2.2基本不等式期中专题复习讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

基本不等式专题复习讲义 基本不等式 1．若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号. 2．如果a,b是正数，那么 变形： 有:a+b≥；ab≤,当且仅当a=b时取等号. 3．如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值; 如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值. 注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 4.常用不等式有：（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。 考点一 直接型 【例1】（2024·广东高一上期中）已知正实数a，b，满足条件2a+b=1，则ab的最大值为（       ） A．4 B．8 C． D． 考点二 1的替代型 【例2】（2024·湖南·长沙一中高一阶段练习）已知p，q为正实数且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 变式：已知，则的最大值为 . 考点三 配凑型 【例3】当时，函数的最小值是（　　） A． B．4 C．5 D．9 考点四 消元型 【例4】（2024·北京·高一阶段练习）已知正数、满足，则的最小值是___________. 变式：已知正实数满足，求的最小值为 ． 考点五 分式型 解题技巧：利用通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为恒正或恒负的形式,然后运用基本不等式来求最值。 【例5】已知，则的最小值是 ． 变式：已知，则的最大值是 考点六 两次基本不等式求最值 解题技巧：注意两点:一是由基本不等式进行放或缩一定要考虑到不等号的方向与不等式传递性相一致,即多次放大或者多次缩小,一般不可以既放大又缩小;二是多次使用基本不等式后要考虑等号成立的条件,只有多个等号能够同时成立时方可. 【例6】已知实数，当取得最小值时， . 变式：若a，，，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 考点七 和积转化求最值 【例7】若，，，则ab的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式：（多选）已知实数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高一上·贵州六盘水·阶段练习）“对任意实数都有”是“”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）设，且，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D．4 3．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山东淄博高一·阶段练习）记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（　　） A． B．1 C．2 D．4 5．（23-24高一·江苏苏州·阶段练习）已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·河北邢台·期末）设，若，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．4 二、多选题 8．（24-25高一上·广东肇庆·阶段练习）设正实数m，n满足，则（　） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为 9．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设，，，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 11．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）数学里有一种证明方法叫做Proofs without words，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.如图所示，点C为圆O的直径AB上一点，D，F是圆上的点，且，，且于E，设，，则利用，，中边长间的关系可以完成的无字证明为（    ）    A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 12．（2022·广东茂名高一·阶段练习）若，，，则的值可以为（    ） A． B．6 C． D．3 13．（22-23高一·河北·阶段练习）若正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．有最小值 C． D．有最大值 14．（24-25高一上·安徽·开学考试）已知正数，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值 三、填空题 15．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知正数，满足，则最小值为 . 16．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知实数，满足，且，则的最小值为 ． 17．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知为正实数，且，则当取最小值时， . 18．（24-25高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知，，且，若的最小值为3，则 . 19．（24-25高一上·重庆·开学考试）已知均为正实数，且，则当取得最小值时 ，的最小值为 ． 四、解答题 20．（24-25高一上·云南昆明·开学考试）解答下列各题． (1)若，求的最小值． (2)若正数，满足，求的最小值． 21．（24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）解答下列各题. (1)若，求的最小值. (2)若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 22．（22-23高一·陕西商洛·阶段练习）（1）已知，，用分析法证明：； （2）已知正实数，且，用综合法证明： 23．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）如图（示意），在公路的一侧有一块空地，在这块空地上规划建造一个口袋公园（如图中），其中道路与为健身步道，内为绿化景观与健身设施等，由于路面材质的不同，段的造价为每米3万元，段的造价为每米2万元，内部的造价为每平方米2万元.设的长为x米，的长为y米. (1)若建造健身步道的费用与建造内部的费用相等，则如何规划可使公园占地面积（只考虑内部）最少? (2)若建造公园的总费用为30万元，则健身步道至少有多长? 24．（24-25高一上·山西晋中·阶段练习）某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容： 例：求的最小值. 解：利用，得到， 于是，， 当且仅当时，取到最小值. (1)老师请你模仿例题，研究上的最小值；（提示：，当且仅当时，等号成立） (2)研究上的最小值； (3)当时，求的最小值. 25．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）问题：正数a，b满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若正实数a，b，x，y满足，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得取得最小值时m的值 学科网（北京）股份有限公司 $$ 基本不等式专题复习讲义 基本不等式 1．