专题04 实数（6个考点清单+16种题型解读）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

专题04 实数（考点清单，6个考点清单+16种题型解读） 【清单01 平方根、算术平方根】 1. 定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做 a 的平方根，也叫做 a 的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 2.算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。 【清单02 立方根】 1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． 总结： 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 【清单03 实数】 1. 实数的分类 2. 无理数的概念 无限不循环小数称为无理数。 【清单04 实数的大小比较】 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设a、b是实数， （3）求商比较法：设a、b是两正实数 （4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。 （5）平方法：设a、b是两负实数，则。 【清单05 实数的运算】 实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。 有理数除法运算法则就什么？ 有理数除法运算法则可用两种方式来表述：第一，除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数；第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不为零的数，商都是零。 【清单06 近似数】 1. 取一个数的近似数有多种方法,四舍五入 是最常用的一种方法 2.有效数字定义: 对一个近似数，从左面第一个不是零的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字。 【考点题型一 平方根、算术平方根、实数的相关概念理解】 【例1】下列说法错误的是（    ） A．是9的平方根 B．的平方根为 C．25的平方根为 D．负数没有平方根 【变式1-1】下列说法正确的是（    ） A．0的平方根与算术平方根都是0 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．的平方根是 【变式1-2】下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④是的平方根．其中正确的有 ． 【变式1-3】在下列四个说法中：①；②每个实数都有一个立方根；③无理数与无理数的和一定也是无理数；④全体实数和数轴上的点一一对应．正确的是 ． 【变式1-4】把下列各数填入相应的集合里： ，，，，，（两个之间依次增加一个）． 正数集合：        ； 质数集合：        ； 有理数集合：        ； 无理数集合：        ． 【考点题型二 求平方根、立方根的计算题】 【例2】若与是同一个正数的平方根，则这个正数为（　　） A．4 B．4或100 C．100 D． 【变式2-1】若，，则的值是（    ） A．12 B．12或4 C．12或 D．或 【变式2-2】计算： ． 【变式2-3】 ． 【变式2-4】计算下列各题 (1) (2) 【考点题型三 实数的计算题】 【例3】计算：（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式3-1】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】计算 ． 【变式3-3】计算： ． 【变式3-4】计算： (1)； (2)． 【考点题型四 利用算术平方根的非负性解题】 【例4】已知，那么的值为（     ） A． B．1 C． D． 【变式4-1】若，则=（     ） A．－15 B．－9 C．9 D．15 【变式4-2】若，为实数，且，则的值为 ． 【变式4-3】若、满足，则 ． 【变式4-4】若a，b是一直角三角形的两边长，且满足等式． (1)求a，b的值； (2)求第三边的长． 【考点题型五 估算算术平方根的取值范围】 【例5】估算值是在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【变式5-1】已知，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】若已知是一个无理数，且，请写出一个满足条件的值 ． 【变式5-3】已知，，则 ． 【变式5-4】一个数值转换器如图所示： (1)满足输入条件的x的取值范围是_________； (2)输出y的最小值是_________； (3)若，求满足题意的x值． 【考点题型六 求算术平方根的整数部分与小数部分】 【例6】若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 【变式6-1】已知．若为整数且，则的值为（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 【变式6-2】已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 【变式6-3】已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【变式6-4】如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1． （1）求图甲中阴影正方形的面积和边长； （2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）． 解：（1）甲：面积______；边长______． （2）乙：边长______，该边长的整数部分为______该边长的小数部分为______． 【考点题型七 与平方根有关的规律计算题】 【例7】已知，，，，…，依上述规律，=（   ） A．2013 B．2015 C．1007 D．1008 【变式7-1】将一组数…按以下方式进行排列： 第一行             第二行         2           第三行              …                …… 则第八行左起第1个数是（    ）． A． B． C． D． 【变式7-2】已知：，，，根据此规律 ． 【变式7-3】按要求填空： （1）填表： 0.0004 0.04 4 400 （2）根据你发现规律填空： 已知：，则 ， ； 已知：，，则 ． 【变式7-4】观察下表： a … 0.0004 0.04 4 400 40000 … … 0.02 m 2 20 n … (1)表格中的______，______． (2)表中a与存在的规律为把a的小数点向左（或向右）移动两位，的小数点相应的向左（或向右）移动______位． (3)利用（2）中的规律，解答下列问题： ①已知，则______； ②已知，若，求a的值． 【考点题型八 立方根的实际应用】 【例8】在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，并令正方体铁块完全浸没在盛满水的圆柱体烧杯中．