串讲03 勾股定理（考点串讲，2个常考点+10种重难点题型+5个易错+押题预测）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

八年级苏科版数学上册期中考点大串讲 串讲03 勾股定理 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 2大常考点：知识梳理 十大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 五大易错易混经典例题+针对训练 精选5道期中真题对应考点练 考点透视 考点一： 勾股定理 1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 在直角三角形中才可以运用 2.勾股定理的应用条件 3.勾股定理表达式的常见变形： a2＝c2－b2, b2＝c2－a2， A B C c a b 勾股定理的3种证明： 赵爽弦图 4 考点透视 考点二：勾股定理逆定理 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2 ， 那么这个三角形是直角三角形. 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 2.勾股数 3.原命题与逆命题 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中 一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题. A B C c a b 题型剖析 题型一：勾股定理的证明 【例1】图中涂色部分是直角边长为a、b，斜边长为c的4个直角三角形.试利用这个图形验证勾股定理. 解：如图， ∵S多边形ABEFG＝S梯形ABDG+S梯形DEFG A B C D E F G =b[(b + (a+b)]+a[(a + (a+b)] =b2 + ab+a2 +ab =a2 +b2 + ab S多边形ABEFG=S正方形ACFG+2S直角三角形ABC =c2 + ab ∴ a2 + b2=c2. 【变式1-1】将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB=90°, 求证：a2+b2=c2. 证明：如图①，连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则DF=EC=b-a. ∵ S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab， S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a(b-a)， ∴ b2+ab=c2+a(b-a). ∴ a2+b2=c2. 请参照上述证法，利用图②完成下面的证明： 将两个全等的直角三角形按图②所示摆放， 其中∠DAB=90°. 求证：a2+b2=c2. 7 证明：如图，连接BD，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于点F， 则BF=b-a. ∵ S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab， S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a(b-a)， ∴ ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a). ∴ a2+b2=c2. F 8 题型剖析 题型二：勾股定理及其应用 【例2】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15. （1）求AB的长； （2）求BD的长． 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°， （2）方法一：∵S△ABC= AC•BC= AB•CD， ∴20×15=25CD， ∴CD=12． ∴在Rt△BCD中， 方法二：设BD=x,则AD=25-x. 解得x=9.∴BD=9. 10 【变式2-1】已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a +b=14cm， c=10cm，求△ABC的面积. 解：∵a+b=14， ∴(a+b)2=196. 又∵a2+b2=c2=100， ∴2ab=196-(a2+b2)=96， ∴ ab=24． 11 【变式2-2】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c. (1)若c=15，b=12，求a的长; (2)若a=11，b=60，求c的长; (3)若a∶b=3∶4，c=10，求a、b的长. 解：(1)∵a2+b2=c2， ∴a2=c2-b2=152-122=81. ∴a=9. (2)∵a2+b2=c2， ∴c2=112+602=3721. ∴c=61. (3)∵a∶b=3∶4， ∴设a=3x，b=4x(x>0). ∵a2+b2=c2， ∴(3x)2+(4x)2=102, 整理，得25x2=100， ∴x2=4. ∴x=2. ∴a=3x=6，b=4x=8. 