专题09巧用一次函数解决方案设计和选择问题-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

专题09 巧用一次函数解决方案设计和选择问题 题型01合理决策问题 【典例分析】 【例1-1】（22-23八年级上·江苏淮安·期末）随着“新冠病毒”防控政策的优化调整，广大市民对消毒液等防疫物品需求量大增．某药房分批次购进了酒精消毒液与额温枪两种商品进行销售，每次购进同一商品的进价没有变化，具体情况如表所示： 项目 购进数量(件) 购进所花费用(元) 酒精消毒液 额温枪 第一次 第二次 (1)酒精消毒液的进价为 元，额温枪的进价为 元； (2)该药房对酒精消毒液以每件元出售，额温枪以每件元出售，很快销售一空．为满足市场需求，药房准备再次购进这两种商品，如果此次购进酒精消毒液和额温枪共件，且酒精消毒液的数量不少于额温枪数量的倍，如果商品可以确保销售完毕，求这件商品能够使药房获得的最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)当购进酒精消毒液件、额温枪件时，销售利润最大，最大利润为元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设酒精消毒液每件的进价为元，额温枪每件的进价为元，根据两次进货情况表，可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． （2）设购进额温枪件，获得的利润为元，则购进酒精消毒液件，根据总利润单件利润购进数量，即可得出与之间的函数关系式，由酒精消毒液的数量不少于额温枪数量的倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设酒精消毒液每件的进价为元，额温枪每件的进价为元， 根据题意得： ， 解得：， ∴酒精消毒液每件的进价为元，额温枪每件的进价为元． 故答案为：；． （2）设购进额温枪件，获得的利润为元，则购进酒精消毒液件， 根据题意得：， 酒精消毒液的数量不少于额温枪数量的倍， ， 解得：， 又在中，， 的值随的增大而增大， 当时，取最大值，最大值为， 答：当购进酒精消毒液件、额温枪件时，销售利润最大，最大利润为元 【例1-2】（24-25八年级上·浙江宁波）学校超市欲购进A，B两种水杯进行销售．已知每个A种水杯的进价比每个B种水杯的进价贵5元，并且800元购进B种水杯的数量是500元购进A种水杯数量的2倍． (1)求A，B两种水杯的进价分别是多少元． (2)学校超市计划按（1）题的进价购进A，B两种水杯共90个，且A，B两种水杯的售价分别定为30元和26元．若超市计划购买A，B两种水杯的费用大于2000元但不超过2100元，请问满足条件的进货方案共有几种，并求出利润最大的进货方案及最大利润． 【答案】(1)每个A种水杯的进价为25元，每个B种水杯的进价为20元； (2)满足条件的进货方案共有20种，当购进A种水杯41个，购进B种水杯49个，利润最大，最大利润为499元 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键． （1）设每个A种水杯的进价为a元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购进A种水杯x个，根据题意列不等式组得到x的取值范围，设利润为W元，根据题意，得，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）设每个A种水杯的进价为a元，则每个B种水杯的进价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解且符合题意， ∴， 答：每个A种水杯的进价为25元，则每个B种水杯的进价为20元； （2）解：设购进A种水杯x个，则购进B种水杯个， 根据题意，得， 解得， ， 设利润为W元，根据题意， ， ∵， ∴W随x的增大而减小，又x为整数， ∴当时，W最大，最大值为， 答：满足条件的进货方案共有20种，当购进A种水杯41个，购进B种水杯49个，利润最大，最大利润为499元． 【例1-3】（23-24八年级上·四川遂宁·期末）为加速升腾“成渝之星”的总体工作，遂宁市确立了筑“三城”（绿色智造名城、生态公园名城、养心文旅名城）兴“三都”（西部水都、东方气都、锂电之都）和实施“六大对标竞进行动”．一景区管理委员会为了改善景区生态环境，决定向某公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形椅和条形椅两种类型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的0.75倍，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多8张． (1)弧形椅和条形椅的单价分别是多少元？ (2)已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进300张休闲椅，至少可坐1000人，怎样购买最省钱． 【答案】(1)弧形椅的单价为200元，条形椅的单价为150元； (2)购进50张弧形椅，250张条形椅最节省费用． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，由图象得出正确信息是解题关键，学会利用不等式确定自变量取值范围，学会利用一次函数性质解决最值问题． （1）设弧形椅的单价为x元，则条形椅的单价为元，根据“用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多8张”列分式方程解答即可； （2）设购进弧形椅张，则购进条形椅张，根据“一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进300张休闲椅，至少可坐1000人”列不等式求出m的取值范围；设购买休闲椅所需的费用为W元，根据题意求出W与m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设弧形椅的单价为元，则条形椅的单价为元，根据题意得： 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：弧形椅的单价为200元，条形椅的单价为150元； （2）解：设购进弧形椅张，则购进条形椅张，由题意得： ， 解得； 设购买休闲椅所需的费用为元，则， 即， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， ； 答：购进50张弧形椅，250张条形椅最节省费用 【变式演练】 【变式1-1】（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）某商店决定购进两种北京冬奥会纪念品．