精品解析：江苏省苏州市苏州高新区第一初级中学校2024—2025学年上学期八年级数学月考试卷　

初二数学练习 一、选择题 1. 下列四个图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，对选项进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故不符合题意； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，解本题的关键在寻找图形的对称轴，看图形两部分折叠后是否能够互相重合． 2. 游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边中线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上． 【详解】解：三角形的三条垂直平分线的交点到三角形各顶点的距离相等， 凳子应放在的三条垂直平分线的交点最适当． 故选：A． 3. 已知等腰三角形的一个角为，则该三角形的底角度数为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】分的角为顶角，的角为底角，利用三角形内角和定理和等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：当的角为顶角时，则底角度数为， 当的角为底角时，则底角度数为； 综上所述，该三角形的底角度数为或， 故选B． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 4. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=20°，DE是边AC的垂直平分线，连结AE，则∠BAE等于（　　） A. 20° B. 40° C. 50° D. 70° 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分线的性质求出CE=AE，求出∠EAC=∠C=20°，即可得出答案． 【详解】∵在△ABC中,∠ABC=90°,∠C=20°， ∴∠BAC=180°−∠B−∠C=70°， ∵DE是边AC的垂直平分线,∠C=20°， ∴CE=AE， ∴∠EAC=∠C=20°， ∴∠BAE=∠BAC−∠EAC=70°−20°=50°， 故选C. 【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，解题关键在于掌握其性质. 5. 如图，△中，，点，分别在，上，是的中点．若，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质．根据已知想到等腰三角形的三线合一，所以连接，可得，再利用等角的余角相等，证明，从而得，即可解答． 【详解】解：连接， ，是的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 6. 已知：如图中，，，在直线BA上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　） A. 7个 B. 6个 C. 5个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】分或为等腰三角形两种情况画出图形即可判断． 【详解】解：如图：当时，是等腰三角形； ∵，∴是等边三角形，∴； 当时，是等腰三角形； 当，，当时，都是等腰三角形； 综上，符合条件的点D的个数有6个． 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形存在问题，如果题中没有说明等腰三角形的腰或者底分别是哪条线段，都要进行分类讨论，让三条线段分别两两相等，得出三种情况，再根据题意看有没有需要排除的情况，然后再一一分析符合条件的图形． 7. 如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，过点作于，于，可得是等边三角形，得出，，运用可证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：连接，过点作于，于， ∴， 由折叠可得，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 二、填空题 8. 如图，在锐角△ABC中，BC=4，∠ABC=30°，∠ABD=15°，直线BD交边AC于点D，点P、Q分别在线段BD、BC上运动，则PQ+PC的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】作点关于BD的对称点M，连接CM，当时．此时PQ+PC取得最小值． 【详解】解：∵∠ABC=30°，∠ABD=15°， ∴BD是∠ABC的平分线， 作点关于BD的对称点M，连接PM、CM， 由对称的性质可知，, ∴， ∵, ∴, ∵, ∴M在AB上, 由垂线段最短可知：当时．取得最小值， ∴此时PQ+PC也取得最小值． ∵， ∴， ∵, ∴, ∴PQ+PC的最小值为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题、的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短路径问题． 9. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，分腰长为和两种情况，依据三角形三边关系，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：当腰长为时，，三角形不存在； 当腰长为时，符合三角形两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为；   故答案为： ． 10. 如图,正三角形网格中,已有两个小正三角形被涂黑,再将图中其余小正三角形涂黑一个,使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有______种. 【答案】3 【解析】 【分析】根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：选择小正三角形涂黑，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形， 选择位置有以下几种：1处，2处，3处，选择的位置共有3处． 故答案为3． 考点：概率公式；轴对称图形． 11. 如图，点D在上，，，则_____． 【答案】##108度 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理，由等边对等角得出，结合三角形外角的定义及性质得出，再由三角形内角和定理计算得出，从而推出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在中，的垂直平分线分别交和于点D和点E，若的周长，的周长，则的长为_______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长， ∴， ∵的周长， ∴， ∴， 故答案为：9． 