1.3空间向量及其运算的坐标表示-2024-2025学年第一学期高二数学同步讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 空间直角坐标系及点的坐标 1．空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. 2．相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 3．空间坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 4．空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x,0,0) (0，y,0) (0,0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y,0) (0，y，z) (x,0，z) 5. 空间中点的对称点的坐标： 设点为空间直角坐标系中的点，则 （1）与点关于原点对称的点是 （2）与点关于轴对称的点是 （3）与点关于轴对称的点是 （4）与点关于轴对称的点是 （5）与点关于平面对称的点是 （6）与点关于平面对称的点是 （7）与点关于平面对称的点是 空间坐标系中求已知点的对称点，一般遵循“谁不存在谁变号”原则． 注意点： (1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0. (2)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°. (3)让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，建立的坐标系一般为右手直角坐标系． 6.建立空间直角坐标系的原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内． ②充分利用几何图形的对称性． ③一般用右手直角坐标系． 知识点2 空间向量的坐标及坐标运算 1．向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量坐标的线性运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa (λa1，λa2，λa3) 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 3.设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 注意点： (1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示一致． (2)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (3)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量． 3. 空间向量坐标运算的规律 (1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定(终点坐标减去起点坐标)． (2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算． (3)由条件求向量或点的坐标：把向量的坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标． 知识点3 空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 (1)平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； (2)垂直关系：a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 注意点： (1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0)． (2)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，当b1b2b3≠0时，a与b平行的条件还可以表示为a∥b⇔＝＝. 知识点4 夹角和距离的计算 1．空间两点间的距离公式： 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)， P1P2＝||＝ . 2．空间向量的夹角公式： 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则cos〈a，b〉＝＝. 注意点： (1)空间两点间的距离公式类似于平面中的两点之间的距离公式，可以类比记忆． (2)若O(0,0,0)，P(x，y，z)，则||＝. 3. 利用空间向量的坐标运算的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系． (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标． (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算． (4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题． 思路方法总结 1. 确定空间中一点的坐标的一般步骤 第一步：观察空间直角坐标系（若没有空间直角坐标系，应建立合适的空间直角坐标系，使所求点尽可能多地在坐标轴上或坐标平面内）的特点，确定所求点的坐标的位置，即判断点是在坐标轴上、坐标轴内，还是在空间中的其他位置； 第二步：根据几何图形求出所需要的相关线段的长度； 第三步：写出点的坐标． 2. 空间中点的对称问题 （1）关于原点对称的点，三个坐标均变为原数的相反数； （2）关于哪条坐标轴对称，相应坐标不变，另两个坐标变为原数的相反数； （3）关于哪个坐标平面对称，点在这个平面的坐标不变，另一个坐标变为原数的相反数． 简记为：关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反． 3. 利用坐标法解决立体几何问题的步骤 第一步建系：根据题中的几何图形的特征，建立适当的空间直角坐标系； 第二步定坐标：确定点的坐标，进而求出有关向量的坐标； 第三步向量运算：进行相关向量的坐标与运算； 第四步翻译：将向量语言“翻译”乘相应的立体几何中的语言，完成几何问题的证明或求解； 第五步的结论：得出最终结论． 典例·举一反三 题型一 空间向量点的坐标表示 1．在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用空间向量的坐标运算求解． 【详解】因为，， 设，故， 故，解得， 故. 故选：B 2．