若购进种纪念品10件，种纪念品5件，需要1000元；若购进种纪念品5件，种纪念品3件，需要550元． (1)求购进两种纪念品的单价； (2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，销售每件种纪念品可获利润20元，每件种纪念品可获利润30元．考虑市场需求，购进种纪念品不少于20件，怎样进货获利最大？求出最大利润． 【答案】(1)A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元 (2)当购进A纪念品20件，B纪念品80件时，获得的总利润最大，最大值为2800元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用． （1）根据题意列出二元一次方程组进行求解即可； （2）设购买A纪念品a件，则购买B纪念品件，总利润为W，根据利润单件利润数量列出W关于x的一次函数关系式，再由a的取值范围，即可利用一次函数的性质求出答案． 【详解】（1）解：设A种纪念品单价为a元，B种纪念品单价为b元 根据题意，得， 解得 ∴购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元； （2）解：设购买A纪念品a件，则购买B纪念品件，总利润为W， 由题意得，， ∵购进种纪念品不少于20件， ∴， ∵， ∴W随a的增大而减少， ∴当，W最大， ∴W最大值为，， ∴当购进A纪念品20件，B纪念品80件时，获得的总利润最大，最大值为2800元 【变式1-2】（22-23八年级上·四川达州·期末）某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品，若用380元可购进A种纪念品7件、B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件、B种纪念品6件． (1)A、B两种纪念品的进价分别为多少？ (2)若甲产品的售价是25元/件，乙产品的售价是37元/件，该商店准备用不超过900元购进甲、乙两种产品共40件，且这两种产品全部售出总获利不低于216元，问：应该怎样进货，才能使总获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)A、B两种纪念品的进价分别为20元、30元 (2)当购进A种纪念品30件，B种纪念品10件时，总获利不低于216元，且获得利润最大，最大值是220元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用： （1）设A、B两种纪念品的进价分别为x元、y元．根据等量关系列出方程，并解方程即可求解； （2）设商店准备购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品件．根据不等关系列出一元一次不等式组，解不等式组得解集，设总利润为w，根据数量关系列出函数，再根据一次函数的性质求得w的最值即可； 理清题意，找准等量关系列出方程及不等关系列出不等式组是解题的关键． 【详解】（1）解：设A、B两种纪念品的进价分别为x元、y元． 由题意，得：， 解得：， 答：A、B两种纪念品的进价分别为20元、30元． （2）设商店准备购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品件． 由题意，得：， 解得：， 设总利润为w， 总获利是a的一次函数，且w随a的增大而减小， 当时，w最大，最大值， ， 当购进A种纪念品30件，B种纪念品10件时，总获利不低于216元，且获得利润最大，最大值是220元． 【变式1-3】（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型10台、乙型40台，现将这50台联合收割机派往、两地区收割水稻，其中30台派往地区，20台派往地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表： 每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 A地区 1800元 1600元 B地区 1600元 1200元 (1)设派往地区台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为元，求关于的关系式； (2)若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于75600元，满足条件的分派方案有几种？ (3)农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由． 【答案】(1)关于的关系式为； (2)满足条件的分派方案有3种； (3)当派往地区30台乙型联合收割机，派往地区10台甲型联合收割机、10台乙型联合收割机时，该公司50台收割机每天获得租金最高． 【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元一次不等式的应用． （1）当派往地区台乙型联合收割机时，则派往地区台甲型联合收割机，派往地区台乙型联合收割机，台甲型联合收割机，利用总租金派往地区甲型联合收割机的数量派往地区乙型联合收割机的数量派往地区甲型联合收割机的数量派往地区乙型联合收割机的数量，可找出关于的关系式，再结合，，及非负，即可求出的取值范围； （2）由农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于75600元，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合且为整数，即可得出结论； （3）由（1）的结论，利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：当派往地区台乙型联合收割机时，则派往地区台甲型联合收割机，派往地区台乙型联合收割机，台甲型联合收割机， 租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金， 即． 