若用一量筒量得铁块排出的水的体积为，则该正方体铁块的棱长为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】2024年的母亲节来临之际，小康和小明分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小康制作的正方体礼盒的表面积为，而小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小，则小明制作的正方体礼盒的表面积为（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的棱长为 ． 【变式8-3】已知一个正方体的体积是1000，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积488，则截去的每小正方体的棱长是 cm． 【变式8-4】如图，是一块体积为的立方体铁块． (1)求这个铁块的棱长； (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个小立方体铁块，其中一个的体积为，求另一个小立方体铁块的棱长． 【考点题型九 算术平方根和立方根的综合应用】 【例9】已知，如果是的算术平方根，是的立方根，则的值为（    ） A． B．17 C． D．19 【变式9-1】已知，的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根（    ）． A． B．12 C．13 D． 【变式9-2】若是的算术平方根，，则的立方根为 ． 【变式9-3】观察：=0.2477， =2.477， =1.8308，=18.308；填空：① = ，②若 =0.18308，则x= ． 【变式9-4】已知，表示的算术平方根，，表示的立方根． (1)求m、n的值； (2)求M和N的值； (3)求的平方根． 【考点题型十 实数的分类】 【例10】关于实数和，下列判断中，正确的是（    ） A．都不是分数 B．都是分数 C．是分数，不是分数 D．不是分数，是分数 【变式10-1】下列说法中，①任意一个数都有两个平方根．②的平方根是．③的立方根是．④是一个分数．⑤是一个无理数．其中正确的有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式10-2】在下列实数，3.1415926，，0，16，，，1.103030030003…（两个3之间依次多一个0），中，非负整数有 【变式10-3】在这7个数中，无理数共有 个． 【变式10-4】把下列各数分别填入相应的集合中： ，，，，，，，，，相邻的两个之间依次多一个． (1)无理数集合：________________________________________ (2)有理数集合：________________________________________． (3)分数集合：_______________________． (4)负无理数集合：_____________． 【考点题型十一 实数的大小比较】 【例11】在实数，3，，0中，最小的是（   ） A． B． C． D．0 【变式11-1】已知：，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】比较大小： .（填“”“”或“”） 【变式11-3】比较大小： ．（填“”或“”）． 【变式11-4】已知，比较x，，，的大小． 【考点题型十二 无理数整数部分的有关计算】 【例12】的整数部分为，小数部分为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】定义：不大于实数的最大整数部分，记作．例如：，，按此规定，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】若的整数部分为 ． 【变式12-3】已知的小数部分是n，则n是 ． 【变式12-4】阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 【考点题型十三 程序设计与实数运算】 【例13】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为81时，输出的y是（    ） A． B．9 C． D． 【变式13-1】按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】小壮设计了一个小程序如图所示，当输入的x值为2时，y的相反数为 ． 【变式13-3】有一个数值转换机，原理如下：当输入的时，输出的 ． 【变式13-4】如图是一个按运算规则进行的数值转换器： (1)若输入的x为16，则输出的y值是 ； (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，则x的值是 ； (3)若输出y的值是，请写出两个满足要求的x值 ． 【考点题型十四 新定义下的实数运算】 【例14】定义一种新的运算：对于任意实数，有，则)的值是（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】对于整数，定义为不大于的最大整数，例如：，，．对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为1，对整数进行3次操作后变为2，则的最大值为（    ） A．80 B．6400 C．6561 D．6560 【变式14-2】对于两个不相等的实数，定义一种新的运算如下，如:，那么 ． 【变式14-3】我们用表示不大于的最大整数，如：，，. （1） ； （2）若，则的取值范围是 . 【变式14-4】定义新运算“”：当时，；当时，． (1)填空：________； (2)若，求x的值． 【考点题型十五 与实数运算相关的规律题】 【例15】观察下列各式：，依次类推请你用发现的规律表示第2021个等式的结果，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】将一组数，，3，，，…按如图所示的方法进行排列，若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为 ． 【变式15-3】已知数列：，，，，，……那么第6个数是 ． 【变式15-4】观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，猜想： (1)______； (2)______（n为正整数）； (3)利用上面的规律计算：． 【考点题型十六 近似数】 【例16】下列说法正确的是（    ） A．精确到十分位是 B．近似数万精确到千位 C．近似数精确到个位 D．近似数与意义一样 【变式16-1】小明体重为 ，这个数精确到十分位的近似值为（  ） A． B． C． D． 【变式16-2】太阳和地球之间的平均距离大约是149600000千米．这个数改写成用“万”作单位的数是 ，省略“亿”后面的尾数约是 ． 【变式16-3】2022年6月，我国自主设计、自主建造的福建号航空母舰顺利下水，据公开的数据显示，福建号航空母舰的甲板面积大约是一万九千五百平方米，满载排水量在8万吨级左右．横线上的数写作( )，“四舍五入”到万位约是( )万． 【变式16-4】按括号里的要求对下列各数取近似值． (1)1．5982（精确到 (2)0．03049（精确到 (3)33074（精确到百位） (4)816056．