在空间直角坐标系中，若四点可以构成一个平行四边形，则的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】分类考虑平行四边形顶点的位置，结合向量的相等，即可求得D点坐标，即得答案. 【详解】由题意得. 设的坐标为， 若四边形为平行四边形，则，则， 此时的坐标为. 若四边形为平行四边形，则， 则，，此时的坐标为. 若四边形为平行四边形，则， 则，此时的坐标为， 故选：ABC 3．如图所示，以长方体的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据已知先求坐标，再结合图形可得坐标，进而求得答案. 【详解】在长方体中，，为坐标原点，则， 因此，所以. 故答案为： 4．如图所示，在正方体中，是的中点，，则向量的坐标为 . 【答案】 【分析】先求出，的坐标，再利用减法的坐标形式计算. 【详解】因为在正方体中，是的中点，， 根据题中所建的空间直角坐标系，可得，，所以. 故答案为： 题型二 空间向量点的对称问题 5．在空间直角坐标系中，已知点，下列叙述正确的是（    ） A．点关于轴对称的点的坐标为 B．点关于轴对称的点的坐标为 C．点关于原点对称的点的坐标为 D．点关于平面对称的点的坐标为 【答案】ABC 【分析】由空间直角坐标系中点的对称依次判断各选项即可. 【详解】对于A选项，点关于轴对称，纵坐标和竖坐标变号，横坐标不变，故A正确； 对于B选项，点关于轴对称，横坐标和竖坐标变号，纵坐标不变，故B正确； 对于C选项，点关于原点对称，横坐标、纵坐标和竖坐标都变号，故C正确； 对于D选项，点关于平面对称，只有横坐标变号，其余不变号，故D错误. 故选：ABC. 6．如图，在长方体中，，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中不正确的是（    ） A．点关于直线对称的点为 B．点关于点对称的点为 C．点的坐标为 D．点关于平面对称的点为 【答案】C 【分析】利用空间点的对称性即可逐项判断得出结论. 【详解】由图可得，则点关于直线对称的点为，故A正确； 由于，所以点关于点对称的点为，故B正确； 点的坐标为，故C不正确； 由于点，则点关于平面对称的点为，故D正确. 故选：C. 7．在空间直角坐标系中，点，点A关于y轴对称的点为C，点B关于平面对称的点为D，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量坐标关于坐标轴、平面的对称性性质求得结果. 【详解】，点A关于y轴对称的点为， ，点B关于平面对称的点为. 则. 故选：B. 8．关于空间直角坐标系中的一点，下列说法正确的是（    ） A．的中点坐标为 B．点关于轴对称的点的坐标为 C．点关于原点对称的点的坐标为 D．点关于面对称的点的坐标为 【答案】ACD 【解析】结合中点坐标公式可判断A正确；结合空间点对称特点依次判断BCD的正确性即可 【详解】利用中点公式可得的中点坐标为，A对； 点关于轴对称的点的坐标为，B错； 点关于原点对称的点的坐标为，C对； 点关于面对称的点的坐标为，D对； 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：本题考查空间中中点坐标公式的应用，空间中对称点的判断，可熟记以下结论： （1）若空间中的点为，则的中点坐标为； （2）若空间中的点为，则点关于轴对称的点的坐标为， 关于轴对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为； （3）若空间中的点为，点关于面对称的点的坐标为，关于面对称的点的坐标为，关于面对称的点的坐标为； （4）若空间中的点为，点关于原点对称的点的坐标为 题型三 空间向量运算的坐标表示 9．已知，求. 【答案】，，，， 【分析】利用空间向量线性运算与数量积的坐标表示即可得解. 【详解】由题意， ， ， ， ， . 10．已知向量：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的坐标运算直接求解即可. 【详解】因为，， 所以 ， 故选：B 11．已知、，且与夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得且与不反向，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为、，且与夹角为钝角， 则且与不反向， 若，则，解得， 若与反向，设，则，解得， 综上可得的取值范围是. 故选：D 12．已知，则 . 【答案】2 【分析】由空间向量的坐标运算即可； 【详解】由题意可得， 故答案为：2 题型四 空间向量平行的坐标表示 13．在空间直角坐标系中，，若，则x的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．5 【答案】A 【分析】由向量平行有且，结合已知坐标列方程组求参数即可. 【详解】由题设，且，则，可得. 故选：A 14．已知向量，，且，则（    ） A．3 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】根据空间向量共线求解即可； 【详解】因为，所以， 解得：， 所以. 故选：B. 15．已知空间四点，，，，且，则满足条件点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，得，然后利用空间共线平行向量即可求解. 【详解】由题意知，，，且设， 所以得，故，逐项检验后A正确. 故选：A. 16．已知，.若，则与的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】依题意利用空间向量平行的坐标表示，解方程即可得出结果. 【详解】根据题意，有且，得，解得，； 即可得，解得或； 因此与的值可以是或. 故选：AB 题型五 空间向量共面的坐标表示 17．已知空间向量，若共面，则实数 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据空间向量共面定理可知存在一对有序实数，使，然后列方程组可求得答案. 【详解】因为不共线，共面， 所以存在一对有序实数，使， 所以， 所以，解得， 故选：A 18．已知向量，，，若，，共面，则（    ） A．4 B．2 C．3 D．1 【答案】D 【分析】根据共面定理得，即可代入坐标运算求解. 【详解】因为，，共面，所以存在两个实数、，使得， 即，即，解得. 故选：D 19．已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数，的取值可能分别为（   ） A．，2 B．2，2 C．，1 D．1，5 【答案】AD 【分析】利用空间向量共面的条件，设实数，满足，列出方程组求解即可. 【详解】因为三向量共面， 所以存在实数，使得， 所以， 解得， 故当或时满足条件. 故选：AD. 20．已知向量，，，若共面，则 . 【答案】2 【分析】由题意，解方程组即可得解. 