又， 解得：， 关于的关系式为； （2）解：根据题意得：， 解得：， 又，且为整数， 可以为28，29，30， 满足条件的分派方案有3种； （3）解：当派往地区30台乙型联合收割机，派往地区10台甲型联合收割机、10台乙型联合收割机时，该公司50台收割机每天获得租金最高，理由如下： ， 随的增大而增大， 又，且为整数， 当时，取得最大值， 此时（台，（台，台， 当派往地区30台乙型联合收割机，派往地区10台甲型联合收割机、10台乙型联合收割机时，该公司50台收割机每天获得租金最高 题型02方案选择问题 【典例分析】 【例2-1】．（23-24八年级上·河南焦作·阶段练习）某物流公司计划租用这两种车辆运输物资．已知用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨，某物流公司计划租用这两种车辆运输物资，根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型车和辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次．物流公司计划共租用辆车，请写出总租车费用（元）与租用型车数量（辆）的函数关系式． (3)如果汽车租赁公司的型车只剩了辆，型车还有很多．在（）的条件下，请选出最省钱的租车车方案，并求出最少租车费用． 【答案】(1)辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨； (2)； (3)最省钱的租车方案为租辆型车，辆型车，租车费用最少，最少费用为元． 【分析】（）设辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨，根据题意列出方程组，解之即可求解； （）用型车和型车的总费用相加即可求解； （）求出的范围，根据一次函数的性质求解即可； 本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是正确列出方程组和一次函数表达式． 【详解】（1）解：设辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨， 由题意得， 解得， 答：辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨； （2）解：由题意得，； （3）解：在一次函数中， ， 随的增大而小； 由题意知，，则当时，总租车费用最少， ∴最少费用为：元， ∴辆， 答：最省钱的租车方案为租辆型车，辆型车，租车费用最少，最少费用为元． 【例2-2】（23-24八年级上·广东深圳·期末）我校举办艺术节活动，对表现优秀的同学进行表彰奖励，计划购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知3本甲型笔记本和5本乙型笔记本共需50元，2本甲型笔记本和3本乙型笔记本共需31元． (1)求1本甲型笔记本和1本乙型笔记本的售价各是多少元？ (2)学校准备购买这两种类型的笔记本共200本，要求甲型笔记本的本数不超过乙型笔记本的本数的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并求出花费最低的钱数． 【答案】(1)1本甲型笔记本的售价是5元，1本乙型笔记本的售价是7元 (2)当购买甲型笔记本150本，乙型笔记本50本时最省钱，最低费用为1100元 【分析】（1）设1本甲型笔记本的售价是x元，1本乙型笔记本的售价是y元，根据“3本甲型笔记本和5本乙型笔记本共需50元，2本甲型笔记本和3本乙型笔记本共需31元”列方程组，解方程组即可得到答案； （2）设购买甲型笔记本a本，则购买乙型笔记本本，费用为w元，列出关于a的一次函数，求出a的取值范围，根据一次函数的性质即可得到答案； 此题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用等知识，根据题意准确列出函数关系式和方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：设1本甲型笔记本的售价是x元，1本乙型笔记本的售价是y元， ， 解得， 答：1本甲型笔记本的售价是5元，1本乙型笔记本的售价是7元； （2）设购买甲型笔记本a本，则购买乙型笔记本本，费用为w元， ， ∵要求甲型笔记本的本数不超过乙型笔记本的本数的3倍， ∴， 解得，， ∵， ∴W随x的增大而减小， ∴当时，w取得最小值，此时，， 答：当购买甲型笔记本150本，乙型笔记本50本时最省钱，最低费用为1100元． 【例2-3】（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）某学校积极响应江阴市“三城同创”的号召，绿化校园，计划购进A，B两种树苗，共21棵，已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买A种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元． (1)求y与x的函数表达式，其中； (2)若购买B种树苗的数量不大于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 【答案】(1)（且x为正整数） (2)当购买A种树苗11棵，B种树苗10棵时，费用最省，此时费用为1690元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键． （1）设购买A种树苗x棵，则设购买B种树苗棵，根据总费用A种树苗单价A中树苗数量 B种树苗单价B中树苗数量列式求解即可； （2）根据购买B种树苗的数量不大于A种树苗的数量列出不等式求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，（且x为正整数）； （2）解：∵购买B种树苗的数量不大于A种树苗的数量， ∴， 解得， ∴（x为正整数）， ∵，， ∴y随x增大而增大， ∴当时，y最小，最小为1690，此时， ∴当购买A种树苗11棵，B种树苗10棵时，费用最省，此时费用为1690元 【变式演练】 【变式2-1】（23-24八年级上·四川达州·期末）某校八年级数学组组织学生进行“数学素养大赛”活动，需购买甲、乙两种奖品，老师发现如果购买甲奖品2个和乙奖品5个，需用去120元；如果购买甲奖品3个和乙奖品4个，需用去124元． (1)请用列二元一次方程组的方法，求甲、乙两种奖品的单价各是多少元？ (2)由于临时有变，现只需购买甲奖品，刚好、两个商场对甲奖品搞促销活动，其中商场按原价9折销售：商场购买不超过6个时按原价销售，超出6个的部分按原价的6折销售，现学校需要购买个甲商品，设在商场购买个甲奖品需要元，在商场购买个甲奖品需要元，请按要求分别写出与之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，根据购买数量，请直接写出去哪个商场购买甲奖品更省钱的方案． 【答案】(1)甲、乙两种奖品的单价分别是20元，16元 (2)， (3)当购买的奖品少于8个时，选择商场购买甲种商品更省钱；当购买奖品8个时，两个商场消费一样；当购买的商品多于8个时，选择商场购买甲种商品更省钱 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意； （1）根据“购买甲奖品2个和乙奖品5个，需用去120元；如果购买甲奖品3个和乙奖品4个，需用去124元”，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题； （2）根据题意可以分别写出； （3）根据（2）中的结果，利用分类讨论的方法，可以得到选择哪个商场更省钱． 【详解】（1）设甲、乙两种奖品的单价分别是a元、b元，由题意得： ， 解得：， 答：甲、乙两种奖品的单价分别是20元，16元； （2）由题意可得， 在商场购买个甲奖品需要； 由于，则在商场购买个甲奖品需要； （3）令， 解得， 当时，得， 当时，得， 答：当购买的奖品少于8个时，选择商场更省钱；当购买奖品8个时，、两个商场消费一样；当购买的奖品多于8个时，选择购商场更省钱 【变式2-2】（23-24八年级上·四川达州·期末）为了加强中华传统文化教育，某年级组织学生去博物馆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知2辆A客车和2辆B客车可以坐150人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多． (1)请问A，B两种客车分别可坐多少人？ (2)已知该年级共有600名学生． ①请问如何安排租车方案，可以使得所有学生恰好坐下？ ②已知A客车150元一天，B客车130元一天，请问该年级租车最少花费多少钱？ 【答案】(1)A、B两种客车分别坐45，30人 (2)①7种方案，见解析；②租车最少花费2060元 【分析】本题考查二元一次方程和二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和方程组解决问题． （1）设A、B分别坐a、b人，可得，即可解得A、B两种客车分别坐45，30人； （2）①设租用A客车x辆，则B需：辆， 求出正整数x的值即可；②根据花费：．根据一次函数的性质可得结论 【详解】（1）解∶设A、B两种客车分别坐a、b人． ， 解得， ∴A、B两种客车分别坐45，30人． （2）①设租用A客车x辆，则B需：辆 ∵x为正整数且为正整数， ∴，2，4，6，8，10，12． 故一共有7种方案： 0辆A客车和20辆B客车； 2辆A客车和17辆B客车； 4辆A客车和14辆B客车； 6辆A客车和11辆B客车； 8辆A客车和8辆B客车； 10辆A客车和5辆B客车； 12辆A客车和2辆B客车； ②花费：． ∵，W随x增大而减小． 故当时，元． 答：租车最少花费2060元． 【变式2-3】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）为创建“绿色校园”，绿化校园环境，某校计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A，B两种花草30棵和15棵，共花费675元，第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵，共花费265元（两次购进同种花草和价格相同）．求： (1)A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？ (2)若计划购买A、B两种花草共30棵，其中购买A种花草m棵，且， ①求购买花草的总费用W（元）与m之间的函数关系式； ②请你给出一种费用最省的方案，并求该方案所需费用． 【答案】(1)A种花草每棵的价格是20元，B种花草每棵的价格是5元 (2)①；②购进A种花草的数量为10棵、B种20棵，费用最省，最省费用是300元 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质的知识解答． （1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题； （2）①根据题意可直接列出函数关系式；②根据①及一次函数的性质即可求出费用最省的方案，以及该方案所需费用． 【详解】（1）解：设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据题意得： ， 解得：； 答：A种花草每棵的价格是20元，B种花草每棵的价格是5元． （2）解：①由题意得： ； ②由①可得：， ∵，且， ∴W随m的增大而增大， ∴当时，W取得最小值，此时， 答：购进A种花草的数量为10棵、B种20棵，费用最省，最省费用是300元． 题型03购物优惠问题 【典例分析】 【例3-1】（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）近日，我校正在创建“绿色校园”，为了进一步美化校园，我校计划购买、两种花卉装点校道，学校采购人员去花卉基地调查发现：购买2盆种花和1盆种花需要13元，购买3盆种花和2盆种花需要22元． (1)求、两种花的单价各为多少元？ (2)学校若购买、两种花共1000盆，且购买的种花不少于500盆，但不多于700盆． ①设购买的种花盆，总费用为元，求关于的函数关系式； ②请你帮小李设计一种购花方案使总花费最少？并求出最少费用为多少元？ 