1（精确到 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 实数（考点清单，6个考点清单+16种题型解读） 【清单01 平方根、算术平方根】 1. 定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做 a 的平方根，也叫做 a 的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 2.算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。 【清单02 立方根】 1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． 总结： 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 【清单03 实数】 1. 实数的分类 2. 无理数的概念 无限不循环小数称为无理数。 【清单04 实数的大小比较】 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设a、b是实数， （3）求商比较法：设a、b是两正实数 （4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。 （5）平方法：设a、b是两负实数，则。 【清单05 实数的运算】 实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。 有理数除法运算法则就什么？ 有理数除法运算法则可用两种方式来表述：第一，除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数；第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不为零的数，商都是零。 【清单06 近似数】 1. 取一个数的近似数有多种方法,四舍五入 是最常用的一种方法 2.有效数字定义: 对一个近似数，从左面第一个不是零的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字。 【考点题型一 平方根、算术平方根、实数的相关概念理解】 【例1】下列说法错误的是（    ） A．是9的平方根 B．的平方根为 C．25的平方根为 D．负数没有平方根 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，正数有两个平方根互为相反数，负数没有平方根．根据平方根的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、是9的平方根，正确，故本选项不符合题意； B、的平方根为，故B不正确，故本选项符合题意； C、25的平方根为，正确，故本选项不符合题意； D、负数没有平方根，正确，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】下列说法正确的是（    ） A．0的平方根与算术平方根都是0 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．的平方根是 【答案】A 【分析】本题考查平方根的定义及运算，根据平方根的定义逐项验证即可得到答案，熟记平方根的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、0的平方根与算术平方根都是0，原说法正确，符合题意； B、由平方根定义，被开方数非负，故的算术平方根是，原说法错误，不符合题意； C、，则的平方根是，故的平方根是，原说法错误，不符合题意； D、由平方根定义，被开方数非负，故的平方根是，说法错误，不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④是的平方根．其中正确的有 ． 【答案】④ 【分析】本题主要考查实数的有关概念，解答本题的关键在于明确每个概念的要义． ①根据实数与数轴上的点的关系判断即可； ②根据无理数的定义判断即可； ③根据立方根的定义判断即可； ④根据平方根的定义判断即可． 【详解】解：①实数和数轴上的点一一对应，故①说法错误； ②分数和整数统称为有理数，不带根号的数不一定是有理数，如，故②说法错误； ③负数有立方根，如的立方根是，故③说法错误； ④的立方根， ∴是的一个立方根，故④说法正确． 故答案：④． 【变式1-3】在下列四个说法中：①；②每个实数都有一个立方根；③无理数与无理数的和一定也是无理数；④全体实数和数轴上的点一一对应．正确的是 ． 【答案】②④/④② 【分析】根据平方根、立方根、无理数以及数轴上的点的概念逐个分析即可． 【详解】解：当时，，当时，，所以①错误； 每一个实数都有立方根，不论是正数负数还是零，所以②正确； 无理数与无理数的和不一定是无理数，例如两个相反的无理数相加和为0，0 是有理数，所以③错误； 任意一个实数有且仅有一个数轴上的点与之对应，反之亦然，所以全体实数和数轴上的点一一对应，所以④正确； 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义、立方根的定义、无理数的定义及实数与数轴的关系，熟练掌握定义是解题的关键． 【变式1-4】把下列各数填入相应的集合里： ，，，，，（两个之间依次增加一个）． 正数集合：        ； 质数集合：        ； 有理数集合：        ； 无理数集合：        ． 【答案】正数集合：； 负数集合：； 有理数集合：； 无理数集合：． 【分析】根据实数的分类，逐一判断即可解答． 【详解】解：正数集合：； 负数集合：； 有理数集合：； 无理数集合：． 【点睛】此题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键，实数分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数． 【考点题型二 求平方根、立方根的计算题】 【例2】若与是同一个正数的平方根，则这个正数为（　　） A．4 B．4或100 C．100 D． 【答案】B 【分析】根据平方根的性质即可求出答案．本题考查算术平方根，解题的关键是正确理解平方根的性质，本题属于基础题型． 【详解】解：∵与是同一个正数的平方根， 当， ， ， 这个正数为4， 当 ∴ ∴ ∴一个正数是 故选：B． 【变式2-1】若，，则的值是（    ） A．12 B．12或4 C．12或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查立方根、平方根，解题的关键是熟练掌握平方根、立方根的定义．根据平方根和立方根先求出，即可求解． 【详解】由题意得：， ∴或 故选：D． 【变式2-2】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据零指数幂和负整数指数幂运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2-3】 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，先计算算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，再计算加减法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式2-4】计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1) (2)0 【分析】此题主要考查了实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握算术平方根、立方根、绝对值的运算． （1）先利用算术平方根、立方根的性质进行化简，再进行加减即可； （2）先利用算术平方根、立方根及绝对值的性质进行化简，再进行加减即可． 