串讲02 轴对称图形（考点串讲，5个常考点+11种重难点题型+5个易错+押题预测）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

八年级苏科版数学上册期中考点大串讲 串讲02 轴对称图形 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 五大常考点：知识梳理 十一大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 五大易错易混经典例题+针对训练 精选5道期中真题对应考点练 考点透视 考点一： 轴对称与轴对称图形 轴对称图形 轴对称 区 别 联 系 名 称 关 系 本质不同 一个具有特殊形状的图形 两个图形之间的对称关系 对象不同 一个图形 两个图形 对称轴的位置不同 过图形的某条直线 在两个图形之间 对称轴的数量不同 不一定只有一条 只有一条对称轴 (1)沿对称轴折叠，图形的两部分重合 (2)如果把轴对称图形对称轴两边的部分看作两个图形，那么这两个图形成轴对称 (1)沿对称轴折叠，两个图形重合 (2)如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 考点透视 考点二：线段、角、等腰三角形、等边三角形的对称性 线段 角 等腰三角形 等边三角形 图形 对称性 B C A 轴对称图形，对称轴（1条） B C A 轴对称图形，对称轴（3条） 轴对称图形，对称轴（2条） O B A 轴对称图形，对称轴（1条） B A 考点透视 考点三：线段的垂直平分线、角平分线 线段的垂直平分线性质 角的平分线的性质 图形 结论 已知 条件 l B A ● ● O ● P 点P在线段AB的垂直平分线上 PA=PB P C OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE 考点透视 考点四：等腰三角形、等边三角形的性质 等腰三角形 边 角 特殊线 对称性 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合(三条) 三个角都相等， 轴对称图形对称轴（3条） 等边三角形 轴对称图形对称轴（1条） 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合(1条) 且都是60° 两条边相等 三条边都相等 考点透视 考点五：证明线段相等、角相等常用的方法 证明线段相等的方法: (1)证明两个三角形全等; (2)根据垂直平分线的性质证明; (3)根据角平分线的性质证明; (4)根据“等角对等边”证明; (5)根据直角三角形斜边上的中线的性质证明. 证明角相等的方法: (1)对顶角相等； (2)证明两个三角形全等； (3)两直线平行，同位角(内错角)相等; (4)同角或等角的余角(补角)相等； (5)根据角平分线的判定证明; (6)根据“等边对等角”证明. 题型剖析 题型一：轴对称与轴对称图形 【例1】如图所示，△A'B'C'与△ ABC 关于直线 MN 成轴对称，则 线段AA'与直线 MN 的关系正确的是(　B　) A. 直线 MN 被线段 AA '垂直平分 B. 线段 AA '被直线 MN 垂直平分 C. 直线 MN 经过线段 AA '的中点，但不垂直 D. 直线 MN 与线段 AA '垂直，但不经过线段 AA '的中点 B 【变式1-1】如图，如下图均为2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1.请分别在四个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形． A B C A B C A B C A B C 9 【变式1-2】一辆汽车的车牌号在水中的倒影是： ，那么它的实际车牌号是：　 　． K62897 【变式1-3】如图，正方形ABCD的边长为5cm，则图中阴影部分的面积为_______. 12.5cm² 10 【变式1-4】用四块如图①所示的瓷砖拼成一个正方形，使拼成的图案成一个轴对称图形，请你分别在图②、图③中各画一种拼法（要求两种拼法各不相同，可平移和旋转瓷砖） 解：拼法如下： ① ② ③ 11 题型剖析 题型二：轴对称的性质 【例2】如图，点P关于OA，OB的对称点分别是P1，P2，P1P2分别交OA，OB于点C，D，P1P2=6cm，则△PCD的周长为________。 【分析】∵点P关于OA、OB的对称点P1、P2， ∴PC=P1C，PD=P2D， ∴△PCD的周长 =PC+CD+PD=P1C+CD+P2D=P1P2=6。 6 【变式2-1】如图，∠AOB内有一点P，且∠AOB=35°，作点P关于直线OA，OB的对称点P1，P2，再作射线OP1，OP2，则∠P1OP2=________。 【分析】如图，连接OP， ∵点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2， ∴∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2， ∵∠AOP+∠BOP=∠AOB=35°， ∴∠AOP1+∠BOP2=35°， ∴∠P1OP2=∠AOP1+∠BOP2+∠AOB=70°。 