【答案】(1)种花的单价为4元，种花的单价为5元 (2)①；②种花500盆，B种花500盆，最少费用4500元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组以及函数关系式是解题的关键． （1）设种花的单价为元，种花的单价为元，依题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）①根据（1）的结论，由单价乘以数量得到总价，即可列出关系式；②根据自变量的范围结合一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）设种花的单价为元，种花的单价为元； 根据题意得解得 答：种花的单价为4元，种花的单价为5元； （2）①根据题意得，， 即； ②， 随的增大而增大， ， 当时，取最小值，此时， 此时种花500盆，B种花500盆，最少费用4500元 【例3-2】（23-24八年级上·贵州六盘水·期末）红心猕猴桃是凉都特产，其果肉细嫩，口感香甜清爽，营养丰富，被誉为“果中之王”．已知购买甲种红心猕猴桃和乙种红心猕猴桃共花费28元；购买甲种红心猕猴桃和乙种红心猕猴桃共花费46元 (1)求甲、乙两种红心猕猴桃的单价； (2)小李准备购买甲、乙两种红心猕猴桃共，其中乙种红心猕猴桃的质量不少于．请写出本次采购总费用W（元）与乙种红心猕猴桃的质量之间的关系式并求出此次采购的最低费用？ 【答案】(1)甲，乙两种红心猕猴桃的单价分别为8元，10元 (2)此次采购的最低费用为460元 【分析】本题主要考查解二元一次方程组以及一次函数的性质， 根据题意列出关于两种猕猴桃的二元一次方程组求解即可； 根据题意求得两种猕猴桃的数量，即可列出采购总费用的一次函数，利用其性质求的最小值即可． 【详解】（1）解：设甲，乙两种红心猕猴桃的单价分别为x元， y元． 由题意得， 解得， ∴甲，乙两种红心猕猴桃的单价分别为8元，10元． （2）由题意得， ∵乙种红心猕猴桃的质量， ∴甲种红心猕猴桃的质量 ， ∵， ∴W随a的增大而增大， 当a最小时，W最小， 当时，(元)， ∴此次采购的最低费用为460元． 【例3-3】（22-23八年级·河南南阳·期末）为落实“双减政策”，某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是6000元和4500元．已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多50本． (1)求该学校订购两种经典读本的单价分别是多少元； (2)该学校拟计划再订购这两种经典读本共1000本，其中“红色教育”经典读本订购数量不低于600本且总费用不超过11500元，求该学校订购这两种读本的最低总费用． 【答案】(1)“红色教育”的订购单价是12元，“传统文化”经典读本的单价是10元； (2)订购这两种经典读本的总费用最低为11200元 【分析】（1）设“传统文化”经典读本的单价是x元，则“红色教育”经典读本的单价是元，由题意：订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多50本．列出分式方程，解方程即可； （2）设订购“红色教育”经典读本a本，则订购“传统文化”经典读本本，由题意：“红色教育”经典读本订购数量不低于600本且总费用不超过11500元，列出一元一次不等式组，解得，再设订购两种读本的总费用为w元，由题意得出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设“传统文化”经典读本的单价是x元，则“红色教育”经典读本的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴, 答：“红色教育”的订购单价是12元，“传统文化”经典读本的单价是10元； （2）解：设订购“红色教育”经典读本a本，则订购“传统文化”经典读本本， 由题意得：， 解得：， 设订购两种读本的总费用为w元， 由题意得：， ， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，w有最小值为， 此时，，符合题意， 答：订购这两种经典读本的总费用最低为11200元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出分式方程；②找出数量关系，正确列出一元一次不等式组和一次函数关系式． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24八年级上·河北保定·阶段练习）为迎接“国家级文明卫生城市”检查，我市环卫局准备购买，两种型号的垃圾箱．通过市场调研发现：购买1个型垃圾箱和2个型垃圾箱共需170元；购买3个型垃圾箱和1个型垃圾箱共需210元． (1)求每个型垃圾箱和型垃圾箱各多少元? (2)该市现需要购买，两种型号的垃圾箱共30个，其中购买型垃圾箱不超过16个． ①求购买垃圾箱的总花费（元）与型垃圾箱（个）之间的函数关系式； ②当购买型垃圾箱个数多少时总费用最少，最少费用是多少? 【答案】(1)每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元． (2)①，其中为整数．②购买个型垃圾箱时总费用最少，最少费用是元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及一次函数的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组，利用一次函数的性质，解决最值问题，是解答本题的关键． （1）根据题意设：每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，由题意列出二元一次方程组，解方程组，得到答案． （2）①根据题意设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱，得到，由此得到答案． ②由①得到，根据一次函数的函数性质，当时，取最小值，由此得到答案． 【详解】（1）解：根据题意设： 每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元， 根据题意得：， 解得：， 答：每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元． （2）①根据题意设： 购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱， ， 即，其中为整数． ②由①知， 是的一次函数， ， 随的增大而减小， 又，且为整数， 当时，取最小值， ． 