【详解】（1）原式， ； （2）原式， 【考点题型三 实数的计算题】 【例3】计算：（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的运算、化简绝对值，正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．依据各数的符号化去绝对值，再加减运算即可． 【详解】解： ． 故选：D 【变式3-1】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根与立方根．根据算术平方根与立方根的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【变式3-2】计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先分别求出算术平方根，立方根，然后再进行加减运算． 【详解】解：， 故答案为： 【变式3-3】计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算乘方，然后计算加减即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【变式3-4】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算： （1）先计算算术平方根和立方根，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算算术平方根和绝对值，再计算乘方，最后计算加法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【考点题型四 利用算术平方根的非负性解题】 【例4】已知，那么的值为（     ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】先根据非负数的性质，把所给的式子进行变形，得出，求出、的值，再代入求值即可．本题考查了完全平方公式，乘方运算；解题的关键是根据非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0进行解答． 【详解】解：， ， ，， 解得，， ． 故选：B． 【变式4-1】若，则=（     ） A．－15 B．－9 C．9 D．15 【答案】D 【分析】此题主要考查了算术平方根的非负性质，正确得出，的值是解题关键．非负数和的值均为0时，算术平方根才有意义，直接利用算术平方根的非负性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ，， ， 当时，， ． 故选：D 【变式4-2】若，为实数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，负整数指数幂，熟练算术平方根的非负性和负整数指数幂的求法是解题的关键．先利用和求出，再求出，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， 代入， 得：， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】若、满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，根据非负数的性质得到，则，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 【变式4-4】若a，b是一直角三角形的两边长，且满足等式． (1)求a，b的值； (2)求第三边的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了算术平方根的性质，勾股定理： （1）根据算术平方根的性质可得，从而得到，即可求解； （2）分两种情况：若第三边为斜边，若为斜边，结合勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：若第三边为斜边，第三边的长为； 若为斜边，第三边的长为； 综上所述，第三边的长为或． 【考点题型五 估算算术平方根的取值范围】 【例5】估算值是在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的估算，先估算出的取值范围，再得出的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴值是在6和7之间， 故选：D 【变式5-1】已知，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，根据被开方数的小数点每向右（左）移动两位，其算术平方根的小数点每向右（左）移动一位进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ，这两个式子都不成立， 故选：A． 【变式5-2】若已知是一个无理数，且，请写出一个满足条件的值 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查无理数的概念，根据算术平方根的性质先确定的取值范围即可解．解题的关键是掌握无理数的概念：无限不循环小数． 【详解】解：∵是一个无理数，且， ∴， ∴可以取． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式5-3】已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，根据被开方数每向左（向右）移动两位，则开方的结果的向左（向右）移动一位进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式5-4】一个数值转换器如图所示： (1)满足输入条件的x的取值范围是_________； (2)输出y的最小值是_________； (3)若，求满足题意的x值． 【答案】(1)，且x为整数 (2) (3)22、23 【分析】本题考查了算术平方根，解一元一次不等式，解决本题的关键是熟记算术平方根． （1）根据算术平方根的非负性求解即可； （2）根据题意得到求出，得到当时，y有最小值，然后代数求解即可； （3）根据题意得到，然后求解即可． 【详解】（1）∵ ∴，且x为整数； （2） ∴ ∴ ∵，且x为整数； ∴当时，y有最小值 ∴ ∴输出y的最小值是； （3）∵ ∴ ∴ ∴ ∵x为整数 ∴，23． 【考点题型六 求算术平方根的整数部分与小数部分】 【例6】若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估计无理数的大小．根据，可得x和y的值． 【详解】解：∵， ∴，， 故选：C． 【变式6-1】已知．若为整数且，则的值为（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【分析】由题意可直接进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键． 【变式6-2】已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴9的平方根是； 故答案为． 