5.2.2同角三角函数的基本关系教案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.2.2同角三角函数的基本关系 教材分析：同角三角函数基本关系是学习三角函数概念后，安排的一节继续深入学习的内容，是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数的基础，在教材中起承上启下的作用。同时，它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用。 教学目标： （1）理解同角三角函数的基本关系式，，体会三角函数的内在联系性； （2）通过运用基本关系式进行三角恒等变换，发展数学运算素养。 教学重点：运用同角三角函数关系式求解三角函数值。 教学难点：公式及的推导,运用同角三角函数基本关系求三角函数值。 教学过程： 1、 探究新知 1 ； 1 。 ； 猜想： 注意： 尝试证明： 推广到任意角后，设角的终边与单位圆的交点为P(x,y) ，则角的正弦、余弦、正切函数分别是如何定义的呢？ 证明：在Rt△OMP中,由勾股定理有 思考1：当P点在坐标轴上时，OMP还是三角形吗？ 那么上式还成立吗？ 不是三角形，但上式依然成立 思考2：根据上面的关系，得到 ，正确吗？为什么？ 答：不正确， 不是相同角。 证明： 思考3：tanα中，α的终边能否落在y轴上？ 由此可见α的范围需要满足什么条件？ 不能， 同角三角函数的基本关系 1、平方关系 (1)公式: (2)语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 2、商数关系 (1)公式: (2)语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切. 平方关系中的角α是任意角，商数关系中的角α并非任意角， 二、例题讲解 题型一 利用同角三角函数关系求值 角度1　已知某个三角函数值，求其余三角函数值 例1 （1）已知sin α=，求cos α,tan α的值； （2）已知cos α=，求sin α,tan α的值。 分析 ：已知角的正弦值或余弦值，求其他三角函数值，应先判断三角函数值的符号，然后根据平方关系求出该角的正弦值或余弦值，再利用商数关系求该角的正切值。 反思：已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤： 第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限； 第二步：依据角的终边所在象限分类讨论; 第三步：利用同角三角函数关系及其变形公式,求出其余三角函数值。 角度2　已知tanα ，求关于sin α和cos α齐次式的值（化切求值） 例2 已知tan α=2,则 分析：注意到所求式子都是关于sin α、cos α的分式齐次式(或可化为分式齐次式)，将其分子、分母同除以cos α的整数次幂，把所求值的式子用tan α表示，将tan α=2整体代入值。 答案 (1)-1　(2) (3)1 反思：已知tan α,求关于sin α和cos α齐次式的值的基本方法 (1) 形如的分式可将分子、分母同时除以cos α； 形如的分式可将分子、分母同时除以将正、余弦转化为正切，从而求值。 (2) 形如的式子,可将其看成分母为1的分式,再将分母1变形为,转化为形如的分式求解。 角度3　利用sin+cos ,sin-cos与sincos之间的关系求值 例3已知sin+cos=,∈(0，π)求tan的值 分析：要求tan的值,只需求得sin,cos的值.而由已知条件sin+cos=，∈(0，π),结合,求得2sincos的值,进而求得sin -cos的值,从而得到sin,cos 的值，问题得解 解 ∵sin+cos=① 将其两边同时平方,得1+2sincos= ∴2sincos= ∵∈(0,π),∴cos <0<sin ∵(sin-cos)2=1-2sincos= ∴sin-cos=② 由①②得sin=,cos= 反思：sin+cos,sin-cos与sincos之间的关系求值技巧 (1) 由(sin+cos)2=1+2sincos,(sin-cos)2=1-2sincos可知sin＋cos ，sincos，sin－cos三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二” (2) 求sin＋cos或sin－cos的值，要注意判断它们的符号 变式训练1 (1)若cos+2sin=,则tan= (　　) B A. B.2 C. D.-2 (2)已知,则tan= (3)已知,则= 题型二 应用同角三角函数关系式化简与证明 例4 （1）化简：，其中是第二象限角 解　因为是第二象限角，所以sin>0，cos<0 故 （2） 化简： 反思：同角三角函数关系化简常用方法 (1)化切为弦，减少函数名称； (2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号； (3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系,以降幂化简 例5求证: 证明 (方法1)切化弦 左边= 右边= 即左边=右边，所以原等式成立 (方法2)由右至左 所以原等式成立 反思：三角恒等式的证明方法非常多,其主要方法有: (1)从左向右推导或从右向左推导,一般由繁到简； (2)左右归一,即证明左右两边都等于同一个式子； (3)化异为同法,即针对题设与结论间的差异,有针对性地变形,以消除差异； (4)变更命题法,如要证明,可证ad=bc或证等； (5)比较法,即设法证明“左边-右边=0”或“” 变式训练2． 已知为第三象限角，化简 解：因为为第三象限角，所以tan >0， 变式训练3证明: 三、练习：教材P184 四、小结： 1、知识清单： (1)同角三角函数基本关系式； (2)三角恒等式的化简与证明； (3)sin±cos型求值问题； (4)齐次式的化切求值. 2、方法归纳：sin±cos型求值问题中的整体代换法。 3、常见误区：求值时注意的范围，如果无法确定一定要对所在的象限进行分类讨论。 教学反思： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$