九年级数学上学期期中测试-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

2024-2025学年九年级数学上学期期中测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第一-五章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把符合题目要求一项前的字母填写在题后的括号内；本题共8个小题，每小题3分，共24分） 1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．1，2，1 B．1，，1 C．0，， D．0，，1 2．下列各组长度的线段（单位：厘米）中能构成成比例线段的是（    ） A．1，2，3，4 B．2，5，6，8 C．3，6，7，9 D．3，9，6，18 3．下列说法正确的是（    ） A．矩形的邻边相等 B．菱形的对角线相等 C．平行四边形的对角互补 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 4．如图，已知且，则的长为（    ） A．12 B．13 C．18 D．21 5．如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由处径直走到处这一过程中，他在地上的影子（    ）    A．逐渐变短 B．先变短后变长 C．先变长后变短 D．逐渐变长 6．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），转盘一被分成不等的两个扇形，转盘二被分成相等的四个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（    ） A． B． C． D． 7．大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点为的黄金分割点（），则（    ） A． B． C． D． 8．如图，在正方形中，点E是边上一动点，将沿直线折叠，点B落在点F处，连接交的延长线于点H，连接．下列四个结论： ①； ②； ③； ④；其中正确的是（　　） A． ①②④ B．①④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题（请把答案填在题中的横线上；本题共6个小题，每小题3分，共18分） 9．已知，则 ． 10．如图，立体图形由小正方体组成，这个立体图形有 个小正方体． 11．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ． 12．如图，菱形的对角线的长分别是3和6，则菱形的面积是 ． 13．若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是 ． 14．如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ． 四、解答题（本题共11个小题，共78分） 15．如图，的顶点坐标分别为，，． (1)作出先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的； (2)在第三象限内，以点O为位似中心作出的位似图形，使新图与原图的位似比为． (3)在（2）的条件下，若M为边上的中点，则的边上与点M对应的点的坐标为______． 16．选择最佳方法解下列关于的方程： (1)； (2)． 17．如图，在中，D是边上的一点，E是的中点，过A点作的平行线交的延长线于点F，且，连接． (1)与有什么数量关系，并说明理由； (2)当满足什么条件时，四边形是菱形？请说出理由． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根为，，且，求m的值． 19．我市某中学在参加“争创卫生城市”书画比赛中，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班(用A，B，C，D表示)，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．请根据以上信息，回答下列问题： (1)杨老师采用的调查方式是   ( 填“全面调查”或“抽样调查”)； (2)请补全条形统计图，并估计全校共征集作品的件数； (3)如果全校征集的作品中有3件获得特等奖，其中有2名作者是男生，1 名作者是女生，现要在获得特等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或画树状图的方法，求恰好选取的两名学生是一男一女的概率． 20．某一时刻高度为的甲树在太阳光照射下的示意图如图，线段表示甲树在太阳光下的影子，且． (1)请在图中画出统一时刻乙数的影子； (2)此时距离两棵树不远处身高为的小华的影长是多少？ 21．一副三角板如图放置，，，，点E是的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．    (1)在图（1）中作一个等边三角形； (2)在图（2）中作一个矩形． 22．某商店销售某种商品，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出2件． (1)若降价3元，则平均每天销售数量为________件； (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为2100元？ 23．如图，在四边形中，平分，，，点E为的中点， (1)求证：． (2)若，，求的值． (3)在（2）的条件下， ______．（直接写答案） 24．如图，用长为的篱笆和一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长为__________． (2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽． (3)在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃的面积能否达到．请说明理由．猜想一下，这个花圃面积最大可以做到多少？ 25．如图，在中，，点P由点B出发沿的方向向点A匀速运动，速度为2cm/s，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，连接． 设运动的时间为t（s），其中．解答下列问题：    (1) ， ；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，以P、Q、A为顶点的三角形与相似？ (3)点P、Q在运动过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期中测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第一-五章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把符合题目要求一项前的字母填写在题后的括号内；本题共8个小题，每小题3分，共24分） 1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．