分门别类 搞定导数：导数专题之函数的单调性问题

1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系 (1)若 ，则f(x)在这个区间上是增加的． (2)若 ，则f(x)在这个区间上是减少的． (3)若 ，则f(x)在这个区间内是常数． 2.在某个区间(a，b)上，若f ，则f(x)在这个区间上单调递增；若 ，则f(x)在这个区间上单调递减；若 恒成立，则f(x)在这个区间上为常数函数；若 的符号不确定，则f(x)不是单调函数． 3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则 ，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则 ，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立． 4．使 的离散的点不影响函数的单调性． 5． 是x0为f(x)的极值点的非充分非必要条件．例如，f(x)＝x3， ，但x＝0不是极值点；又如f(x)＝|x|，x＝0是它的极小值点，但 不存在． 类型一：判断或证明函数的单调性 例1,、函数f(x)＝ln(x＋1)－(a>1)．讨论f(x)的单调性． 解：f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝. ①当1<a<2时，若x∈(－1，a2－2a)，则f′(x)>0，f(x)在(－1，a2－2a)内是增函数； 若x∈(a2－2a,0)，则f′(x)<0，f(x)在(a2－2a,0)内是减函数； 若x∈(0，＋∞)，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)内是增函数． ②当a＝2时，f′(x)≥0，f′(x)＝0成立当且仅当x＝0，f(x)在(－1，＋∞)内是增函数． ③当a>2时，若x∈(－1,0)，则f′(x)>0，f(x)在(－1,0)内是增函数； 若x∈(0，a2－2a)，则f′(x)<0，f(x)在(0，a2－2a)内是减函数； 若x∈(a2－2a，＋∞)，则f′(x)>0，f(x)在(a2－2a，＋∞)内是增函数． 小结：导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤 (1)求 ；(2)确认 在(a，b)内的符号；（3）作出结论 >0时为增函数； <0时为减函数． 类型二、求函数的单调区间 例2、已知函数f(x)＝x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间． ，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝－ln x－＋ (2)由(1)知f(x)＝ ，则－ln x－＋＝ ，令