难点01 集合的含参问题及新定义问题-2024-2025学年高一数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版2019必修第一册）

难点01集合的含参问题及新定义问题 技巧一、元素与集合求参数 利用集合元素的特性求参数问题时,先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验,要注意分类讨论思想的应用. 技巧二、利用集合间的关系求参数 1.当集合为连续数集时,常借助数轴来建立不等关系求解,此时应注意端点处是实点还是虚点; 2.当集合为不连续数集时,常根据集合包含关系的意义,建立方程求解此时应注意分类讨论思想的运用. 技巧三、交、并、补运算求参数 1.与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解,涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况; 2.不等式中的等号在补集中能否取到,要引起重视,还要注意补集是全集的子集. 注意：在求集合中参数的取值范围时,要特别注意该参数在取值范围的边界能否取等号,否则会导致解题结果错误。最保险的做法就是把端点值代入原式,看是否符合题目要求。另外,在利用集合的运算求参数的取值时,要注意对求出的值进行验证,以保证满足集合中元素的互异性。 技巧四、集合的新定义问题 常见的新定义问题有定义新概念﹑新公式、新运算和新法则等类型。 解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点: ①紧扣新定义。首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在。 ②用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质。 难点一 根据元素与集合的关系求参数 例1．已知集合，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 例2．已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．已知，且，，，则取值不可能为（    ） A． B． C． D． 变式1-2．设集合，且，则实数m的值为 . 变式1-3．已知集合，集合,1,． (1)若，求的值； (2)是否存在实数，，使 难点二 根据集合中元素的个数求参数 例3．若集合有且只有一个子集，则的取值集合为（    ）. A． B． C． D． 例4．已知集合，其中为实数，若集合中仅含有一个元素，求的值． 变式2-1．设，若恰有两个元素，则这两个元素的和为 . 变式2-2．已知集合中有两个元素，则实数m的取值范围是 . 变式2-3．已知集合． (1)若， 求; (2)若中只有一个元素， 求的取值集合． 难点三 根据集合的包含关系求参数 例5．已知集合且，则a等于（    ） A．1 B． C． D．2 例6．设，集合，集合且. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 变式3-1．已知集合，，若，则的取值范围是：（     ）. A． B． C． D． 变式3-2．已知，.若，求实数的取值范围. 变式3-3．已知全集，集合，，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 难点四 根据集合的交集、并集、补集求参数 例7．已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例8．记全集，集合，或． (1)若，求； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的取值范围． 变式4-1．（多选）若全集，集合满足，则的值可能为（    ） A． B． C． D．0 变式4-2．已知集合，，若，则实数的最大值为 ． 变式4-3．设集合，. (1)，，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 难点五 根据交并补运算求参数 例9．（多选）设全集为小于9的正整数}，集合，则集合可能为（    ） A． B． C． D． 例10．设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 变式5-1．已知全集，不等式的解集是，集合，. (1)求实数的值； (2)求； (3)若，求的取值范围. 变式5-2．已知集合，集合，全集为. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 变式5-3．已知全集，集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 难点六 集合的新概念题型 例11．对于一个由整数组成的集合A，A中所有元素之和称为A的“小和数”，A的所有非空子集的“小和数”之和称为A的“大和数”.已知集合，则B的“小和数”为 ，B的“大和数”为 . 例12．当时，若有且，则称x是集合A的一个“孤元”，由A的所有孤元组成的集合称为A的“孤星集”，若集合的孤星集是，集合的孤星集是，则 . 变式6-1．设集合，，把的所有元素的乘积称为的容量（若中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）.若的容量是奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集，若，则的所有偶子集的容量之和为 . 变式6-2．