70° 13 【变式2-2】如图，在△ABC中，∠C=40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是（　　） A．40° B．80° C．90° D．140° 【分析】 ∵折叠，∴∠D=∠C=40°， 由外角性质可得：∠1=∠3+∠C，∠3=∠2+∠D， ∴∠1=∠2+∠C+∠D=∠2+2∠C=∠2+80°， ∴∠1-∠2=80°。 B 3 14 题型剖析 题型三：垂直平分线的判定与性质 【例3】已知：如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1，l2相交于点O． 求证：点O在BC的垂直平分线上． B A C O l1 l2 证明：连接OA、OB、OC. ∵ 点O在AB的垂直平分线上， ∴ OA＝OB， （线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等） 同理 OA＝OC. ∴ OB＝OC. ∴ 点O在BC的垂直平分线上 （与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上) . 【变式3-1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，交AC于点E，DE垂直平分AB于点D．求证：BE＋DE＝AC． B A C D E 证明：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE. ∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，∠ACB＝90°， ∴DE＝CE， ∴BE＋DE＝AE＋EC＝AC. 16 【变式3-2】如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AD 平分∠ BAC ， DE ⊥ AB 于点 E . (1)若∠ BAC ＝50°，求∠ EDA 的度数； (1)解：∵ AD 平分∠ BAC ，∠ BAC ＝50°， ∴∠ EAD ＝ ∠ BAC ＝25°. ∵ DE ⊥ AB ，∴∠ ADE ＝90°－∠ EAD ＝90°－25°＝65°. 17 (2)求证：直线 AD 是线段 CE 的垂直平分线. (2)证明：∵ DE ⊥ AB ，∠ ACB ＝90°， ∴∠ AED ＝90°＝∠ ACB . 又∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ DAE ＝∠ DAC . 如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AD 平分∠ BAC ， DE ⊥ AB 于点 E . 又∵ AD ＝ AD ，∴△ AED ≌△ ACD . ∴ AE ＝ AC ， DE ＝ DC . ∴点 A ，点 D 在线段 CE 的垂直平分线上， 即直线 AD 是线段 CE 的垂直平分线. 18 证明：∵AD⊥BC，BD＝DC，∴AD是BC的垂直平分线， ∴AB＝AC.∵AB＋BD＝DE， ∴AB＋BD＝DC＋CE，∴AC＝CE， ∴点C在AE的垂直平分线上． 【变式3-3】如图，已知AD⊥BC，BD＝DC，AB＋BD＝DE， 求证：点C在AE的垂直平分线上． B A C D E 19 题型剖析 题型四：角平分线的判定与性质 解：当DE⊥AB时，线段DE的长度最小（根据垂线段最短）， ∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD， ∵CD＝3， ∴DE＝3， 即线段DE 的长度的最小值是3， 【例4】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，CD＝3，DB＝5，点E在边AB上运动，连接DE，则线段DE长度的最小值为　　． 3 B A C D E 【变式4-1】已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为E、F. 求证：EB=FC. A B C D E F 证明： ∵AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE=DF，∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC. 21 【变式4-2】如图所示，在△ABC中，BD=CD，∠ABD=∠ACD. 求证：AD平分∠BAC. A B C D M N 证明：如图，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，则∠BMD=∠CND=90°.在△BDM和△CDN中, ∴△BDM≌△CDN(AAS). ∴DM=DN.又∵DM⊥AB，DN⊥AC, ∴AD平分∠BAC. 22 【变式4-3】已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG. 求证：OC是∠AOB的平分线. O B A E C D P F G 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDF=∠PEG=90°. 