13. 如图，在中，平分，于点，连接，若，，则的面积是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点作于点，根据平分，，得到，根据面积公式求出三角形的面积，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平分，， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 14. 如图，在中，，垂直平分．若，，垂足分别为点，，连接，则 ________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质与判定，根据三线合一证明，直角三角形斜边中线性质，运用等腰三角形三线合一证明是解题关键．根据题意可证是等腰直角三角形，，根据等腰三角形三线合一可得，根据同角的余角相等可得，根据直角三角形斜边中线性质可证是等腰三角形，进而求出其外角的度数． 【详解】解：∵垂直平分，， ∴，是等腰直角三角形， ∴． ∵，， ∴，， ∵在直角和直角中，和都和互余， ∴， ∵， ∴点F是中点，是直角的中线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，中，动点D在直线上，当为等腰三角形，__________． 【答案】或或或 【解析】 【分析】画出图形，分四种情况分别求解． 【详解】解：若， 则； 若， 则， ∴； 若，且三角形是锐角三角形， 则； 若，且三角形是钝角三角形， 则． 综上：的度数为或或或， 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，外角的性质，解题的关键是找齐所有情况，分类讨论． 16. 如图，在中，，平分交于点，平分交于点，交于点．则下列说法正确的有______． ；；若，则；． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的性质和判定，角平分线的定义，三角形的中线，等角对等边，根据三角形内角和定理可得可得，然后根据平分，平分，可得，，再根据三角形内角和定理即可进行判断；当是的中线时， ，进而可以进行判断；延长至，使，连接，根据，证明得，然后根据等角对等边进而可以进行判断；如图，作的平分线交于点G，易得，，通过证明，，得出，，即可解答；熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】①在中， ， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，故正确； 当是的中线时，，而平分， 故错误； 如图，延长至，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确； 如图，作的平分线交于点G，由得， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，故正确； 综上：正确， 故答案为：． 三、解答题 17. 下列四个图都是由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，其中的两个小正方形被涂黑．请在各图中再将两个空白的小正方形涂黑使各图中涂黑部分组成的图形成为轴对称图形(另两个被涂黑的小正方形的位置必须全不相同)，并画出其对称轴． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的作法，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质，沿一条直线对折直线两旁部分完全重合．先找到合适的对称轴，然后再涂黑两个小正方形即可． 【详解】解∶如图， 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的三个顶点均在格点上，直线经过网格格点．请完成下列各题： （1）画出关于直线的对称的； （2）的面积等于 ． （3）利用网格，在直线上画出点P，使．同时，在直线上画出点Q，使的值最小． 【答案】（1）画图见解析 （2） （3）画图见解析 【解析】 【分析】本题考查了两点之间线段最短，运用网格求三角形面积，垂直平分线性质，轴对称作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别作出点再依次连接，即可作答． （2）运用割补法求三角形面积，即可作答． （3）结合网格特征，作出线段的垂直平分线，与直线的交点，即为点P，结合（1），连接，与直线的交点，即为点Q，即可作答． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：画的垂直平分线交直线于点P，则，如图所示： 连接交直线上于点Q， 则， 则的值最小，如图所示： 19. 已知：如图，中，D是中点，垂足为E，垂足为F，且，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．由点是中点，可得，再证明可得，然后根据等角对等边可得即可证明结论． 【详解】证明：∵D是中点， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 20. 已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一，如图所示，过点A作于F，由三线合一定理得到，，再由线段和差关系即可证明． 【详解】证明：如图所示，过点A作于F， ∵（已知）， ∴， 又∵（已知）， ∴， ∴，即（等式的性质）． 21. 如图，，平分，平分，且与交于E．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质： （1）过点作，根据角平分线的性质，即可得出结论； （2）分别证明，，得到，根据平角的定义，得到，即可． 【小问1详解】 解：过点作， ∵平分，平分，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 证明：在和中， ， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴ 22. 如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线，交于点． （1）求证：点在线段的垂直平分线上； （2）已知，求的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （）先根据相等垂直平分线的性质证明，，，再设，，然后根据三角形内角和定理，求出，再根据直角三角形的性质求出和，再根据对顶角的性质求出，，最后利用三角形内角和定理求出答案即可. 本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，对顶角相等，解题关键是熟练掌握知识点的应用. 