12 【变式2-3】如图，在△ABC中，AB=AC，BM=CM，AB=13cm，BC=24 cm.求△ABC的面积. B A C M 解：∵AB=AC，BM=CM， ∴AM⊥BC，即∠AMB=90°. 在△ABM中，∠AMB=90°，AB=13 cm， BM=CM=BC=12 cm, 根据勾股定理，得 AM2=AB2-BM2=132-122=25. ∴AM=5 cm. ∴S△ABC=BC·AM=×24×5=60(cm2). 13 【变式2-4】在Rt△ABC中，a=5，b=12，求c2. 解：由勾股定理得：c2=a2+b2=52+122=169. 上面的解答过程正确吗？若不正确，请说明错误的原因并改正. 解：①若c为斜边，由勾股定理得：c2=a2+b2=52+122=169； ②若b为斜边，由勾股定理得：c2=b2-a2=122-52=119. 综上可知，c2的值为169或119. 14 题型剖析 题型三：勾股定理的逆定理 【例3】下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．a=1.5，b=2，c=2.5 B．a：b：c=5：12：13 C．∠A+∠B=∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：5 【分析】A、∵1.52+22=2.52，∴△ABC是直角三角形； B、设a=5x，则b=12x，c=13x，∵(5x)2+(12x)2=(13x)2，∴△ABC是直角三角形； C、∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形； D、设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x，∴3x+4x+5x=180°， 解得：x=15°，则3x=45°，4x=60°，5x=75°，∴△ABC是锐角三角形。 C 【变式3-1】在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是 （　　） A． B． C． D． 【分析】A、∵三边的平方分别为5，8，9，5+8≠9，∴不是直角三角形； B、∵三边的平方分别为5，10，17，5+10≠17，∴不是直角三角形； C、∵三边的平方分别为10，10，20，10+10=20，∴是直角三角形； D、∵三边的平方分别为8，10，10，8+10≠10，∴不是直角三角形。 C 16 【变式3-2】下面四组数，其中是勾股数组的是（　　） A．9，40，41 B．0.3，0.4，0.5 C．32，42，52 D．6，7，8 【分析】A、∵92+402=412，∴是勾股数组； B、∵0.32+0.42≠0.52，∴不是勾股数组； C、∵(32)2+(42)2≠(52)2，∴不是勾股数组； D、∵62+72≠82，∴不是勾股数组。 A 17 【变式3-3】已知a=n2-1，b=2n，c=n2+1，且n为整数（n≥2），求证：a，b，c为勾股数。 证明：∵a=n2-1，b=2n，c=n2+1，且n为整数（n≥2）， ∴a2=(n2-1)2=n4-2n2+1，b2=4n2，c2=(n2+1)2， ∴a2+b2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2=c2， ∴a，b，c为勾股数。 18 题型剖析 题型四：勾股定理与折叠问题 【例4】如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求△ABE的面积. 解：∵长方形折叠，使点B与点D重合， ∴ED=BE. 设AE=xcm，则ED=BE=(9-x)cm， 在Rt△ABE中， AB2+AE2=BE2， ∴32+x2=(9-x)2， 解得x=4. ∴△ABE的面积为3×4×=6(cm2). A B C E F D 【变式4-1】如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm，你能求出CE的长吗？ D B A C E x 10-x 6cm 10-x 10cm ∟ 关于折叠问题，要紧扣折叠前后的对应边，对应角相等. 解：如图，连接BE. ∵A与B折叠后重合， ∴直线DE是线段AB的垂直平分线. ∴BE=AE. 设CE=x，则BE=AE=10-x，在Rt△EBC中，由勾股定理得： BE2＝CE2＋BC2， ∴(10-x)2＝x2＋62，x=3.2. ∴CE=3.2cm. 20 题型剖析 题型五：勾股定理的应用 【例5】如图，一架竹梯长13 m，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5 m. (1)求这个梯子顶端距地面的高度； (2)如果梯子的顶端下滑7 m，那么梯子的底部在水平方向也滑动了7 m吗？为什么？ 解：(1)∵AO⊥BO，AB＝13 m，OB＝5 m，∴AO＝12 m，即梯子顶端距地面的高度为12 m. (2)梯子底部在水平方向也滑动了7 m．理由如下： ∵AC＝7 m，∴OC＝AO－AC＝5 m． 又CD＝AB＝13 m， ∴OD＝12 m， ∴BD＝OD－OB＝12－5＝7(cm)， ∴梯子的底部在水平方向也滑动了7 m. 