已知集合，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为，设集合的累积值为． （1）若，则这样的集合共有 个； （2）若为偶数，则这样的集合共有 个． 变式6-3．定义：若任意 (m，n可以相等但) ， 则集合 称为集合A的生成集； (1)若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； (2)若集合，的生成集为，求证： 难点七 集合的新运算题型 例13．定义集合运算：，设，，则（    ） A． B．( C．中有个元素 D．的子集有个 例14．定义集合，的一种运算“”，，若，，则集合的所有元素的和 . 变式7-1．定义集合运算：且，若集合，，则集合的子集个数为 ． 变式7-2．集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且.假设集合，，，其中实数，，，，，满足：.计算 . 变式7-3．定义集合运算：．若集合，则集合的子集个数为 ． 1．（2023-24高一上·浙江宁波·期中）设集合，集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023-24高一上·江苏无锡·期中）用表示非空集合中元素的个数，定义.已知，，且，设实数的所有可能取值构成集合，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2023-24高一上·江苏常州·期中）（多选）设是一个非空集合，是的子集构成的集合，如果同时满足：①，②若，则且，那么称是的一个环.则下列说法正确的是（    ） A．若，则 是的环 B．若，则存在的一个环，含有8个元素 C．若，则存在的一个环，含有4个元素且 D．若，则存在的一个环，含有7个元素且 4．（2023-24高一上·吉林·期中）（多选）对任意，记，并称为集合A，B的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的是（   ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 5．（2024·广西柳州·三模）（多选）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）.若对任意的，有，则对任意的，下列等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（2023-24高一上·广东广州·期末）若集合，且，，则的取值范围为 ． 7．（2024高一·福建厦门·期末）若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是 ．（用集合表示） 8．（2023-24高一上·山东临沂·期末）（1）设集合，，当时，求实数的取值范围. （2）已知，，若，求实数a的取值范围． 9．（2023-24高一上·江西南昌·期中）已知集合，. (1)当时，求和； (2)是否存在实数a，使得，若存在，求实数a的取值范围，否则，说明理由. 10．（2023-24高一上·重庆·期中）已知. (1)若，求实数的取值范围; (2)若，求实数的取值范围. 11．（2023-24高一上·上海长宁·期末）已知集合，集合且，，若，设m的取值集合为，若，求：m的值及其对应a的取值范围． 12．（2023-24高一上·福建龙岩·期末）（1）对于数集A，B，定义，，若集合，求集合中所有元素之和． （2）设A，B是R上的两个子集，对任意，定义：，. ①若，则对任意，________； ②若对任意，，则A，B的关系为________．（要求写出解题过程） 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 难点01集合的含参问题及新定义问题 技巧一、元素与集合求参数 利用集合元素的特性求参数问题时,先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验,要注意分类讨论思想的应用. 技巧二、利用集合间的关系求参数 1.当集合为连续数集时,常借助数轴来建立不等关系求解,此时应注意端点处是实点还是虚点; 2.当集合为不连续数集时,常根据集合包含关系的意义,建立方程求解此时应注意分类讨论思想的运用. 技巧三、交、并、补运算求参数 1.与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解,涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况; 2.不等式中的等号在补集中能否取到,要引起重视,还要注意补集是全集的子集. 注意：在求集合中参数的取值范围时,要特别注意该参数在取值范围的边界能否取等号,否则会导致解题结果错误。最保险的做法就是把端点值代入原式,看是否符合题目要求。另外,在利用集合的运算求参数的取值时,要注意对求出的值进行验证,以保证满足集合中元素的互异性。 技巧四、集合的新定义问题 常见的新定义问题有定义新概念﹑新公式、新运算和新法则等类型。 解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点: ①紧扣新定义。首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在。 ②用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质。 难点一 根据元素与集合的关系求参数 例1．