【变式6-3】已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【答案】 【分析】根据的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解， 本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：∵的整数部分是，小数部分是，， ∴，， 故答案为：，． 【变式6-4】如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1． （1）求图甲中阴影正方形的面积和边长； （2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）． 解：（1）甲：面积______；边长______． （2）乙：边长______，该边长的整数部分为______该边长的小数部分为______． 【答案】（1）10；；（2）；2； 【分析】本题考查了作图，无理数等知识． （1）根据用整体正方形的面积减去周围四个三角形的面积即可； （2）令正方形的边长为即可，再根据算术平方根的估算即可求解． 【详解】解：（1）面积为， 边长为：； 故答案为：10；； （2）正方形如图所示， 面积为， 边长为：； ， 该边长的整数部分为2；该边长的小数部分为． 故答案为：；2； 【考点题型七 与平方根有关的规律计算题】 【例7】已知，，，，…，依上述规律，=（   ） A．2013 B．2015 C．1007 D．1008 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根定义的应用，数字规律的探索，解此题的关键是能根据算术平方根得出规律，难度适中．根据式子得出，，，，由此得出规律，即可得出答案． 【详解】解：… ， 故选：D． 【变式7-1】将一组数…按以下方式进行排列： 第一行             第二行         2           第三行              …                …… 则第八行左起第1个数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得． 【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第1个数是， 故选：C． 【变式7-2】已知：，，，根据此规律 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的化简，根据已知的式子得到规律是解题的关键．根据前边的三个式子可以得到，所得结果的整数部分是1，后边的部分的分子为1，分母是两个相邻的整数的乘积，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得． 故答案为：． 【变式7-3】按要求填空： （1）填表： 0.0004 0.04 4 400 （2）根据你发现规律填空： 已知：，则 ， ； 已知：，，则 ． 【答案】 0.02 0.2 2 20 26.83 0.02683 3800 【分析】本题考查了数字类规律探究，算术平方根，根据解题过程找出一般规律是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据计算找出规律即可得到答案． 【详解】（1），，，， 填表如下： a （2）由以上解答过程发现：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，则它的算术平方根扩大或缩小10倍， ，； ， ， ∵， ． 故答案为0.02、0.2、2、20；26.38，0.02683，3800． 【变式7-4】观察下表： a … 0.0004 0.04 4 400 40000 … … 0.02 m 2 20 n … (1)表格中的______，______． (2)表中a与存在的规律为把a的小数点向左（或向右）移动两位，的小数点相应的向左（或向右）移动______位． (3)利用（2）中的规律，解答下列问题： ①已知，则______； ②已知，若，求a的值． 【答案】(1)， (2)一 (3)①；② 【分析】本题考查算术平方根中的规律探索题： （1）根据算术平方根求解即可； （2）观察（1）中表格数据，找出规律； （3）利用（2）中找出的规律求解． 【详解】（1）解：根据表格数据，，， （2）根据表格数据，被开方数a的小数点每向左（或向右）移动两位，相应的算术平方根的小数点就向左（或向右）移动一位． （3）①已知，则， ②已知，若，则． 【考点题型八 立方根的实际应用】 【例8】在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，并令正方体铁块完全浸没在盛满水的圆柱体烧杯中．若用一量筒量得铁块排出的水的体积为，则该正方体铁块的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根，掌握立方根的定义是正确计算的前提．根据正方体体积为进行计算即可． 【详解】解：根据题意可知，正方体的体积为， 因此棱长为， 故选：A． 【变式8-1】2024年的母亲节来临之际，小康和小明分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小康制作的正方体礼盒的表面积为，而小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小，则小明制作的正方体礼盒的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查立方根的实际应用； 设小康制作的正方体礼盒的边长为a，根据表面积公式先求出，从而求出小康制作的正方体礼盒的体积，再根据小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小即可求解． 【详解】设小康制作的正方体礼盒的边长为a， 则，解得： ∴小康制作的正方体礼盒的体积为： ∵小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小 ∴小明制作的正方体礼盒的体积为 ∴小明制作的正方体礼盒的边长为 ∴小明制作的正方体礼盒的表面积为 故选：C． 【变式8-2】如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的棱长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查立方根的实际应用，结合已知条件求得每个方块的体积是解题的关键．根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可． 【详解】解：由题意可得每个方块的体积为 则其边长为 故答案为：． 【变式8-3】已知一个正方体的体积是1000，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积488，则截去的每小正方体的棱长是 cm． 【答案】4 【分析】此题主要考查了立方根的应用，设截得的每个小正方体的棱长，根据已知条件可以列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是，则 由题意得， 解得． 答：截去的每个小正方体的棱长是． 故答案为：4． 【变式8-4】如图，是一块体积为的立方体铁块． (1)求这个铁块的棱长； (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个小立方体铁块，其中一个的体积为，求另一个小立方体铁块的棱长． 