“形似三角形”的定义进行解答即可； （2）根据题意证明为等腰三角形，的各个内角等于的各个内角即可证明结论； （3）分是等腰三角形：或；是等腰三角形：或；四种情况，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）解：与，与，与是“形似三角形”． （2）解：∵在中，，， ∴， ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵在中，，， ∴， ∴． ∵， ， ，， ∴为的形似分割线． （3）解：当是等腰三角形，时，如图： ∴， ∴， 当是等腰三角形，时，如图： ∴， ∵， ∴； 当是等腰三角形，的情况不存在； 当是等腰三角形，时，如图： ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 当是等腰三角形，时，如图： ， ∴， 当是等腰三角形，时不存在， 综上所述，的度数为或或或． 考点四 轴对称中多结论问题 1．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，，为的角平分线．与相交于点F，平分，有下列四个结论：①；②；③；④若，．其中正确的是（　　） A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据可对①进行判断；根据三角形全等的判定方法中必须有边的参与可对②进行判断；根据“”证明可对③进行判断；根据等边三角形的判定及性质得出，利用证明△BDF≌△CEF可对④进行判断． 【详解】解：∵，为三角形ABC的角平分线， ∴， ∴，故①正确； 在和中，，但没有相等的边，则和不一定全等， ∴，故②错误； ∵， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 若， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中，， ∴，故④正确； 综上，正确的结论是①③④． 故选：C． 2．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，、分别是高、角平分线，为线段上的一个动点（不与、重合），与交于点，给出下列四个说法： ①若点为线段的中点，则； ②若等于，则等于； ③当时，； ④当时，，其中正确的说法的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由中线可知，进而可判断①的正误；由、分别是高、角平分线，可得，，当时，，由，可知此时无法求解，进而可判断②的正误；由题意知，，，由，可得，即是的平分线，由题意知，，进而可判断③的正误；如图，记的交点为，则，即，由是角平分线，可证是等腰三角形，则，，进而可判断④的正误． 【详解】解：由题意知，当点为线段的中点，，①正确，故符合要求； ∵、分别是高、角平分线， ∴，， 当时，， ∴，此时无法求解，②错误，故不符合要求； 由题意知，，， ∵， ∴，即， ∴是的平分线， 由题意知，， ∴，③正确，故符合要求； 如图，记的交点为， ∵，，， ∴，即， ∵是角平分线， ∴是等腰三角形， ∴， ∴，④正确，故符合要求； 故选：B． 【点睛】本题考查了中线与面积，角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质等知识．熟练掌握中线与面积，角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 3．（23-24八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在中，延长到点，延长到点．的角平分线交于点，过点分别作，垂足为，则下列结论正确的有（    ） ①平分；②；③；④．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①过点作于点，根据角平分线的性质推出即可进行判断；②证，即可进行判断；③根据“平分，平分” 即可进行判断；④由②中全等三角形的性质即可进行判断． 【详解】解：①如图，过点作于点， ∵的平分线交于点P，，，， ，， ， ∴，， ∴平分，故①正确； ②，， ， ， 在和中， ， ， 同理：， ， ， ，故②正确；    ③平分，平分， ，， ，③正确； ④由②可知，， ，， ，故④正确． 综上分析可知，正确的有4个，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义及性质、全等三角形的判断及性质，三角形外角的性质，四边形内角和定理等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，是的角平分线，延长至E，使得，连接．下列判断：①；②；③平分；④，不一定成立的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】如图，延长交于，是等腰三角形，则是线段的垂直平分线，是边上的中线，即，进而可判断①；由中线可知为中线交点，则，进而可判断②；是边上中线的一部分，则与不一定相等，进而可判断③；由，即，进而可判断④． 【详解】解：如图，延长交于， ∵， ∴，即是等腰三角形， ∵是的角平分线， ∴是线段的垂直平分线，是边上的中线， ∴，①一定成立，故不符合要求； ∵是底边上的中线， ∴为中线交点，则，②一定成立，故不符合要求； ∴是边上中线的一部分， ∴与不一定相等，即不一定平分；③不一定成立，故符合要求； ∵，， ∴，即，④一定成立，故不符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，中线的性质，角平分线等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 5．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）已知：如图，在中，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接，以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中结论正确的个数是（  ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】①由，利用等式的性质得到夹角相等，证明，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；②由，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；④利用周角减去两个直角可得答案；⑤由同底不等高可得两个三角形面积不相等；⑥求得，可得结论正确． 【详解】解：①∵， ∴，即， ∵在和中， ， ∴， ∴，本选项正确； ②∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，本选项正确；    ③∵， ∴， ∴， 则，本选项正确； ④∵， ∴，故此选项正确， ⑤过A作于H， 由图可得不一定等于， ∴不一定等于， ∴不一定等于，本选项错误；    ⑥∵， ∴， ∴，本选项正确； 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定方法有：． 考点五 勾股定理解三角形压轴题 1．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，过点A作的垂线交于点D，平分交于点E．若，则的长为（    ）    A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】过点A作于点G，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理计算即可． 【详解】过点A作于点G，    ∵， ∴， ∴， ∴； ∵,， ∴，， ∵平分, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形的特征，角的平分线的意义，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的特征，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键． 2．（23-24八年级上·江苏南京·期中）解决问题常常需要最近联想，迁移经验，例如研究直角三角形边的关系时需要想到…… 【经验积累】 （1）如图①，中，，，则与的数量关系为_____．    【问题解决】用问题（1）中结论解决以下问题    （2）如图②，中，，，，求的长； （3）如图③，中，，，，，求长； 【拓展提升】 （4）如图④，中，，，，，，则______．    【答案】（1）；（2）；（3）；（4）10 【分析】（1）由含角的直角三角形的性质可得出答案； （2）由含角的直角三角形的性质求出，由勾股定理，则，再利用勾股定理可得出答案； （3）设，含角的直角三角形的性质得，由，，可知，进而可知，结合，求出即可得出答案； （4）过点作，使得，得等腰直角，证明，由全等三角形的性质得出，，由三角形的外角的性质得，求得，延长交于，证出，由勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：； （2）过点A作于D，则，    中，∵，， ∴ 则： 中， ∴ （3）设， ∵， ，则， ∴则， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴．    （4）如图所示，过点C作，使得，得等腰直角，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 三角形的外角的性质可得： ， 延长交于，，    则，在中，，， ∴，则， ∵， ∴， 中，， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，勾股定理，熟记直角三角形的性质及三角形全等的判定方法是解题的关键． 3．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验． 【初步感知】数学课上，同学们用纸片进行折纸操作． 如图①，在中，，，．将沿着翻折，使点A落在AB边上的处，且，则______，______． 【方法探索】折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法． 小明遇到这样一个问题：如图②，在中，，，平分，求证：．小明的思路如下：如图③，将沿翻折，使点落在边上的处，连接， （1）请完成小明的证明过程； （2）如图④，是边上的高线，其他条件不变，请你用刚刚获得的方法探索、、之间的数量关系，并直接写出它们之间的数量关系______． 【思维拓展】 如图⑤，在中，，，，、是边上的点，连接、，先将边沿折叠，使点的对称点落在边上：再将边沿折叠，使点的对称点落在的延长线上，则线段的长为______． 【答案】[初步感知]，； [方法探索]（1）见证明：（2）． [思维拓展]． 【分析】[初步感知]根据轴对称的性质即可求得，，进一步即可求得，； [方法探索]（1）由，，得，由翻折得，，，则，所以，于是； （2）按照（1）的解题思路求得即可； [思维拓展]由和关于对称，和关于对称，可以推出是等腰直角三角形，由勾股定理，三角形面积公式可求出，长，从而可以解决问题． 【详解】[初步感知] 解：将沿着翻折，使点落在边上的处，且，则，， ，， 故答案为：，； [方法探索] （1）证明：如图③，将 沿翻折，使点落在边上的处， 由翻折得，，， ，， ， ， ， ， ， ． （2）证明：如图④， 由翻折得，，， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 思维拓展 解：由题意可知：和关于对称，和关于对称， ，，，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 考点六 勾股定理中的折叠问题 1．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． (1)【初步尝试】如图1，已知中，，，，P为上一点，当__________时，与为积等三角形； (2)【理解运用】如图2，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长； (3)【综合应用】如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为中点．请根据上述条件，回答以下问题． ①的度数为__________°． ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． 【答案】(1)3 (2)2或3 (3)①；②，理由见解析 【分析】（1）求出，根据新定义“积等三角形”可得出答案； （2）延长至，使，连接，证明，得出，根据三角形三边关系可得出答案； （3）①由周角的定义可得出答案； ②延长至，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出 ，证明， 由全等三角形的性质得出，则可得出结论. 【详解】（1）如图中，在上截取， 中，， ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵与不全等， ∴与为积等三角形， 当时，与为积等三角形． （2）解：如图，延长至E，使，连接， ∵与为积等三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵为正整数， ∴或3， ∴的长为2或3． （3）①∵， ∴． ②，理由如下：延长至G，使，连接，如图所示： ∵F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由①得：， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，勾股定理，直角三角形的性质，倍长中线的问题，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形. 2．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知矩形，，，点P是射线上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． (1)当点Q落在边上时， ； (2)当直线经过点D时，求的长； (3)如图2，点M是的中点，连接、． ①的最小值为 ； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可； （2）分点在线段上，点在线段的延长线上，两种情况，进行讨论求解； （3）①连接，勾股定理求出的长，折叠求出的长，根据，求出最小值即可； ②分和两种情况，再分点在线段上，点在线段的延长线上，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当点Q落在边上时，如图所示， ∵矩形，，， ∴，， ∵翻折， ∴， ∴， 在中，； 故答案为：； （2）当直线经过点D时，分两种情况： 当点在线段上时，如图： ∵翻折， ∴，，， ∴， ∴， 设，则：，， 在中，，即：， ∴； ∴； ②当在线段的延长线上时： ∵翻折， ∴，， ∴， 设，则：，， 在中，，即：， ∴； ∴； 综上：或； （3）①连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最小， 即：； 故答案为：； ②当时，如图： ∵翻折， ∴， 设，则：， 在中，，即：， 解得：， 即：； 当，点在线段上时，如图： ∵，， ∴， ∴，点在上， 由（1）知：， ∴， ∴； 当点在的延长线上时：如图：此时点在上，连接， ∵翻折， ∴， ∵， ∴； 综上：或或． 【点睛】本题考查折叠问题，全的三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，综合性强，难度大，属于压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 3．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）在中，点是上一点，将沿翻折后得到，边交线段于点． (1)如图1，当，时． 和有怎样的位置关系，为什么？ 若，，求线段的长． (2)如图2，若，折叠后要使和，这两个三角形其中一个是直角三角形而另一个是等腰三角形．求此时的度数． 【答案】(1)，见解析； (2)的值为 【分析】（1）由折叠可知，，由平行可知，，根据三角形内角和得到，再由，利用等量代换可求，即可求解； 设，则，在Rt中，，解得：，设，由折叠可知，，则，在Rt中，，解得：，即可求解； （2）设，则，当时，；当时，当时，，不符合题意，舍去；当时，，；当时，，；当时此时，，不成立；当时，此时不成立；当时，此时不成立；当时，当时，此时不成立；当时，；当时，此时不成立． 【详解】（1）解：，理由如下： 由折叠可知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 设，则， 由折叠可知，， 在Rt中，， ，解得：， ， 设，由折叠可知，，则， 在Rt中，， ，解得：， 即； （2）解：， 设，则， 由折叠可知，， 当时，是直角三角形则是等腰三角形， ， ； 当时，是直角三角形，则是等腰三角形， ， ， 当时，，此时，不符合题意，舍去； 当时，，此时，所以； 当时，，此时，所以； 当时此时，，不成立； 当时，是直角三角形，此时不能是等腰三角形，否则与边没有交点； 当时，是直角三角形，则是等腰三角形，所以，所以；此时，与题意不符合，不成立； 当时，是直角三角形，则是等腰三角形，所以，所以， 当时，，此时，不成立； 当时，，此时，所以； 当时，，此时，不成立． 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握图形旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键． 4．（23-24八年级上·江苏南京·期中）在中，，D是边上的一个动点，把沿折叠得，点B的对应点为． (1) ______． (2)若点恰好落在的边上，求的长； (3)若点落在外，且，则______． 