【小问1详解】 证明：如图所示， 连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上； 【小问2详解】 解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，，， ∴， 设，， ∴，，， ， ∴，， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 23. 如图，在中，于点，于点，为的中点，连接，． （1）求证：； （2）若，．求的周长． 【答案】（1）证明见解析． （2）9． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出是解题关键． （1）利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题． （2）由（1）可得，再可推导出，再证明为等边三角形即可求解． 【小问1详解】 证明：∵于点，于点， ∴与都为直角三角形， 又∵为的中点， ∴，， ∴． 【小问2详解】 由（1）可知， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长为． 24. 如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． （1）求的度数； （2）请判断否平分，并说明理由； （3）若，，且，求的面积． 【答案】（1） （2）平分，理由见解析 （3）的面积为9 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的面积． （1）由平角的定义可求解的度数，再利用三角形的内角和定理可求解，进而可求解； （2）过点分别作于，与，根据角平分线的性质可证得，进而可证明结论； （3）利用三角形的面积公式可求得的长，再利用三角形的面积公式计算可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：平分，理由如下： 过点分别作于，与， 平分， ， ， 平分， ， ， 平分； 【小问3详解】 解：，，， ， 即， 解得， ， ． 25. 如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点（与A，C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），连接PQ交AB于D． （1）设AP的长为x，则PC＝　 　，QC＝　 　； （2）当∠BQD＝30°时，求AP的长； （3）过点Q作QF⊥AB交AB延长线于点F，过点P作PE⊥AB交AB延长线于点E，则EP，QF有怎样的关系？说明理由； （4）在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长 【答案】（1）， ；（2）2；（3），；（4）不变，． 【解析】 【分析】（1）由线段和差关系即可得出答案； （2）由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可列方程解方程即可得出答案； （3）作的延长线于点，利用证明，即可得出答案； （4）作的延长线于点，连接，由全等三角形的性质可证，由题意可证四边形是平行四边形，可得，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵ 又和速度相同 ∴ ∴ 故答案为：， ． （２）∵, ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ ． （3）， 理由如下：作的延长线于点 如图，∵ ∴ ∴ ∵和速度相同 ∴ ∵是等边三角形 ∴ 又 ∴ 在和中 ∴． （4）的长度不变 作的延长线于点，连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴且 ∴四边形是平行四边形 ∴． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定定理及平行四边形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解决本题的关键． 26. 小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空． 【阅读定义】如图1，内有一点P，满足，那么点P称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”． 【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由） 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度； 问题2：在等腰三角形中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”． （1）与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． （2）当（如图4所示），时，求点C到直线的距离． 【答案】问题1：1，30；问题2：（1），（2）， 【解析】 【分析】问题1：根据等边三角形的性质和“布洛卡点”的定义即可知其“布洛卡点”个数和角度； 问题2：（1）根据等腰三角形的性质可得，结合题意可知，则有，利用三角形内角和定理可得，即可得到； （2）过C点作与D，根据可得，且，由题意得，求得，，则有和，，继而证明，则有和，即可得到，可得点C到直线的距离． 【详解】解：问题1： 由题意知三角形中有两个“布洛卡点”， ∵等边三角形每个角为， ∴两个“布洛卡点”重合为一个，且每个角为， 故答案为：1，30． 问题2：（1），理由如下： ∵， ∴， ∵M是的“布洛卡点”，是“布洛卡角”， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， （2）过C点作与D，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查新定义下的三角形角度理解，涉及等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质和三角形内角的应用，解得的关键是对新定义的理解，以及角度之间的转化． 27. 在四边形中，C是边的中点． （1）如图1，若平分，，则线段满足数量关系是 ； （2）如图2，平分，平分，若，则线段，，，之间存在怎样的数量关系？写出结论并证明； （3）如图3，，，，若，则线段长度的最大值是 ． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3）18 【解析】 【分析】（1）在上取一点F，使，即可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论； （2）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论； （3）作B关于的对称点F，D关于的对称点G，连接，，，，．同（2）可得是等边三角形，则．当A，F，G，E共线时，有最大值，即可求解． 【小问1详解】 解：在上取一点F，使，连接．