【答案】(1)这个铁块的棱长为 (2)另一个小立方体铁块的棱长为 【分析】本题考查立方根的应用，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据正方体的体积公式和立方根的定义进行解答； （2）根据题意列出式子再进行计算即可． 【详解】（1）根据题意，得 铁块的棱长为， 答：这个铁块的棱长为． （2）设另一个小立方体铁块的棱长为， 则． ∵， ∴． 答：另一个小立方体铁块的棱长为． 【考点题型九 算术平方根和立方根的综合应用】 【例9】已知，如果是的算术平方根，是的立方根，则的值为（    ） A． B．17 C． D．19 【答案】B 【分析】本题考查了平方根、立方根和绝对值的计算，熟练掌握计算规则是解题关键． 先通过算出的值，再算出，进而可得到最后结果． 【详解】解：∵ ∴ ∵是的算术平方根，是的立方根， ∴， ∴ ∴ 故选：B ． 【变式9-1】已知，的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根（    ）． A． B．12 C．13 D． 【答案】C 【分析】根据平方根，立方根的定义即可得到x、y的值，最后代入求解，再计算出其算术平方根即可得到答案． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， 又∵的立方根是3， ∴， ∴把x的值代入解得： ， ∴， ∴， ∴的算术平方根为， 故答案选：C． 【点睛】此题考查了平方根，立方根的概念，解题关键是根据定义判断出一个非负数的算术平方根，借助乘方运算来寻找答案． 【变式9-2】若是的算术平方根，，则的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是立方根及算术平方根的定义，掌握立方根及算术平方根的定义是解题的关键．根据题意列出关于、的方程，求出、的值，即可求解． 【详解】∵是的算术平方根， ∴，， 解得：，， ∴，， ∴的立方根为， 故答案为：． 【变式9-3】观察：=0.2477， =2.477， =1.8308，=18.308；填空：① = ，②若 =0.18308，则x= ． 【答案】 【分析】根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位；立方根的规律为，根号内的小数点移动3位，其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致． 【详解】解：∵=2.477， ∴， ∵=1.8308，=0.18308， ∴ 故答案为：，． 【点睛】本题考查了算术平方根与立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键． 【变式9-4】已知，表示的算术平方根，，表示的立方根． (1)求m、n的值； (2)求M和N的值； (3)求的平方根． 【答案】(1)， (2) (3)4 【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义，即可得出m和n的值； （2）将m和n的值代入M和N即可求解； （3）将（2）中得出的M和N的值相加即可． 【详解】（1）解：∵表示的算术平方根， ∴， 解得：， ∵表示的立方根， ∴， 把代入得：， 解得：， 综上：，； （2）解：∵，， ∴，， 综上：； （3）解：∵， ∴． 【点睛】本题考查了平方根和立方根，明确平方根和立方根的意义，熟练运用相关知识求解是解题关键． 【考点题型十 实数的分类】 【例10】关于实数和，下列判断中，正确的是（    ） A．都不是分数 B．都是分数 C．是分数，不是分数 D．不是分数，是分数 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的定义有关知识，分数是有理数．利用有理数的定义进行判断即可． 【详解】是分数，是有理数，是无理数，不是分数， 故选：C． 【变式10-1】下列说法中，①任意一个数都有两个平方根．②的平方根是．③的立方根是．④是一个分数．⑤是一个无理数．其中正确的有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了实数，利用平方根、立方根的意义，无理数的意义是解题关键．根据平方根、立方根的意义，无理数的意义，可得答案． 【详解】解：①负数没有个平方根，故①不符合题意； ②的平方根是，故②符合题意； ③的立方根是，故③不符合题意； ④是一个无理数，故④不符合题意； ⑤是一个无理数，故⑤符合题意； 故选：． 【变式10-2】在下列实数，3.1415926，，0，16，，，1.103030030003…（两个3之间依次多一个0），中，非负整数有 【答案】0，16， 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．实数还可以分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数． 【详解】解： ， 1.103030030003…（两个3之间依次多一个0），是无理数； 是分数，3.1415926是小数，是负整数； 0，16，是非负整数． 故答案为：0，16，． 【变式10-3】在这7个数中，无理数共有 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．根据无理数即无限不循环小数，即可得到答案． 【详解】解：在这7个数中，无理数有，共有2个． 故答案为：2． 【变式10-4】把下列各数分别填入相应的集合中： ，，，，，，，，，相邻的两个之间依次多一个． (1)无理数集合：________________________________________ (2)有理数集合：________________________________________． (3)分数集合：_______________________． (4)负无理数集合：_____________． 【答案】(1)，，，，相邻的两个之间依次多一个 (2)，，，， (3)，， (4)， 【分析】此题考查了实数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．根据无理数，有理数，分数，负无理数的定义求解即可． 【详解】（1）无理数集合：，，，，相邻的两个之间依次多一个， 故答案为：，，，，相邻的两个之间依次多一个， （2）有理数集合：，，，，， 故答案为：，，，，， （3）分数集合：，，， 故答案为：，，， （4）负无理数集合：，， 故答案为：，， 【考点题型十一 实数的大小比较】 【例11】在实数，3，，0中，最小的是（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数比较大小，先根据得到，再推出，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴四个数中最小的数是， 故选：C． 【变式11-1】已知：，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘方，负整数指数幂和零指数幂．计算负整数指数幂，无理数的估算，零指数幂，求出、的值，估算，再比较即可． 【详解】解：，，， ． 故选：B． 【变式11-2】比较大小： .（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．先比较与的大小，再根据两个负数的大小比较法则解题即可． 