【详解】由题意设，所以，解得. 故答案为：2. 题型六 空间向量垂直的坐标表示 21．设． (1)若，求k； (2)若，求k． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由空间向量线性运算的坐标表示求得，再由向量共线的坐标表示求参数； （2）根据向量垂直的坐标表示列方程求参数. 【详解】（1）由题设， 若，则，可得； （2）若，则， 所以. 22．已知向量，，若，则实数（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】因为，所以 解得： 故选:C 23．已知为坐标原点，向量，点，.若点在直线上，且，则点的坐标为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由在直线上，设，再利用向量垂直，可得，进而可求E点坐标. 【详解】因为在直线上，故存在实数使得， .若，则，所以，解得， 因此点的坐标为. 故选：A. 【定睛】本题考查了空间向量的共线和数量积运算，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目. 24．在空间直角坐标系中，，，，，点满足. (1)求点的坐标（用表示）； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用可得点的坐标； （2）利用的坐标表示可得答案. 【详解】（1）因为，，所以， 因为， 所以， 所以点的坐标为； （2）因为，，， 所以，即，解得. 题型七空间向量模长的坐标表示 25．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量减法的计算方法及模的计算方法求解. 【详解】. 故选：C. 26．已知点，则（ ） A．36 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】利用空间向量模长的坐标公式求解即可 【详解】，所以． 故选：. 27．设，向量，，，且，，则等于（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】由向量的位置关系列式求出，根据模的计算公式计算即可求解. 【详解】， ， ，， ， ， ，． ， ． 故选：C. 28．已知向量，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出，得到答案. 【详解】因为， 所以， 当时，等号成立，故的最小值为. 故选：C. 题型八空间向量夹角（余弦值）的坐标表示 29．已知空间三点，，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得两向量的坐标，利用向量的夹角公式可求与的夹角. 【详解】∵， ， ∴结合向量夹角范围易知：与的夹角为． 故选：C 30．若向量则，的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式计算即得. 【详解】向量，则， ， 所以，的夹角的余弦值为. 故选：C 31．若，，与的夹角为，则λ的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据空间向量的夹角公式计算即可. 【详解】因为，，与的夹角为， 所以， 解得， 故答案为：. 32．已知向量，. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得； （2）首先求出与的坐标，再求出，，，最后由夹角公式计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以； （2）因为，， 则，， 所以，， ， 设向量与夹角为，所以， 所以向量与夹角的余弦值为. 题型九 空间向量投影向量的坐标表示 33．已知点，向量，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合投影向量的公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为点，则，且， 所以， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：C 34．空间向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两个向量的坐标，结合投影向量概念，可以通过计算得出结果. 【详解】与方向相同的单位向量为， 由，，则，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 35．已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】AC 【分析】根据向量坐标运算，验证向量的平行垂直，向量的模，投影向量即可解决. 【详解】因为，所以，故A正确； 由题得，而，所以不成立，故B不正确； 因为，故C正确； 因为在上的投影向量为，故D错误； 故选：AC. 36．已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为 ．（用坐标表示） 【答案】 【分析】先根据向量垂直得到方程，求出，再利用投影向量公式求出答案. 【详解】因为，所以，所以． 因为，所以在上的投影向量为． 故答案为： 题型十 空间向量坐标表示的综合训练 37．向量，，且，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】求出，根据空间向量的模长公式以及数量积的坐标表示，列式计算，即可求得答案. 【详解】由向量，， 可得， 结合，，即， 得，结合，解得，则. 故选：A 38．若，，当取最小值时，的值等于（    ） A．19 B． C． D． 【答案】D 【分析】首先表示出，再根据向量模的坐标表示及二次函数的性质计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以 ， 所以当时取最小值. 故选：D 39．已知空间向量，，若与垂直，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量线性运算的坐标运算及向量垂直的坐标表示列方程，解方程可得向量与. 【详解】因为，， 所以， 因为与垂直， 所以， 解得， 所以， 所以， 故选：B. 40．已知，且，则 . 【答案】2 【分析】由空间向量夹角公式代入计算即可. 【详解】由题意得，， 整理得且，则. 故答案为：2 41．已知向量，，则向量与所成的角为 【答案】 【分析】利用空间向量夹角的余弦公式求出答案. 【详解】， 因为，故. 故答案为：. 42．已知，. (1)若()∥()，求x，y的值； (2)若，且，求x的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出和的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得； （2）先根据向量垂直得，进而，再根据向量模的坐标表示计算可得. 