在Rt△PFD和Rt△PGE中, ∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL), ∴PD=PE. ∵P是OC上点，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴OC是∠AOB的平分线. 23 题型剖析 题型五：等腰三角形的判定与性质 【例5】如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，作 AD ⊥ AB 交 BC 的延 长线于点 D ，作 AE ∥ BD ， CE ⊥ AC ，且 AE ， CE 相交 于点 E ，求证： AD ＝ CE . 证明：∵ AB ＝ AC ， ∴∠ ABC ＝∠ ACB . ∵ AE ∥ BD ， ∴∠ EAC ＝∠ ACB . ∴∠ ABC ＝∠ EAC . ∵ AD ⊥ AB ， CE ⊥ AC ，∴∠ BAD ＝∠ ACE ＝90°. ∴△ ABD ≌△ CAE . ∴ AD ＝ CE . 【变式5-1】如图的房屋人字梁架中，AB＝AC ，BD=DC， ∠BAC＝110°， (1) 求∠B、∠C、∠1、∠2的度数； (2) 求证：AD⊥BC . (2) 证明：∵AB=AC，BD=DC（已知） ∴ AD⊥BC（三线合一） 1 2 解： (1) ∵AB=AC，BD=DC（已知） ∴∠1=∠2= ∠BAC（三线合一） ∵∠BAC＝110°（已知） ∴∠ 1=∠2=55°（等式性质） 25 【变式5-2】如图，在△ABC中，点D在BC上，AD=BD，AB=AC=CD. 求∠BAC的度数. 解：设∠B=x°. ∵AD=BD， ∴∠BAD=∠B=x°. ∴∠ADC=∠BAD+∠B=(2x)°. ∵DC=AC， ∴∠DAC=∠ADC=(2x)°. ∵AB=AC， ∴∠C=∠B=x°. ∵∠C+∠DAC+∠ADC=180°, ∴x+2x+2x=180. ∴x=36，即∠B=36°. ∴∠BAC=180°-36°-36°=108° A B C D 26 【变式5-3】已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC. (1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE； A C B E D 图① G (1)证明：如图①，过A作AG⊥BC于G. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BG＝CG，DG＝EG， ∴BG－DG＝CG－EG， ∴BD＝CE. 27 【变式5-3】已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC. (2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC. A F C B E D 图② (2)证明：∵F为DE的中点， ∴DF＝EF. ∵BD＝CE， ∴BD＋DF＝CE＋EF， ∴BF＝CF. ∵AB＝AC， ∴AF⊥BC. 28 题型剖析 题型六：等边三角形的判定与性质 【例6】如图，已知△ABC为等边三角形，点E、F分别在边AC、BC上，且AE=CF，AF与BE相交于点D. (1)求证:△ABE≌△CAF; (2)求∠BDF的度数. 解：(1)证明:∵△ABC为等边三角形, ∴∠BAE=∠C=60°，AB=CA， 在△ABE和△CAF中， ∴△ABE≌△CAF (SAS). A B C D E F 【例6】如图，已知△ABC为等边三角形，点E、F分别在边AC、BC上，且AE=CF，AF与BE相交于点D. (1)求证:△ABE≌△CAF; (2)求∠BDF的度数. 解：(2)∵△ABE≌△CAF, ∴∠ABE=∠CAF. ∴∠BDF=∠ABE+∠BAF =∠CAF+∠BAF =∠BAC=60°. A B C D E F 30 【变式6-1】如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E . 求证：△ADE是等边三角形. A C B D E 证明：∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C. ∵ DE//BC, ∴ ∠ADE= ∠B=60°, ∠ AED= ∠C=60°. ∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED=60°. ∴ △ADE是等边三角形. 31 【变式6-2】如图，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形． (1) 线段AN与线段BM是否相等？请说明理由； B C A M N 解：(1)AN＝BM. 理由：∵△ACM与△CBN都是等边三角形， ∴AC＝MC，CN＝CB， ∠ACM＝∠BCN＝60°. ∴∠ACN＝∠MCB. ∴△ACN≌△MCB(SAS)． ∴AN＝BM. 32 (2) AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论． B C A F E M N (2)△CEF是等边三角形． 证明：∵∠ACE＝∠FCM=60°， ∴∠ECF=60°. ∵△ACN≌△MCB， ∴∠CAE＝∠CMB. ∵AC＝MC， ∴△ACE≌△MCF(ASA)， ∴CE＝CF. ∴△CEF是等边三角形． 