第十二章全等三角形 典型例题与易错题精练-2024-2025学年人教版数学八年级上册

第十二章全等三角形典型例题与易错题精练-数学八年级上册人教版 【典型例题】+【跟踪训练】 目录导航 第一部分：典型例题 第二部分：跟踪训练 【第一部分】 典型例题 1．如图，点B、E、F、D在同一直线上，BE＝DF，AB∥CD，AB＝CD．求证：AF∥CE． 【解答】证明：∵BE＝DF， ∴BE+EF＝DF+EF， ∴BF＝DE， ∵AB∥CD， ∴∠B＝∠D， 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（SAS）， ∴∠AFB＝∠CED， ∴AF∥CE． 2．鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，A、B两点分别为雕像底座的两端（其中A、B两点均在地面上）．因为A、B两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可． 乙：如图2，先确定直线AB，过点B作直线BE，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可． （1）甲、乙两同学的方案哪个可行？　甲　（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由； （2）对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：　DB⊥AC　． 【解答】解：（1）甲同学的方案可行． 理由：由题意得， 在△ABO与△CDO中， ， ∴△ABO≌△CDO（SAS）， ∴AB＝CD， 故甲同学的方案可行． （2）DB⊥AC； 理由： ∵DB⊥AC， ∠ABD＝∠CBD＝90° 在Rt△DBA与Rt△DBC中， ， ∴Rt△DBA≌Rt△DBC（HL）， ∴AB＝CB． 故答案为：DB⊥AC． 【第二部分】 跟踪训练 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形 B．全等三角形是指形状相同的两个三角形 C．等腰三角形是等边三角形 D．等边三角形是等腰三角形 2．下列各组图形中，属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 3．三角形全等的判定定理包括（ ） ①；②；③；④；⑤ A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤ 4．如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点，分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（    ） A． B． C． D． 5．如图，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．与的边重合，．添加下一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，，，，有下列结论：①；②；③．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．如图，在中，，，，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图， 是的角平分线，于 E ，若 ， ，的面积等于 15 ，则 ． 10．如下图，点 B，F，C，E 在同一直线上，，，要使，若以“”为 依据，还要添加条件 ． 11．如图，已知，若，，则的值为 ． 12．如图，是的平分线，点P在上，，垂足分别是C、D，，则 ． 13．如图，在中，为边上的中线，若，，则的取值范围是 ． 14．如图所示，，其中与，与是对应顶点，则的对应边是 ，的对应角是 ．    15．如图，P 是的平分线上的一点，于点 N，，M 是线段上一点，，若D为上一点，且满足，则的长为 ． 16．如图，在与中，E在边上，，，，若，则的度数为 ． 三、解答题 17．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线的两侧，，，，求证：． 18．如图，在中，平分，在上，于，若，，求的面积． 19．已知：平分，点、都是上不同的点，，，垂足分别为、，连接、．求证： 20．已知正方形中，边长为，点在边上，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上以的速度由点向点运动，设运动的时间为秒． (1)的长为______（用含的代数式表示）． (2)若以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，求的值． 21．（1）教材呈现：人教版数学教材八年级上册第56页有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为D，E，，，求的长．”请直接写出此题的答案：的长为________； （2）类比探究：如图2，点B，C在的边上，点E，F在内部的射线上，分别是、的外角，已知：，．求证：； （3）拓展应用：如图3，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为27，则与的面积之和为？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C C D D D C D 1．D 【分析】本题考查了三角形的分类、等腰三角形与等边三角形的关系、全等三角形的概念等知识．按照三角形的分类、等腰三角形与等边三角形的关系、全等三角形的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形，故此选项不符合题意； B、全等三角形是指形状相同，大小都相等的两个三角形，故此选项不符合题意； C、等腰三角形一定不一定是等边三角形，故此选项不符合题意； D、等边三角形是特殊的等腰三角形，故此选项不符合题意； 故选：D． 2．C 【分析】本题考查了全等图形．根据全等图形的定义（能够完全重合的两个图形叫做全等形）逐项判断即可得． 【详解】解：A、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意； B、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，则此项符合题意； D、两个图形的形状不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意； 故选：C． 3．C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：全等三角形的判定定理有， 故选：C． 4．D 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用．根据全等三角形判定的“”定理即可证得． 【详解】解：，点，分别是，的中点， ， 在和中， ． ， 故选：D． 5．D 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，根据全等三角形的性质，得到，三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选D． 6．D 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟知各种三角形的判定方法是解答本题的关键，要注意本题中的隐藏条件：一组公共边．根据全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：在与中，，， ∴当，利用，可以得到， 当，利用，可以得到， 当，利用，可以得到， 当时，，不能得到； 故选D． 7．C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定．解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定． 证明,得到，得到，结合，，得到，得到，判断①；，判断②； 根据，，即得 判断③． 【详解】如图，∵，，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴，①不正确； ，②正确； ∵，， ∴，③正确． ∴正确的有②③，共2个． 故选：C． 8．D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，根据全等三角形的性质找出是解题的关键． 首先由三角形内角和定理得到，然后证明出，得到，然后等量代换得到，进而代入求解即可． 【详解】∵， ∴ ∵，，， ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：D． 9．2 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，熟记性质是解题的关键． 延长，过D点作于F，根据角平分线的性质得到，由即可求解． 【详解】解：如图 延长，过D点作于F， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ，， ∴， ∴ ， 故答案为：2． 10． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据进行分析，再确定需要添加的条件即可． 【详解】解：添加：， 理由为： ∵， ∴， ∵， ∴，即， 添加：， ∴， 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握基本知识是解题的关键． 利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：． 12．4 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行求解即可． 【详解】解；∵是的平分线，， ∴， 故答案为：4． 13． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系．画出图形，延长至，使，连接，证明得到，利用三角形的三边关系即可解答． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， ∵为边上中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了全等三角形的对应边与对应角．解题的关键是牢记“全等三角形的对应边相等，对应角相等”即可．解题时要找对对应边，对应角即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的对应边是，的对应角是． 故答案为：，． 15．或 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，过点P作，根据平分，得，利用证明，则，根据得，①若点D在线段上，连接，利用证明，则，根据，得，则，即可得；②若点D在线段的延长线上，连接，利用证明，则，根据，得，则，即可得；综上，即可得；掌握角平分线的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点P作， ∵平分，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ①如图所示，若点D在线段上，连接， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，若点D在线段的延长线上，连接， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为6或14． 故答案为：6或14 16．/25度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理．证明得到，再根据三角形内角和定理和平角的定义可得． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17．见详解 【分析】本题重点考查了三角形全等的判定定理，平行线的性质，解题关键是掌握判定方法． 利用“”证，即可求证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴． 在和中 ∴． ∴． 18．20 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，解题的关键在于能够熟练掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等．过点作的延长线于点，根据角平分线的性质得到，即可求解． 【详解】解：过点作的延长线于点， 平分，，， ， ， ， ， ． 19．见详解 【分析】本题主要考查的是角平分线的性质以及全等的性质和判定，属于基础题型．根据题意证明三角形全等是解决这个问题的关键． 根据角平分线的性质得出，证明，从而得出答案． 【详解】证明：∵平分， ， ， 在与中，， ∴， ． 20．(1) (2)或 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据即可得到答案； （2）分情况讨论时对应边的关系，通过不同的对应关系列式求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：若， 则，即， ∴，； 若 则，，则 得：， 解得：． 21．（1）0.8；（2）见解析；（3）18 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问 （1）利用同角的余角相等证明，再利用证明，根据全等三角形的性质、结合图形解答； （2）证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）由（2）可知，由全等三角形的性质可得出答案． 【详解】解：（1）， ， ． ， ． 在和中， ， ， ； 故答案为：0.8； （2）证明：， ， ， 在和中， ， ， ． （3）的面积为27，， 的面积是：， 由（2）中可知， 与的面积之和等于与的面积之和，即等于的面积，是18， 故答案为：18． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$