【答案】(1)5 (2)的长为或 (3) 【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论； （2）分当点恰好落在的边上时和当点恰好落在的边上时，情况讨论结合三角形面积公式和勾股定理即可得到解答； （3）如图3，过点C作于H，如图4，过点C作于H，根据等腰直角三角形的判定和性质，以及勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）在中，， ∴， 故答案为：5； （2）当点恰好落在的边上时， 如图1， 则， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点恰好落在的边上时， 如图2， 过点D作于点E，于点F， ∵把沿折叠得， ∴， ∴与是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （3）如图3，过点C作于H， 由（2）知，， ∵， ∴， ∵把沿折叠得， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 如图4，过点C作于H， 由（2）知，， ∵， ∴， ∵把沿折叠得， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴（不和题意舍去）， 综上所述，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理和折叠的性质，正确的作出图形是解决本题的关键． 5．（23-24八年级上·四川成都·期中）（1）在中，，，过点作直线的垂线，垂足为． （i）如图1，若，求线段的长； （ii）若，求线段的长． （2）如图2，在中，，过点作直线的垂线，交线段于点．将沿直线翻折后得到对应的，连接，若，求线段的长． 【答案】（1）（i）12；（ii）14或4；（2）． 【分析】此题考查了勾股定理、折叠问题等知识． （1）（i）设，则，利用勾股定理得到，则，求出，则； （i）分为锐角和钝角两种情况进行解答即可； （2）连接交于点，则，过点作于，在中，，在中，，根据折叠得到，设，则，由勾股定理得到，求出，进一步由勾股定理进行解答即可． 【详解】解：（1）（i）设，则， ， ， 在中，， 在中，， ， ，， ， ， ， ； （i）在中，， 在中，， 当为锐角时，如图，， 当为钝角时，如图，； （2）如图2，连接交于点，则，过点作于， 在中， 在中， 垂直平分， ∴ ， ， ， 设，则 ， ， ， 6．（23-24八年级下·山东淄博·期中）在四边形中，． (1)若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长； (2)如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)5 (2)或 【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理： （1）设，则，根据图形折叠的性质可知，，根据勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时． 【详解】（1）解：设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，． 在中，． 则． 在中，， 即． 解得． 即； （2）解：①如图所示，当点在线段上时． 设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，，． 在中 ． 则． 在中 ，即 解得． 即． ②如图所示，当点在线段的延长线上时． 根据图形折叠的性质可知． ∵， ∴． ∴． ∴． 在中 ． ∴． 综上所述，或． 考点七 最短路径求最值 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 与点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿长方体的表面从点A爬行到点B，需要爬行的最短距离是（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】B 【分析】本题主要考查两点之间线段最短，勾股定理，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； ， 蚂蚁爬行的最短距离是25， 故选：B． 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处所走的最短路程为 cm．（杯壁厚度不计） 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开—最短路径问题、轴对称的性质、勾股定理等知识点．将杯子半侧面展开，作A关于的对称点，再根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图：将杯子半侧面展开，作A关于的对称点，连接，当点、F、B在同一条直线上，则为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即的长度，    由题意可得：，，， ∴， ∵． ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，、是公路同侧的两个村庄，村到公路的距离，村到公路的距离，且．用尺规作图（不写作法．保留作图痕迹）并计算：        (1)为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．在图1中作出点P的位置，并求得点P距点C的距离 km； (2)为了方便运输两村的垃圾，现计划在公路边建一个垃圾中转站M，要求该垃圾中转站到村庄A、B的距离之和最小．在图2中作出点M的位置，并求得距离之和的最小值为 km． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析；5 【分析】本题考查作图应用与设计作图，设计勾股定理及应用，一元一次方程的应用等． （1）连接，作的垂直平分线交于，点即为所求；设，可得，即可解得的长； （2）作关于直线的对称点，连接交直线于，此时，因，，共线，故最小，点即为所求；过作交延长线于，求出，，得，用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：连接，作的垂直平分线交于，如图： 点即为所求； 设，则， ， ， ， 解得， ， 故答案为：； （2）解：作关于直线的对称点，连接交直线于，此时，因，，共线，故最小，如图： 点即为所求； 过作交延长线于，则四边形是矩形， ，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：5． 4．（23-24八年级下·山东德州·期末）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 【思想应用】 （1）已知a，b均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小军想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设，． ①用含a的代数式表示________，用含b的代数式表示________． ②据此写出的最小值：________． 【类比应用】 （2）根据上述方法，求代数式的最小值． 【答案】（1）①，；②；（2） 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，求解特定的代数式的最小值，矩形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． （1）①直接利用勾股定理列式表示即可；②由，而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交CA的延长线于H，，，证明四边形为矩形，再利用勾股定理求解即可； （2）如图，设，，，，则，表示，，而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交CA的延长线于H，，，证明四边形为矩形，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：①在中， ， ， 在中， ， ， ②，而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交CA的延长线于H，，，如图， ∴四边形ABDH为矩形， ∴， 在中， ， ， ∴的最小值为， 即的最小值为． 故答案为：①，；② （2）如图，设，，，，则， 在中，， 在中，， ， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交CA的延长线于H，， 如图， ∴四边形ABDH为矩形， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 即的最小值为． 5．（23-24七年级下·广东深圳·期末）【问题背景】如图1，深圳市洪湖公园内有一大湖，湖心有一人造小岛，那是鸟儿们的乐园，湖四周各有一条步道．为了提升公园内人与自然的和谐品质，尽量避免人类活动影响鸟类生活，现对步道进行升级改造，要求步道离小岛至少40米．为了测得步道离岛的距离，施工人员计划实施如下方案：如图2，记小岛为点P，首先在笔直的步道上找一处A（），一工人沿步道从点A出发直走80米到达B处，又继续前行80米到达点C处，接着从C处沿与步道垂直的方向行走，当到达D处时，P、B、D刚好在同一直线上，最后工人测得的长为75米． 请根据以上信息，回答下面的问题： 【问题探究】 （1）求小岛离步道的垂直距离． 【问题拓展】 （2）在第（1）问的条件下，如图3，有相邻的另一条笔直步道，小岛P到的距离米，点A到的距离米，在之间有一任意点E，当的最小值为100米时， ① 米（直接写出结果）．②为了避免人类活动影响鸟类生活，请问步道是否符合要求？请用学过的数学知识说明原因． 【方法迁移】 （3）若将x，，2，2分别看作四条线段的长，结合图2，构造适当的几何图形求代数式的最小值为 （直接写出）． 【答案】（1）75米；（2）①60米；②不符合，理由见解析；（3）5 【分析】本题考查三角形全等的应用，求最小距离，灵活构造几何图形，借助三角形全等、勾股定理是正确解决本题的关键． （1）根据题意，证明，即可得出结论； （2）①延长至Q，使米，连接．过Q作交AN的延长线于H，过P作于G，当A、Q、E三点共线时有最小值，利用勾股定理即可求出； ②由①可知，米，用勾股定理计算出米，，即可判断步道不符合要求； （3）将x，，2，2分别看作四条线段的长，结合图2，构造对应的几何图形即可求出代数式的最小值． 【详解】解：（1）由题可知，，， ， 又∵P、B、D三点在同一条直线上， ， 又米， ， 米 （2）①米 如图3，延长至Q，使米，连接． 过Q作交AN的延长线于H，过P作于G， ∵，即垂直平分， ， ， 当A、Q、E三点共线时有最小值， 即米 ∵， 即， ∴四边形和四边形均为长方形， 米，， ∴米 ∴在中，即米， 米， ②， ， 由①可知，米， ∴在中，， 米， 米， 米， ∴米， 显然，， ∴步道不符合要求． （3）由（2）同理可得，， 的最小值为5． 考点八 实数的综合 1．（23-24七年级下·安徽六安·期中）定义为不超过的最大整数，如，对于任意实数，下列式子中正确的是（    ） A． B． C．（为整数） D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了新定义运算、实数比较大小、一元一次不等式的应用，理解新定义是解题的关键．根据新定义为不超过的最大整数，逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，故选项A错误，不符合题意； 例如，，， ∵， ∴， ∴不成立，选项B错误，不符合题； 例如，，， ∴， ∴（为整数）不成立，选项C错误，不符合题； ∵为不超过的最大整数， ∴，选项D正确，符合题意． 故选：D． 2．（23-24七年级下·江苏南通·期中）对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，例如已知，．若实数a满足，则实数a的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，实数大小比较，理解表示不大于的最大整数是解题的关键． 由，知，据此可得，解之即可． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， 则． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·河南信阳·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 【答案】(1)①两；②9；③3；39 (2)①；②0.81 【分析】本题主要考查了立方根的概念的运用，解题关键在于比较立方根的大小． 通过比较立方根的大小，即可得出答案． 【详解】（1）解：①，，， ， 是两位数， 故答案为：两； ②的个位上的数是9，而， 个位上都是9， 的个位上的数是9， 故答案为9； ③，，， 的十位上的数是3， 又的个位上的数是9， ， 故答案为：3，39； （2）解：①的立方根是负数， ，，， ， 是两位数， ∵的前三位为117，后三位为649，，， ， 十位上的数为4， ∵的个位上的数是9，而， 个位上是9， ∴的立方根为49， ∴； ②∵， ∵，，， ， 是两位数， ∵的前三位为531，后三位为441，而， ∴， ∴十位数为8， ∵， ∴个位数是1， ∴531441的立方根为81， ∴， 故答案为：，0.81． 3．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）探究发散： (1)完成下列填空 ①______，②______，③______， ④______，⑤______，⑥______； (2)计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：_____________________ (3)利用你总结的规律，计算：若，则______； (4)有理数在数轴上的位置如图．    化简：． 【答案】(1)3，0.5，6，0，， (2)不一定，正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 (3) (4) 【分析】（1）根据数的算术平方根的计算可以求出各数的值； （2）结合（1）中计算可知不一定等于，并发现其中规律． （3）运用（2）得出的规律进行运算即可； （4）结合数轴可知，且，然后根据算术平方根的性质、相反数的性质以及绝对值的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：①，②，③， ④，⑤，⑥． 故答案为：3，0.5，6,0，，； （2）由（1）可知，不一定等于，可发现规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 故答案为：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数； （3）若，则， 所以． 故答案为：； （4）由在数轴上的位置可知， ，且， 所以 ． 【点睛】本题主要考查了算术平方根、有理数与数轴、相反数以及绝对值等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键． 4、（23-24七年级下·福建龙岩·期中）新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． (3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 【答案】(1)， (2)2或 (3) 【分析】（1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）根据“青一区间”的定义求出的值，再根据立方根的定义，进行求解即可； （3）利用非负性求出的值，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为； 故答案为：，； （2）∵无理数“青一区间”为， ∴， ∴，即， ∵无理数的“青一区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为2或． （3）∵ ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴的“青一区间”为． 【点睛】本题考查无理数的估算，非负性，求一个数的立方根．理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键． 考点九 图形几何中的动点问题 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒． (1)出发2秒后，求的周长． (2)问为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【答案】(1) (2)当为、、、时，为等腰三角形 (3)当为2或6秒时，直线把的周长分成相等的两部分 【分析】（1）根据速度为每秒，求出出发2秒后的长，然后就知的长，利用勾股定理求得的长，最后即可求得周长． （2）因为与，由勾股定理得 因为为，所以必须使，或，所以必须使或等于3，有两种情况，为等腰三角形． （3）分类讨论：当点在上，在上，则，，；当点在上，在上，则，，． 【详解】（1）解：如图1， 由，，， ，动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒， 出发2秒后，则， ， ， 的周长为：． （2）解：①如图2，若在边上时，， 此时用的时间为，为等腰三角形； ②若在边上时，有三种情况： 如图3，若使，此时，运动的路程为， 所以用的时间为，为等腰三角形； 如图4，若，过作斜边的高，根据面积法求得高为， 作于点， 在中，， 所以， 所以运动的路程为， 则用的时间为，为等腰三角形； ⅲ如图5，若，此时应该为斜边的中点，运动的路程为 则所用的时间为，为等腰三角形； 综上所述，当为、、、时，为等腰三角形 （3）解：如图6，当点在上，在上，则，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， ； 如图7，当点在上，在上，则，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， ， 当为2或6秒时，直线把的周长分成相等的两部分． 【点睛】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，勾股定理以及一元一次方程的应用等知识，此题涉及到了动点，对于初二学生来说是个难点，尤其是第（2）由两种情况，为等腰三角形，因此给这道题又增加了难度，因此这是一道难题． 2．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，中，，，，是从点出发的动点，沿着在三角形边上运动，速度为每秒．设点的运动时间为秒． (1)当P点运动到中点时， 秒； (2)当点在上运动时， cm；（用含t的代数式表示） (3)若存在某一时刻，使得时间为秒时的面积与时间为秒时的面积相等，求出此时的值； (4)点P运动多少秒时，为等腰三角形（直接写出答案）． 【答案】(1) (2) (3) (4)当或或18或19.5时，为等腰三角形． 【分析】（1）由勾股定理求出的长，则可得出答案； （2）由题意可得出答案； （3）由三角形公式得出，则可得出答案； （4）分三种情况如图1和2，当时，可以求出或，如图3，当时，作，于点，由等腰三角形的性质就可以得出是的中点，进而得出是 的中点，就可以求出，如图4，当时，就可以求出． 【详解】（1）解：，，， ， 若为的中点， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， 故答案为：； （3）解：由题意可知点在上， 设点到的距离为， ，， ， ， ； （4）解：如图1，当点在上时，， ， ； 如图2，当点在上，，作于点， ， ， ， ， ， ； 如图3，当时，作于， ，． ， ， ∴， ， ， ； 如图4，当时， ， ； 当或或18或19.5时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，平行线的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时运用勾股定理求值是关键． 3．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，中，，，，若动点从点出发，沿着的三条边顺时针走一圈回到点，且速度为每秒，设出发的时间为秒． (1)当为几秒时，平分； (2)问为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点开始，沿着的三条边逆时针走方向运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当______s时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【答案】(1) (2)或或或 (3)或 【分析】（1）先由勾股定理逆定理证明，再证，得，则，设，则，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）如图，在边上时，，当在边上时，有三种情况：①当，此时，运动的路程为，②当，过作斜边的高，③当时，则，证明，从而可得答案； （3）分两种情况：①当M、N没相遇前；②当M、N相遇后；分别由题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ，，， 平分，， ． 在与中， ， ， ． 设，则 在中，， 即，解得：， 当秒时，平分； （2）如图，在边上时，， ∴此时用的时间为，为等腰三角形； 当在边上时，有三种情况： ①当，此时，运动的路程为， ∴用的时间为，故时为等腰三角形； ②当，过作斜边的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴运动的路程为， 的时间为，为等腰三角形； ③当时，则， ，， ， ， ， 的路程为，所以时间为时，为等腰三角形． 或或或时，为等腰三角形 （3）如图，相遇前当点在上，在上， ∴，， ∴， ； 如图，相遇后当点在上，在上， ∴，， ∴， ， 或时，直线把的周长分成相等的两部分． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，角平分线的性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用等知识点，根据题意列出方程是解本题的关键． 考点十 江苏各市八年级上学期期中压轴题 1．（23-24八年级上·江苏南京·期中）【概念认识】 定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． 【概念运用】 （1）如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，，两点均在格点上，线段上的8个格点中，是，两点的勾股点的有 　 　个． （2）如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． 【拓展提升】 （3）如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当是任意两个顶点的强勾股点时，直接写出的长． 【答案】（1）4；（2）证明见解析；（3）2，，，8． 【分析】（1）根据新定义“勾股点”可得出答案； （2）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，则可得出结论； （3）由新定义“强勾股点”画出图形，根据勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：如图， ，，，四点与，能构成四个直角三角形， 图中，两点的勾股点的有4个， 故答案为：4； （2）证明： ． ， 在中，由勾股定理得：， ． 在中，由勾股定理得：， ． 在中，， 又， ， 由勾股定理逆定理得：是直角三角形， 点是，两点的强勾股点； （3）解：若点是，两个顶点的强勾股点时，且点在内，如图， 为的中点，， ， ， ， ； 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ， ， ； 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ，， ， 设， ， ， ， ； 若点是，两个顶点的强勾股点时，且点在外，如图， 为的中点， ， ． 综上所述，的长为2，，，8． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理的应用，新定义“强勾股点”，直角三角形斜边中线的性质等知识；解题关键是对新定义概念的性质运用，并注意运用分类讨论的思想． 2．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，等边中，于点，为线段上一动点不与、重合，连接、，将绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接交于，连接． ①直接写出的度数为______； ②求证：是的垂直平分线． (3)动点从点出发，以每秒个单位的速度沿方向运动，当到达点时，立即以每秒个单位的速度沿方向运动，当点到达点时运动停止．为使能最短时间到达处，若，运动所需的总时间为，直接写出的最小值是多少，并标出此时的位置，用表示． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 (3)，图见解析 【分析】（1）由“”可证，可得结论； （2）①由等边三角形的性质可得垂直平分，，通过证明垂直平分，可得，由直角三角形的性质可求解； ②由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得，，可得结论； （3）由题意可得，即当、、三点共线时，有最小值为，由勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， 将绕点顺时针旋转 得到线段， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）①解：为等边三角形，， 垂直平分，， ， ， ， ，， 垂直平分， ， 又， ， ， 故答案为：； ②解：为等边三角形，， 垂直平分，， ， ， ， ，， 垂直平分； （3）解：如图，过点作于点， ，， ， ， ， 当、、三点共线时，有最小值为，即的最小值为的长，此时，与的交点即为的位置， 此时，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）已知：如图，在中，，，，动点从点出发，按的路径，以的速度运动，设运动的时间为秒．    (1)当时，求的面积； (2)为何值时，线段是的平分线？ (3)请利用备用图2继续探索，当为______时，是以为腰的等腰三角形．(直接写出结果) 【答案】(1)的面积为 (2) (3)或或 【分析】（1）把代入得出，利用三角形的面积进行解答即可； （2）过作，设，根据角平分线的性质和勾股定理进行解答即可； （3）根据，利用等腰直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：当时，则， 所以的面积； （2）过作，如图1： ，，， ，，， ∵为的平分线， ∴，，， 在中， 解得：； （3）如图： 因为是以为腰的等腰三角形， 当点P在上时，时，； 当点P在上时，时，过作于， ， 即， 解得：， ，， ， ， ； 当时， ， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，勾股定理，角平分线的性质，分类讨论是解题的关键． 4．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）【教材重现】教材第69页“数学活动”栏目的主题是“折纸与证明”，该栏目强调：“折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法”．例如，在中，（如图1）．求证：． 我们可以通过折叠来证明．将沿的平分线翻折，因为，所以点C落在上的点处（如图2），于是，由，，可得． 小明在学习完这一段内容，对该内容中的结论和方法分别作如下反思和应用． 【反思应用1】小明类比“等边对等角”，将上面的结论概括为“大边对大角”，请你和小明一起利用这一结论解答下面这个问题： （1）如图3，在四边形中，四边都不相等，且边最大，边最小．求证：； 【反思应用2】小明觉得折纸活动其实就是翻折变换，应用翻折变换确实可以将试题中的信息进行重新组合，进而易于找到问题解决的突破口，请解决下面的问题： （2）如图4，在中，，，，． ①求的长； ②点M、N分别是边、上的动点，连接、，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）① ② 【分析】（1）连接，在中，利用大边对大角得出，在中，利用大边对大角得出，即可得出结论． （2）①将沿翻折，得到，点B落在上的点E处，过点E作于F，利用角平分线的性质得，利用勾股定理与三角形面积公式求解即可； ②将沿翻折，得到，则点C落在的延长线上的点E处，过点E作于N，交于M，根据垂线段最短，可得此时最小，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接． 因为边是四边形中的最大边， 所以在中，．所以． 因为边是四边形中的最小边， 所以在中，．所以． 所以．即． （2）①如图4，将沿翻折，得到， ∴，， ∵， ∴点B落在上的点E处， 由勾股定理得． ∵，， ∴， ∴平分． 过点E作于F，则，设，则． 由，得， ∴， ∴； ②如图，将沿AD翻折，得到， ∴，， ∵， ∴点C落在的延长线上的点E处， 过点E作于N，交于M， 此时最小， 由①知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形边角的不等关系，翻折的性质的应用，线段垂直平分线，角平分线的性质，垂线段最短．熟练掌握利用轴对称求最短距离问题是解题的关键． 5．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）在中，，，点为边上一动点，连接．    (1)边上的高的长度为 ； (2)如图1，若点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，设运动时间为秒．是否存在值，使得为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，把沿着直线翻折，点的对应点为点，交边于点，当时，求的长度． 【答案】(1)2 (2)或 (3) 【分析】（1）过点A作于D，利用等腰三角形“三线合一”性质求出，再利用勾股定理即可求解． （2）分两种情况∶当时， 当时，分别求解即可． （3）过点A作于D，过点A作于G，由折叠性质得，，再证明，得出，，然后利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：过点A作于D，如图1，    ∵，， ∴ 由勾股定理，得 ， ∴边上的高的长度为2． （2）解∶分两种情况∶ 当时， 则， ∴ 解得∶ ； 当时，如图，    则， ， 由(1)知∶ ， ， ∴， 由勾股定理，得 ， 解得∶ ， 综上，当为等腰三角形时，t值为或． （3）解：过点A作于D，过点A作于G，如图2，    由（1）知，，， 由折叠知：，， 又∵， ∴， ∴，， ∵ ∴ 在中，由勾股定理，得 ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质．作等腰三角形底边的高利用等腰三角形“三线合一”性质和构造直角三角形利用勾股定理求线段长是解题的关键． 6．（23-24八年级上·江苏常州·期中）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【思想应用】已知m，n均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设，． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ； ②据此写出的最小值 ； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ； (3)【拓展应用】①已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积 ． 【答案】(1)①，；② (2)20 (3)①画图见解析，；② 【分析】（1）①利用勾股定理可得和的长；②利用三角形三边的关系得到（当且仅当、、共线时取等号），作交的延长线于，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出，从而得到结论； （2）利用（1）中的方法画出图形，设，，，，则，利用勾股定理得到，，；根据三角形三边的关系得到而（当且仅当、、共线时取等号），作交的延长线于，易得四边形为矩形，利用勾股定理计算出即可得到代数式的最小值； （3）①利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长为1的正方形，再利用两点之间线段最短即可得出结论；②利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长，的长方形，利用勾股定理构图解答即可． 【详解】（1）解：①在中，， 在中，， 故答案为：，； ②连接， 由①得：， 而（当且仅当、、共线时取等号）， 作交的延长线于，如图1，可得四边形为长方形， ，， 在中，， 的最小值为， 即的最小值为； 故答案为：； （2）如图， 设，，，，则， 在中，， 在中，； ， 而（当且仅当、、共线时取等号）， 作交的延长线于，易得四边形为矩形， ，， 在中，， 的最小值为20， 即的最小值为20． 故答案为：20； （3）画出边长为1的正方形，在边上截取出长为，．的线段，作图如下： 则，，，， ， 利用两点之间线段最短可知：（当且仅当、、、共线时取等号）， ， 的最小值为， 的最小值为； ②分别以，为边长作出矩形，则，，取的中点为，的中点为，连接，，，如图， 则，，，， ， ， ， 以，，为边的三角形的面积， ， 以，，为边的三角形的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题：灵活运用两点之间线段最短或垂线段最短解决此类问题．也考查了勾股定理和类比的方法． 7．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知中，，是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)出发2秒后，求的面积； (2)当点Q在边上运动时，求能使成为直角三角形的运动时间． (3)当两点其中有一点落在某内角的角平分线上时，请直接写出满足条件的t的值． 【答案】(1) (2)秒或8秒 (3)，， 【分析】当时，分别求出的长，即可求出的面积； 分或两种情况，分别求出点的运动路程，进而得出答案； 分三种情况讨论即可. 【详解】（1）解：当时，， ， ， 故的面积为； （2）解：当时， ， 由勾股定理得. ． 在中，由勾股定理得， ， 当时，点与点重合， ， 故秒或8秒； （3）解：当点落在平分线上时，作于， 则， ， 解得； 当点落在平分线上时，作于， 则， ， 解得； 当点落在平分线上时，作于，于， 则， 四边形是正方形， ， ， ， ， ； 故：时，两点其中有一点落在某内角的角平分线上． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了角平分线的性质，等积法求垂线段的长，勾股定理等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 8．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．小聪在学习过程中，遇到这样一个问题：如图，中，，求边上的中线的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决办法：延长到点E，使．请根据小聪的方法解决以下问题： （1）求得的取值范围是___________； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题 如图，已知，，P为的中点． （2）如图1，若A，C，D共线，，，求四边形的面积； （3）如图2，若A，C，D不共线，，求证：； （4）如图3，若点C在上，记锐角，且，则的度数是______．（用含α的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析；（4） 【分析】（1）先证明，根据三角形三边之间的关系即可进行解答； （2）交延长线于点，证即可； （3）延长至点，使得，连接、、，证及即可； （4）过点C作交于点M，由（3）可得，证，用含的代数式表示出即可． 【详解】解：（1）延长到点E，使． ∵是边的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， 故答案为：． （2）解：如下图，延长交延长线于点， ∵， （同旁内角互补，两直线平行）， ，， 为的中点， ， ， ，，， ， ∵， ， ， 则， ． （3）延长至点，使得，连接、、， ∵， ， ，， ，且， ， ， ∵， ， ，， ∵， ， ， 同理可得，， ． （4）过点C作交于点M，如图， 由（3）可知， ， ， 和互余， ， ， ∴ ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是全等三角形的综合，考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，多边形内角和定理，等腰三角形的性质，作出辅助线推理论证是解题的关键． 9．（23-24八年级上·江苏南京·期中）【了解概念】 如图1，已知A，B为直线同侧的两点，连接，，若，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”． 【理解运用】 （1）如图2，在中，D为上一点，E关于直线对称，连接并延长至点F，判断点B是否为点D、F关于直线的“等角点”，并说明理由； 【拓展提升】 （2）如图2，在（1）的条件下，若点Q是射线EF上一点，且点D、Q关于直线的“等角点”为点C，请利用无刻度的直尺和圆规在图2中确定点Q的位置； （3）如图3，在中，，的平分线交于点O，点O到的距离为2，直线l垂直平分边，点P为O，B关于直线l“等角点”，连接，，当时，的值为 ． 【答案】（1）是，见解析；（2）见解析；（3）4 【分析】（1）由垂直平分，得，则，而，则，所以点B是点D，F关于直线的“等角点”； （2）按照基本作图“作一个角等于已知角”的要求作，交于点Q，则点D，Q关于直线的“等角点”为点C； （3）作于点J，于点K，于点L，则，由角平分线的性质得，则点O在的平分线上，连接，设直线l交于点R，交于点T，则，所以，由点P为点O，B关于直线l“等角点”，得，则，可证明O、P、C三点在同一条直线上，则，所以的最小值为线段的长，可求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：（1）点B是点D，F关于直线AB的“等角点”， 理由：∵点D，E关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B是点D，F关于直线的“等角点”． （2）如图2， 作法：1，以C为圆心，长为半径作弧，交与G、H； 2．连接，以H为圆心，长为半径作弧，与前弧相交于点I； 3．作射线交于点Q， 点Q就是所求的点． 理由：由作法得，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D，Q关于直线的“等角点”为点C， ∴点Q就是所求的点． （3）如图3，作于点J，于点L，作于点K， ∵点O到的距离为2， ∴， ∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴， ∴点O在的平分线上， 连接，设直线l交于点R， ∵直线l垂直平分边， ∴， ∴， ∵点P为点O，B关于直线l“等角点”， ∴， ∴， ∴， ∴O、P、C三点在同一条直线上， ∴，平分， ∴的最小值为线段的长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 【点睛】此题重点考查轴对称的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的“三线合一”、角平分线的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、两点之间线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 10．（23-24八年级上·江苏南京·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型理解】 （1）如图①，，共顶点A，，，，连．由，得．又，，可以推理得到，进而得到______，______． 【问题研究】 （2）小明同学在思考完上述问题后，解决了下面的尺规作图问题． 如图②，已知直线a、b及点P，a与b不平行．作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上．    小明同学作法简述如下：如图③，过点P作，垂足为点D，以P为直角顶点作等腰直角三角形，过点E作，交b于点B，在a上截取，连．即为所要求作的等腰直角三角形． 请证明小明的作法是正确的． 【深入研究】 小明同学经过研究发现：在上题条件下，也能作出等边，使得点A、B分别在直线a、b上． （3）请你简述作法，并在图④中画出示意图．（不需要尺规作图）    【答案】（1） （2）见解析（3）见解析 【分析】（1）由推导出，则，，即可证明，得，，于是得到问题的答案； （2）由，，得，而，，可证明，得，，可证明，所以即为所要求作的等腰直角三角形； （3）作于点F，依次在右侧作出等边和等边，连接交直线a于点I，再连接并延长交直线b于点B，在射线上取一点A，使，连接，即得到所要求作的等边，理由是：先证明，进而证明，得，再推导出，则是等边三角形． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． （2）∵ △PDE 是以P为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴即为所要求作的等腰直角三角形． （3）如图④， 作法：1．作于点F； 2．以为边在右侧作等边； 3．以为边在上方作等边c； 4．连接交直线a于点I； 5．连接并延长交直线b于点B； 6．在射线上取一点A，连接，使； 7．连接， 就是所要求作的等边三角形． 证明：由作法得和都是等边三角形，， ∴， ∴点P、点H都在的垂直平分线上， ∴直线垂直平分， ∴IG=IF， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴就是所要求作的等边三角形． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、尺规作图等知识． 11．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，．点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以2单位/秒和3单位/秒的速度同时开始运动，运动时间为秒；在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止． (1)点在边上时，_____；点在边上时，_____；（用含的代数式表示）； (2)若点是的中点，是以为腰的等腰三角形，求运动时间的值； (3)分别过和作于点，于点，当与全等时，求运动时间的值． 【答案】(1)， (2)是以为腰的等腰三角形，运动时间的值为0或1或或或8 (3)运动时间的值为2或或6 【分析】（1）根据点的运动速度及运动路径，进行计算即可； （2）分5种情况：当点在上，当时，此时点与点重合；当点在上，当时；当点在上，当时；当点在上，当时，此时点与点重合；当点在上，当时，此时点与点重合；分别利用等腰三角形的定义，建立方程，解方程即可得到答案； （3）分四种情况：当点在上，点在上时；当点都在上时，此时重合；当点在上，点在上时；当点在点，点在上时；分别建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得： 当点在边上时，， ， 点在边上时，， ， 故答案为：，； （2）解：在中，，，，，点是的中点， ， 是以为腰的等腰三角形， 当点在上，当时，此时点与点重合，如图， ， 则， ， 当点在上，当时，如图， ， ， ， 解得：； 当点在上，当时，如图， ， ， ， 解得：； 当点在上，当时，此时点与点重合，如图， ， 此时， 解得：， 当点在上，当时，此时点与点重合，如图， ， 此时， 解得：； 综上所述，是以为腰的等腰三角形，运动时间的值为0或1或或或8； （3）解：与全等， 斜边斜边， 当点在上，点在上时，如图， ， ，， ，， ， ， 解得：； 当点都在上时，此时重合，如图， ， ，， ，， ， ， 解得：； 当点在上，点在上时，如图， ， ，， ，， ， ， 解得：，不符合题意； 当点在点，点在上时，如图， ， ， ， ，， ， 解得：； 综上所述，运动时间的值为2或或6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、列代数式，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 12．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）若和均为等腰三角形，且，当和互余时，称与互为“底余等腰三角形”， 的边上的高叫做的“余高”．如图，与互为“底余等腰三角形”．    (1)若连接，，判断与是否互为“底余等腰三角形”，并说明理由． (2)当时，若的“余高” ，则______； (3)当时，判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)与是底余等腰三角形，见解析 (2)6 (3)，见解析 【分析】（1）连接、，由，得，，，，即可由，推导出，则，所以，则与互为“底余等腰三角形”，于是得到问题的答案． （2）当时，则和都是等腰直角三角形，先证明，再证明，则，于是得到问题的答案； （3）作于点，由，得，再证明，得，则． 