答：购买个型垃圾箱时总费用最少，最少费用是元 【变式3-2】（22-23八年级下·山东菏泽·期末）为落实“双减政策”某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是1200元和500元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的2倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多5本． (1)求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元； (2)该学校拟计划再订购这两种经典读本共100本，其中“红色教育”经典读本订购数量不低于60本且总费用不超过3600元，求该学校订购这两种读本的最低总费用． 【答案】(1)“红色教育”的订购单价是40元，“传统文化”经典读本的单价是20元 (2)订购这两种经典读本的总费用最低为3200元 【分析】（1）设“传统文化”经典读本的单价是元，则“红色教育”经典读本的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多5本，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出“传统文化”经典读本的订购单价，再将其代入中，即可求出“红色教育”经典读本的订购单价； （2）设订购“红色教育”经典读本本，则订购“传统文化”经典读本本，根据“红色教育”经典读本订购数量不低于60本且总费用不超过3600元，可列出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，设该学校再订购这两种经典读本的总费用为w元，利用总价=单价×数量，可得出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设“传统文化”经典读本的单价是元，则“红色教育”经典读本的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴， 答：“红色教育”的订购单价是40元，“传统文化”经典读本的单价是20元； （2）解：设订购“红色教育”经典读本本，则订购“传统文化”经典读本本， 由题意得： ， 解得：， 设订购两种读本的总费用为元， 由题意得：， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最小值为（元）， 此时， （本），符合题意， 答：订购这两种经典读本的总费用最低为3200元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式． 【变式3-3】（21-22八年级上·浙江金华·期末）12月，浙江突发疫情，我市立即启动疫情应急处置模拟演练．为配合演练顺利开展，某校需要购进A、B两款体温枪共100只．已知购进A型体温枪花费1000元，B型体温枪花费1500元，A型体温枪的价格比B型高50元，B型体温枪的数量是A型的两倍． (1)求每只A型、B型体温枪的价格； (2)若购进B型体温枪的数量不超过A型体温枪的2倍，设购进A型体温枪x只，这100只体温枪的总费用为y元． ①求y关于x的函数关系式； ②某校实际购买时，发现某店对A型体温枪进行降价处理，比原价降低a元出售（，且a为正整数），且限定一次性最多购买A型体温枪50只，当a满足什么条件时，能使该校购进这100只体温枪总费用最小． 【答案】(1)每只A型温枪的价格为200元，则每只B型温枪的价格为150元； (2)①y=50x+15000(100)；②当正整数a=99时，该校购进这100只体温枪总费用最小． 【分析】（1）设每只A型温枪的价格为m元，则每只B型温枪的价格为(m-50)元，列分式方程求解即可； （2）①根据题意即可得出y关于x的函数解析式； ②据题意得y=(50-a)x+15000(50)，然后分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：设每只A型温枪的价格为m元，则每只B型温枪的价格为(m-50)元， 依题意得：， 解得：m=200， 经检验，m=200是原方程的解，且符合题意， ∴m-50=150， 答：每只A型温枪的价格为200元，则每只B型温枪的价格为150元； （2）解：①设购进A型体温枪x只，则购进B型体温枪(100-x)只， 依题意得：y=200x+150(100-x)=50x+15000， ∵购进B型体温枪的数量不超过A型体温枪的2倍， ∴100-x2x，且100-x0， ∴100， ∴y关于x的函数关系式为y=50x+15000(100)； ②依题意得：y=(200-a)x+150(100-x)=(50-a)x+15000(50)， 当10<a50时，即50-a>0，y随x的增加而增加， ∴当x=34时，y有最小值，最小值为y=(50-a)×34+15000=16700-34a； ∴当正整数a=49时，最小值为y=16700-34×49=15304； 当a=50时，y的值为15000； 当50<a100时，即50-a<0，y随x的增加而减少， ∴当x=50时，y有最小值，最小值为y=(50-a)×50+15000=17500-50a； ∵-50<0， ∴当正整数a=99，最小值为y=17500-50×99=12550； ∵12500<15000<15304， ∴当正整数a=99时，该校购进这100只体温枪总费用最小． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数增减性解决问题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09巧用一次函数解决方案设计和选择问题 题型01合理决策问题 【典例分析】 【例1-1】（22-23八年级上·江苏淮安·期末）随着“新冠病毒”防控政策的优化调整，广大市民对消毒液等防疫物品需求量大增．某药房分批次购进了酒精消毒液与额温枪两种商品进行销售，每次购进同一商品的进价没有变化，具体情况如表所示： 项目 购进数量(件) 购进所花费用(元) 酒精消毒液 额温枪 第一次 第二次 (1)酒精消毒液的进价为 元，额温枪的进价为 元； (2)该药房对酒精消毒液以每件元出售，额温枪以每件元出售，很快销售一空．