33 题型剖析 题型七：直角三角形斜边的中线定理 【例7】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠COE＝　　度． 解：∵∠ACB＝90°，CE＝AC， ∴∠CAE＝∠AEC＝45°， ∵∠BAE＝15°， ∴∠CAB＝60°， ∴∠B＝30°， ∵∠ACB＝90°，O为AB的中点， ∴CO＝BO＝AO＝ AB， ∴△AOC是等边三角形，∠OCB＝∠B＝30°， ∴AC＝OC＝CE， ∴∠COE＝∠CEO＝ （180°﹣30°）＝75°． B A C E O 75 【变式7-1】如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点． 求证：MN⊥BD． A B C D M N 证明：连接BM，DM. ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点， ∴BM＝DM＝AC. ∵点N是BD的中点， ∴MN⊥BD. 35 题型剖析 题型八：与角平分线、垂直平分线性质相关的辅助线的添加 【例8】如图所示， D 为△ ABC 内一点， CD 平分∠ ACB ， BD ⊥ CD ，∠ A ＝∠ ABD ，若 BD ＝1， BC ＝3，求线段 AC 的长. 解：延长 BD 交 AC 于点 E ， ∵∠ A ＝∠ ABD ， ∴ BE ＝ AE . ∵ BD ⊥ CD ，∴ BE ⊥ CD ， ∴∠ BDC ＝∠ EDC ＝90°， ∴∠ BCD ＋∠ EBC ＝∠ ECD ＋∠ BEC ＝90°. ∵ CD 平分∠ ACB ，∴∠ BCD ＝∠ ECD ， ∴∠ EBC ＝∠ BEC ，∴ BC ＝ CE . ∵ BE ⊥ CD ，∴ BE ＝2 BD . ∵ BD ＝1， BC ＝3，∴ BE ＝2， CE ＝3， ∴ AE ＝ BE ＝2， ∴ AC ＝ AE ＋ EC ＝2＋3＝5. 37 【变式8-1】如图，AB∥CD，∠BAC、∠ACD的平分线相交于点P，过点P作PE⊥AB于点E，交CD于点F，EF=10，求点P到AC的距离.  B A F C E P D H 解：如图，过点P作PH⊥AC于点H. ∵AP平分∠BAC，PE⊥AB，PH⊥AC, ∴PE=PH. ∵AB∥CD，PE⊥AB， ∴PF⊥CD. ∵CP平分∠ACD，PF⊥CD，PH⊥AC, ∴PF=PH， ∴PH=PE=PF=EF=5, 即点P到AC的距离为5. 38 【变式8-2】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，点E在边BC上．AE平分∠BAD，DE平分∠ADC．求证：BE＝CE.    E H B C F A G 证明：过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥AD于点 G，EH⊥CD于点H. ∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC， ∴EF＝EG＝EH. ∴△BEF≌△CEH(AAS)， ∴BE＝CE. 39 题型剖析 题型九：等腰三角形中的分类讨论问题 B A A 【例9】(1) 操作实践：如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=22.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形. (请在图①、图②中用两种不同的分割方法画出来.只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数.) 解：(1) 如图所示: B A A 45° 45° 22.5° 22.5° ① ② 22.5° 22.5° 67.5° 67.5° (2) 分类探究：在△ABC中，最小内角∠B=24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出最大内角的所有可能值； B A C D B A C D B A C D B A C D 24° 24° 24° 24° 78° 78° 39° 39° 24° 48° 48° 66° 66° 24° 48° 48° 84° 解：(2) 如图所示: 24° 41 (3) 猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？(请你至少写出两个条件，无需证明) 解：(3) 若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足的条件如下： 该三角形是直角三角形； 该三角形有一个角是最小角的倍； 该三角形有一个角是最小角的倍．  42 【变式9-1】如图，O是等边三角形ABC内的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD. (1)求证：△COD是等边三角形； B A C D 110° O 解：(1)证明：由旋转的性质， 得CO=CD，∠OCD=60°， ∴△COD是等边三角形. 43 (2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； 解：(2)△AOD是直角三角形. 