【详解】（1）与互为“底余等腰三角形”，理由如下： 如图1，连接、，    ， ，，，， ，， ， ， ， ， 与互为“底余等腰三角形”； （2）如图2，，，    ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 故答案为： （3）， 理由：如图3，作于点，    ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、新定义问题的求解等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 13．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若， ，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考：    （1）由已知和作图能得到，依据是___________． A．SSS    B．ASA    C．AAS    D．SAS （2）由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【初步运用】 （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 【灵活运用】 （4）如图3，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接，试猜想线段，，三者之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）D；（2）；（3）；（4）线段、，之间的等量关系为： 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定方法证明即可解答； （2）根据全等三角形的性质结合三角形的三边关系计算即可； （3）延长到M，使，连接BM，证明，根据全等三角形的性质解答； （4）延长到点G，使，连结，证明，得到，根据勾股定理解答． 【详解】解：（1）在和中， ， ∴，故选D； （2）∵， ∴， 在中， ， ∴ ∴； （3）延长到M，使，连接，    ∵，， ∴， ∵AD是中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （4）线段之间的等量关系为：． 证明：如图，延长到点G，使，连结，    ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴中，， ∴． 14．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图1，中，，BD平分，于点B．动点P从点D出发沿线段DB以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发沿射线BE以每秒4个单位的速度运动，运动时间为t秒，当点P到达点B时，P、Q同时停止运动． (1)求证：； (2)若是直角三角形，求t的值． (3)若，则t的值为______（直接写出答案，不要求书写求解过程）． 【答案】(1)见解析 (2)或． (3) 【分析】（1）利用角平分线的定义得到，则，再利用含30度的直角三角形性质即可证明． （2）易求得，，，由题意得，，则，再分两种情况讨论：①点为直角顶点；②点为直角顶点．分别根据含30度角的直角三角形的性质列出方程，求解即可． （3）过点作于点，易得为含30度角的直角三角形，为等腰直角三角形，于是可得，，，再由列出方程，求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， 平分， ， ， ， 在中，， ， ． （2）解：在中，，， ，， ， ，， 由题意得：，，则， ①当是直角三角形，且点为直角顶点时，如图， ， ，即， 解得：； ②当是直角三角形，且点为直角顶点时，如图， ， ，即， 解得：． 综上，若是直角三角形，或． （3）解：如图，过点作于点， 当，即时，， ， 在中，， ，， ，， 为等腰直角三角形， ， 又， ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形性质、等腰直角三角形的判定与性质、解一元一次方程，解（2）关键是根据直角的顶点不同画出图形进行分类讨论求解；解（3）关键是根据求出，进而求出，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 15．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）【情境建模】（1）苏科版教材八年级上册第60页，研究了等腰三角形的轴对称性，我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”． 小明尝试着逆向思考：若三角形一个角的平分线与这个角对边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形．即如图1，已知，点D在的边上，平分，且，求证：．请你帮助小明完成证明； 请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题： 【理解内化】（2）①如图2，在中，是角平分线，过点B作的垂线交、于点E、F，．求证：； ②如图3，在四边形中，，平分，当的面积最大时，请直接写出此时的长． 【拓展应用】（3）如图4，是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中，，，该绿化带中修建了健身步道，其中入口M、N分别在上，步道分别平分和，，．现要用围挡完全封闭区域，修建地下排水和地上公益广告等设施，试求需要围挡多少m？（步道宽度和接头忽略不计） 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②；（3）至少需要围挡． 【分析】（1）根据角平分线和垂直的性质，证明，即可证明； （2）①由（1）可得，，，进而得到，，再利用三角形外角的性质得到，从而推出，即可证明结论； ②延长和相交于点E，由（1）可知，，得到，，进而得到，根据三角形中线性质，得到，当时，最大，利用勾股定理求出，即可得到的长； （3）延长交于点D，延长交于点E，由（1）可知，，，得到，，进而证明，得到，再利用勾股定理得到，设，，则，，，，从而得到，即可求出的周长，得到答案． 【详解】解：（1）平分， ， ， ， 在和中， ， ； （2）①证明：在中，是角平分线，， 由“情境建模”的结论得， ，， ，， ， ， ， ， ， ； ②延长和相交于点E， 平分，， 由“情境建模”的结论得：， ，， ， ， 为中点， ， 当最大时，最大，即时，最大， ，， ， 为中点， ； （3）延长交于点D，延长交于点E， 、分别平分和，，， 由“情境建模”的结论得：，， ，， 在和中， ， ， ， ，，， ， 设，， ，， ，， ，， ， ， 的周长， 答：至少需要围挡． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的有关计算，运用三线合一的性质和作辅助线构造全等三角形是解题关键． 16．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41； （2）（千米）； 知识迁移：20． 【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可． 【详解】解：小试牛刀： ，     ，         ，     则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E，   ， ， ， 有勾股定理得到： （千米） ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点，    设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 知识迁移： 如图3，过作点的对称点，连接交于点， 过作，    根据对称性：， 设，则，有勾股定理得， ， ． ∴代数式的最小值为： ． 【点睛】本题考查了四边形综合以及用数形结合方式来证明勾股定理，解答本题的关键在于勾股定理的应用、最短线路问题、线段的垂直平分线以及用面积法证明勾股定理，本题是一道综合型较强的题目． 17．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）（1）下面是小李探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是3的正方形的边长是，且． 设，可画出如下示意图．由面积公式，可得． 当足够小时，略去，得方程 ，解得 ，即 ． （2）仿照上述方法，若设，求的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出的近似值） 【答案】（1），1，1（2） 【分析】本题考查无理数的估算，掌握数形结合的思想，是解题的关键． （1）解方程即可； （2）画一个边长为2的正方形，左下角正方形的面积＝大正方形的面积﹣2个长方形的面积+小正方形的面积得到，略去，求出，即可． 【详解】解：（1）当足够小时，略去，得方程， 解得：，即； 故答案为：，1，1； （2）如图： ∴， 由图可知：， 当足够小时，略去，得方程， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$