【详解】解：， ∵， 故答案为：． 【变式11-3】比较大小： ．（填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，利用作差法得到，再判断的符号即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式11-4】已知，比较x，，，的大小． 【答案】. 【分析】本题考查了实数大小的比较，属于基础题． 利用不等式的性质及作差法即可得出． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 【考点题型十二 无理数整数部分的有关计算】 【例12】的整数部分为，小数部分为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算、求代数式的值，先估算出，从而即可得出、的值，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵的整数部分为，小数部分为， ∴，， ∴， 故选：A． 【变式12-1】定义：不大于实数的最大整数部分，记作．例如：，，按此规定，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的大小估算，负整数指数幂的计算，先根据新定义以及无理数的估算得出a，b的值，然后再计算负整数指数幂的计算． 【详解】解：， ∴ ， ， ∴ ， ， 故选B． 【变式12-2】若的整数部分为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了无理数的估算，先利用夹逼法估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可找出其整数部分． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴的整数部分为1， 故答案为：1． 【变式12-3】已知的小数部分是n，则n是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求算术平方根的整数部分和小数部分．根据的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解， 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是2， ∴， 故答案为：． 【变式12-4】阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查无理数的整数部分与小数， （1）根据材料提示，即，由此即可求解； （2）根据材料提示可得，，代入计算即可求解； （3）根据材料提示可得的小数部分，由此可得的值，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为，小数部分为， 故答案为：； （2）解：∵，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵的整数部分为， ∴， ∵是整数，，且， ∴， ∴， ∴的相反数为． 【考点题型十三 程序设计与实数运算】 【例13】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为81时，输出的y是（    ） A． B．9 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的定义，实数的分类．解答此类题目的关键是弄清题目中所给的运算程序．把64按给出的程序逐步计算即可． 【详解】解：由题中所给的程序可知：把81取算术平方根，结果为9， 因为9是有理数，所以再取算术平方根，结果为3， 因为3是有理数，所以再取算术平方根，结果为，是无理数，故． 故选：A． 【变式13-1】按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数，算术平方根及立方根，根据题意，利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可，理解题干中的运算程序并进行正确的计算是解题的关键． 【详解】解：若开始输入的的值是64，则其立方根为4，它是有理数； 然后求得4的算术平方根是2，它是有理数； 则2的立方根为，它是无理数，输出答案； 故选：C． 【变式13-2】小壮设计了一个小程序如图所示，当输入的x值为2时，y的相反数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了程序图的运算，求算术平方根和立方根，无理数的判断，相反数的概念等知识，解题的关键是根据题意列出算式． 根据程序图将代入利用算术平方根和立方根的性质求解即可． 【详解】当输入的x值为2时， ∴64的算术平方根为8，是有理数 ∴8的立方根为2，是有理数， ∴2的算术平方根为，是无理数 ∴输出 ∴y的相反数为． 故答案为：． 【变式13-3】有一个数值转换机，原理如下：当输入的时，输出的 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，理解算术平方根、有理数、无理数的意义是正确解答的关键．根据数值转换器，输入，进行计算，一直到是无理数则输出即可． 【详解】解：第1次计算得，，而4是有理数， 因此第2次计算得，，而2是有理数， 因此第3次计算得，是无理数，则输出． 故答案为：． 【变式13-4】如图是一个按运算规则进行的数值转换器： (1)若输入的x为16，则输出的y值是 ； (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，则x的值是 ； (3)若输出y的值是，请写出两个满足要求的x值 ． 【答案】(1) (2)0或1 (3)5，25（答案不唯一） 【分析】（1）由，，，即可得到答案； （2）根据1和0的算术平方根还等于它本身，即可做出解答； （3）根据题意写出两个满足要求的x值即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴输入的x为16，输出的y值是， 故答案为： （2）∵1和0的算术平方根还等于它本身， ∴输入0或1后，始终输不出y值， 故答案为：0或1 （3）∵，5的算术平方根是， ∴两个满足要求的x值可以是25或5． 故答案为：5，25（答案不唯一） 【点睛】此题考查了算术平方根、实数的分类，熟练掌握算术平方根的求法是解题的关键． 【考点题型十四 新定义下的实数运算】 【例14】定义一种新的运算：对于任意实数，有，则)的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义可得，据此计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：D． 【变式14-1】对于整数，定义为不大于的最大整数，例如：，，．对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为1，对整数进行3次操作后变为2，则的最大值为（    ） A．80 B．6400 C．6561 D．6560 【答案】D 【分析】本题本题考查了估算无理数的大小，的定义，熟知估算无理数大小的方法是解决此题的关键．由的定义为不大于的最大整数，6560进行3次操作后变为2，6561进行3次操作后变为3，据此可得出m的最大值． 【详解】解：∵，，， ∴对6560只需进行3次操作后变为2， ∵，，， ∴只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是6560， ∴m的最大值为6560． 