理由:由旋转的性质，得 △BOC≌△ADC， ∴∠BOC=∠ADC=150°. ∵△COD是等边三角形， ∴∠ODC=60°. ∴∠ADO=90°， 即△AOD是直角三角形. B A C D 110° O 44 【变式9-2】如图所示，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝2，∠ B ＝40°，点 D 在线段 BC 上运动(点 D 不与点 B ， C 重合)，连接 AD ，作∠ ADE ＝40°， DE 交线段 AC 于点 E . (1)当∠ BDA ＝115°时，∠ BAD ＝ ；点 D 从点 B 向点 C 运动时，∠ BDA 逐渐变 (填“大”或“小”). 25°　 小　 45 (2)当 DC 的长为多少时，△ ABD 与△ DCE 全等？请说明理由. 解：(2)当 DC ＝2时，△ ABD ≌△ DCE . 理由：∵ AB ＝2， ∴ AB ＝ DC ， ∵ AB ＝ AC ，∴∠ C ＝∠ B ＝40°， ∴∠ DEC ＋∠ EDC ＝140°. ∵∠ ADE ＝40°，∴∠ ADB ＋∠ EDC ＝140°， ∴∠ ADB ＝∠ DEC . 在△ ABD 和△ DCE 中， ∴△ ABD ≌△ DCE (AAS). 46 (3)在点 D 的运动过程中，△ ADE 的形状也在改变，请判断当∠ BDA 等于多少度时，△ ADE 是等腰三角形.(直接写出结论，不用说明理由) 解：(3)当∠ BDA 的度数为110°或 80°时，△ ADE 是等腰三角形. 47 题型十：动点问题 【例10】如图，在△ ABC 中，∠ B ＝90°， AB ＝16 cm， BC ＝12 cm， AC ＝20 cm， P ， Q 是△ ABC 边上的两个动点，其中点 P 从点 A 开始沿 A → B 方向运动，且速度为1 cm/s，点 Q 从点 B 开始沿 BC → CA 方向运动，且速度为2 cm/s， P ， Q 两点同时出发，当点 P 运动到点 B 时两点停止运动，设运动时间为 t s. (1) BP ＝ cm(用含 t 的 式子表示)； (16－ t )　 题型剖析 (2)当点 Q 在边 BC 上运动时.①出发几秒后，△ PQB 是等 腰三角形？ 解：(2)①当点 Q 在边 BC 上运动，△ PQB 为等腰三角形时， BP ＝ BQ ，即16－ t ＝2 t ，解得 t ＝ . ∴出发 s后，△ PQB 是等腰三角形. ②通过计算说明 PQ 能否把△ ABC 的周长平分. (2)当点 Q 在边 BC 上运动时. ②当点 Q 在 BC 上运动，即 t ≤12÷2＝6时， AP ＝ t ， BQ ＝2 t ，∴ CQ ＝12－2 t ， BP ＝16－ t ， 令 BQ ＋ BP ＝ CQ ＋ CA ＋ AP ， 则2 t ＋16－ t ＝12－2 t ＋20＋ t ，解得 t ＝8. ∵8＞6， ∴当点 Q 在 BC 上运动， PQ 不能把△ ABC 的周长平分. (3)当点 Q 在边 CA 上运动时， 若△ BCQ 是以 BC 或 BQ 为 底边的等腰三角形，直接写 出此时 t 的值. 解：(3) t 的值为11或12.点拨：①当△ BCQ 是以 BC 为底边的等腰三角形时， CQ ＝ BQ ，如图①所示.则∠ C ＝∠ CBQ . ∵∠ ABC ＝90°，∴∠ CBQ ＋∠ ABQ ＝90°，∠ A ＋∠ C ＝90°， ∴∠ A ＝∠ ABQ ，∴ BQ ＝ AQ . ∴ CQ ＝ AQ ＝10 cm，∴ BC ＋ CQ ＝22 cm， ∴ t ＝22÷2＝11(s). ②当△ BCQ 是以 BQ 为底边的等腰三角形时， CQ ＝ BC ＝12 cm，如图②所示，则 BC ＋ CQ ＝24 cm， ∴ t ＝24÷212(s).综上所述：当 t 的值为11或12时，△ BCQ 是以 BC 或 BQ 为底边的等腰三角形. 题型剖析 题型十一：将军饮马问题 A B 水面 河岸 l 【例11】传说一位古罗马将军提出了一个有名的“将军饮马”问题：如图甲，将军从军营A出发先到河边饮马，再去同侧的B地开会，若途中速度不变，应该怎样走才能用时最短？ 【分析】若途中速度不变，则用时最短即路程最短。 A’ P 如图，过点A关于l的对称点A’， 连接A’B交l于点P， 连接AP。 A B 水面 河岸 l A’ P 由作图可知：l是线段AA’的垂直平分线， ∴PA=PA’（线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）， 依据“两点之间线段最短”，可知A’P+BP，即AP+BP为所求的最短路程。 53 【变式11-1】如图，点Q在∠AOB内部，点M，N分别在射线OA，OB上，若OQ为定值，何种情况下△QMN的周长最小。 A B O P P’ P’’ M N 【分析】如图，过点P关于OA的对称点P’，过点P关于OB的对称点P’’， 连接P’P’’交OA于点M，交OB于点N， 连接MP、NP。 54 依据“两点之间线段最短”，可知P’M+MN+P’’N，即PM+MN+PN为所求的最小周长。 