若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号. 2．如果a,b是正数，那么 变形： 有:a+b≥；ab≤,当且仅当a=b时取等号. 3．如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值; 如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值. 注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 4.常用不等式有：（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。 考点一 直接型 【例1】（2024·广东高一上期中）已知正实数a，b，满足条件2a+b=1，则ab的最大值为（       ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【解析】因为正实数a，b，满足2a+b=1，所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以ab的最大值为.故选：C 考点二 1的替代型 【例2】（2024·湖南·长沙一中高一阶段练习）已知p，q为正实数且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可知， ，当，即时，“”成立，故选：A. 变式：已知，则的最大值为 . 【答案】 【详解】因为 所以 当且仅当，且，即时等号成立. 所以 所以 故答案为： 考点三 配凑型 【例3】当时，函数的最小值是（　　） A． B．4 C．5 D．9 【答案】A 【详解】∵，∴，, ∴， 当且仅当，即时取等号． 故选：A 考点四 消元型 【例4】（2024·北京·高一阶段练习）已知正数、满足，则的最小值是___________. 【答案】 【解析】因为、为正数，由基本不等式可得，所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：. 变式：已知正实数满足，求的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】因为正实数满足， 所以，， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：. 考点五 分式型 解题技巧：利用通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。 即化为恒正或恒负的形式,然后运用基本不等式来求最值。 【例5】已知，则的最小值是 ． 【答案】2 【详解】因为， 所以， 当且仅当．即时，等号成立． 故答案为：2 变式：已知，则的最大值是 【答案】 【详解】，则， 所以，， 当且仅当时，因为，即当时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 考点六 两次基本不等式求最值 解题技巧：注意两点:一是由基本不等式进行放或缩一定要考虑到不等号的方向与不等式传递性相一致,即多次放大或者多次缩小,一般不可以既放大又缩小;二是多次使用基本不等式后要考虑等号成立的条件,只有多个等号能够同时成立时方可. 【例6】已知实数，当取得最小值时， . 【答案】-1 【详解】由题意，可知， 故， 当且仅当且，即时等号成立， 故， 故答案为： 变式：若a，，，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】，当且仅当时，等号成立； 又，当且仅当时，即，等号成立； ，解得，， 所以的最大值为 故选：A 考点七 和积转化求最值 【例7】若，，，则ab的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，由基本不等式可得， 即，解得或（舍去），即， 当且仅当，即时，等号成立， 故ab的取值范围是． 变式：（多选）已知实数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，由 当且仅当时等号成立，即，故A错误； 对于B，由，得， 即， 当且仅当时等号成立，即，故B正确； 对于C，由，得， 当且仅当时等号成立，即，故C正确； 对于D，由，得， 即，即，故D正确. 故选：BCD. 一、单选题 1．（24-25高一上·贵州六盘水·阶段练习）“对任意实数都有”是“”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）设，且，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D．4 3．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山东淄博高一·阶段练习）记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（　　） A． B．1 C．2 D．4 5．（23-24高一·江苏苏州·阶段练习）已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·河北邢台·期末）设，若，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．4 二、多选题 8．（24-25高一上·广东肇庆·阶段练习）设正实数m，n满足，则（　） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为 9．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设，，，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 11．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）数学里有一种证明方法叫做Proofs without words，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.如图所示，点C为圆O的直径AB上一点，D，F是圆上的点，且，，且于E，设，，则利用，，中边长间的关系可以完成的无字证明为（    ）    A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 12．（2022·广东茂名高一·阶段练习）若，，，则的值可以为（    ） A． B．6 C． D．3 13．（22-23高一·河北·阶段练习）若正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．有最小值 C． D．有最大值 14．（24-25高一上·安徽·开学考试）已知正数，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值 三、填空题 15．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知正数，满足，则最小值为 . 16．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知实数，满足，且，则的最小值为 ． 17．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知为正实数，且，则当取最小值时， . 18．（24-25高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知，，且，若的最小值为3，则 . 19．（24-25高一上·重庆·开学考试）已知均为正实数，且，则当取得最小值时 ，的最小值为 ． 四、解答题 20．