精品解析：江苏省扬州树人学校2024—2025学年上学期9月月考八年级数学试题

八年级数学大作业 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 两个锐角对应相等 B. 一个锐角、一条直角边对应相等 C. 两条直角边对应相等 D. 一条斜边、一条直角边对应相等 4. 如图，，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，，点D，E在直线上，，，则的长为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 6. 如图所示，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 8. 如图，，，E、F分别为线段和射线上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点G，使与全等，则的长为（ ） A. 18 B. 70 C. 88或62 D. 18或70 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是______． 10. 如图，在3×3的方格中，每个小方格的边长均为1，则与的数量关系是________． 11. 如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则把阴影涂在图中标有数字_____的格子内． 12. 如图，把折叠，使点C的对应点恰好与点A重合，折痕为，若，则的周长为 _______． 13. 如图，平分，于点，，，则的面积为_______． 14. 如图，，，，，则__． 15. 如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是_____________． 16. 如图，在中，，，和的平分线交于点E，过点E作分别交AB、AC于点M、N，则的周长为_________． 17. 如图，，，，求的面积 ____． 18. 如图，已知的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E，F，，，则________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 已知：如图，，点、分别在、上，且，求证：． 20. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，，求证：． 21. 如图，是的中线，延长至点E，使，连接． （1）证明； （2）若，设，求x的取值范围． 22. 如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 如图，在长度为个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点 ，， 在小正方形的顶点上． （1）在图中画出 关于直线成轴对称的； （2）求 的面积； （3）在直线上找一点，使的长最短，标出点（保 留作图痕迹）． 24. 如图，四边形中，，，，与相交于点F． （1）求证： （2）判断线段与的位置关系，并说明理由． 25. 如图，中，于点D． （1）求证：； （2）过点C作于点E，交于点F，若．求证：． 26. 如图，在中，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段上由C点以的速度向A点运动．设运动的时间为． （1）直接写出：①_________ cm；②_________ cm；③_________ cm．（用含t，a的式子表示） （2）若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a，t的值． 27. 在中，，点M从点B出发沿射线移动，同时点N从点C出发沿线段的延长线移动，点M，N移动的速度相同，与相交于点D． （1）如图1，过点M作，交于点E； ①图中与相等的线段________、_________； ②求证：； （2）如图2，若，当点M移动到的中点时，求的长度； （3）如图3，过点M作于点F，在点M从点B向点A（点M不与点A，B重合）移动的过程中，线段与的和是否保持不变？若保持不变，请直接写出与的长度和；若改变，请说明理由． 28. 回答问题： （1）【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； （2）【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学大作业 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形的概念．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有等．根据求出，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ， ∴当时，利用可得； 当时，利用可得； 当时，利用可得； 当时，无法证明； 故选：D． 3. 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 两个锐角对应相等 B. 一个锐角、一条直角边对应相等 C. 两条直角边对应相等 D. 一条斜边、一条直角边对应相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定方法，熟练掌握判定方法是解题的关键．根据判定方法依次进行判断即可． 【详解】解：A、两个锐角对应相等，不能判定两个直角三角形全等，故A符合题意； B、一个锐角和一条直角边对应相等，利用或可以判定两个直角三角形全等，故B不符合题意； C、两条直角边对应相等，利用可以判定两个直角三角形全等，故C不符合题意； D、一条直角边和斜边对应相等，利用可以判定两个直角三角形全等，故D不符合题意； 故选：A． 4. 如图，，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据全等三角形的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 5. 如图，，点D，E在直线上，，，则的长为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得，由点D，E在直线上，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D，E在直线上， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质．解题的关键在于明确线段之间的数量关系． 6. 如图所示，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形全等的判定与性质，三角形外角性质，先由三角形内角和定理得出，再证明得，最后由三角形外角的定义及性质计算即可得出答案．掌握三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 7. 如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式的应用，过D作于F，根据角平分线的性质求出，根据和三角形面积公式求出即可． 