为满足市场需求，药房准备再次购进这两种商品，如果此次购进酒精消毒液和额温枪共件，且酒精消毒液的数量不少于额温枪数量的倍，如果商品可以确保销售完毕，求这件商品能够使药房获得的最大利润是多少？ 【例1-2】（24-25八年级上·浙江宁波）学校超市欲购进A，B两种水杯进行销售．已知每个A种水杯的进价比每个B种水杯的进价贵5元，并且800元购进B种水杯的数量是500元购进A种水杯数量的2倍． (1)求A，B两种水杯的进价分别是多少元． (2)学校超市计划按（1）题的进价购进A，B两种水杯共90个，且A，B两种水杯的售价分别定为30元和26元．若超市计划购买A，B两种水杯的费用大于2000元但不超过2100元，请问满足条件的进货方案共有几种，并求出利润最大的进货方案及最大利润． 【例1-3】（23-24八年级上·四川遂宁·期末）为加速升腾“成渝之星”的总体工作，遂宁市确立了筑“三城”（绿色智造名城、生态公园名城、养心文旅名城）兴“三都”（西部水都、东方气都、锂电之都）和实施“六大对标竞进行动”．一景区管理委员会为了改善景区生态环境，决定向某公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形椅和条形椅两种类型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的0.75倍，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多8张． (1)弧形椅和条形椅的单价分别是多少元？ (2)已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进300张休闲椅，至少可坐1000人，怎样购买最省钱． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）某商店决定购进两种北京冬奥会纪念品．若购进种纪念品10件，种纪念品5件，需要1000元；若购进种纪念品5件，种纪念品3件，需要550元． (1)求购进两种纪念品的单价； (2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，销售每件种纪念品可获利润20元，每件种纪念品可获利润30元．考虑市场需求，购进种纪念品不少于20件，怎样进货获利最大？求出最大利润． 【变式1-2】（22-23八年级上·四川达州·期末）某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品，若用380元可购进A种纪念品7件、B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件、B种纪念品6件． (1)A、B两种纪念品的进价分别为多少？ (2)若甲产品的售价是25元/件，乙产品的售价是37元/件，该商店准备用不超过900元购进甲、乙两种产品共40件，且这两种产品全部售出总获利不低于216元，问：应该怎样进货，才能使总获利最大？最大利润是多少？ 【变式1-3】（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型10台、乙型40台，现将这50台联合收割机派往、两地区收割水稻，其中30台派往地区，20台派往地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表： 每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 A地区 1800元 1600元 B地区 1600元 1200元 (1)设派往地区台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为元，求关于的关系式； (2)若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于75600元，满足条件的分派方案有几种？ (3)农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由． 题型02方案选择问题 【典例分析】 【例2-1】．（23-24八年级上·河南焦作·阶段练习）某物流公司计划租用这两种车辆运输物资．已知用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨，某物流公司计划租用这两种车辆运输物资，根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型车和辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次．物流公司计划共租用辆车，请写出总租车费用（元）与租用型车数量（辆）的函数关系式． (3)如果汽车租赁公司的型车只剩了辆，型车还有很多．在（）的条件下，请选出最省钱的租车车方案，并求出最少租车费用． 【例2-2】（23-24八年级上·广东深圳·期末）我校举办艺术节活动，对表现优秀的同学进行表彰奖励，计划购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知3本甲型笔记本和5本乙型笔记本共需50元，2本甲型笔记本和3本乙型笔记本共需31元． (1)求1本甲型笔记本和1本乙型笔记本的售价各是多少元？ (2)学校准备购买这两种类型的笔记本共200本，要求甲型笔记本的本数不超过乙型笔记本的本数的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并求出花费最低的钱数． 【例2-3】（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）某学校积极响应江阴市“三城同创”的号召，绿化校园，计划购进A，B两种树苗，共21棵，已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买A种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元． (1)求y与x的函数表达式，其中； (2)若购买B种树苗的数量不大于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24八年级上·四川达州·期末）某校八年级数学组组织学生进行“数学素养大赛”活动，需购买甲、乙两种奖品，老师发现如果购买甲奖品2个和乙奖品5个，需用去120元；如果购买甲奖品3个和乙奖品4个，需用去124元． (1)请用列二元一次方程组的方法，求甲、乙两种奖品的单价各是多少元？ (2)由于临时有变，现只需购买甲奖品，刚好、两个商场对甲奖品搞促销活动，其中商场按原价9折销售：商场购买不超过6个时按原价销售，超出6个的部分按原价的6折销售，现学校需要购买个甲商品，设在商场购买个甲奖品需要元，在商场购买个甲奖品需要元，请按要求分别写出与之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，根据购买数量，请直接写出去哪个商场购买甲奖品更省钱的方案． 【变式2-2】（23-24八年级上·四川达州·期末）为了加强中华传统文化教育，某年级组织学生去博物馆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知2辆A客车和2辆B客车可以坐150人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多． (1)请问A，B两种客车分别可坐多少人？ (2)已知该年级共有600名学生． ①请问如何安排租车方案，可以使得所有学生恰好坐下？ ②已知A客车150元一天，B客车130元一天，请问该年级租车最少花费多少钱？ 【变式2-3】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）为创建“绿色校园”，绿化校园环境，某校计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A，B两种花草30棵和15棵，共花费675元，第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵，共花费265元（两次购进同种花草和价格相同）．求： (1)A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？ (2)若计划购买A、B两种花草共30棵，其中购买A种花草m棵，且， ①求购买花草的总费用W（元）与m之间的函数关系式； ②请你给出一种费用最省的方案，并求该方案所需费用． 题型03购物优惠问题 【典例分析】 【例3-1】（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）近日，我校正在创建“绿色校园”，为了进一步美化校园，我校计划购买、两种花卉装点校道，学校采购人员去花卉基地调查发现：购买2盆种花和1盆种花需要13元，购买3盆种花和2盆种花需要22元． (1)求、两种花的单价各为多少元？ (2)学校若购买、两种花共1000盆，且购买的种花不少于500盆，但不多于700盆． ①设购买的种花盆，总费用为元，求关于的函数关系式； ②请你帮小李设计一种购花方案使总花费最少？并求出最少费用为多少元？ 【例3-2】（23-24八年级上·贵州六盘水·期末）红心猕猴桃是凉都特产，其果肉细嫩，口感香甜清爽，营养丰富，被誉为“果中之王”．已知购买甲种红心猕猴桃和乙种红心猕猴桃共花费28元；购买甲种红心猕猴桃和乙种红心猕猴桃共花费46元 (1)求甲、乙两种红心猕猴桃的单价； (2)小李准备购买甲、乙两种红心猕猴桃共，其中乙种红心猕猴桃的质量不少于．请写出本次采购总费用W（元）与乙种红心猕猴桃的质量之间的关系式并求出此次采购的最低费用？ 【例3-3】（22-23八年级·河南南阳·期末）为落实“双减政策”，某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是6000元和4500元．已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多50本． (1)求该学校订购两种经典读本的单价分别是多少元； (2)该学校拟计划再订购这两种经典读本共1000本，其中“红色教育”经典读本订购数量不低于600本且总费用不超过11500元，求该学校订购这两种读本的最低总费用． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24八年级上·河北保定·阶段练习）为迎接“国家级文明卫生城市”检查，我市环卫局准备购买，两种型号的垃圾箱．通过市场调研发现：购买1个型垃圾箱和2个型垃圾箱共需170元；购买3个型垃圾箱和1个型垃圾箱共需210元． (1)求每个型垃圾箱和型垃圾箱各多少元? (2)该市现需要购买，两种型号的垃圾箱共30个，其中购买型垃圾箱不超过16个． ①求购买垃圾箱的总花费（元）与型垃圾箱（个）之间的函数关系式； ②当购买型垃圾箱个数多少时总费用最少，最少费用是多少? 【变式3-2】（22-23八年级下·山东菏泽·期末）为落实“双减政策”某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是1200元和500元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的2倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多5本． (1)求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元； (2)该学校拟计划再订购这两种经典读本共100本，其中“红色教育”经典读本订购数量不低于60本且总费用不超过3600元，求该学校订购这两种读本的最低总费用． 【变式3-3】（21-22八年级上·浙江金华·期末）12月，浙江突发疫情，我市立即启动疫情应急处置模拟演练．为配合演练顺利开展，某校需要购进A、B两款体温枪共100只．已知购进A型体温枪花费1000元，B型体温枪花费1500元，A型体温枪的价格比B型高50元，B型体温枪的数量是A型的两倍． (1)求每只A型、B型体温枪的价格； (2)若购进B型体温枪的数量不超过A型体温枪的2倍，设购进A型体温枪x只，这100只体温枪的总费用为y元． ①求y关于x的函数关系式； ②某校实际购买时，发现某店对A型体温枪进行降价处理，比原价降低a元出售（，且a为正整数），且限定一次性最多购买A型体温枪50只，当a满足什么条件时，能使该校购进这100只体温枪总费用最小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$