（24-25高一上·云南昆明·开学考试）解答下列各题． (1)若，求的最小值． (2)若正数，满足，求的最小值． 21．（24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）解答下列各题. (1)若，求的最小值. (2)若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 22．（22-23高一·陕西商洛·阶段练习）（1）已知，，用分析法证明：； （2）已知正实数，且，用综合法证明： 23．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）如图（示意），在公路的一侧有一块空地，在这块空地上规划建造一个口袋公园（如图中），其中道路与为健身步道，内为绿化景观与健身设施等，由于路面材质的不同，段的造价为每米3万元，段的造价为每米2万元，内部的造价为每平方米2万元.设的长为x米，的长为y米. (1)若建造健身步道的费用与建造内部的费用相等，则如何规划可使公园占地面积（只考虑内部）最少? (2)若建造公园的总费用为30万元，则健身步道至少有多长? 24．（24-25高一上·山西晋中·阶段练习）某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容： 例：求的最小值. 解：利用，得到， 于是，， 当且仅当时，取到最小值. (1)老师请你模仿例题，研究上的最小值；（提示：，当且仅当时，等号成立） (2)研究上的最小值； (3)当时，求的最小值. 25．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）问题：正数a，b满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若正实数a，b，x，y满足，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得取得最小值时m的值 参考答案： 1．B 【详解】由题意，当时，恒成立， 设，， 则，当且仅当时等号成立， 所以， 故命题“对任意实数都有”. 又，且， 故“对任意实数都有”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2．A 【详解】由题意知，故， 当且仅当时，即时，等号成立； 故选：A 3．C 【详解】由可得，且 因此， 令，则； 又； 当且仅当时，即时，等号成立； 此时的最小值为. 故选：C 4．C 【详解】由题意可知：均为正实数， 设，则，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，即，所以的最小值为2. 故选：C. 5．D 【详解】因为，所以，所以，等号成立当且仅当， 从而， 令，设，显然， 则， 因为关于的一元二次方程有实数根，所以， 整理得，即， 解得，注意到，从而， 等号成立当且仅当，即， 所以经检验的最大值，即的最大值为. 故选：D. 6．B 【详解】由x为正实数，y为非负实数，得，由，得， 于是 ，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：B 7．D 【详解】设，， 令，解得，所以， 即，当且仅当，时，等号成立． 故选：D. 8．AD 【详解】对于A，因为正实数m，n满足m＋n＝1， 所以， 当且仅当且，即时取等号，A正确； 对于B，， 当且仅当时取等号，所以≤， 即最大值为，B错误； 对于C，， 当且仅当时取等号，此时取最大值，C不正确； 对于D，由， 因此，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 即的最小值为，D正确． 故选：AD 9．AB 【详解】对于A，，，当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，C，由，可得，当且仅当时等号成立，故B正确，C错误； 对于D，，， ，当且仅当时等号成立，故D错误. 故选：AB. 10．ABC 【详解】A选项：由，，则，当且仅当时等号成立，A选项正确； B选项： ，当且仅当时等号成立，B选项正确； C选项：由，则，当且仅当，即，时等号成立，C选项正确； D选项：，即，，当且仅当时等号成立，D选项错误； 故选：ABC. 11．ABC 【详解】依题意，不妨令，，， 由，得， 连接，则，而， 则，∽， 于是，，又，， 则∽，，于是， 观察图形知，，，，当且仅当点重合时取等号， 即，，，当且仅当点时取等号，ABC正确； 对于D，都表示线段长平方， 不能表示，，中边长，因此D错误. 故选：ABC    12．AB 【详解】因为，，，令，则，当且仅当时，等号成立， 则， 当且仅当时等号成立. 故选：AB 13．BC 【详解】对于A，，则，于是，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，D错误. 故选：BC 14．ABD 【详解】因为正数，满足， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 解得，所以，故的最大值为，故A正确； ， 即，又，所以， 所以的最小值为，当且仅当，即，时等号成立，故B正确； 由可得， 所以， 当且仅当时等号成立，此时，，又为正数，矛盾，故C错误； ，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 15． 【详解】因为正数，满足， 所以 ， 当且仅当，联立，即时等号成立. 故答案为：. 16． 【详解】因为，所以，， 因为，所以， 由，所以. 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 17． 【详解】因为， 所以, 当且仅当即时取最小值. 故答案为：. 18．8 【详解】因为，则， 又因为 ， 当且仅当，即时，等号成立. 即，由题意可知：，解得. 故答案为：8. 19． 6 【详解】依题意，， 当且仅当时取等号，所以当取得最小值时； ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为6. 故答案为：；6 20．(1)7 (2) 【详解】（1）由可得，所以， 当且仅当时，即时，等号成立； 此时的最小值为7； （2）由可得， 因此， 当且仅当时，即时，等号成立； 此时的最小值为. 21．(1)7； (2)①36；②. 【详解】（1）由题. 当且仅当，即时取等号； （2）①由结合基本不等式可得： ，又为正数， 则，当且仅当，即时取等号； ②由可得， 则. 当且仅当，又， 即时取等号. 22．（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】证明：（1）要证明，只需证， 即证：，即证：， 因为，，可得，所以， 所以，当且仅当时，等号成立； （2）因为，且， 可得，当且仅当时，等号成立， 同理可得，， 三个式子相加，可得，当且仅当时，等号成立. 23．(1)规划时，面积最少 (2)步道至少有7米. 【详解】（1）根据题意建造健身步道的费用为，内部的建造费用为， 即，所以有， 而公园占地面积 ， 当且仅当时取得等号， 所以规划时占地面积最少； （2）根据题意有：，即， 而， 当且仅当，即时取得等号. 所以规划时，即步道至少为7米. 24．(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 利用，得到， 于是，， 当且仅当时，取得最小值. （2）因为， 利用，得到， 于是，， 当且仅当时，取得最小值. （3）因为， 利用，得到， 于是，， 当且仅当时，取得最小值. 25．(1) (2)，理由见解析. (3) 【详解】（1）由（，）可得：（，）， 所以（当且仅当即时取“”）. 所以的最小值为：. （2）因为， 所以， 因为（当且仅当时取“”）. 所以（当时取“”） 所以：（当且仅当即时取“”）. （3）取，， 由，此时，所以. 同时：，取，. 由（2）可知：，所以， 当且仅当，结合，得即时取“”. 学科网（北京）股份有限公司 $$