【详解】解：如图，过D作于F， ∵是中的角平分线，于点E，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 8. 如图，，，E、F分别为线段和射线上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点G，使与全等，则的长为（ ） A. 18 B. 70 C. 88或62 D. 18或70 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，使与全等，由可知，分两种情况：当时，当时，列方程即可求解．本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键． 【详解】解：设，则， ∵， ∴与全等，可分两种情况： 情况一：当时， ∵， ∴， 解得：， ∴； 情况二：当时， ∵， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，或70． 故选：D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是______． 【答案】3265 【解析】 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称；据此分析并作答． 【详解】解：根据镜面对称的性质，关于镜面对称，又在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码是3265， 故答案为：3265． 【点睛】此题考查了镜面对称，正确理解对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放置和垂直放置的不同． 10. 如图，在3×3的方格中，每个小方格的边长均为1，则与的数量关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】证明得出，根据即可得出． 【详解】解：根据网格特点可知，，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 11. 如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则把阴影涂在图中标有数字_____的格子内． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，根据轴对称的定义，沿着虚线进行翻折后能够重合，所以阴影应该涂在标有数字3的格子内． 【详解】解：根据轴对称的定义，沿着虚线进行翻折后能够重合， ∴根据题意，阴影应该涂在标有数字3的格子内； 故答案为：3． 12. 如图，把折叠，使点C的对应点恰好与点A重合，折痕为，若，则的周长为 _______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），轴对称的性质，解决问题的关键是找出折叠前后的对应边．将变形为：，进而求得结果． 【详解】解：∵将折叠，使点C与点A重合，折痕为， ∴， ∵， 即的周长为12， 故答案为：12． 13. 如图，平分，于点，，，则的面积为_______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等的性质是解题的关键．过作于，由角平分线的性质推出，由三角形面积公式即可求出的面积． 【详解】解：如图，过作于， ∵平分，于点， ∴， ∴的面积＝． 故答案为： 14. 如图，，，，，则__． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，有全等三角形的性质可得出，再利用三角形内角和定理可得出，最后再根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是_____________． 【答案】ASA 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法解决此题． 【详解】由图得：遮挡住的三角形中露出两个角及其夹边． 则能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是ASA． 故答案为：ASA． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决本题的关键． 16. 如图，在中，，，和的平分线交于点E，过点E作分别交AB、AC于点M、N，则的周长为_________． 【答案】9.5 【解析】 【分析】根据角平分线定义、平行线的性质和可得，进而求解． 【详解】解∶平分， 同理可得∶， 故答案为∶9.5 【点睛】本题考查等腰三角形的判定及性质，解题关键是掌握角平分线的定义，掌握平行线的性质． 17. 如图，，，，求的面积 ____． 【答案】 【解析】 【分析】作，证，得到，即可求解， 本题考查了，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：做出辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：过点作，交延长线于点， ∵， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：8． 18. 如图，已知的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E，F，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质．连接，，根据角平分线的性质可得，，，得到，即可得，然后根据垂直平分线的性质可得，则可通过证明，得到，然后即可得到答案. 【详解】解：连接，， ∵是的平分线，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 已知：如图，，点、分别在、上，且，求证：． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法；熟记三角形全等的判定方法是解决问题的关键．由全等三角形的判定方法得出：即可． 【详解】证明：在和中 ， ． 20. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．先根据，证明，再根据“”证明，得出即可． 【详解】略 21. 如图，是的中线，延长至点E，使，连接． （1）证明； （2）若，设，求x的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵是的中线， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用： （1）由三角形中线的定义得到，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，再由三角形三边的关系可得，据此可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 22. 如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在与中 ， ∴． （2）4 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，根据平行线的性质证明是解题的关键． （1）由，得，而，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得，则，即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 23. 