【变式5-1】如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向南偏东40°的方向航行，乙船以12海里/时的速度向另一方向航行，3小时后，甲船到达B岛，乙船到达C岛,若B,C两岛相距60海里，通过计算说明乙船航行的方向. A 北 东 C B 解：如图，由已知可得AB=16×3=48(海里)，AC=12×3=36(海里)，BC=60海里. ∵482+362=602, ∴AB2+AC2=BC2. ∴△ABC为直角三角形,且∠BAC=90°. ∵∠EAB=40°, ∴∠FAC=180°-40°-90°=50°. ∴乙船是沿北偏东50°方向航行的. 22 【变式5-2】明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC=1尺），将它往前推进两步（EB=10尺），此时踏板升高离地五尺（BD=5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度。 解：设OA=OB=x尺，∵EC=BD=5尺，AC=1尺， ∴EA=EC-AC=4尺，OE=OA-AE=(x-4)尺， 在Rt△OEB中，OE=(x-4)尺，OB=x尺，EB=10尺， 由勾股定理可得：x2=(x-4)2+102，解得：x=14.5， 答：秋千绳索的长度是14.5尺。 23 【变式5-3】在一棵树的10米高的B处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树20米）的池塘边。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高。 解：∵BC=10米，AC=20米， ∴两只猴子所经过的距离相等都为30米， 设树的高度为CD=x米，则DB=(x-10)米，AD=(40-x)米， 由勾股定理可得：x2+202=(40-x)2，解得：x=15m， 答：这棵树高15m。 24 【变式5-4】《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'(示意图如图)，则水深为________尺． 解：如图，设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长AB'=AB=(x+1)尺， Rt△AB'C中，B'C=5尺， 由勾股定理得：B'C2+AC2=AB'2， 即 52+ x2= (x+1)2 25+ x2= x2+2x+1， 2x=24， ∴ x=12. ∴AC=12尺. 12 25 题型剖析 题型六：勾股定理中最短路径问题 【例6】一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm、高是12cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，求它所行的最短路线的长的平方。 解：①如图1：AB2=32+(4+12)2=265(cm2)； ②如图2：AB2=42+(3+12)2=241(cm2)； ③如图3：AB2=122+(3+4)2=193(cm2)； 12 ∵265>241>193， ∴它所行的最短路线的长的平方是193cm2。 【变式6-1】如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，求爬行的最短路程。（π取3） C 解：① AC+BC=8cm+4cm=12m； ②沿AC将圆柱的侧面展开， ∵底面半径为2cm，∴BC==2π≈6(cm)， 在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm， ∴AB2=AC2+BC2=100cm2，AB=10cm。 C B A 综上，∵12m>10cm，∴最短距离为10cm。 27 P A Q 【变式6-2】如图，长方体的长为4 cm，宽为2 cm，高为5 cm. 若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长. Q 4cm 5cm P A 2cm 解:将长方体的侧面展开如图所示: ∵长方体的长为4 cm,宽为2 cm, 高为5 cm, ∴PA=4+2+4+2=12(cm),QA=5 cm. ∴PQ2=PA2+AQ2=169. ∴PQ=13(cm).答:蚂蚁爬行的最短路径长为13 cm. 28 【变式6-3】如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ 解析：蚂蚁由A点沿长方体的表面爬行到C1点，有三种方式： ①沿ABB1A1和A1 B1C1D1面；②沿ABB1A1和BCC1B1面；③沿AA1D1D和A1B1C1D1面，把三种方式分别展成平面图形如下： 29 解：在Rt△ABC1中， 在Rt△ACC1中， 在Rt△AB1C1中， ∴沿路径走路径最短，最短路径长为5. 30 题型剖析 题型七：勾股定理中的方程思想 【例7】如图，在△ABC中，AB=17，BC=9，AC=10，AD⊥BC于D.试求△ABC的面积． 解：在Rt△ABD和Rt△ACD中， AB2-BD2=AD2，AC2-CD2=AD2， 设DC=x，则BD=9+x， 故172-(9+x)2=102-x2， 解得x=6. ∴AD2= AC2−CD2 = 64，∴AD=8. ∴S△ABC= ×9×8=36． 题型剖析 题型八：勾股定理中的分类讨论思想 解：当高AD在△ABC内部时，如图①. 在Rt△ABD中，由勾股定理， 得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162， ∴BD＝16. 在Rt△ACD中，由勾股定理， 得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81， ∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25， ∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60. 【例8】在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长． 当高AD在△ABC外部时，如图②. 同理可得 BD＝16，CD＝9. ∴BC＝BD－CD＝7， ∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC的周长为42或60. 33 题型剖析 题型九：勾股定理中的转化思想 【例9】有一圆柱体高为8cm，底面圆的半径为2cm，如图.在AA1上的点Q处有一只蜘蛛，QA1=3cm，在BB1上的点P处有一只苍蝇，PB=2cm．求蜘蛛爬行的最短路径长(π取3). 解：如图,沿AA1剪开,过Q作QM⊥BB1于M,连接QP. 则PM=8-3-2=3(cm)， QM=A1B1= ×2×π×2=6(cm)， 在Rt△QMP中，由勾股定理得 答：蜘蛛爬行的最短路径长是 cm． 题型剖析 题型十：勾股定理与逆定理的综合应用 【例10】如图，在四边形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．猜想∠A与∠C关系并加以证明． A D B C 解：猜想∠A+∠C=180°． 连接AC. ∵∠ABC=90°， ∴在Rt△ABC中，由勾股定理得 AC2=AB2+BC2=202+152=252 ∵AD2+DC2=242+72=625=252=AC2， ∴△ADC是直角三角形，且∠D=90°， ∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°， ∴∠DAB+∠BCD=180°， 即∠A+∠C=180°． 【变式10-1】有一块空白地，如图，∠ADC=90°，CD=6 m，AD=8 m，AB=26 m，BC=24 m．试求这块空白地的面积． A D B C 解：连接AC.在Rt△ADC中， ∵AC2=AD2+CD2（勾股定理） =82+62=100， ∴AC=10. ∵AC2+BC2=102+242=676=262=AB2， ∴△ACB为直角三角形(勾股定理的逆定理). ∴S空白部分=S△ACB-S△ACD =120-24 =96. ∟ 36 【变式10-2】如图，四边形ABCD是学校的一块空地，经数学兴趣小组的测量可知，∠B=90°，BC=3米，AB=4米，CD=13米，AD=12米．为了提高校园的绿化面积，现学校决定在空地内铺草坪，若铺设每平方米草坪需要30元，则将这块空地全部铺满一层草坪的费用是多少？ A B C D 3 4 12 13 解：如图，连接AC.在Rt△ABC中，由勾股定理得： AC2＝AB2＋BC2＝32＋42，∴AC＝5. ∵AC2＋AD2=52＋122＝169，CD2＝169， ∴CD2＝AC2＋AD2. ∴由勾股定理的逆定理得：∠CAD＝90°. ∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AB·BC＋AC·AD ＝×4×3＋×5×12＝36. ∵36×30=1080（元）， ∴这块地全部种草的费用是1080元． ∟ 37 易错易混 易错点一：勾股定理的证明 1、如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形，若图中大正方形ABCD的面积为34，直角三角形较短的直角边长AH为3，则中间小正方形EFGH的面积为________。 4 【分析】由勾股定理可得：AH2+DH2=AD2， 即32+DH2=34，解得：DH2=25， ∴DH=5（舍去负值）， ∴中间小正方形EFGH的面积为(5-3)2=4。 易错易混 易错点二：运用勾股定理的逆定理证明 2．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.根据你发现的规律，请写出： (1)当a＝19时，b＝________，c＝________； (2)当a＝2n＋1时，求b，c的值； 180 181 解：通过观察知c－b＝1， ∵(2n＋1)2＋b2＝c2， ∴c2－b2＝(2n＋1)2，(b＋c)(c－b)＝(2n＋1)2， ∴b＋c＝(2n＋1)2. 又∵c＝b＋1， ∴2b＋1＝(2n＋1)2， ∴b＝2n2＋2n，c＝2n2＋2n＋1. 易错易混 易错点三：勾股定理在折叠问题中的应用 3. 用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知纸片宽AB＝8cm，长BC＝10cm，折叠时，顶点D落在BC边上点F处，想一想此时EC有多长？ A D C B E F 8cm xcm (8-x)cm 10cm 10cm 6cm 4cm (8-x)cm 注：翻折过后有一个小直角三角形，可以设未知数将三条边都表示出来，这样就可以用勾股定理进行计算； 42+x2=(8-x)2 解得：x=3 易错易混 易错点四：勾股定理中的最短路径问题 4、如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是多少？ 解：如图①， AB2=AC2+BC2=32+(3+8)2=130. 如图②， AB2=AC2+BC2=62+82=100. ∵130>100， ∴AB=10. 答：它所行的最短路线的长是10. B A B A B 3 3 8 A B C 图① 图② 8 易错易混 易错点五：勾股定理中受台风影响问题 5.台风是一种自然灾害，以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力. 如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与点A、B的距离分别为300 km和400 km. AB=500 km，以台风中心为圆心周围250 km以内为受影响区域. (1)海港C会受台风影响吗?为什么? C A B D 解：(1)海港C会受台风影响. 理由:如图,过点C作CD⊥AB于点D. ∵AC=300 km，BC=400 km，AB=500 km, ∴AC2+BC2=AB2. ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°. ∴AC·BC=CD·AB，即×300×400=×CD×500. ∴CD==240(km)<250 km. ∴海港C会受台风影响. 解：(2)如图，当EC=FC=250 km时，台风正好影响海港C.根据勾股定理，得ED2=EC2-CD2=2502-2402=4900, ∴ED=70(km). ∴EF=2ED=140 km. ∵台风的速度为20 km/h, ∴140÷20=7(h),即台风影响该海港持续的时间为7 h. (2)若台风的速度为20 km/h，台风影响该海港持续的时间有多长? C A B D E F 43 押题预测 44 45 46 47 48 49 感谢您的观看 Thank you 50 1．（22-23八年级上·江苏泰州·期中）下列三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． 中， B． 中， C． 中， D． 中，三边的长分别为 【详解】解：A、 ， ， 是直角三角形，不符合题意； B、 ， ， 不是直角三角形，符合题意； C、 ， ， 是直角三角形，不符合题意； D、 三边的长分别为5、4、3， ， 是直角三角形，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，在 中， ， ， ，动点P从点B出发，沿射线 以 的速度运动，设运动的时间为t秒，若 是等腰三角形时，则t的值为（    ） A．10 B．16 C．10或16 D．10或16或 【详解】解： 中， ， ， ，由勾股定理得： ， ∵动点P从点B出发，沿射线 以 的速度运动，运动的时间为t秒，∴ ， ① 时，如图所示，∵ ，∴ ，∴ ，解得： ； ②当 时，如图所示： ∵ ，∴ ，解得： ； ③当 时，如图所示： ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， 综上所述，当t分别为 、10、16时， 为等腰三角形． 故选：D． 3．如图，已知点D为 内一点， 平分 ， ， ．若 ，则 的长为 ． 【详解】解：延长 与 交于点E，如图， ， ， ， ， 平分 ， ， ， 为等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故答案为： ． 4．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 ，底面周长为 ，在容器内壁离容器底部 的点 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿 的点 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 ．    【详解】解：将圆柱侧面展开，作出点 关于 的对称点 ，如图， ∵高为 ，底面周长为 ，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿 与饭粒相对的点 处，∴ ， ，连接 ，则 即为最短距离， ∵ ，∴蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 ， 故答案为： ．    5．小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度 ，他们进行了如下操作：①测得水平距离 的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度 ； (2)如果小明想风筝沿 方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【详解】（1）解：由勾股定理得 （米）， （米）； （2）如图，由勾股定理得 （米）， （米）， 他应该往回收线8米． $$