1.2空间向量基本定理-2024-2025学年第一学期高二数学同步讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.2 空间向量基本定理 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 空间向量基本定理 1.空间向量基本定理内容：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 2.基底：我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 3.理解 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示． (2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量． (3)若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量． 4.判断基底的思路 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底． (2)选模型：判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 5.用基底表示空间向量的步骤： (1)选基底：根据已知条件，确定不共面的三个向量作为基底，一般以同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底； (2)看目标；紧抓目标向量，用基底表示目标向量。需充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘运算的运算律； (3)列式：列出式子，用基底表示目标向量。 知识点2 空间向量基本定理的应用 1.证明平行、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)证明平行、共面问题的思路 ①利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行． ②利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行． 2.计算夹角、垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝.(区分向量的夹角与异面直线所成的角的范围．） (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. (3)求夹角、证明线线垂直的方法 利用数量积定义可得cos〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况． 知识点3 空间向量的正交分解 1．单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． 2．正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 思路方法总结 1.判断基底的基本思路及方法 （1）基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底，若不共面，则能构成基底； （2）方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底；②假设（），运用空间向量基本定理，建立的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底． 2.用基底表示向量的步骤 （1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底； （2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果； （3）下结论：利用空间向量的一个基底可以表示出空间所有向量，表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量． 典例·举一反三 题型一 空间向量基底的概念与理解 1．下列可使构成空间的一个基底的条件是（    ） A．两两垂直 B． C． D． 2．若和都为基底，则不可以为（    ） A． B． C． D． 3．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（多选）设，，，且是空间的一组基，则下列向量组中，可以作为空间的一组基的有（    ） A． B． C． D． 题型二 用基底表示空间向量 5．如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 6．在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点，则（    ） A． B． C． D． 7．在四棱锥中，底面是平行四边形，是的中点，则可以表示为（    ）    A． B． C． D． 8．如图，在空间四边形中，是的重心，若，则 . 题型三空间向量的正交分解 9．是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量． 10．已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 11．已知是空间的一个单位正交基底，且，，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 12．定义：设是空间向量的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标.已知向量是空间中的一个单位正交基底，向量是空间中的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 . 题型四用空间向量基本定理求参数 13．如图底面为平行四边形的四棱锥，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 14．平行六面体的所有棱长都是1，为中点，，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 15．已知是空间的一个单位正交基底，，若，则 . 16．已知正三棱锥如图所示，其中，，点D在平面内的投影为点E，点F为线段上靠近B的三等分点． (1)若，求的值； (2)求的值． 题型五 空间向量平行垂直问题 17．如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 18．如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，. (1)利用空间向量证明； (2)求的长. 19．在正四棱锥中，点分别是棱上的点，且，其中． (1)若，且平面，求的值； (2)若，且点平面，求的值． 20．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 题型六 利用空间向量基本定理解决共线共面问题 21．四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 22．如图所示，平行六面体中，，分别在和上，，. (1)求证：，，，四点共面； (2)若，求的值. 23．四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)若、、三点共线，求实数的取值． 24．在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且，，， (1)求（用向量表示）； (2)求证：点E，F，G，H四点共面． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$