第四章 图形的相似 单元测试-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

第四章 图形的相似 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第四章（图形的相似）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列一定相似的图形是（   ） A．等边三角形 B．矩形 C．菱形 D．直角三角形 2．已知，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．若a、b、c、d是成比例线段，其中，，，求线段d的长是（    ）． A． B． C． D． 4．如图，与相交于点C，若，则等于（   ） A． B． C． D． 5．如图，与是位似三角形，位似比为，已知，则的长等于（   ） A． B． C． D． 6．若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 7．若点C是线段的黄金分割点，且，则（    ） A． B． C． D．或 8．如图，嘉嘉利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为（   ）    A．cm B． C． D． 9．如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 10．如图，在中，，动点从点开始沿边运动，速度为，动点从点开始沿边运动，速度为．如果两动点同时运动，那么经过（    ）秒时与相似． A． B．或 C．或 D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．已知，则 ． 12．如图，点为的边上一点，，．若，则的长为 ． 13．在阳光下，高为的旗杆在地面上的影长为．在同一时刻，高为的建筑物的影长为 m． 14．如图，，，则的长为 ． 15．如图，，，以为位似中心，按比例尺把缩小，则点对应点的坐标为 ． 16．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成一个正方形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上．则该正方形的边长是 ． 17．如图，点为中边上一点，且，连接，交的中线于，若，则的长为 ． 18．如图，在中，，在中，，．用一条始终绷直的弹性染色线连接，从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边始终在线段上，则的外部被染色的区域面积是 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分． 19．若，求的值． 20．如图，在中，为上一点，． 求证：． 21．某班同学们上体育课．在阳光下，甲、乙两名同学分别直立站在点C、D的位置，此时，乙影子的顶端恰好与甲影子的顶端重合（如图）．甲的身高为1.8m，乙的身高为1.5m，甲的影长为6m，求甲、乙两名同学之间的距离． 22．如图所示，图中的小方格都是边长为的正方形，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画出位似中心，并直接写出与的相似比； (2)以位似中心为旋转中心，把按顺时针方向旋转得到，画出． 23．如图，在正方形中，点E，F分别在边上，于点E； (1)求证：． (2)若，求的值． 24．某数学兴趣小组在测量学校旗杆的高度时，让一名同学直立在点F处，手拿一块直角三角板，保持斜边与地面平行，延长交于点G，如图，并沿着射线的方向观察，刚好看到旗杆的顶端A点，已知该同学的身高为米，点F到旗杆底端的距离为12米，，，求旗杆的高度． 25．图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中画出的中线； (2)在图②的边上找到一点E，使； (3)在图③的边上找到一点F，使． 26．如图，在菱形中，，过点作于点，且，对角线与交于点，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，在运动过程中，点关于直线的对称点为点，点关于直线的对称点为点，作，交折线于点，交折线于点，连接． (1)的长度为______，的长度为______； (2)如图②，当点落在边上，点落在边上，求证：； (3)在不添加辅助线的情况下，图中存在与相似的三角形是______，当此三角形与相似比为时，求的值； (4)当四边形的面积是面积的7倍时，直接写出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 图形的相似 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第四章（图形的相似）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列一定相似的图形是（   ） A．等边三角形 B．矩形 C．菱形 D．直角三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似多边形．如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． 【详解】解：∵两个等边三角形的对应角相等，对应边的比相等， ∴两个等边三角形一定是相似形， 又∵两个直角三角形，菱形的对应角不一定相等，两个矩形的边不一定对应成比例， ∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形， 故选：A． 2．已知，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查比例的性质，根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、由得，故本选项错误，不符合题意； B、由得，故本选项正确，符合题意； C、由得，故本选项错误，不符合题意； D、由得，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 3．若a、b、c、d是成比例线段，其中，，，求线段d的长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．利用比例线段的定理得到，然后利用比例的性质求即可． 【详解】解：根据题意得，即， 所以． 故选：． 4．如图，与相交于点C，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，先证明，再根据相似三角形对应边成比例，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．如图，与是位似三角形，位似比为，已知，则的长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似比等于相似比，进而即可求解．掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，位似比为， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6．若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可． 【详解】解：两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是， 故选：D． 7．若点C是线段的黄金分割点，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了黄金分割点的定义等知识点，根据黄金分割点的定义，可能是较长线段，也可能是较短线段；则或，代入数据计算即可，理解黄金分割点的概念是解题的关键，特别注意这里的可能是较长线段，也可能是较短线段． 【详解】根据题意得： 当是较长线段时，， ∵， ∴， 当是较短线段时，， ∵， ∴， 故选：D． 8．如图，嘉嘉利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为（   ）    A．cm B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查位似，相似的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．连接，，过点作于点，于点，先判定，即可得对应高比之比等于相似比，即可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点，于点，    由像与蜡烛火焰位似，其位似中心为， ∴， ∴相似比为：， ∴对应高的比为：， ∴， ∴蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为， 故选：C． 9．如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】由平行四边形，得到，，进而得到，， ，，结合，，，代入，即可求解， 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，，，， ∴，， ∴，，即：， ∵，，， ∴，解得：， 故选：C． 10．如图，在中，，动点从点开始沿边运动，速度为，动点从点开始沿边运动，速度为．如果两动点同时运动，那么经过（    ）秒时与相似． A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，设经过秒时，与相似，则，，，根据，分和两种情况解答即可求解，掌握相似三角形的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：设经过秒时，与相似，则，， ∴， ∵， ∴当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得； 综上可知，经过或时，与相似， 故选：． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是根据已知条件设，，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴． 故答案为：． 12．如图，点为的边上一点，，．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练运用相似三角形的对应边成比例列出比例式是解题的关键． 先证明相似，再利用相似三角形的对应边成比例计算即可． 【详解】解：∵，， ， ， 即， 或（不合题意，舍去）． 故答案为：． 13．在阳光下，高为的旗杆在地面上的影长为．在同一时刻，高为的建筑物的影长为 m． 【答案】24 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据同一时刻，同一地点，物体的高度与影长成正比列式求解即可． 【详解】解：设高为的建筑物的影长为， 根据题意，得， 解得， 即高为的建筑物的影长为， 故答案为：24． 14．如图，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 15．如图，，，以为位似中心，按比例尺把缩小，则点对应点的坐标为 ．    【答案】或 【分析】此题考查了位似变换及坐标与图形性质的知识，关于原点成位似的两个图形，掌握相关知识是解题的关键．根据若位似比是，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或，即可求解． 【详解】解：按比例尺把缩小，， 点的对应点的坐标是或，即或， 故答案：或． 16．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成一个正方形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上．则该正方形的边长是 ．    【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 设与的交点为，设，由题意可得，，则，则，求解即可． 【详解】解：设与的交点为，如下图：    设，则， 由题意可得，， ∴， ∴，即 解得，即 故答案为：． 17．如图，点为中边上一点，且，连接，交的中线于，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是过点作交于点；根据相似三角形的判定，则，则，根据，点是的中点，则；根据，则，根据，推出，则，，再根据，即可． 【详解】解：过点作交于点，如图所示： ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 18．如图，在中，，在中，，．用一条始终绷直的弹性染色线连接，从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边始终在线段上，则的外部被染色的区域面积是 ．      【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质、勾股定理、平行四边形的判定及性质，解题的关键是把问题转化为求梯形的面积．过点作的垂线交于，同时在图上标出如图，需要知道的是的被染色的区域面积是，所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四边形的判定及性质，求出相应边长，即可求解． 【详解】解：过点作的垂线交于，同时在图上标出如下图：   ，，， ， 在中，，，． ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 解得：，   ， ， ，   ， ， ， 同理可证：，   ， ， ， 的外部被染色的区域面积为， 故答案为：21． 三、解答题：本题共8小题，共66分． 19．若，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，解题的关键是直接利用已知设，，，进而代入得出答案． 【详解】解：∵， ∴设，，， ∴． 20．如图，在中，为上一点，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据一对三角形中有两组角对应相等即可判断两个三角形相似，据此即可作答． 【详解】解：，， ， ， ． 21．某班同学们上体育课．在阳光下，甲、乙两名同学分别直立站在点C、D的位置，此时，乙影子的顶端恰好与甲影子的顶端重合（如图）．甲的身高为1.8m，乙的身高为1.5m，甲的影长为6m，求甲、乙两名同学之间的距离． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键， 由可得，所以，进而得到方程求解即可． 【详解】， ， ， ，，， ， 解得， ， 答：甲、乙两名同学之间的距离为． 22．如图所示，图中的小方格都是边长为的正方形，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画出位似中心，并直接写出与的相似比； (2)以位似中心为旋转中心，把按顺时针方向旋转得到，画出． 【答案】(1)2：1，图见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作位似图形，作旋转图形， （1）连接并延长，连接并延长，两延长线交于点；由，即可得出与的位似比为； （2）分别将点、、绕点O顺时针旋转得到点，然后顺次连接即可． 【详解】（1）图中点为所求；与的位似比等于； （2）如图所示：为所求． 23．如图，在正方形中，点E，F分别在边上，于点E； (1)求证：． (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，证明相似三角形是解题的关键． （1）由正方形的性质及，易得，，即可得； （2）利用相似三角形的性质及已知，即可求解． 【详解】（1）证明：在正方形中，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； ∵，， ∴， ∴． 24．某数学兴趣小组在测量学校旗杆的高度时，让一名同学直立在点F处，手拿一块直角三角板，保持斜边与地面平行，延长交于点G，如图，并沿着射线的方向观察，刚好看到旗杆的顶端A点，已知该同学的身高为米，点F到旗杆底端的距离为12米，，，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，勾股定理，矩形的判定和性质，利用相似三角形对应边成比例求线段长是解题的关键．由题意可得四边形是矩形，利用勾股定理求出，证明，利用相似比可求出的长，则． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：旗杆的高度为． 25．图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中画出的中线； (2)在图②的边上找到一点E，使； (3)在图③的边上找到一点F，使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）找出中点即可； （2）找出格点G、H，与交于点E，证出∽，即可得出结论； （3）找到格点与交于点F，证出∽，根据相似三角形的性质和等高时，三角形面积比等于底之比即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，点E即为所求， 找出格点G、H，与交于点E，由图知 ∴∽ ∴ ∴点E即为所求； （3）解：如图，点F即为所求， 找到格点M、N，与交于点F，由图知 ∴∽ ∴ ∴ ∴点F即为所求． 【点睛】此题考查的是用无刻度直尺作图，正方形的性质和相似三角形的判定及性质，三角形的中线，掌握利用正方形的性质和相似三角形的判定及性质找出所求点是解决此题的关键． 26．如图，在菱形中，，过点作于点，且，对角线与交于点，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，在运动过程中，点关于直线的对称点为点，点关于直线的对称点为点，作，交折线于点，交折线于点，连接． (1)的长度为______，的长度为______； (2)如图②，当点落在边上，点落在边上，求证：； (3)在不添加辅助线的情况下，图中存在与相似的三角形是______，当此三角形与相似比为时，求的值； (4)当四边形的面积是面积的7倍时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或 (4)或 【分析】（1）易得，根据勾股定理可得，则，再根据勾股定理可得，则，，进而得出，即可解答； （2）根据轴对称的性质得出为的中位线，即可求证； （3）进行分类讨论：①当点M和点N都在上时，②当点M落在边上，点N落在边上时，③当点M和点N都在上时，利用相似三角形的判定与性质等知识分别求解即可． （4）根据题意可得：，则，然后进行分类讨论：①当点M和点N都在上时，②当点M落在边上，点N落在边上时，③当点M和点N都在上时； 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵，， ∴根据勾股定理可得：， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵四边形是菱形， ∴，， 根据勾股定理可得：， ∴， 故答案为：，； （2）证明：∵点P关于直线的对称点为点E，点P关于直线的对称点为点F， ∴， ∴为的中位线， ∴； （3）解：①当点M和点N都在上时， 根据轴对称的性质可得：，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且相似比为， ∴， ∴， ∴； ②当点M落在边上，点N落在边上时， 由（2）可知，为的中位线， ∴相似比为，不符合题意，舍去； ③当点M和点N都在上时，延长交于T， 由轴对称的性质可得， 又∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵相似比为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 综上：或． （4）解：根据题意可得：，则， ①当点M和点N都在上时， 延长交于点G，过点E作于点I， 根据轴对称的性质可得：，， ∵， ∴，     ∴，即， ∴，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵四边形的面积是面积的7倍时， ∴，即， 解得：（舍去）， ②当点M落在边上，点N落在边上时， 由（2）可知，为的中位线，不符合题意，舍去， ∴， ∴， ∴, ∴四边形的面积是面积的3倍，不符合题意； ③当点M和点N都在上时， 延长交于点J，过点F作于点K， 和①同理可得：，则，， ∴，即， ∴，则， 和①同理可得：， ∴，， ∴ ， ∵∵四边形的面积是面积的7倍时， ∴，即， 解得：（舍去）， 综上：或； 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，轴对称性质、三角形的中位线性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，根据点的运动情况，正确找出相似三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$