故选：D． 【变式14-2】对于两个不相等的实数，定义一种新的运算如下，如:，那么 ． 【答案】/0.4 【分析】本题考查了新定义实数的运算，根据题意列式计算即可得出答案，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式14-3】我们用表示不大于的最大整数，如：，，. （1） ； （2）若，则的取值范围是 . 【答案】 1 / 【分析】本题主要考查了无理数的估算，新定义： （1）估算无理数的大小，再根据的意义进行计算即可； （2）根据的意义得到，进而得出x的取值范围即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式14-4】定义新运算“”：当时，；当时，． (1)填空：________； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了实数的运算以及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解题的关键． （1）先判断与的大小，然后根据题中的新规定运算即可； （2）分两种情况讨论：当时或当时，分别计算即可． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：； （2）当时，即时，， 可得，解得； 当时，即时，， 可得，解得（舍去）， 所以，的值为5． 【考点题型十五 与实数运算相关的规律题】 【例15】观察下列各式：，依次类推请你用发现的规律表示第2021个等式的结果，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数、规律题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．探究规律．利用规律即可解决问题． 【详解】解：∵… ∴用含的等式表示为， ∴第2021个等式为． 故选：C． 【变式15-1】按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究，根据已有数据，得到第个数为，进而求出第8个数即可． 【详解】解：，，，， ∴第个数为， ∴第8个数为； 故选C． 【变式15-2】将一组数，，3，，，…按如图所示的方法进行排列，若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为 ． 【答案】 【分析】本题考查规律型：实数运算．根据题意可以得到每行五个数，且根号里面的数都是3的倍数，从而可以得出最大的有理数所在的位置，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，每五个数为一行，且被开方数是3的倍数， 的被开方数是的被开方数3的30倍， ， 所以位于第六行第五个数，记为． 故最大的有理数位于第6行第2个数，记为． 故答案为：． 【变式15-3】已知数列：，，，，，……那么第6个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查规律探索问题，结合已知数据总结出规律是解题的关键． 根据已知数据总结规律后即可求得． 【详解】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 第4个数：； 故第6个数：； 故答案为：． 【变式15-4】观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，猜想： (1)______； (2)______（n为正整数）； (3)利用上面的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查实数运算的数字型规律探索，探索出运算规律是解题的关键．分别将每个式子变形为和式子序列号有关的形式，即可发现规律，即可解答． 【详解】（1）解：根据规律可得：, 故答案为：； （2）解：根据规律可得：， 故答案为：； （3）解：． 【考点题型十六 近似数】 【例16】下列说法正确的是（    ） A．精确到十分位是 B．近似数万精确到千位 C．近似数精确到个位 D．近似数与意义一样 【答案】B 【分析】本题考查指出近似数的精确数位．根据近似数的精确方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、精确到十分位是，选项不符合题意； B、近似数万精确到千位，选项符合题意； C、近似数精确到千分位，选项不符合题意； D、近似数与，精确度不一样，意义不一样，选项不符合题意； 故选B． 【变式16-1】小明体重为 ，这个数精确到十分位的近似值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的近似数，精确到十分位，只需要对百分位上的数字进行四舍五入即可，熟练掌握精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入是解题的关键． 【详解】解：精确到十分位的结果为， 故选：． 【变式16-2】太阳和地球之间的平均距离大约是149600000千米．这个数改写成用“万”作单位的数是 ，省略“亿”后面的尾数约是 ． 【答案】 14960万 1亿 【分析】本题考查近似数字，注意改写和求近似数时要带计数单位．把一个整万数改写成用“万”作单位的数时，只需去掉末尾的4个0，再加上一个“万”字即可；省略“亿”后面的尾数，就是四舍五入到亿位，就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字，据此写出． 【详解】解：太阳和地球之间的平均距离大约是149600000千米，这个数改写成用“万”作单位的数是14960万，省略“亿”后面的尾数约是1亿． 故答案为：14960万，1亿． 【变式16-3】2022年6月，我国自主设计、自主建造的福建号航空母舰顺利下水，据公开的数据显示，福建号航空母舰的甲板面积大约是一万九千五百平方米，满载排水量在8万吨级左右．横线上的数写作( )，“四舍五入”到万位约是( )万． 【答案】 19500 2 【分析】本题主要考查整数的写法、改写和求近似数，注意改写和求近似数时要带计数单位．根据整数的写法，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，即可写出此数；省略“万”后面的尾数求它的近似数，要把万位的下一位千位上的数进行四舍五入，再在数的后面带上“万”字． 【详解】解：一万九千五百写作：19500； 万． 故答案为：19500，2． 【变式16-4】按括号里的要求对下列各数取近似值． (1)1．5982（精确到 (2)0．03049（精确到 (3)33074（精确到百位） (4)816056．1（精确到 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直接将小数点后第三位四舍五入即可． （2）直接将小数点后第五位四舍五入即可． （3）先用科学记数法表示，然后按要求精确即可． （4）先用科学记数法表示，然后按要求精确即可． 【详解】（1）（精确到．， （2）（精确到． （3）（精确到百位）． （4）（精确到． 【点睛】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字． 止，所有数字都叫这个数的有效数字． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$