精品解析：河北省衡水市武邑中学2025届高三上学期第一次调研考试数学试题

河北武邑中学2024-2025学年上学期高三年级第一次调研考试 数学试题 命题人：常颖超 注意事项： 1.本试卷分I卷（选择题）和II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题. 3.选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效. 第I卷选择题（共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可求出集合，，然后进行交集的运算即可． 【详解】解：， ，， ． 故选：． 2. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可得答案. 【详解】当时，或，推不出； 当时，必有， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：C 3. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先过呢据条件化简得到，法一，根据基本不等式，即可求解；法二，根据条件等式，变形得，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】， 法一：，当且仅当时，上式等号成立， 又，可得时，的最小值为. 故选：A. 法二：，当且仅当时，上式等号成立， 又，可得时，的最小值为. 故选：A. 4. 已知函数，则函数在处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对求导，注意是常数，令代入导函数中，可求得，进而可求，可得在处的切线方程. 【详解】，令，可得， ， 所以在处的切线方程为. 故选：B 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式即可求解. 【详解】∵，∴，， 又，则，所以， 故选：A 6. 已知函数，若，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，构造函数并求出最小值即可得解. 【详解】令，则，， 令，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，. 故选：D 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由平方差公式化简已知条件并结合二倍角的余弦公式得，进而得，从而结合二倍角正弦公式即可计算求解. 【详解】因为， 所以， 所以 ，即， 所以由得， 所以. 故选：A. 8. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】转化和，设，根据导数求出的单调性，比较和的大小，转化和，设，求出，令，利用导数求出的单调性，利用导数求出的单调性，比较和的大小. 【详解】， 设，则， 当时，在上单调递增， ，即， ，又， 设， 则， 令， 则， 在上单调递减， 当时，， 在上单调递减， ，， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于通过所比较值的变形，构造函数和进行大小比较. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，在区间上单调递减的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的单调性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，对于， 由，得， 所以在区间上单调递减的函数，A选项正确. B选项，对于， 由，得，不符合题意. C选项，由，得， 且， 所以在区间上单调递减的函数，C选项正确. D选项，对于， 由，得，不符合题意. 故选：AC 10. 已知且满足，则以下是真命题的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】运用基本不等式分析AB即可，利用已知条件消去一个参数，将CD转化为一元函数处理即可. 【详解】易知，， 故由基本不等式得，当且仅当时取等， 又， 故，即，故A错误； 易得， 当且仅当，即时取等，故B正确； 结合，故，解得， 则， 由二次函数性质得在单调递减，在单调递增， 故，，， 可得，即，故C正确; 由已知得，，， 故， 由二次函数性质得在单调递减，在单调递增， 故，故D正确. 故选：BCD 11. 已知，则（） A. B. 在上单调递增 C. ，使 D. ，使 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，代入化简即可；对于B，利用导数研究函数的单调性即可；对于C，D利用基本不等式求解即可，要注意等号是否能取到. 【详解】对于A，，，故A正确. 对于的定义域为， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以1即， 在单调递减，故B错误； 对于，当时，，此时不存在，使； 当时，， 由B知，，等号取不到，故不存在，使，故C错误； 对于D，当时，，此时不存在，使； 当时，， ，则在上恒成立， 所以在上单调递增，因为， 所以，使得即， 所以存在，使，故D正确. 故答案为：AD. 第II卷非选择题（共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的部分图象如图所示，则的值是______ 【答案】## 【解析】 【分析】由图象可得，，结合诱导公式和五点法，可得关于的方程，解方程可得的值. 【详解】根据函数的部分图象， 可得，即的图象关于点对称， 的最小正周期， 又， ， 又， ， . 故答案为：. 13. 已知函数，角为函数在点处的切线的倾斜角，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出，再利用齐次式法计算即得. 【详解】函数，求导得，依题意，， 所以. 故答案为：4 14. 若存在实数m，使得对于任意的，不等式恒成立，则取得最大值时，__________． 【答案】 【解析】 【分析】以为变量，结合一元二次不等式的存在性问题可得，解不等式结合题意得，由此可得答案. 【详解】因为恒成立， 即恒成立， 若存在实数，使得上式成立，则， 则， 可得，可得， 解得， 由， 则取得最大值时， 此时. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：双变量问题的解题关键是一次只研究其中一个变量，本题先以为变量，转化为存在性问题分析求解. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知定义在上的奇函数． （1）求实数的值： （2）若在上的值域为，求实数的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数为奇函数，得到，，求出的值； （2）根据函数的单调性解不等式，结合函数定义域得到. 【小问1详解】 由题意，，故， ，由为奇函数得 ， 故，解得或(舍)， 故； 【小问2详解】 ，故， 又，解得， 故. 16. 已知，，，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用，求出相关的三角函数值即可求解； （2）求出相关角的范围，利用，求解即可. 【小问1详解】 ，且，，， ，， 且，，，， ； 【小问2详解】 ，.，， ，∴， ，. 17. 在锐角中，三个内角所对的边分别为，若， （1）若，求的大小. （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理，化简求得，结合，得到，即可求解； （2）由，得到，且，根据为锐角三角形，求得，结合正弦定理得，即可求解. 【小问1详解】 解：由， 可得， 所以，即 因为，可得， 又因为，可得，所以或，所以或， 当时，因为，此时（舍去）； 当时，因为，此时，符合题意， 综上可得，的大小为. 【小问2详解】 由（1）得，则或， 当时，，与矛盾； 当时，且， 又因为为锐角三角形，可得，解得， 由正弦定理得， 所以的取值范围为. 18. 已知函数，. （1）当时，求函数的最小值； （2）若的最大值为1，求实数的值； （3）对于任意，不等式都成立，求实数的范围. 【答案】（1） （2）或5； （3） 【解析】 【分析】（1）代入后配方，结合二次函数的性质和余弦函数的值域求解即可； （2）配方后再根据对称轴的情况分类讨论即可； （3）令，利用对勾函数的单调性求出最值即可； 【小问1详解】 当时，， 因为， 所以当时，函数有最小值，最小值为， 【小问2详解】 因为， 当，即时， 则当时，函数的最大值为， 解得（舍去），或； 当即时，则当时，函数有最大值，即，解得； 当时，即时，则当时，函数有最大值， 即，解得（舍去）. 综上，或5. 【小问3详解】 因为， 令，由，得， 则， 因为都成立， 所以都成立， 所以在上恒成立， 姐在恒成立， 设， 由对勾函数的性质易知函数在上为减函数， 所以， 所以. 19. 给出以下三个材料： ①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似的，函数的二阶导数的导数叫做函数的三阶导数，记作，函数的三阶导数的导数叫做函数的四阶导数……，一般地，函数的阶导数的导数叫做函数的n阶导数，记作，； ②若，定义； ③若函数在包含的某个开区间上具有任意阶的导数，那么对于任意有，我们将称为函数在点处的泰勒展开式. 例如在点处的泰勒展开式为 根据以上三段材料，完成下面的题目： （1）求出在点处的泰勒展开式； （2）用在点处的泰勒展开式前三项计算的值，精确到小数点后4位； （3）现已知，试求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用阶泰勒展开式的定义，可求， （2）由（1）可求； （3）由（1）可得，进而可得，结合已知可得结论. 【小问1详解】 ，，，， 所以，，，， 由 所以 【小问2详解】 由（1）可得 【小问3详解】 因为①， 对， 两边求导可得：， 所以， 所以②， 比较①②中的系数，可得： ， 所以. 【点睛】关键点睛：本题考查了导数中的新定义问题，关键是审题时明确阶泰勒展开式的具体定义；第三问关键在于用阶泰勒展开式表示. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北武邑中学2024-2025学年上学期高三年级第一次调研考试 数学试题 命题人：常颖超 注意事项： 1.本试卷分I卷（选择题）和II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题. 3.选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效. 第I卷选择题（共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则　　 A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则函数在处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，在区间上单调递减的函数是（ ） A. B. C. D. 10. 已知且满足，则以下是真命题的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则（） A. B. 在上单调递增 C. ，使 D. ，使 第II卷非选择题（共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的部分图象如图所示，则的值是______ 13. 已知函数，角为函数在点处的切线的倾斜角，则__________． 14. 若存在实数m，使得对于任意的，不等式恒成立，则取得最大值时，__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知定义在上的奇函数． （1）求实数的值： （2）若在上的值域为，求实数的值． 16. 已知，，，. （1）求的值； （2）求的值. 17. 在锐角中，三个内角所对的边分别为，若， （1）若，求的大小. （2）若，求的取值范围. 18. 已知函数，. （1）当时，求函数的最小值； （2）若的最大值为1，求实数的值； （3）对于任意，不等式都成立，求实数的范围. 19. 给出以下三个材料： ①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似的，函数的二阶导数的导数叫做函数的三阶导数，记作，函数的三阶导数的导数叫做函数的四阶导数……，一般地，函数的阶导数的导数叫做函数的n阶导数，记作，； ②若，定义； ③若函数在包含的某个开区间上具有任意阶的导数，那么对于任意有，我们将称为函数在点处的泰勒展开式. 例如在点处的泰勒展开式为 根据以上三段材料，完成下面的题目： （1）求出在点处的泰勒展开式； （2）用在点处的泰勒展开式前三项计算的值，精确到小数点后4位； （3）现已知，试求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $