期中考前满分冲刺之基础常考题-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

期中考前满分冲刺之基础常考题思维导图 【类型覆盖】 类型一、比例的性质 1．已知，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若，，则的值是（    ） A．2 B． C．3 D． 4．已知，则 ． 5．已知，则 ． 6．已知，则 ． 类型二、成比例线段 1．在一幅地图上，用表示，这幅地图的比例尺为（    ） A． B． C． D． 2．若线段，，则线段，的比例中项为（    ） A． B． C．6 D． 3．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 4．已知一张地图的比例尺是，量得北京到上海的图上距离约为，则北京到上海的实际距离大约是 ． 5．已知是成比例线段，则 ． 6．线段是线段、的比例中项，且，，则长为 ． 类型三、一元二次方程及一般式系数 1．把一元二次方程化成一般形式，若二次项系数为2，则一次项系数是（   ） A．2 B．1 C．-5 D．0 2．下列方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 4．若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值是 ． 5．若是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 6．若是关于的一元二次方程，则的值为 ． 类型四、几何体的三视图 1．如图是我国古代建筑中经常使用的榫构件示意图，它的俯视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   2．一位同学根据如图1所示的几何体，画出了它的三视图（图2），则下列说法正确的是（    ） A．只有主视图正确 B．只有俯视图正确 C．只有左视图正确 D．只有主视图不正确 3．湖南自古就有“鱼米之乡”的美誉，明清时期更有“湖广熟，天下足”之说，如图①量某粮仓的实物图，图②是其抽离出来的几何体，关于它的三视图，下列说法正确的是（   ） A．主视图与左视图相同 B．左视图与俯视图相同 C．主视图与俯视图相同 D．三个视图完全相同 4．我国古代名著《九章数学》中，将底面是直角三角形的直三棱锥称之为“堑堵”．“堑堵”的实物图与左视图如图所示，根据图中的数据可得该“堑堵”的高h的值为 ． 5．如图是由一些相同的小立方体搭成的几何体，在其三种视图中，面积较小的是 视图．    6．如图是用7块相同的小长方体搭成的几何体，若拿走一块长方体后，该几何体的主视图和左视图都没改变，则这块长方体的序号是 ． 类型五、概率问题 1．在一个不透明的袋子里有红球、黄球共10个；这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程．小明通过多次试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数可能是（    ） A．4 B．6 C．9 D．10 2．有四张卡片的正面分别写有“最”“美”“天”“津”，四张卡片洗匀后将其反面朝上放在桌面上，小明从中任意抽取两张卡片，恰好是“天津”的概率是（    ） A． B． C． D． 3．如图，电路图上有，，三个开关和一个正常的小灯泡，随机闭合这三个开关中的两个，能让灯泡发光的概率为（    ） A． B． C． D． 4．济南市某校的生物兴趣小组在老师的指导下进行了多项有意义的生物研究并取得成果．下面是这个兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据：依据下面的数据可以估计，这种植物种子在该实验条件下发芽的概率约是 （结果精确到0.01）． 种子数 30 75 130 210 480 856 1250 2300 发芽数 28 72 125 200 457 814 1187 2185 发芽频率 0.9333 0.9600 0.9615 09524 0.9521 0.9509 0.9496 0.9500 5．将一枚六个面的编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为c，则使关于x的一元二次方程有实数解的概率为 ． 6．如果飞镖随意的投向下图所示的木板上且不脱靶，那么飞镖落在木板上阴影部分的概率是 ． 类型六、黄金分割 1．大自然是美的设计师，校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点 P是的黄金分割点，即 ，这个无理数约是（   ） A．0.505 B．0.618 C．0.707 D．0.828 2．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　） A． B． C． D．以上都不对 3．点B是线段的黄金分割点，且．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．已知线段，C为的黄金分割点，则 ． 5．黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段AB的黄金分割点．若，则AB的长为 ．（结果保留根号） 6．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是 （结果精确到．参考数据：，，）． 类型七、特殊平行四边形的性质 1．下列说法中正确的是（    ） A．两条对角线垂直的四边形是菱形 B．对角线垂直且相等的四边形是正方形 C．两条对角线相等的四边形是矩形 D．两条对角线相等的平行四边形是矩形 2．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（    ） A．两组对边分别平行 B．对角线相等 C．两组对角分别相等 D．对角线互相平分 3．下列命题是真命题的是（    ） A．对角线相等的平行四边形是菱形 B．有一角为直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 D．矩形的对角线互相垂直平分且相等 4．如图，在矩形中，，，连接．分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两相交于点，，连接，相交于点．与相交于点，连接，．则的长为 ． 5．如图，在的两边上分别截取，，使；再分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；再连接，，，．若，．则四边形的面积是 ． 6．已知一个平行四边形的一条对角线将其分为全等的两个等腰直角三角形，且这条对角线的长为，则另一条对角线的长为 ． 类型八、相似三角形的判定 1．如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断的是（    ） A． B． C． D． 2．下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，的三个顶点均在的网格的格点上，现任选三个格点，组成一个格点三角形与相似（不全等），则这个格点三角形可以是 （写出一个即可）．    4．如图，小正方形的边长都为1，则图形中的阴影三角形相似的序号为 ． 5．如图，在中，． (1)尺规作图：在上求作一点D，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）作图的基础上，连接，求证：． 6．如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接． (1)求证：； (2)若与相交于点，求证：． 类型九、一元二次方程的求解 1．方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程时，若原方程变形为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．关于的一元二次方程有一根为，则 ． 4．方程的解是 ． 5．按要求解方程： (1)（公式法）； (2)（配方法）． 6．用适当的方法解方程： (1) (2) (3) (4) 类型十、一元二次方程的应用 1．某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，随着国内新冠疫情逐步得到控制，市场需求量减少，该厂八月份的产量减少到81万只，你知道该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为多少吗？设该厂七八月份口罩产量的月平均减少率为x，则列方程得（    ） A． B． C． D． 2．有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（   ）个人患流感 A．7 B．8 C．448 D．512 3．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑三条同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽．若设道路宽为，则根据题意可列方程为 4．如图，某市公园计划在一块长为，宽为的长方形绿地中修建三条等宽的小道，设每条小道的宽度为，若剩余绿地的面积为，则可列方程： ． 5．成都市蒲江县盛产猕猴桃．蒲江县的某猕猴桃合作社平均每天可以售出件猕猴桃，每件盈利元．该合作社通过大数据分析发现，在每件盈利不少于元的前提下，每件猕猴桃的销售价格每下调元，平均每天就能多卖出件．设每件猕猴桃的销售价格下调元． (1)此时猕猴桃的销售量为 件．（用含有的代数式来表示） (2)如果该合作社计划每天的销售利润达到元，则每件猕猴桃的销售价格应该下调多少元？ 6．在矩形中，已知，点P从点A开始沿边向终点B以的速度运动；同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度运动．当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)分别用含t的代数式表示与； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考前满分冲刺之基础常考题思维导图 【类型覆盖】 类型一、比例的性质 1．已知，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，先根据比例的性质进行变形，再逐个判断即可． 【详解】解：A、， ，故本选项不符合题意； B、， ，故本选项符合题意； C、， ，故本选项不符合题意； D、， ，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．已知，则下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；设，，再根据比例的性质求解即可． 【详解】解：， 设，， ． 由比例的性质得到，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项符合题意； 故选：． 3．若，，则的值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质．根据比例的性质，可用表示，，根据分式的性质，可得答案． 【详解】解：由，，得 ，． ， 故选：B． 4．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：由分比性质，得 ，即． 故答案为：． 5．已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据已知条件得到，再把代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键．设，则，，，然后把，，代入代数式中进行分式的化简运算即可． 【详解】解：设，则，，， ∴． 故答案为：． 类型二、成比例线段 1．在一幅地图上，用表示，这幅地图的比例尺为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比例尺，解题的关键是掌握：比例尺图上距离实际距离，根据题意代入数据可直接得出这张地图的比例尺，注意单位要统一． 【详解】解：∵， ∴这幅地图的比例尺为． 故选：D． 2．若线段，，则线段，的比例中项为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查比例线段的定义，根据成比例线段的定义解得即可． 【详解】设线段，的比例中项为， 则， 解得： 又因为为线段， 所以． 故选：C． 3．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】本题考查线段成比例的知识，解题的关键是只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，不成比例，不符合题意； B、，不成比例，不符合题意； C、，成比例，符合题意； D、，不成比例，不符合题意． 故选：C． 4．已知一张地图的比例尺是，量得北京到上海的图上距离约为，则北京到上海的实际距离大约是 ． 【答案】960 【分析】本题主要考查了图上距离与实际距离的换算，熟知比例尺的定义是解题的关键． 根据比例尺图上距离实际距离进行求解即可． 【详解】∵一张地图的比例尺是，量得北京到上海的图上距离约为， ∴ ∴北京到上海的实际距离大约是． 故答案为：960． 5．已知是成比例线段，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了成比例线段，根据成比例线段的定义可得，再根据比例的基本性质，求得的值即可，掌握成比例线段的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是成比例线段， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．线段是线段、的比例中项，且，，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例中项的概念，根据两条线段的比例中项的平方是两条线段的乘积，列出方程是解决问题的关键． 【详解】解：∵线段是线段、的比例中项， ∴， ∴， 故答案为：． 类型三、一元二次方程及一般式系数 1．把一元二次方程化成一般形式，若二次项系数为2，则一次项系数是（   ） A．2 B．1 C．-5 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：找多项式的各项系数时带着前面的符号．先把方程转化成一元二次方程的一般形式，再找出一次项系数即可． 【详解】解：， ， 二次项系数为2，则一次项系数是2， 故选：A． 2．下列方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，由此逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故是一元二次方程，符合题意； B、不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； C、，故不是一元二次方程，不符合题意； D、当时不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 3．若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”，将代入可得答案． 【详解】解：将代入，得：， ． 故选C． 4．若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义和常数为，得且，进而得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的常数项为0， ∴，解得：， 故答案为：． 5．若是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题考査了解一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 先根据一元二次方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值． 【详解】解： 是方程的一个实数根， ， ， ． 故答案为：2025． 6．若是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，同时需要注意未知数的二次项系数不为0．根据一元二次方程的定义，可知且，由此即可求得m的值． 【详解】解：由题意可知，且， 解得：，且或， ∴， 故答案为：． 类型四、几何体的三视图 1．如图是我国古代建筑中经常使用的榫构件示意图，它的俯视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了俯视图，熟记俯视图的概念是解题关键．根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得． 【详解】 解：榫构件示意图的俯视图是  ， 故选：C． 2．一位同学根据如图1所示的几何体，画出了它的三视图（图2），则下列说法正确的是（    ） A．只有主视图正确 B．只有俯视图正确 C．只有左视图正确 D．只有主视图不正确 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的三种视图．根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，即可得出答案． 【详解】解：改几何体的三视图为： 与图2比较，只有左视图正确， 故选：C． 3．湖南自古就有“鱼米之乡”的美誉，明清时期更有“湖广熟，天下足”之说，如图①量某粮仓的实物图，图②是其抽离出来的几何体，关于它的三视图，下列说法正确的是（   ） A．主视图与左视图相同 B．左视图与俯视图相同 C．主视图与俯视图相同 D．三个视图完全相同 【答案】A 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图的知识点，根据主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形，可得答案，理解三视图的意义是正确判断的前提． 【详解】解：这个几何体的主视图与左视图相同，底层是一个矩形，上层是一个等腰三角形，俯视图是一个带圆心的圆； 故选：A． 4．我国古代名著《九章数学》中，将底面是直角三角形的直三棱锥称之为“堑堵”．“堑堵”的实物图与左视图如图所示，根据图中的数据可得该“堑堵”的高h的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，含30度角的直角三角形的性质，根据含30度角的直角三角形中30度角所对的直角边的长是斜边长的一半进行求解即可． 【详解】解：如图所示，在中，， ∴，即， 故答案为：4． 5．如图是由一些相同的小立方体搭成的几何体，在其三种视图中，面积较小的是 视图．    【答案】主 【分析】分别画出几何体的三视图，然后比较，哪个的面最少则面积最小． 【详解】解：如图一、二、三，分别是几何体的主视图、左视图和俯视图， 主视图有3个正方形组成，左视图、俯视图都有4个正方形组成； 因为几何体是由一些相同的小立方体搭成的， 所以面积最小的是主视图． 故答案为：主．    【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，几何体的主视图、左视图和俯视图，是分别从几何体的正面、左面和上面看物体而得到的图形，考查了学生的空间想象能力． 6．如图是用7块相同的小长方体搭成的几何体，若拿走一块长方体后，该几何体的主视图和左视图都没改变，则这块长方体的序号是 ． 【答案】⑤ 【分析】根据题意把分别使主视图或左视图不变的情况找到，再选择共同都有的即可． 【详解】解：由图可知，拿走一块长方体后，要使得主视图没改变，可以是：③、⑤， 拿走一块长方体后，要使得左视图没改变，可以是：④、⑤， 故若拿走一块长方体后，该几何体的主视图和左视图都没改变只有：⑤， 故答案为：⑤． 【点睛】本题考查了三视图，解题的关键是掌握画一个几何体的三视图． 类型五、概率问题 1．在一个不透明的袋子里有红球、黄球共10个；这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程．小明通过多次试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数可能是（    ） A．4 B．6 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，用频率估计概率，根据大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值得到从这10个球中摸出一个球，摸到红球的概率为，再用球的总数乘以摸到红球的概率即可求出红球的个数． 【详解】解：∵小明通过多次试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右， ∴从这10个球中摸出一个球，摸到红球的概率为， ∴袋子中红球的个数可能是， 故选：A． 2．有四张卡片的正面分别写有“最”“美”“天”“津”，四张卡片洗匀后将其反面朝上放在桌面上，小明从中任意抽取两张卡片，恰好是“天津”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列表法与树状图法，画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出抽取的两张卡片恰好是“天津”的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：“最”“美”“天”“津”分别用字母表示，画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片恰好是“天津”的结果数为2， 所以小江抽取的两张卡片恰好是“天津”的概率=， 故选：A． 3．如图，电路图上有，，三个开关和一个正常的小灯泡，随机闭合这三个开关中的两个，能让灯泡发光的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表可得： 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中能让灯泡发光的情况有种， ∴能让灯泡发光的概率为， 故选：D． 4．济南市某校的生物兴趣小组在老师的指导下进行了多项有意义的生物研究并取得成果．下面是这个兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据：依据下面的数据可以估计，这种植物种子在该实验条件下发芽的概率约是 （结果精确到0.01）． 种子数 30 75 130 210 480 856 1250 2300 发芽数 28 72 125 200 457 814 1187 2185 发芽频率 0.9333 0.9600 0.9615 09524 0.9521 0.9509 0.9496 0.9500 【答案】0.95 【分析】本题考查利用频率估计概率，根据大量重复试验下，事件发生的频率在某个固定值左右摆动，这个固定值可作为这个事件发生的概率求解即可． 【详解】解：根据表格数据，这种植物种子在该实验条件下发芽的概率约是0.95， 故答案为：0.95． 5．将一枚六个面的编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为c，则使关于x的一元二次方程有实数解的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率，一元二次方程实根的情况，解题的关键是理解题意，利用列表法与树状图法以及概率公式解决问题． 画表，共有36种等可能的结果，其中使关于x的一元二次方程有实数解（即）的结果有17种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：列表得： 共有36种等可能的结果， 关于x的一元二次方程有实数解， 当方程有实数根，， ， ， 方程有实数根的有17种情况， ∴使关于x的一元二次方程有实数解的概率为 ， 故答案为：． 6．如果飞镖随意的投向下图所示的木板上且不脱靶，那么飞镖落在木板上阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查可能性的大小，分数的认识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．求出阴影部分的面积与大正方形的面积比即可． 【详解】解：大正方形的面积，阴影部分的面积， 飞镖落在木板上阴影部分的可能性． 故答案为：． 类型六、黄金分割 1．大自然是美的设计师，校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点 P是的黄金分割点，即 ，这个无理数约是（   ） A．0.505 B．0.618 C．0.707 D．0.828 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割的意义，无理数的估算．先估算得出，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 观察四个选项，选项B符合题意； 故选：B． 2．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】根据黄金分割点的定义即点把线段分成两条线段，较长线段是较短线段和全长线段的比例中项，这个点就是线段的黄金分割点，列式判断即可． 本题考查了一元二次方程的实际应用及黄金分割点的定义，熟练掌握黄金分割是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得设他至少走x米，则较长线段长为， 则， 故选A． 3．点B是线段的黄金分割点，且．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，解题的关键是熟练掌握黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为．根据黄金分割点的定义，用的长度乘以黄金分割比即可． 【详解】解：∵点B是线段的黄金分割点，且， ∴． 故选：D． 4．已知线段，C为的黄金分割点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例为，结合题意可得，据此代值计算即可． 【详解】解：∵C为线段的黄金分割点，且， ∴， 故答案为：． 5．黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段AB的黄金分割点．若，则AB的长为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割点．设，利用黄金分割点可以得到成比例线段，；代入数值变形得，解方程即可求解． 【详解】解：∵C、D两点都是的黄金分割点，设， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 6．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是 （结果精确到．参考数据：，，）． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题． 设下部高为，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案． 【详解】解：设下部的高度为，则上部高度是， 雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比， ， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ， 故答案为：． 类型七、特殊平行四边形的性质 1．下列说法中正确的是（    ） A．两条对角线垂直的四边形是菱形 B．对角线垂直且相等的四边形是正方形 C．两条对角线相等的四边形是矩形 D．两条对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定和性质，根据其判定方法进行判定即可求解． 【详解】解：A、两条对角线垂直的平行四边形是菱形，故原选项错误，不符合题意； B、对角线垂直，平分且相等的四边形是正方形，故原选项错误，不符合题意； C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故原选项错误，不符合题意； D、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故原选项正确，符合题意； 故选：D ． 2．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（    ） A．两组对边分别平行 B．对角线相等 C．两组对角分别相等 D．对角线互相平分 【答案】B 【分析】本题考查了正方形与菱形的性质，根据正方形与菱形的性质即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：正方形的性质有：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相平分垂直且相等，而且平分一组对角； 菱形的性质有：四条边都相等，对角线互相垂直平分． ∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等． 故选：B． 3．下列命题是真命题的是（    ） A．对角线相等的平行四边形是菱形 B．有一角为直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 D．矩形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】C 【分析】本题考查菱形，矩形，正方形的判定以及矩形的性质，根据菱形，矩形，正方形的判定以及矩形的性质分别判断即可．掌握基本判定定理和性质定理是解题的关键． 【详解】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，原说法错误，不符合题意； B、有一角为直角的平行四边形是矩形，原说法错误，不符合题意； C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确，符合题意； D、矩形的对角线互相平分且相等，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 4．如图，在矩形中，，，连接．分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两相交于点，，连接，相交于点．与相交于点，连接，．则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等．先根据矩形的对边平行且相等，四个角都是直角得出，，，根据作图痕迹得出垂直平分，根据垂直平分线垂直且平分其所在线段，垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等得出，，，根据勾股定理求出，即根据两直线平行，内错角相等得出，根据证明，根据全等三角形的对应边相等得出，，根据勾股定理求出，，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图： ∵四边形是矩形， ∴，，， 根据作图痕迹可得垂直平分， ∴，，， 在中，， ∴， 解得：， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， 故． 故答案为：． 5．如图，在的两边上分别截取，，使；再分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；再连接，，，．若，．则四边形的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题考查作图基本作图、菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．由尺规作图可得，，即可得四边形为菱形，根据菱形的性质可得答案． 【详解】解：由尺规作图可得，， 四边形为菱形， ，， 四边形的面积为． 故答案为：4 6．已知一个平行四边形的一条对角线将其分为全等的两个等腰直角三角形，且这条对角线的长为，则另一条对角线的长为 ． 【答案】或 【分析】分两种情形①平行四边形是正方形，②这个平行四边形的四个角分别为．分别求解即可． 【详解】解：①当平行四边形是正方形时，如图， ∵一条对角线的长为， ∴另一条对角线长为：． ②当这个平行四边形的四个角分别为．如图， ∵ ∴ 过点作交的延长线于点， ∴ ∴， ∴， ∴． 综上，另一条对角线长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，正方形的性质，以及等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 类型八、相似三角形的判定 1．如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．根据此，分别进行判断即可． 【详解】解：由题意得， A、当时，，故本选项不符合题意； B、当时，，故本选项不符合题意； C、当时，不能推断，故本选项符合题意； D、当时，，则，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判断，熟练掌握基本性质是解题关键． 通过勾股定理算出已知图形三条边的长度，然后算出三边之比，再逐一算出选项的三边之比是否和题干图形的比一样，再进行判断即可． 【详解】解：通过勾股定理可得到已经图形的三条边分别为，2，，所以三边之比为 A、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，1，，所以三边之比为，与已知图形之比不一样，故不符合题意； B、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，1，，所以三边之比为，与已知图形之比一样，故两个三角形相似，故符合题意； C、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，3，，所以三边之比为，与已知图形之比不一样，故不符合题意； D、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，2，，所以三边之比为，与已知图形之比不一样，故不符合题意； 故选：B ． 3．如图，的三个顶点均在的网格的格点上，现任选三个格点，组成一个格点三角形与相似（不全等），则这个格点三角形可以是 （写出一个即可）．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，先利用勾股定理求出三边的长，再根据三边对应成比例的三角形相似在图中找到与三边对应边成比例的三角形即可． 【详解】解：由网格的特点和勾股定理可得， ，， ∴，， ∴， 同理可得，， 故答案为：（答案不唯一）． 4．如图，小正方形的边长都为1，则图形中的阴影三角形相似的序号为 ． 【答案】①② 【分析】本题是考查了三边对应成比例的两个三角形相似，掌握“三边对应成比例的两个三角形相似”这一知识点是解决本题的关键． 分别求出每个三角形的三边长，若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似． 【详解】解：①三边分别为：， ②三边分别为：， ③三边分别为：， ④三边分别为：， ⑤三边分别为：， ， 图形中的阴影三角形相似的序号为①②． 故答案为：①②． 5．如图，在中，． (1)尺规作图：在上求作一点D，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）作图的基础上，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，线段垂直平分线的尺规作图，等边对等角： （1）作的垂直平分线交于点D，点D即为所求； （2）根据等边对等角得到，则，据此可证明． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 6．如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接． (1)求证：； (2)若与相交于点，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟悉基本图形，熟练的运用以上知识是解题的关键． （1）直接证明，然后根据全等三角形的性质证明即可； （2）先证明，，从而可得结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 类型九、一元二次方程的求解 1．方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用直接开平方的方法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故选：C． 2．用配方法解一元二次方程时，若原方程变形为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程的知识，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程，即可． 【详解】解：配方法为：， ， ， ， ∵当原方程变形为时，，， ∴． 故选：A． 3．关于的一元二次方程有一根为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，解一元二次方程，根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，通过解关于的方程即可求得的值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一根为， ∴满足关于的一元二次方程，且， 即， 解得：， 故答案为：． 4．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再利用直接开平方的方法解方程即可得到答案． 【详解】解： 移项得：， 方程两边同时开方得：， 解得， 故答案为：． 5．按要求解方程： (1)（公式法）； (2)（配方法）． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）直接利用公式法解方程即可； （2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴ ∴原方程有两个不等实根， ∴ 解得，； （2）解：解： 解得，． 6．用适当的方法解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把常数项移到方程右边，再利用直接开平方的方法解方程即可； （2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可； （3）先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可； （4）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 类型十、一元二次方程的应用 1．某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，随着国内新冠疫情逐步得到控制，市场需求量减少，该厂八月份的产量减少到81万只，你知道该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为多少吗？设该厂七八月份口罩产量的月平均减少率为x，则列方程得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，熟记增长率和减少率的基本模型是解题关键．根据题意，列出方程即可． 【详解】解：设该厂七、八月份的口罩产量的月平均减少率为x， 由题意得：， 故选：D． 2．有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（   ）个人患流感 A．7 B．8 C．448 D．512 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出的一元二次方程，关键是得到两轮传染人数的数量关系，从而可列方程求解． 设每轮传染中平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，第一轮有人患流感，第二轮共有人，即64人患了流感，由此列方程求出x，再据此即可求得经过三轮传染后患流感的总人数． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人， 根据题意得：， 整理得，， 解得：或 (舍去)， 故每轮传染中平均一个人传染了7人， 则经过三轮传染后患流感的人数为： (人)， 故选：D． 3．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑三条同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽．若设道路宽为，则根据题意可列方程为 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键．利用平移可把草坪变为一个长为，宽为的矩形，从而根据题中的等量关系即可得出方程． 【详解】解：设小路宽为，根据题意得： ， 故答案为：． 4．如图，某市公园计划在一块长为，宽为的长方形绿地中修建三条等宽的小道，设每条小道的宽度为，若剩余绿地的面积为，则可列方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，每条小道的宽度为，根据剩余绿地的面积为，列出方程求解即可得． 【详解】解：每条小道的宽度为， 根据题意得，． 故答案为：． 5．成都市蒲江县盛产猕猴桃．蒲江县的某猕猴桃合作社平均每天可以售出件猕猴桃，每件盈利元．该合作社通过大数据分析发现，在每件盈利不少于元的前提下，每件猕猴桃的销售价格每下调元，平均每天就能多卖出件．设每件猕猴桃的销售价格下调元． (1)此时猕猴桃的销售量为 件．（用含有的代数式来表示） (2)如果该合作社计划每天的销售利润达到元，则每件猕猴桃的销售价格应该下调多少元？ 【答案】(1) (2)每件猕猴桃的销售价格应该下调元 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用， （1）每件猕猴桃的销售价格每下调元，平均每天就能多卖出件，设每件猕猴桃的销售价格下调元，由此列式即可求解； （2）根据题意，每件利润与销售量的乘积为元，由此解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：已知平均每天可以售出件猕猴桃，每件盈利元，每件猕猴桃的销售价格每下调元，平均每天就能多卖出件，设每件猕猴桃的销售价格下调元， ∴此时猕猴桃的销售量为（件），此时的每件的利润为元， ∴， 解得，， 故答案为：； （2）解：由题意可得，，整理得，， 解得，， ∵，不符合题意，舍去， ∴， ∴每件猕猴桃的销售价格应该下调元． 6．在矩形中，已知，点P从点A开始沿边向终点B以的速度运动；同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度运动．当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)分别用含t的代数式表示与； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或2秒 (3)存在，秒，使得五边形的面积等于 【分析】（1）依据点和点运动的速度和时间可求得、的长，然后依据可求得的长； （2）中，依据勾股定理可得到关于的方程，从而可求得的值； （3）先求得矩形的面积，然后由五边形的面积可求得的面积，然后依据的面积列出关于的方程，从而可求得的值． 本题主要考查的是一元二次方程的应用，四边形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、勾股定理、三角形的面积公式，依据勾股定理和三角形的面积公式列出关于的方程是解题的关键． 【详解】（1）解： 从点开始沿边向终点以的速度移动， ． ， ． 点从点开始沿边向终点以的速度移动， ． （2）解：在中，依据勾股定理可知：， 即：， 解得：，， 当或2秒时，的长度等于． （3）解：存在秒，使得五边形的面积等于． 理由如下：长方形的面积是：， 使得五边形的面积等于， 则的面积为， ． 解得：（不合题意舍去），， 即当秒时，使得五边形的面积等于． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$