1，2，1 B．1，，1 C．0，， D．0，，1 【答案】B 【详解】本题考查了一元二次方程， 根据一元二次方程的一般形式确定出所求即可． 【分析】解：方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为1、、1． 故选：B． 2．下列各组长度的线段（单位：厘米）中能构成成比例线段的是（    ） A．1，2，3，4 B．2，5，6，8 C．3，6，7，9 D．3，9，6，18 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段的定义，理解：“四条线段、、、中，若，则称、、、为比例线段．”是解题的关键． 【详解】解：A.，1，2，3，4不能构成成比例线段，故不符合题意； B.，2，5，6，8不能构成成比例线段，故不符合题意； C.，3，6，7，9不能构成成比例线段，故不符合题意； D.，3，9，6，18能构成成比例线段，故符合题意； 故选：D． 3．下列说法正确的是（    ） A．矩形的邻边相等 B．菱形的对角线相等 C．平行四边形的对角互补 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】D 【分析】根据矩形，菱形，平行四边形的性质，正方形的判定逐一分析即可． 【详解】解：A、矩形的邻边不一定相等，不符合题意． B、菱形的对角线互相垂直，不符合题意． C、平行四边形的对角相等，不符合题意． D、对角线互相垂直的矩形是正方形，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查的是平行四边形，矩形，菱形的性质，正方形的判定，熟记性质与判定方法是关键． 4．如图，已知且，则的长为（    ） A．12 B．13 C．18 D．21 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由定理得，即可求解；理解平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， 解得：， 故选：D． 5．如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由处径直走到处这一过程中，他在地上的影子（    ）    A．逐渐变短 B．先变短后变长 C．先变长后变短 D．逐渐变长 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．熟练掌握中心投影的特征是解题关键．根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长． 【详解】解：在小亮由远处径直走到路灯下时，他在地上的影子逐渐变短；当他走到路灯下，再远离路灯时，他在地上的影子逐渐变长， ∴小亮在地上的影子先变短后边长， 故选：B． 6．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），转盘一被分成不等的两个扇形，转盘二被分成相等的四个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 画树状图得出所有等可能的结果数以及一个转出红色，另一个转出蓝色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：∵转盘A红色区域的扇形圆心角度数为， ∴转盘A蓝色区域是红色区域的2倍， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中一个转出红色，另一个转出蓝色的结果有：（红，蓝），（蓝，红），（蓝，红），（蓝，红），（蓝，红），共5种， ∴可配成紫色的概率是 故选：B． 7．大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点为的黄金分割点（），则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割，熟练掌握黄金分割中的比例关系是解题的关键．根据黄金分割点的定义，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵点为的黄金分割点（）， ∴， 故选：A． 8．如图，在正方形中，点E是边上一动点，将沿直线折叠，点B落在点F处，连接交的延长线于点H，连接．下列四个结论： ①； ②； ③； ④；其中正确的是（　　） A．①②④ B．①④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】连接交于点，过点作交于点，过点作，交于点，根据翻折的性质可得是的垂直平分线，进而可以判断①正确；证明为等腰三角形，可证明③不正确，根据等腰三角形三线合一的性质即可证②不正确；然后证明，可得，结合等腰直角三角形的性质可得④正确． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作交于点，过点作，交于点，则， 将沿直线折叠，点落在点处， 是的垂直平分线， 连接交的延长线于点， ，故①正确； 四边形是正方形， ，， 由翻折可知：，， ，则为等腰三角形， 若，则，此时为等边三角形， 则，， 而点的位置不定，则的度数不定，相互矛盾，故③不正确 ，则， ， ， ， ， ，故②不正确； 则为等腰直角三角形， ，， ， 在和中， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述：正确的有①④， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质、翻折的性质，解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形、等腰三角形，等腰直角三角形的相关知识． 二、填空题（请把答案填在题中的横线上；本题共6个小题，每小题3分，共18分） 9．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，把原式变形为，再由比例的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 10．如图，立体图形由小正方体组成，这个立体图形有 个小正方体． 【答案】5 【分析】本题考查的是小正方体堆砌图形的三视图，先确定底层的小正方体的数量，再确定上层的数量，从而可得答案． 【详解】解：第一层共有4个小正方体，第二层共有1个小正方体，所以这个立体图形共有个小正方体． 故答案为：5． 11．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解不等式，同时还应注意二次项系数不能为． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 12．