如图，在长度为个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点 ，， 在小正方形的顶点上． （1）在图中画出 关于直线成轴对称的； （2）求 的面积； （3）在直线上找一点，使的长最短，标出点（保 留作图痕迹）． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）； （3）如图， 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，正确作出图形． （）分别作出点关于直线的对称点即可； （）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积计算的面积； （）连接交直线于点，利用两点之间线段最短可判断点满足条件； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：连接交直线于点， 根据轴对称可知：， ∴， ∴点即为所求的点，使得最小． 24. 如图，四边形中，，，，与相交于点F． （1）求证： （2）判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据即可证明． （2）根据得到，结合得到，即可得结论． 【小问1详解】 解： 在和中， ∴． 【小问2详解】 解：．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，常用的判定方法有：、、、、等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 25. 如图，中，于点D． （1）求证：； （2）过点C作于点E，交于点F，若．求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键． （1）由“”即可证； （2）由直角三角形的性质可得，，从而得出再由“”可证，可得，再证明即可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 如图，在中，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段上由C点以的速度向A点运动．设运动的时间为． （1）直接写出：①_________ cm；②_________ cm；③_________ cm．（用含t，a的式子表示） （2）若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a，t的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据速度与时间可得路程和，根据边长和中点定义可得和的长； （2）根据，可知：分两种情况：①若，②若，根据全等三角形对应边相等列方程组可得结论． 本题考查了全等三角形的判定的应用及动点运动问题，关键是能根据题意得出方程，注意：全等三角形的判定定理有，，，． 【小问1详解】 解：由题意得：∵，，点P在线段上以的速度由B点向C点运动． ∴①；②， ∵点Q在线段上由C点以的速度向A点运动 ∴③， 故答案为： 【小问2详解】 解：，，，， ， 分两种情况： ①若， 则， ， ， ②若， 则， ， ． 综上所述，的值为6、的值为2或的值为4、的值为1． 27. 在中，，点M从点B出发沿射线移动，同时点N从点C出发沿线段的延长线移动，点M，N移动的速度相同，与相交于点D． （1）如图1，过点M作，交于点E； ①图中与相等的线段________、_________； ②求证：； （2）如图2，若，当点M移动到的中点时，求的长度； （3）如图3，过点M作于点F，在点M从点B向点A（点M不与点A，B重合）移动的过程中，线段与的和是否保持不变？若保持不变，请直接写出与的长度和；若改变，请说明理由． 【答案】（1）①CN、EM； ②见解析；（2）的长度为2；（3）保持不变；BF+CD=4． 【解析】 【分析】（1）①根据移动过程分析和等腰三角形的性质即可解答；②由平行的性质、等腰三角形的性质进行等边和等角转换，最后运用AAS即可证明结论； （2）由（1）的结论和等边三角形的性质，通过等量转换即可得解； （3）首先过点M作ME//AC，由等腰三角形的性质以及全等三角形的性质，即可求得BF与CD的长度保持不变． 【详解】(1) ①∵点M、N同时移动且移动的速度相同， ∴BM=CN， ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB 又∵ME//AC， ∴∠N=∠DME，∠ACB=∠MEB， ∴∠MEB=∠B， ∴BM=ME， 故答案是：CN、EM； ②∵BM=ME，BM=CN. ∴ME=CN， ∵MN与BC相交于点D， ∴∠MDE=∠NDC， 在△DME和△DNC中 ∠MDE=∠NDC，∠DME=∠N，ME=NC ∴△DME≌△DNC（AAS）； (2) 如图:过点M作ME//AC，交BC于点E ∵∠A=60°，AB=AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠ACB=60° ∵ME//C， ∴∠BEM=∠ACB=60°， ∴△BEM是等边三角形， ∴BE=BM. ∵M是AB的中点， ∴ ∴BE=CE=4. 由（1）可证△DME≌△DNC ∴DE=CD， ∴CD=CE=2， ∴CD的长度为2； (3)保持不变，理由如下： 如图:过点M作ME//AC，交BC于点E 由（1）可证△DME≌△DNC，BM=ME， ∴DE=CD，△MBE是等腰三角形。 ∵MF⊥BC， ∴MF是△MBE的中线， ∴BF=EF， ∴BF+CD=EF+DE=BC=4， ∴BF与CD的长度和保持不变 【点睛】本题主要考查了等腰三角形、全等三角形的判定与性质以及动点综合问题，掌握全等三角形的判定与性质成为解答本题的关键 28. 回答问题： （1）【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； （2）【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】（1） （2） 仍成立，理由：延长到点G， 使，连接， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； （3） ，证明如下： 在延长线上取一点G，使得，连接， ∵， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， ∴，即， ∴． 【解析】 【分析】（1）延长到点G， 使，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （2）延长到点G， 使，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （3）在延长线上取一点G，使得，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案． 【小问1详解】 解：延长到点G， 使，连接， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $