串讲01 有理数（考点串讲，8个常考点+16种重难点题型+5个易错+押题预测）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版2024）

七年级新苏科版（2024）数学上册期中考点大串讲 串讲01 有理数 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 八大常考点：知识梳理 十六大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 五大易错易混经典例题+针对训练 精选7道期中真题对应考点练 考点透视 考点一： 正数与负数 2.用正、负数表示具有相反意义的量 1.小学学过的除0以外的数都是正数. 在正数前面加上符号“-”（负）的数叫做负数. 考点透视 考点二：有理数的概念与分类 1.有理数的概念 整数和分数统称有理数 有理数 正整数 负整数 负分数 正有理数 负有理数 正分数 零 有理数 正整数 正分数 整数 分数 零 负整数 自然数 2.有理数的分类 负分数 (1)按定义分类 (2)按符号分类 考点透视 考点三：数轴 (1)规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴. (2)任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示. 考点透视 考点四：相反数与绝对值 1.相反数 （1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数 （2）互为相反数的两个数到原点的距离相等 2.绝对值 （1）一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值 （2）一个正数的绝对值是它本身. 一个负数的绝对值是它的相反数. 0的绝对值是0. 考点透视 考点五：有理数的大小比较 (1)数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大． (2)正数大于0，0大于负数，正数大于负数； 两个负数，绝对值大的反而小． 考点透视 考点六：有理数的运算 1.有理数的加法 (1)加法法则 (2)加法的运算律 加法的交换律 加法的结合律 2.有理数的减法 减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数. 3.有理数的乘法 (1)乘法法则 (2)乘法的运算律 乘法的交换律 乘法的结合律 乘法的分配律 4.有理数的除法 除法法则： 除以一个数，等于乘以这个数的倒数. 9 5.有理数的乘方 求几个相同因数的积的运算，叫做乘方. 指数 底数 幂 (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、 中括号、大括号依次进行. 6.有理数的混合运算 10 考点透视 考点七： 科学记数法 1.1≤a＜10 2.n为原数的整数位减去1 把大于10的数记成a×10n的形式，其中 考点透视 考点八：近似数 1．按照要求取近似数 2．由近似数判断精确度 四舍五入到某一位，就说这个数近似数精确到那一位． 题型剖析 题型一：正数与负数 【例1】一袋面粉的包装袋上标有“净含量：25±0.2千克”字样，下面不可能是这袋面粉的质量的是（    ）． A．24.8千克 B．24.9千克 C．25.2千克 D．25.5千克 【详解】解：∵面粉的包装袋上标有“净含量：25±0.2千克”字样， ∴一袋面粉的质量范围是24.8—25.2， ∵24.8千克、24.9千克、25.2千克在这个范围内，25.5千克不在此范围内， ∴不可能是这袋面粉的质量的是25.5千克，故D符合题意． 故选：D． 【变式1-1】如果把收入50元记作+50元，那么支出18元记作 元． 【详解】解：把收入50元记作+50元，那么支出18元记作-18元， 故答案为：-18 14 【变式1-2】下列说法正确的个数是(　C　) ①加正号的数是正数，加负号的数是负数； ②任意一个正数，前面加上“－”，就是一个负数； ③0是最小的正数； ④大于0的数是正数. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 C 15 题型剖析 题型二：有理数的分类 【例2】下列叙述正确的是（     ） A．1是最小的正数 B．整数只包含零和正整数 C．比3小的自然数只有1和2 D．0.3不是负整数 【详解】解：A、1是最小的正整数，原说法错误； B、整数包含零和正整数、负整数，原说法错误； C、比3小的自然数有0、1和2，原说法错误； D、0.3不是负整数，说法正确； 故选：D． 【变式2-1】下列数：-3,1,5，，，7%，0中，不是负数的有 个． 【详解】解：-3,1.5， ， ，7%，0中，不是负数的有1.5，,7%，0，共4个． 故答案为：4． 17 【变式2-2】将下列各数填在相应的横线上. ，－3.01，0，－2 025，－1 ，＋15％，101，3.14， 0.618. (1)整数： ⁠； (2)负数： ⁠； 0，－2 025，101　 －3.01，－2 025，－1 　 (3)正有理数： ⁠； (4)非正整数： ⁠； (5)非负数： ⁠. ，＋15％，101，3.14，0.618　 0，－2 025　 ，0，＋15％，101，3.14，0.618　 18 题型剖析 题型三：数轴 【例3】下列说法正确的是(　C　) A. 同一数轴中的单位长度不需要统一 B. 数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数 C. 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示 D. 有些有理数不能在数轴上表示出来 C 【变式3-1】如图所示，分别用数轴上的点 A ， B ， C ， D 表示数， 其中正确的是(　C　) A. 点 D 表示－2.5 B. 点 C 表示－1.5 C. 点 B 表示1.5 D. 点 A 表示1.5 C 【变式3-2】已知数轴上有 A ， B 两点，点 A 与点 B 之间的距离为1，点 A 与原点之间的距离为3，那么点 B 对应的数是 ⁠. －4或－2或2或4　 20 题型剖析 题型四：相反数 【例4】下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．-2和+（-2） B．+（-3）和-（+3） C．-（-1）和+1 D．-2和-（-2） 【详解】解：A．+（-2）=-2 ，故-2和+（-2）不是互为相反数； B．+（-3）=-3，-（+3）=-3，故+（-3）和-（+3）不是互为相反数； C．-（-1）=1 ，故-（-1）和+1不是互为相反数； D．-（-2）=2，故-2和-（-2）是互为相反数； 故选：D． 【变式4-1】数轴上，若点A和点B分别表示互为相反数的两个数，并且这两点的距离是6.4，则这两点所表示的较小数是 ． 【详解】解：∵点A和点B分别表示互为相反数的两个数，并且这两点的距离是6.4， ∴两个数分别为3.2和-3.2， ∴这两点所表示的较小数是-3.2． 故答案为：-3.2． 22 【变式4-2】如图，1个单位长度表示1，观察图形，回答问题： (1)若点B与点C所表示的数互为相反数，则点B所表示的数为_________； (2)若点A与点D所表示的数互为相反数，则点D所表示的数是多少？ (3)若点B与点F所表示的数互为相反数，则点E所表示的数的相反数是多少？ 23 【详解】（1）解：∵点B与点C所表示的数互为相反数，且B与C之间有2个单位长度， ∴可得点B所表示的数为-1； 故答案为：-1 （2）∵点A与点D所表示的数互为相反数，且它们之间距离为5， ∴点D表示的数为+2.5； （3）∵点B与点F所表示的数互为相反数，且它们之间距离为6， ∴点F所表示的数为+3， ∵点E在点F左边1个单位， ∴点E所表示的数是2， ∴点E所表示的数的相反数是-2． 24 题型剖析 题型五：绝对值 【例5】下列说法中不正确的是（    ）． A．一个数的绝对值一定不小于它本身 B．互为相反数的两个数的绝对值相等 C．任何有理数的绝对值都不是负数 D．任何有理数的绝对值都是正数 【详解】解：A、个数的绝对值一定不小于它本身，故此选项正确，不符合题意； B、互为相反数的两个数的绝对值相等，故此选项正确，不符合题意； C、任何有理数的绝对值都不是负数，故此选项正确，不符合题意； D、0的绝对值是0,0既不是正数也不是负数，故此选项错误，符合题意； 故选：D． 【变式5-1】2023+|x-3|的最小值是 ；此时x= ． 【详解】解：∵|x-3|≥0， ∴当|x-3|=0即x=3时，2023+|x-3|的值最小为2023， 故答案为：2023，3． 26 【变式5-2】已知|a|=2，|b|=5，并且a＜b，求a，b的值． 【详解】因为|a|=2，|b|=5， 所以a=±2，b=±5． 因为a＜b， 所以a=±2，b=5． 27 题型剖析 题型六：有理数的大小比较 【例6】凝固点是晶体物质凝固时的温度，标准大气压下，下列物质中凝固点最低的是(　B　) 物质 钨 水银 煤油 水 凝固点 3 410 ℃ －38.87 ℃ －30 ℃ 0 ℃ A. 钨 B. 水银 C. 煤油 D. 水 B 【变式6-1】下列说法中正确的是（    ） A．最小的正整数是0 B．任何数都大于它的相反数 C．绝对值最小的有理数是0 D．两个数中，较大的那个数的绝对值也较大 【详解】解：A．0既不是正数也不是负数，故A错误； B．-1的相反数是1，而-1＜1，故B错误； C．绝对值最小的有理数是0，故C正确； D．1＞-5，则|1|=1，|-5|=5，而1＜5，故D错误． 故选：C． 29 题型剖析 题型七：有理数的加减法计算 【例7】计算：(－12)＋(+20)－(－35)－(＋17) 解:原式＝(－12)＋(＋20)＋(＋35)＋(－17) ＝[(－12)＋(－17)]＋[(＋20)＋(＋35)] ＝(－29)＋(＋55) ＝26 减法转化成加法 按有理数加法法则计算 【变式7-1】计算： (1)(-20)+(+12)-(-5)-(+7) (2) (3) 【详解】（1）解： 原式=-20+12+5-7 =-10； （2）解：原式= =()+() =3+3 =6； （3）解：原式= =()+()+ =3+2+ =； 31 题型剖析 题型八：有理数的乘除法计算 【例8】计算3×(-2)÷，结果正确的是(    ) A．-12 B．12 C．-3 D．3 【详解】解：原式=-6×2=-12， 故选：A． 【变式8-1】(-6.5)×2÷ 【详解】原式=-13×(-3)×( =． 33 题型剖析 题型九：有理数的混合运算 【例9】下列各式计算正确的是（    ） A．-7-2×5=-9×5=-45 B．-22-（-3）2=4-（-27）=31 C．3÷ D．2×（-5）-5÷（ 【详解】解：A、-7-2×5=-7-10=-17，故此选项计算错误，不符合题意； B、-22-（-3）2=4-（-27）=23，故此选项计算错误，不符合题意； C、3÷ ，故此选项计算错误，不符合题意； D、2×（-5）-5÷（，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式9-1】计算 (1)-(-7)-(-5)+(-4)； (2)(-81)÷ (3)-7-2×(-3)+(-6)÷()； (4)(-1)2022-|1-0.5|×． 【详解】（1）原式=7+5-4 =12-4 =8； （2）原式=-81×××() =1； 35 （3）原式=-7+6+18 =17； （4）原式=1- =1+ = 36 题型剖析 题型十：含乘方的有理数运算 【例10】若|a+，则(ab)2021的值为（  ） A．1 B．-1 C．0 D．2 【详解】解：因为|a+ ， 所以a+ =0，b-3=0， 解得a=，b=3， 所以(ab)2021=-1． 故选：B． 【变式10-1】计算： (1)（-3）3； (2)(-1.5)2； (3)(； (4)-(-3)2； (5)-(-2)3． 【详解】（1）原式=(-3)×(-3)×(-3)=-27； （2）原式=(-1.5)×(-1.5)=2.25； （3）原式=( ×( =； （4）原式=-(-3)×(-3)=-9 （5）原式=-(-2)×(-2)×(-2)=8． 38 题型剖析 题型十一：有理数混合运算的实际应用 【例11】某水果商店规定：如果购买苹果不超过10千克，那么每千克售价3元；如果超过10千克，那么超过的部分每千克降低10%，某单位购买48千克水果，则应付的钱数为（　　） A．129.6元 B．132.6元 C．141元 D．144元 【详解】解：由于48＞10， 由题意可知：3×10+（48-10）×3×（1-10%）=132.6元， 故选：B． 【变式11-1】希望小学要买60个足球，现有甲、乙、丙三个商店可以选择，三个商店足球的价格都是25元，但各个商店的优惠办法不同． 甲店：买10个足球免费赠送2个，不足10个不赠送． 乙店：每个足球优惠5元． 丙店：购物每满200元，返还现金30元． 为了节省费用，希望小学应到哪个商店购买？为什么？ 【详解】解：甲：50×25=1250（元）； 乙：60×（25-5）=1200（元）； 丙：60×25=1500（元），1500÷200=7.5（个），1500-30×7=1290（元）； ∵1200＜1250＜1290， ∴乙最划算； 答：到乙店购买便宜，最划算． 40 题型剖析 题型十二：科学记数法 【例12】在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域成绩显著．大数据中心的规模和数据存储量，决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储58000000000本书籍．数据58000000000用科学记数法表示为（    ） A．5.8×1010 B．5.8×1011 C．5.8×109 D．0.58×1011 【详解】解：58000000000=5.8×1010． 故选：A． 【变式12-1】2022年中国国家统计局发布数据显示，2021年全国国内生产总值达到1143700亿元人民币，把1143700用科学记数法表示为 ． 【详解】解：1143700=1.1437×106． 故答案为：1.1437×106． 42 【变式12-2】光在真空中的传播速度约是3×108m/s，光在真空中传播一年的距离称为光年． (1)1光年约是多少千米？（一年以3×107s计算） (2)银河系的直径达10万光年，约是多少千米？ (3)如果一架飞机的飞行速度为1000km/h，那么光的速度是这架飞机速度的多少倍？（1m/s=3.6km/h） 【详解】（1）解：3×108×3×107=9×1015（米）， 9×1015米=9×1012千米， 答：1光年约是9×1012千米； （2）100000×9×1012=9×1017（千米）， 答：银河系的直径约是9×1017千米； （3）3×108×3.6=1.08×109km/h， 1.08×109÷1000=1.08×106， 答：光的速度是这架飞机速度的1.08×106倍． 43 题型剖析 题型十三：有理数的巧算 【例13】计算：(－8)×9×(－1.25)×(　－ ). 解： (－8)×9×(－1.25)× ＝[(－8)×(－1.25)]× ＝10×(－1) ＝－10. 【变式13-1】 计算：(　－ )×(　－ )×(　－2 )×(　－ ). 解： × × × ＝ × × × ＝ × ＝1× ＝ . 45 【变式13-2】计算： ÷ － . 解： ( ＋ － ＋ )÷(－ )－ ＝( ＋ － ＋ )×(－ )－ ＝ × ＋ × － × ＋ × － ＝－ － ＋ －2－ ＝－7. 46 【变式13-3】计算： (1)－19 ×8； (2)99 ×(－36). 解： (1)－19 ×8＝19 ×(－8) ＝ ×(－8) ＝20×(－8)－ ×(－8) ＝－160＋ ＝－159 . (2)99 ×(－36)＝ ×(－36) ＝100×(－36)－ ×(－36) ＝－3 600＋ ＝－3 599 . 47 题型剖析 题型十四：数轴上的动点问题 【例14】(1)在数轴上把表示-2的点向右移动5个单位长度，所得的对应点是_______； (2)在数轴上把表示1的点向左移动3个单位长度，所得的对应点是_______。 3 【分析】从计算的角度看： 1 2 3 4 -4 -1 -2 -3 0 (1)-2+5=3（向右加）； (2)1-3=-2（向左减）。 -2 1 2 3 4 -4 -1 -2 -3 0 【变式14-1】如图， A ， B 分别为数轴上的两个点，点 A 表示 的数为－10，点 B 表示的数为90. (1)请写出到 A ， B 两点距离相等的点 M 对应的数. 解： (1)点 M 对应的数为40. 49 (2)一只电子蚂蚁 P 从点 B 出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时 另一只电子蚂蚁 Q 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，经过 多长时间这两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度？ 解： (2)相遇前，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度时，(100－35)÷(2＋3)＝13(秒)； 相遇后，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度时， (35＋100)÷(2＋3)＝27(秒)， 即经过13秒或27秒这两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度. 50 题型剖析 题型十五：绝对值化简 【例15】有理数 a ， b 在数轴上对应点的位置如图所示. (1)试确定 a ， b ， ab ， a ＋ b 的符号； 解： (1) a ＞0， b ＜0， ab ＜0， a ＋ b ＜0. (2)求 ＋ ＋ ＋ 的值. 解： (2)原式＝ ＋ ＋ ＋ ＝1＋(－1)＋(－1)＋(－1)＝－2. 题型剖析 题型十六：分类讨论 【例16】 若 ab ≠0，则 ＋ 的值不可能是 (　D　) A. 2 B. 0 C. －2 D. 1 D 点拨： ①当 a ， b 同号时， ＋ ＝1＋1＝2或 ＋ ＝(－1)＋(－1)＝－2.②当 a ， b 异号时， ＋ ＝(－1)＋1＝0或 ＋ ＝1＋(－1)＝0. 故 ＋ 的值不可能是1. 【变式16-1】已知｜ a ｜＝2，｜ b ｜＝5，若｜ a － b ｜＝ a － b ，则 ab ＝ ⁠. 点拨：因为｜ a ｜＝2，｜ b ｜＝5，所以 a ＝±2， b ＝±5. 因为｜ a － b ｜＝ a － b ，易知 a ≠ b ，所以 a － b ＞0， 所以 a ＞ b . 所以 a ＝±2， b ＝－5. 所以 ab ＝2×(－5)＝－10或 ab ＝－2×(－5)＝10. ±10　 53 易错易混 易错点一：有理数的分类 1、下面的说法中，正确的是（    ） A．正有理数和负有理数统称有理数 B．整数和小数统称有理数 C．整数和分数统称有理数 D．整数、零和分数统称有理数 【详解】解：A.正有理数、0和负有理数统称为有理数，故本选项错误； B.无限不循环小数是无理数，故本选项错误； C.整数和分数统称为有理数，故本选项正确； D.整数包括零，故本选项错误； 故选C． 易错易混 易错点二：绝对值的非负性 2、已知|a|=12，|b|=7，则a+b= . 正解：因为|a|=12，所以a=12或a=-12. 因为|b|=7，所以b=7或b=-7. 当a=12，b=7时，a+b=19； 当a=-12，b=-7时，a+b=-19； 当a=12，b=-7时，a+b=5； 当 a=-12，b=7 时，a+b=-5. 故答案为19，-19，5或-5. 错解剖析： 由于a，b两个数的正负性不确定，所以已知a，b的绝对值确定a，b时，要分别就a，b是正数或负数进行讨论. 易错易混 易错点三：数轴上的点距离问题 3、在数轴上与表示-3的点相距10个单位长度的点表示的数是 . 正解： 当与-3相距10个单位长度的点在-3的右侧时， -3+10=7； 当与-3相距10个单位长度的点在-3的左侧时， -3-10=-13. 故答案为7 或-13. 错解剖析： 在数轴上与-3相距10个单位长度的点有可能在-3的右侧也有可能在-3的左侧.由于点的位置不确定，所以应分两种情况考虑. 易错易混 易错点四：有理数运算顺序错误 4、计算：(−𝟗)÷×𝟑−𝟑 错解剖析： 乘与除是同一级运算，在没有括号改变运算顺序时，必须按照从左到右的顺序计算. 易错易混 易错点五：有理数的应用 5．绕湖的一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发，反向而行，小王以每小时4千米速度每走60分钟后休息5分钟；小张以每小时6千米速度每走50分钟后休息10分钟，则两人出发后 分钟后第一次相遇． 【详解】解：∵小王65分行4千米，小张60分行6×千米， ∴小王130分行8千米，小张120分行10千米， ∴小张130分行10+千米； ∴在130分时间里，俩人一共行19千米，余下5千米还用5÷()=30． 所以出发160分第一次相遇． 故答案为160． 押题预测 59 60 61 62 63 64 65 感谢您的观看 Thank you 66 1．（21-22七年级上·江苏南通·期中）一滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值判断墨迹盖住的整数个数是（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 【详解】解：依题意，墨迹在 的范围内， ∵要求是整数， ∴满足的数： ，共有13个， 故选：B． 2．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）下列说法：① 一定是负数；② 一定不小于零；③倒数等于它本身的数是0和 ；④绝对值等于它本身的数是0和1；⑤平方等于它本身的数是0和1．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：① 不一定是负数，故原说法错误； ② 一定不小于零，故原说法正确； ③倒数等于它本身的数是 ，故原说法错误； ④绝对值等于它本身的数是0或正数，故原说法错误； ⑤平方等于它本身的数是1或0，故原说法正确； 故正确的有2个， 故选：B． 3．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）对于有理数x，y，若 ，则 的值是（    ） A． B． C．1 D．3 【详解】解：∵ ， ∴x，y异号． 当 ， 时，则 ； 当 ， 时，则 ； 综上， 的值是 ． 故选：B． 4．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）将数轴对折，使表示5与 的两个点重合，若此时表示 的点与另一个表示数x的点重合，则 ． 【详解】解：∵使表示5与 的两个点重合，且 ， ∴数轴沿表示1的点折叠， ∴表示 的点与表示数 的点重合． 故答案为： ． 5．已知有理数x、y满足等式 ，那么 ． 【详解】∵有理数x、y满足等式 ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ 故答案为： ． （3）解： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ； （4）解： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ． 6．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ； 7．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）某慰问团队巡视各调研点，乘车从单位出发，沿东西向公路慰问调研，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）： ． (1)该团队乘车最后到达距离单位 千米的 面（填“东”或“西”） (2)若该团队在这7个调研点发放苹果慰问品，以20kg为标准，超过的记为正数，不足的记为负数，这7个调研点的苹果重量记为 （单位：kg），求发放苹果的总重量． 【详解】（1）解： ； 即：该团队乘车最后到达距离单位15千米的西面； 故答案为：15，西； （2） ； 答：发放苹果的总重量为 ． $$