已知集合，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】因为，所以或， 当时，得到或，又时，，满足题意， 时，，不满足集合的互异性， 当，得到，此时，不满足集合的互异性， 故选：A. 例2．已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由集合，且，可得，解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 变式1-1．已知，且，，，则取值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】选项A：当时，，，故，A错误； 选项B：当时，，，故，B正确； 选项C：当时，，，故，C正确； 选项D：当时，，，故，D正确． 故选：A． 变式1-2．设集合，且，则实数m的值为 . 【答案】5 【详解】集合，且， （i）当时，，，违反集合元素的互异性， （ii）当时，解得或， ① 当时，不满足集合元素的互异性，舍去， ② 当时，，满足题意，则实数m的值为 故答案为：. 变式1-3．已知集合，集合,1,． (1)若，求的值； (2)是否存在实数，，使 【答案】(1) (2)不存在 【详解】（1）由题意可得，或，解得或， 当时，,1,不成立， 当时，,,成立， 故． （2）由题意可得，， 若，则，,7,，不合题意， 若，则，，不合题意， 故不存在实数，，使得． 难点二 根据集合中元素的个数求参数 例3．若集合有且只有一个子集，则的取值集合为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，故无实数根， 故，解得， 故的取值集合为. 故选：C 例4．已知集合，其中为实数，若集合中仅含有一个元素，求的值． 【答案】 【详解】因为集合中仅含有一个元素， 所以有两个相等的实数根， 所以，解得，满足题意，则． 变式2-1．设，若恰有两个元素，则这两个元素的和为 . 【答案】3 【详解】由恰有两个元素， 则方程有两个不相等的实根， 因此利用根与系数的关系可知方程两根之和，即集合两个元素的和为， 故答案为：. 变式2-2．已知集合中有两个元素，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可知：有2个不同的实数根， 则，解得且， 所以实数m的取值范围是. 故答案为：. 变式2-3．已知集合． (1)若， 求; (2)若中只有一个元素， 求的取值集合． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）时，， 因为，所以方程无实数根， 所以． 故． （2）当时，，得，此时； 当时，，得，此时． 故的取值集合为． 难点三 根据集合的包含关系求参数 例5．已知集合且，则a等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【详解】由集合且，得，所以. 故选：D 例6．设，集合，集合且. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）若，则， 又， （2）当，即时，若，则，解得， 当，即时，此时集合为空集，故不符合， 综上. 变式3-1．已知集合，，若，则的取值范围是：（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， ，故. 故选：A. 变式3-2．已知，.若，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】由题意得，若， 当时，满足题意，此时，解得； 当时，则或，解得； 综上所述：的取值范围为. 变式3-3．已知全集，集合，，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由集合，，可得. （2）解：由集合，，可得， 因为集合且， 当时，可得，解得，此时满足； 当时，要使得，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 难点四 根据集合的交集、并集、补集求参数 例7．已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为，所以，解得或2． 当时，，不满足互异性，舍去； 当时，集合，此时，符合题意，故． 故选：B 例8．记全集，集合，或． (1)若，求； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【详解】（1）当时，，则或， 因此或或或. （2）若，则，解得， 故的取值范围为. （3）若，则， 当时，，解得， 当时，，或， 解得，或， 综上知，的取值范围为. 变式4-1．（多选）若全集，集合满足，则的值可能为（    ） A． B． C． D．0 【答案】AB 【详解】因为，所以根据元素互异性可知，所以， 显然， 则或. 故选：AB 变式4-2．已知集合，，若，则实数的最大值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，又，， 所以，则实数的最大值为， 故答案为：. 变式4-3．设集合，. (1)，，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为，所以，且， 所以，解得，， 综上所述，的取值范围为. （2）因为， 所以当时，即，解得，满足题意； 当时，要使，则或， 解得或无解. 综上所述，的取值范围为. 难点五 根据交并补运算求参数 例9．（多选）设全集为小于9的正整数}，集合，则集合可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为全集，集合， 所以，所以， 可能属于，也可能不属于， 根据选项可知B，D正确． 