分门别类 搞定导数：导数专题之函数的最值问题

函数的最值：(1)在闭区间上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． （提示：函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念） 上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在上连续的函数f(x)在 求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 类型一、“原生态”的求最值问题 例1．函数f(x)＝ ex(sin x＋cos x)在区间上的值域为________． 例2、已知函数f(x)＝ ，求函数f(x)在＋kln x，k<上的最大值和最小值． 解析：因f(x)＝. ＝＋＋kln x，f′(x)＝ （1）若k＝0，则f′(x)＝－ 在上恒有f′(x)<0，∴f(x)在 上单调递减． ∴f(x)min＝f(e)＝ ，f(x)max＝＝e－1. （2）若k≠0，f′(x)＝ ＝ ①若k<0，则在 上恒有 <0，∴f(x)在 上单调递减，[来源:Z|xx|k.Com] ∴f(x)min＝f(e)＝ ＋k－1，f(x)max＝＋kln e＝＝e－k－1. ②若k>0，由k<<0，>e，则x－，得 类型二、求参数的值 例3．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax ，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于(　　) A. D．1 C. B. 解析：选D　∵f(x)是奇函数，∴f(x)在(0,2)上的最大值为－1.当x∈(0,2)时，f′(x)＝ 时，f′(x)>0，f(x)在<2.当0<x<，∴0<，又a>－a，令f′(x)＝0得x＝上单调递增；当x> 时，f′(x)<0，f(x)在上单调递减，∴f(x)max＝ ＝ln＝－1，解得a＝1. －a· 例4．已知函数 f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)，其中 a<0，若f(x)在区间 [1,4]上的最小值为8，求 a的值． 解析：f′(x)＝. 或x＝－，a<0，由f′(x)＝0得x＝－ 当x∈ 时，f(x)单调递增；当x∈（－ ）