如图，菱形的对角线的长分别是3和6，则菱形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形对角线互相平分的性质，根据菱形的对角线的长度即可直接计算菱形的面积，熟知菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键． 【详解】解：菱形的对角线，的长分别是3和6， 菱形的面积． 故答案为：． 13．若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是 ． 【答案】2024 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值，解题关键是根据题意得到，再代入求值． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：2024． 14．如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ． 【答案】96 【分析】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识．作交于点H，则，求得，再证明，求得，再证明，则，利用勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式求解即可得到问题的答案． 【详解】解：作交于点H，则， ∵四边形是边长为10的菱形，对角线相交于点O， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：96． 四、解答题（本题共11个小题，共78分） 15．如图，的顶点坐标分别为，，． (1)作出先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的； (2)在第三象限内，以点O为位似中心作出的位似图形，使新图与原图的位似比为． (3)在（2）的条件下，若M为边上的中点，则的边上与点M对应的点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查平移，位图图形的性质，熟练掌握位似图形是解题的关键． （1）根据题意得到对应点的坐标，画出平移图形即可； （2）根据相似比分别求出对应点的坐标，进行画图即可． （3）根据中点坐标公式求出M的坐标，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，为所求图形； （2）解：根据相似比可得，， 如图，为所求； （3）解：根据题意，若M为边上的中点， ． 故答案为：． 16．选择最佳方法解下列关于的方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用一元二次方程的解法成为解题的关键． （1）先移项，然后再运用直接开平方法解答即可； （2）直接运用配方法解答即可． 【详解】（1）解：． 或， ，． （2）解：， ， ，． 17．如图，在中，D是边上的一点，E是的中点，过A点作的平行线交的延长线于点F，且，连接． (1)与有什么数量关系，并说明理由； (2)当满足什么条件时，四边形是菱形？请说出理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)当时，四边形是菱形， 理由见解析 【分析】（1）由得出，再根据已知条件即可证明． （2）当时，四边形是菱形．先证明四边形是平行四边形，再证明即可． 【详解】（1）解： ，理由如下： 是的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2）解：当时，四边形是菱形． 证明：，， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定、全等三角形的性质和判定、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根为，，且，求m的值． 【答案】(1)证明过程见解答部分 (2) 【分析】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，． （1）根据根的判别式得出，据此可得答案； （2）根据根与系数的关系得出，，代入得出关于的方程，解之可得答案． 【详解】（1）证明： ， 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系，得，， 由，得， 解得． 19．我市某中学在参加“争创卫生城市”书画比赛中，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班(用A，B，C，D表示)，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．请根据以上信息，回答下列问题： (1)杨老师采用的调查方式是   ( 填“全面调查”或“抽样调查”)； (2)请补全条形统计图，并估计全校共征集作品的件数； (3)如果全校征集的作品中有3件获得特等奖，其中有2名作者是男生，1 名作者是女生，现要在获得特等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或画树状图的方法，求恰好选取的两名学生是一男一女的概率． 【答案】(1)抽样调查 (2)补全的条形统计图见解析；件 (3) 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，涉及抽样调查，用样本估计总体，列举法求概率等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查； （2）由B班的作品数量除以所占的百分比即可求出所调查的4个班征集到的作品总数，将作品总数减去其他三个班的作品数量即可得到班作品数量，即可补全条形统计图．的件数为：（件；继而可补全条形统计图；求出所抽取的4个班级作品数量的平均数，乘以全级30个班级，可估计全校共征集作品的数量． （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两名学生是一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查． 故答案为：抽样调查． （2）解：所调查的4个班征集到的作品数为：（件， 班有（件， 补全条形图如图所示， 所抽取的4个班级作品数量的平均数为（件）， ∴估计全校共征集作品数量为（件）； （3）解：画树状图为： 共有6种等可能的结果，恰好选取的两名学生是一男一女的有4种情况， 恰好选取的两名学生是一男一女的概率为． 20．某一时刻高度为的甲树在太阳光照射下的示意图如图，线段表示甲树在太阳光下的影子，且． (1)请在图中画出统一时刻乙数的影子； (2)此时距离两棵树不远处身高为的小华的影长是多少？ 【答案】(1)画图见解析； (2)小华的影长是米． 【分析】（）根据相似三角形画出图形； （）根据相似三角形的性质求出小华的影长； 本题考查了平行投影，相似三角形的应用，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】（1）如图，连接，过作，交于点， ∴即为所求； （2）设小华的影长是米， 由题意得：， 解得：， 答：小华的影长是米． 21．一副三角板如图放置，，，，点E是的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．    (1)在图（1）中作一个等边三角形； (2)在图（2）中作一个矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的三条中线相交于一点，中位线的性质，矩形的判定． （1）根据题意得为等腰直角三角形，由点E是的中点，连接并延长交于点F，得到是的垂直平分线，即，，推出，进而得到，即为所求； （2）由（1）知，得到点F为的中点，在（1）图的基础上连接，交于一点，连接点C与这一点，边延长交于点，此时点G为的中点，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，推出且，即四边形为矩形． 【详解】（1）解：如图，为所求；   为等腰直角三角形，点E是的中点，连接并延长交于点F， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：如图，四边形为所求，    由（1）知， 点F为的中点， 在（1）图的基础上连接，交于一点，连接点C与这一点，边延长交于点， 点F为的中点，点E为的中点，交于一点，即三角形的三条中线相交于一点， 点G为的中点， ，， 四边形为矩形． 22．某商店销售某种商品，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出2件． (1)若降价3元，则平均每天销售数量为________件； (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为2100元？ 【答案】(1)42； (2)每件商品降价10元时，该商店每天销售利润2100元． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系是解题的关键． （1）先求出多售出的件数，再加上30件可得销售量； （2）设商品降价x元，再根据销售量乘以单间利润等于2100列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：（件）． 故答案为：42； （2）解：设每件商品降价x元时，该商店每天的销售利润为2100，根据题意，得 ， 解得，， ∵，， ∴， 即当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润2100元． 23．如图，在四边形中，平分，，，点E为的中点， (1)求证：． (2)若，，求的值． (3)在（2）的条件下， ______．（直接写答案） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据已知，利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，即可证得结论； （2）利用相似三角形的性质可得是直角三角形，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，，进一步推出，得出，再根据相似三角形的性质即可求得答案； （3）根据已知求出，再利用勾股定理求出和，然后根据，利用相似三角形的性质进一步计算即可． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）解：由（1）知， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握相关定理是解答本题的关键． 24．如图，用长为的篱笆和一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长为__________． (2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽． (3)在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃的面积能否达到．请说明理由．猜想一下，这个花圃面积最大可以做到多少？ 【答案】(1) (2)此时花圃的长为9米，宽为5米 (3)这个花圃的面积不能达到；这个花圃面积最大可以做到． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，配方法的应用，列代数式： （1）用篱笆的总长减去三个的长，然后加上两个门的长即可表示出； （2）根据长方形的面积公式列方程求解即可； （3）长方形的面积公式列方程，看方程是否有符合题意的解即可；利用配方法得到，再由偶次方的非负性即可得到答案． 【详解】（1）解：设花圃的宽为x米， 则米， 故答案为：； （2）解：由题意可得：， ∴ 解得：，， 当时，，不符合题意，故舍去； 当时，，符合题意； 答：此时花圃的长为9米，宽为5米； （3）解：当时，则， ∴， ∴此时原方程无解， ∴这个花圃的面积不能达到 ， ∵， ∴， ∴这个花圃面积最大可以做到． 25．如图，在中，，点P由点B出发沿的方向向点A匀速运动，速度为2cm/s，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，连接． 设运动的时间为t（s），其中．解答下列问题：    (1) ， ；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，以P、Q、A为顶点的三角形与相似？ (3)点P、Q在运动过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)的值为或 (3)能；的值为或或 【分析】（1）由勾股定理得，再由题意得，，则； （2）分两种情况：①，②，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可； （3）分三种情况：，和，根据等腰三角形的性质，运用相似三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得：， 由题意得：，， ， 故答案为：，； （2）分两种情况： ①如图1，    当时，， 则， 即， 解得：； ②如图2，    当时，， 则， 即， 解得：； 综上所述，的值为或时，以、、为顶点的三角形与相似； （3）能成为等腰三角形，理由如下： 分三种情况： ①如图3，    当时， ， 解得：； ②如图4，    当时，过点作于， 则，， ， ， ， ， 解得：； ③如图5，    当时，过点作于， 则，， ， ， ， 解得：， 综上所述，当的值为或或时，能成为等腰三角形． 【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理，证明三角形相似．本题的综合性较强，属于压轴题． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$