【详解】（1）∵，， ∴，. 又()∥()， ∴，解得，. （2）由，得， ∴，∴，即，∴，解得. 43．已知向量，，. (1)当时，若向量与垂直，求实数的值； (2)若向量与向量，共面，求实数的值. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据向量的模长的坐标表示和两个向量垂直的坐标表示求解即可. （2）根据共面定理列方程组求解即可. 【详解】（1）因为，所以 解得，即， 由，且得 ，解得， 即的值为. （2）因为向量与向量，共面，所以设，R， 因此， 即解得， 所以的值为. 44．已知空间三点，，，设，. (1)求，; (2)求与的夹角. 【答案】(1)；. (2) 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算即可； （2）根据空间向量夹角的坐标运算即可得到答案. 【详解】（1）由题意，，， 所以，； （2）由（1）可知， 又，所以，即与的夹角为. 45．已知空间三点，，，设，. (1)求和的夹角的余弦值； (2)若向量于互相垂直，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用向量的坐标公式和向量的夹角公式即可得出； （2）根据向量垂直时数量积为0，结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到． 【详解】（1）因为，，， 所以， 所以， 即和夹角的余弦值为； （2）因为向量与互相垂直， 所以， 因为，，， 所以， 解得或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 空间直角坐标系及点的坐标 1．空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. 2．相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 3．空间坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 4．空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x,0,0) (0，y,0) (0,0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y,0) (0，y，z) (x,0，z) 5. 空间中点的对称点的坐标： 设点为空间直角坐标系中的点，则 （1）与点关于原点对称的点是 （2）与点关于轴对称的点是 （3）与点关于轴对称的点是 （4）与点关于轴对称的点是 （5）与点关于平面对称的点是 （6）与点关于平面对称的点是 （7）与点关于平面对称的点是 空间坐标系中求已知点的对称点，一般遵循“谁不存在谁变号”原则． 注意点： (1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0. (2)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°. (3)让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，建立的坐标系一般为右手直角坐标系． 6.建立空间直角坐标系的原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内． ②充分利用几何图形的对称性． ③一般用右手直角坐标系． 知识点2 空间向量的坐标及坐标运算 1．向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量坐标的线性运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa (λa1，λa2，λa3) 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 3.设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 注意点： (1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示一致． (2)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (3)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量． 3. 空间向量坐标运算的规律 (1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定(终点坐标减去起点坐标)． (2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算． (3)由条件求向量或点的坐标：把向量的坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标． 知识点3 空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 (1)平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； (2)垂直关系：a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 注意点： (1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0)． (2)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，当b1b2b3≠0时，a与b平行的条件还可以表示为a∥b⇔＝＝. 知识点4 夹角和距离的计算 1．空间两点间的距离公式： 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)， P1P2＝||＝ . 2．空间向量的夹角公式： 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则cos〈a，b〉＝＝. 注意点： (1)空间两点间的距离公式类似于平面中的两点之间的距离公式，可以类比记忆． (2)若O(0,0,0)，P(x，y，z)，则||＝. 3. 利用空间向量的坐标运算的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系． (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标． (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算． (4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题． 