故选：BD 例10．设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），. ，，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 所以，若，则实数a的取值范围为. （3）若全集，，则，即. ，. 故，且， 则，且， 解得且且. 若，则实数a的取值范围为. 变式5-1．已知全集，不等式的解集是，集合，. (1)求实数的值； (2)求； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由不等式的解集是， 可得，解得. （2）由不等式，可得，解得，即， 因为，可得或， 可得或. （3）由集合，，， 因为，可得，又因为，可得， 所以实数的取值范围为. 变式5-2．已知集合，集合，全集为. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以或， 又， 所以. （2）因为，， 所以， 又，， 所以与有交集， 则，即实数的取值范围为. 变式5-3．已知全集，集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得，，故， 因为，所以， ①当时，，解得； ②当时，有，无解； 所以实数的取值范围为. （2）由题意，， 若，则， 所以实数的取值范围为； 难点六 集合的新概念题型 例11．对于一个由整数组成的集合A，A中所有元素之和称为A的“小和数”，A的所有非空子集的“小和数”之和称为A的“大和数”.已知集合，则B的“小和数”为 ，B的“大和数”为 . 【答案】 20 1280 【详解】由题意可知，的“小和数”为， 集合中一共有7个元素，则一共有个子集， 对于任意一个子集，总能找到一个子集，使得，且无重复， 则与的“小和数”之和为的“小和数”， 这样的子集对共有个， 其中时，，考虑非空子集，则子集对有对， 则的“大和数”为． 故答案为：20；1280． 例12．当时，若有且，则称x是集合A的一个“孤元”，由A的所有孤元组成的集合称为A的“孤星集”，若集合的孤星集是，集合的孤星集是，则 . 【答案】 【详解】根据“孤星集”的定义， 所以1不是集合的元素 同理2，3也都不是集合的元素 ，同理可得 所以. 故答案为：. 变式6-1．设集合，，把的所有元素的乘积称为的容量（若中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）.若的容量是奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集，若，则的所有偶子集的容量之和为 . 【答案】 【详解】解：当时， 所以，的可能情况有：共8种， 其容量分别为， 所以，的所有偶子集为，其容量之和为. 故答案为： 变式6-2．已知集合，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为，设集合的累积值为． （1）若，则这样的集合共有 个； （2）若为偶数，则这样的集合共有 个． 【答案】 2 13 【详解】若，据“累积值”的定义，得或，这样的集合共有2个． 因为集合的子集共有个，其中“累积值”为奇数的子集为共3个，所以“累积值”为偶数的集合共有13个． 故答案为：2；13． 变式6-3．定义：若任意 (m，n可以相等但) ， 则集合 称为集合A的生成集； (1)若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； (2)若集合，的生成集为，求证： 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）的子集个数为4个，故集合的元素有2个. 当时，； 当时，； 当，或，时，； ①，解得（舍）或； ②，解得（舍）； ③，解得（舍）或，或， 综上所述：，，或，即. （2），则，故； ，故； 故，即. 难点七 集合的新运算题型 例13．定义集合运算：，设，，则（    ） A． B．( C．中有个元素 D．的子集有个 【答案】AD 【详解】由题设，故，且共有3个元素，故子集有8个，A、D对，C错； ，则，而， 显然，B错； 故选：AD 例14．定义集合，的一种运算“”，，若，，则集合的所有元素的和 . 【答案】 【详解】∵， ， ∴， ∴所有元素之和. 故答案为：. 变式7-1．定义集合运算：且，若集合，，则集合的子集个数为 ． 【答案】4 【详解】集合，， 由的定义可得，， 所以子集有，，，，共4个． 故答案为：4． 变式7-2．集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且.假设集合，，，其中实数，，，，，满足：.计算 . 【答案】或 【详解】因为， 所以，，， ， 故或. 故答案为：或. 变式7-3．定义集合运算：．若集合，则集合的子集个数为 ． 【答案】64 【详解】由 所以， 又因为 所以，共有6个元素，所以它的子集共有个. 故答案为：64. 1．（2023-24高一上·浙江宁波·期中）设集合，集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为集合，集合, 在数轴上作出图形如下图所示， 根据上述图形，可以得到实数的取值范围是. 故选：D 2．（2023-24高一上·江苏无锡·期中）用表示非空集合中元素的个数，定义.已知，，且，设实数的所有可能取值构成集合，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】由题意知，， ∵，， ∴或， 即方程有1个根或3个根， 若，则或， 若，则或， 当时，，，符合题意； 当时，对应的根为和， 若，则有以下两种情况， 当有两个相等的实数根时， ，解得， 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当有两个不相等的实数根时， 则是的一个根，即，无解； 综上所述，； 故， 故选：B. 3．（2023-24高一上·江苏常州·期中）（多选）设是一个非空集合，是的子集构成的集合，如果同时满足：①，②若，则且，那么称是的一个环.则下列说法正确的是（    ） A．若，则 是的环 B．若，则存在的一个环，含有8个元素 C．若，则存在的一个环，含有4个元素且 D．若，则存在的一个环，含有7个元素且 【答案】ABC 【详解】由题意知：①，②若，则且， 对于A中，全集且， 满足且当时，可得且，所以A正确； 对于B中，由的所有子集共8个， 若是的子集构成的集合，所以集合有8个元素，所以B正确； 对于C中，若，可得， 所以是个环，其中中含有4个元素，所以C正确； 对于D中，若， 可得，， ， ，，且， 所以集合中至少有8个元素，所以D错误. 故选：ABC. 4．（2023-24高一上·吉林·期中）（多选）对任意，记，并称为集合A，B的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的是（   ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 【答案】AB 【详解】A选项，且，则， 故，且中元素不能出现在中，故，A正确； B选项，且，则， 即与是相同的，所以，B正确； C选项，因为，所以，故，C错误； D选项，， 其中，， 故， 而， 故，D错误. 故选：AB 5．（2024·广西柳州·三模）（多选）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）.若对任意的，有，则对任意的，下列等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】根据条件“对任意的，，有”，则： A中，无法确定是否一定成立，故A错误； B中，，一定成立，故B正确； C中，，一定成立，故C正确； D中，将看成一个整体，则，故，故D正确. 故选：BCD． 6．（2023-24高一上·广东广州·期末）若集合，且，，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，解得， 所以的取值范围为． 故答案为：． 7．（2024高一·福建厦门·期末）若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是 ．（用集合表示） 【答案】 【详解】当时，方程为有实数解，符合题意； 当时，由，解得； 则实数的取值范围是． 故答案为：. 8．（2023-24高一上·山东临沂·期末）（1）设集合，，当时，求实数的取值范围. （2）已知，，若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或；（2） 【详解】（1）， 当，即时，，满足； 当时，， 因此，要使，则需，解得， 综上所述，的取值范围是或； （2）， 因为，所以或或或，   当时，方程的判别式，即； 当时，由韦达定理有，所以； 当时，有，不成立； 当时，有，不成立； 综上所述，实数a的取值范围为． 9．（2023-24高一上·江西南昌·期中）已知集合，. (1)当时，求和； (2)是否存在实数a，使得，若存在，求实数a的取值范围，否则，说明理由. 【答案】(1)，； (2)不存在，理由见解析. 【详解】（1）当时，，而， 所以，. （2）假定存在实数a，使得，即，而， 因此，即，无解， 所以不存在实数a，使得成立. 10．（2023-24高一上·重庆·期中）已知. (1)若，求实数的取值范围; (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由得，① 因为， 所以①的，解得， 所以实数的取值范围为， （2）①若，由（1）可得， ②若，且其中的点都在集合中，也符合题意， 此时，联立，得，且， 解得， 将代入中，整理可得， 令，整理得，解得， 同理，把代入，得， 令，整理并化简可得，所以， 综上，实数的取值范围为或. 11．（2023-24高一上·上海长宁·期末）已知集合，集合且，，若，设m的取值集合为，若，求：m的值及其对应a的取值范围． 【答案】答案见解析 【详解】由题可知，，时，，则，不合题意，故； 由于由得，， ①若，若，则，不合题意，则， 当时，即，则， 若，则，解得； 当时，即，则， 若，则，解得； ②若，时，， 当时，，联立解得； 若，则，解得； 当时，，联立解得； 若，则，解得； ③若，时，即， 由得，， 由根与系数关系得，，解得， ，符合题意， 若，则，解得； 综上所述，当，则， 当，则， 当，则， 当，则， 当，则． 12．（2023-24高一上·福建龙岩·期末）（1）对于数集A，B，定义，，若集合，求集合中所有元素之和． （2）设A，B是R上的两个子集，对任意，定义：，. ①若，则对任意，________； ②若对任意，，则A，B的关系为________．（要求写出解题过程） 【答案】（1）；（2）①0；②. 【详解】（1）由及，得， 由，得， 所以集合中所有元素之和为. （2）①由，得或， 当时，，； 当时，必有，则，， 所以. ②对任意，，则的值一个为0，另一个为1， 则且，或且，于是，且， 因此集合的关系为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$