如图（1）， ∵平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵C是边的中点． ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴； 故答案为：． 【小问2详解】 解：结论：． 证明：上取一点F，使，连接，在上取点G，使，连接．如图（2）， ∵C是边的中点， ∴． ∵平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． 同理可证：，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴是等边三角形． ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：将沿翻折得，将沿翻折得，连接，如图3， 由翻折可得，，，，，， ∵C是边的中点， ∴， ∴ ∵， 由（2）可得是等边三角形， ∴． ∵ 当A，F，G，E共线时，有最大值． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，余角的性质，两点之间线段最短，作恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初二数学练习 一、选择题 1. 下列四个图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边中线的交点 D. 三边上高的交点 3. 已知等腰三角形的一个角为，则该三角形的底角度数为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 4. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=20°，DE是边AC的垂直平分线，连结AE，则∠BAE等于（　　） A. 20° B. 40° C. 50° D. 70° 5. 如图，△中，，点，分别在，上，是的中点．若，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 已知：如图中，，，在直线BA上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件点D的个数有（　　） A. 7个 B. 6个 C. 5个 D. 4个 7. 如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（　　） A. B. C. D. 二、填空题 8. 如图，在锐角△ABC中，BC=4，∠ABC=30°，∠ABD=15°，直线BD交边AC于点D，点P、Q分别在线段BD、BC上运动，则PQ+PC的最小值是__________． 9. 已知一个等腰三角形两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______． 10. 如图,正三角形网格中,已有两个小正三角形被涂黑,再将图中其余小正三角形涂黑一个,使整个被涂黑图案构成一个轴对称图形的方法有______种. 11. 如图，点D在上，，，则_____． 12. 如图，在中，的垂直平分线分别交和于点D和点E，若的周长，的周长，则的长为_______． 13. 如图，在中，平分，于点，连接，若，，则的面积是 _____． 14. 如图，在中，，垂直平分．若，，垂足分别为点，，连接，则 ________． 15. 如图，中，动点D在直线上，当为等腰三角形，__________． 16. 如图，在中，，平分交于点，平分交于点，交于点．则下列说法正确的有______． ；；若，则；． 三、解答题 17. 下列四个图都是由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，其中的两个小正方形被涂黑．请在各图中再将两个空白的小正方形涂黑使各图中涂黑部分组成的图形成为轴对称图形(另两个被涂黑的小正方形的位置必须全不相同)，并画出其对称轴． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的三个顶点均在格点上，直线经过网格格点．请完成下列各题： （1）画出关于直线的对称的； （2）的面积等于 ． （3）利用网格，在直线上画出点P，使．同时，在直线上画出点Q，使的值最小． 19. 已知：如图，中，D是中点，垂足为E，垂足为F，且，求证：是等腰三角形． 20. 已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，．求证：． 21. 如图，，平分，平分，且与交于E．求证： （1）； （2）． 22. 如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线，交于点． （1）求证：点在线段的垂直平分线上； （2）已知，求的度数． 23. 如图，在中，于点，于点，为的中点，连接，． （1）求证：； （2）若，．求的周长． 24. 如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． （1）求的度数； （2）请判断是否平分，并说明理由； （3）若，，且，求的面积． 25. 如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点（与A，C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），连接PQ交AB于D． （1）设AP的长为x，则PC＝　 　，QC＝　 　； （2）当∠BQD＝30°时，求AP的长； （3）过点Q作QF⊥AB交AB延长线于点F，过点P作PE⊥AB交AB延长线于点E，则EP，QF有怎样的关系？说明理由； （4）在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长 26. 小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空． 【阅读定义】如图1，内有一点P，满足，那么点P称为“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”． 【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由） 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度； 问题2：在等腰三角形中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”． （1）与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． （2）当（如图4所示），时，求点C到直线的距离． 27. 在四边形中，C是边的中点． （1）如图1，若平分，，则线段满足数量关系是 ； （2）如图2，平分，平分，若，则线段，，，之间存在怎样数量关系？写出结论并证明； （3）如图3，，，，若，则线段长度的最大值是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$