思路方法总结 1. 确定空间中一点的坐标的一般步骤 第一步：观察空间直角坐标系（若没有空间直角坐标系，应建立合适的空间直角坐标系，使所求点尽可能多地在坐标轴上或坐标平面内）的特点，确定所求点的坐标的位置，即判断点是在坐标轴上、坐标轴内，还是在空间中的其他位置； 第二步：根据几何图形求出所需要的相关线段的长度； 第三步：写出点的坐标． 2. 空间中点的对称问题 （1）关于原点对称的点，三个坐标均变为原数的相反数； （2）关于哪条坐标轴对称，相应坐标不变，另两个坐标变为原数的相反数； （3）关于哪个坐标平面对称，点在这个平面的坐标不变，另一个坐标变为原数的相反数． 简记为：关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反． 3. 利用坐标法解决立体几何问题的步骤 第一步建系：根据题中的几何图形的特征，建立适当的空间直角坐标系； 第二步定坐标：确定点的坐标，进而求出有关向量的坐标； 第三步向量运算：进行相关向量的坐标与运算； 第四步翻译：将向量语言“翻译”乘相应的立体几何中的语言，完成几何问题的证明或求解； 第五步的结论：得出最终结论． 典例·举一反三 题型一 空间向量点的坐标表示 1．在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，若四点可以构成一个平行四边形，则的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，以长方体的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为 ． 4．如图所示，在正方体中，是的中点，，则向量的坐标为 . 题型二 空间向量点的对称问题 5．在空间直角坐标系中，已知点，下列叙述正确的是（    ） A．点关于轴对称的点的坐标为 B．点关于轴对称的点的坐标为 C．点关于原点对称的点的坐标为 D．点关于平面对称的点的坐标为 6．如图，在长方体中，，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中不正确的是（    ） A．点关于直线对称的点为 B．点关于点对称的点为 C．点的坐标为 D．点关于平面对称的点为 7．在空间直角坐标系中，点，点A关于y轴对称的点为C，点B关于平面对称的点为D，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．关于空间直角坐标系中的一点，下列说法正确的是（    ） A．的中点坐标为 B．点关于轴对称的点的坐标为 C．点关于原点对称的点的坐标为 D．点关于面对称的点的坐标为 题型三 空间向量运算的坐标表示 9．已知，求. 10．已知向量：，，则（    ） A． B． C． D． 11．已知、，且与夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．已知，则 . 题型四 空间向量平行的坐标表示 13．在空间直角坐标系中，，若，则x的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．5 14．已知向量，，且，则（    ） A．3 B． C．9 D． 15．已知空间四点，，，，且，则满足条件点的坐标是（ ） A． B． C． D． 16．已知，.若，则与的值可以是（    ） A． B． C． D． 题型五 空间向量共面的坐标表示 17．已知空间向量，若共面，则实数 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．已知向量，，，若，，共面，则（    ） A．4 B．2 C．3 D．1 19．已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数，的取值可能分别为（   ） A．，2 B．2，2 C．，1 D．1，5 20．已知向量，，，若共面，则 . 题型六 空间向量垂直的坐标表示 21．设． (1)若，求k； (2)若，求k． 22．已知向量，，若，则实数（ ） A．1 B． C．2 D． 23．已知为坐标原点，向量，点，.若点在直线上，且，则点的坐标为（    ）. A． B． C． D． 24．在空间直角坐标系中，，，，，点满足. (1)求点的坐标（用表示）； (2)若，求的值． 题型七 空间向量模长的坐标表示 25．已知，则（    ） A． B． C． D． 26．已知点，则（ ） A．36 B． C．6 D． 27．设，向量，，，且，，则等于（    ） A． B． C．3 D．4 28．已知向量，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型八 空间向量夹角（余弦值）的坐标表示 29．已知空间三点，，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 30．若向量则，的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 31．若，，与的夹角为，则λ的值为 ． 32．已知向量，. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 题型九 空间向量投影向量的坐标表示 33．已知点，向量，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 34．空间向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 35．已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 36．已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为 ．（用坐标表示） 题型十 空间向量坐标表示的综合训练 37．向量，，且，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 38．若，，当取最小值时，的值等于（    ） A．19 B． C． D． 39．已知空间向量，，若与垂直，则等于（   ） A． B． C． D． 40．已知，且，则 . 41．已知向量，，则向量与所成的角为 42．已知，. (1)若()∥()，求x，y的值； (2)若，且，求x的值. 43．已知向量，，. (1)当时，若向量与垂直，求实数的值； (2)若向量与向量，共面，求实数的值. 44．已知空间三点，，，设，. (1)求，; (2)求与的夹角. 45．已知空间三点，，，设，. (1)求和的夹角的余弦值； (2)若向量于互相垂直，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$