A B O P P’ P’’ M N 由作图可知：OA是线段PP’的垂直平分线，OB是线段PP’’的垂直平分线， ∴PM=P’M，PN=P’’N，（线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） 55 易错易混 易错点一：等腰三角形中顶底角不确定时的漏解问题 1、等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少 20°则这个等腰三角形顶角的度数是( ） A.44°或 80°或 140° B.20°或 80° C.44°或 80° D.140° 设另一个角是x°,则前一个角是(2x-20)° ①当 x°是顶角,(2x-20)°是底角时,x+2(2x-20)= 180解得x=44,所以顶角的度数是 44° ②当x°是底角,(2x-20)°是顶角时,2x+(2x-20)= 180,解得x=50,所以顶角的度数是 2x50°-20°=80° A ③当x与(2x-20)°都是底角时,x=2x-20,解得x=20,所以顶角是1800-20°x2=140° 综上所述,这个等腰三角形顶角的度数是44°或80°或140°.故选 A. 易错易混 易错点二：忘记角平分线的性质作垂线 2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，若CD=10，则点D到AB的距离是( ____ ) A.8 B.9 C.10 D.11 【解析】解：如图，作DH⊥AB于H． _____ C ∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D， ∴CD=DH(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)， ∵CD=10，∴DH=10，即点D到AB的距离是10． 故选：C． 易错易混 易错点三：忘记垂直平分线的性质 3、如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE=4，EC=2，则BC的长 ____ ． 【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴EB=AE=4， ∴BC=BE+EC=4+2=6， 故答案为：6． 6 易错易混 易错点四：复杂图形中忘记斜边的中线定理 4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，DE平分∠ADC，BC=4，∠A=30°，则DE的长是________。 【分析】∵∠ACB=90°，点D是AB的中点， ∴AD=CD=AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， 又∵DE平分∠ADC，∴DE⊥AC（三线合一），即∠AED=90°， ∵∠A=30°，∴DE=AD，BC=AB=4 （在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）， ∴AB=8，AD=AB=4，DE=AD=2。 2 易错易混 易错点五：等腰三角形的存在性问题 61 押题预测 62 63 64 65 66 感谢您的观看 Thank you 67 5、如图，已知 中， ， ，在直线 或射线 取一点 ，使得 是等腰三角形，则符合条件的点 有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【详解】解：分三种情况：①构造 中垂线， 、 即为所求，如图所示： ②以 为圆心， 长为半径作圆， 、 即为所求，如图所示： ③以 为圆心， 长为半径作圆， 即为所求，如图所示， 综上所述，在直线 或射线 取一点 ，使得 是等腰三角形，符合条件的点 有 、 、 、 、 共5个，故选：B． 1．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在 中， ， 与 的平分线交于点 ，过点 作 的平行线分别交 、 于点 、 ， 的周长是13，则 的周长是（　　）    A．18 B．19 C．20 D．21 【详解】解： 与 的平分线交于点 ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， 的周长是13， ， ，即 ， 又 ， 的周长为： ． 故选：B 3．（23-24八年级上·江苏南通·期中）如图， 是 的角平分线， 于 的面积是 ，则 ． 【详解】解：过点 作 ，如图所示： EMBED Equation.DSMT4 是 的角平分线， 于 ， ， EMBED Equation.DSMT4 的面积是 ， ，即 ，解得 ， 故答案为： ． 4．（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，D、E是 的 边上的两点， 分别垂直平分 ，垂足分别为点M、N．若 ，则 的度数为 ． 【详解】解：∵ 分别垂直平分 ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∵ ， ，∴ ， ∴ ，∴ ． 故答案为： 5．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，四边形 中， ， ， ， ，垂足为E． (1)求证： ； (2)若 ，求 的度数． 【详解】（1）证明： ， ． ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， 又 ， ， ． $$