2025名校高考全真模拟试题(十三)-【师大金卷】2025年高考数学复习冲刺全真模拟试卷精选必刷题（新高考）

新高考数学答案 —４８　 综上,０＜a≤２． (３)由(１)可知a＝２时,cos２x＞１－２xsinx＞１－２x, ∴cos π２k k＋１( ) ＞１－ π ２k k＋１( ) ＝１－ π２ １ k － １ k＋１( ) , n＝１时,∑ n k＝１ cos π２k k＋１( ) ＝ ２ ２ ,n＝２时, ∑ n k＝１ cos π２k k＋１( ) ＝ ２ ２ ＋ ６＋ ２ ４ ＝ ３ ２＋ ６ ４ , n≥３时,∑ n k＝１ cos π２kk＋１( ) ≥ ２ ２ ＋ ６＋ ２ ４ ＋n－２－ π ２ ( １ ３ － １ n＋１) ＞n－２＋ ３ ２＋ ６ ４ － π ６ , ９ ２＋３ ６( ) ２ －２０２ ＝５４ １２－１８４＞０, 则 ９ ２＋３ ６( ) ２ ＞２０２, 即９ ２＋３ ６－２０＞０, ３ ２＋ ６ ４ － π ６ － １ ＞ ３ ２＋ ６ ４ － ４ ６ － １ ＝ ９ ２＋３ ６－２０ １２ ＞０ ,则３ ２＋ ６ ４ － π ６ ＞１ , 得∑ n k＝１ cos π２k k＋１( ) ＞n－２＋ ３ ２＋ ６ ４ － π ６ ＞n－ １, 又∑ n k＝１ cos π２k k＋１( ) ＜n , n＝１时,０＜ ２２ ＜１ ,n＝２时,１＜３ ２＋ ６４ ＜２ , 所以n∈N∗ 时,都有n－１＜ ∑ n k＝１ cos π２k k＋１( ) ＜n , P＝ {an|an ＝ ∑ n k＝１ cos π２k k＋１( ) ,n∈N∗ }, 则n∈N∗ 时,集合P在每个区间 n－１,n( ) 都有且只 有一个元素, 对于正整数m,集合Qm ＝ x|m ＜x＜２m{ },记P∩ Qm 中元素的个数为bm, 由２m－m ＝m,所以bm ＝m． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀃊􀁉􀁕２０２５名校高考全真模拟试题(十三) １．C　[试题解析]令an＝ n２ ２n ,n∈N∗ ,显然a１＝ １ ２ ,a２＝１, a３＝ ９ ８ ,当n≥４时,an＋１an ＝ (n＋１)２ ２n２ ＝n ２＋２n＋１ n２＋n２ ＜ n２＋２n＋１ n２＋３n ＜１,即an＋１＜an ≤a４＝１,因 此 当n≥４ 时,n２≤２n,所以n为正整数,且n２＞２n,有n＝３．故 选 C． ２．A　[试题解析]连接AC,AD１,CD１,BD,因为BB１⊥平面 ABCD,AC⊂平面ABCD,所以BB１⊥AC,又四边形 ABCD 为正方形,所以BD⊥AC,又BB１∩BD＝B, BB１,BD⊂平面BB１D,所以AC⊥平面BB１D,因为 B１D⊂ 平 面 BB１D,所 以 AC⊥B１D,同 理 可 证 明 AD１⊥B１D,因 为 AD１ ∩AC＝A,AD１,AC⊂ 平 面 ACD１,故 B１D⊥ 平 面 ACD１,故 平 面α 即 为 平 面 ACD１,则α截该正方体所得截面的形状为三角形． 故选 A． ３．B　[试题解析]如图所知,∁M∪NN 为区域①,所以 M∪ (∁M∪NN)＝M,故 A错误;∁M∪N M∩N( ) 为区域① 和③, ∁M∪NM( ) 为区域③, ∁M∪NN( ) 为区域①,则 ∁M∪NM( ) ∪ ∁M∪NN( ) 也 为 区 域 ① 和 ③,两 边 相 等,故B正确; ∁M∪NN( ) 为区域①,M∩(∁M∪NN) 为区域①,不等于区域②(区域②为 M∩N),故C错 误;∁M∪N(M∩N)为区域①和③;而 ∁M∪NM( ) 为 区域 ③, ∁M∪NN( ) 为 区 域 ①,所 以 ∁M∪NM( ) ∩ ∁M∪NN( ) 为空集,所以 D错误．故选B． ４．D　[试题解析]当x＝０时,y＝loga １ a＝－１ ,则当０＜a ＜１时,函数图象过二、三、四象限; 则当a＞１时,函数图象过一、三、四象限; 所以函数y＝loga x＋ １ a( ) 的图象一定经过三、四象 限．故选D． ５．B　[试题解析]由题意知,z＝ ２１＋i＝ ２(１－i) (１＋i)(１－i)＝１－ i,所以z＝１＋i,所以z(z－１)＝(１＋i)(１－i－１)＝１ －i．故选B． ６．C　[试题解析]由题意,丙可能是４,５,６名,有３种情 况,若甲是第一名,则获得的名次情况可能是 C１３A４４ ＝７２种,若乙是第一名,则获得的名次情况可能是 C１３A４４＝７２种,所以所有符合条件的可能是７２＋７２ ＝１４４种．故选 C． ７．C　[试题解析]如图,设 PF１ ＝m,PF２ ＝n,延长 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 新高考数学答案 —４９　 OQ 交PF２ 于A,由题意知OQ∥PF１,O 为F１F２ 的 中点,故A为PF２ 的中点,又PF１→􀅰PF２→＝０,即PF１⊥ PF２,则∠QAP＝ π ２ , 又由∠QPA＝π４ ,则△AQP 是等腰直角三角形,故 有 m＋n＝２a, m２＋n２＝４c２, b＋１２n＝ １ ２m , ì î í ïï ï 化 简 得 m－n＝２b, m＋n＝２a,{ 即 m＝a＋b, n＝a－b,{ 代 入 m ２ ＋n２ ＝ ４c２ 得 a＋b( )２ ＋ a－b( )２＝４c２,即a２＋b２＝２c２,由b２＝a２－c２ 所以 ２a２＝３c２,所以e２＝２３ ,e＝ ６３． 故选 C． ８．B　[试题解析]由题意可得f(x１)＝g x２( ) ,即x１＋ex１ ＝x２＋lnx２,所以x１＋ex１＝elnx２＋lnx２,又f′(x)＝１ ＋ex＞０,所以f(x)在 R 上单调递 增,即f(x１)＝ f lnx２( ) ,所 以 x１ ＝ lnx２, 且 x１－x２ ＝ lnx２－ex１ ＝ lnx２－x２ ,令h(x)＝lnx－x,x∈ ０,＋∞( ) ,则h′(x)＝１x －１＝ １－x x ,其中x＞０,令 h′(x)＝０,则x＝１,当x∈ ０,１( ) 时,h′(x)＞０,则 h(x)单调递 增,当 x∈ １,＋∞( ) 时,h′(x)＜０,则 h(x)单调递减,所以当x＝１时,h(x)有极大值,即 最大值,所以h(x)≤h(１)＝－１,h(x) ≥１,所以 x１－x２ min＝ lnx２－x２ min＝ －１ ＝１．故选B． ９．AB　[试题解析]根据线线、线面和面面之间的基本关 系,结合选项依次判断即可． 当m⊥β,m⊂α时,α⊥β;当n⊥α,n⊂β时,α⊥β,故 A正确;当m∥β,n∥α时,又 m,n为异面直线,所 以α∥β,故 B正确;当α⊥β时,由 m⊂α,得 m∥β 或m 与β相交;当α⊥β时,由n⊂β,得n∥α或n 与α相交,故 C错误;当α,β不平行时,可能 m∥β 或m 与β相交,n∥α或n 与α 相交,故 D错误．故 选 AB． １０．ACD　[试题解析]因 为 f(x)＝sinωx＋acosωx＝ a２＋１sin(ωx＋φ)(其中sinφ＝ a a２＋１ 、cosφ ＝ １ a２＋１ ),又f(x)max＝ a２＋１＝２,解得a ＝± ３,又f(０)＝a＞０,所以a＝ ３,故 A正确; 则f(x)＝sinωx＋ ３cosωx＝２sin ωx＋π３( ) ,又 f π４( )＝２sin πω ４＋ π ３( )＝１,即sin πω ４＋ π ３( )＝ １ ２ ,结合图象可知πω ４＋ π ３＝ ５π ６＋２kπ ,k∈Z,所以 ω＝２＋８k,k∈Z,又T２＞ π ４ ,所以 ２π ω＞ π ２ , ω＞０,{ 解得 ０＜ω＜４,所以ω＝２,故 C 正确;所以f(x)＝ ２sin ２x＋π３( ) ,则f x－ π ６( ) ＝２sin[２(x－ π ６ ) ＋ π ３ ] ＝２sin２x 为 奇 函 数,故 B 错 误; f(x)是周期函数,且最小正周期T＝２π２＝π ,故 D正确．故选 ACD． １１．ABD　[试题解析]由(x－t)２＋(y＋t)２＝２t２(t＞０),得 该圆心为(t,－t),半径为 ２t,易知该圆过原点, 由f(x)＝[x],当x∈[－３,３)时,得f(x)＝ －３,－３≤x＜－２, －２,－２≤x＜－１, －１,－１≤x＜０, ０,０≤x＜１, １,１≤x＜２, ２,２≤x＜３, ì î í ï ï ï ï ïï 作 出 函 数f(x)的 图 象, 如图, 由图可知,当０＜t＜ １２ 时,圆与函数f(x)的图 象有２个交点,当t＝１２ 时,圆与函数f(x)的图 象有１个交点,当１２＜t≤ ５ ２ 时,圆与函数f(x) 的图象有２个交点,当 ５２ ＜t≤ １３ ２ 时,圆与函数 f(x)的图象有４个交点,根据圆与函数f(x)的 对称性,后续交点情况类比即可．故选 ABD． １２．[试题解析]由题意知, x１＋x２＋x３ ３ ＝２ ,所以x１＋x２＋ x３＝６,由 (x１－２)２＋(x２－２)２＋(x３－２)２ ３ ＝１ ,得x２１＋ x２２＋x２３＝１５,所以 x２１＋x２２＋x２３ ３ ＝５． 故答案为:５． [参考答案]５ １３．[试题解析]由题过圆锥的轴以及内切球球心的截面图 如下, 设圆锥高为h,母线长为l,则在三角形SO１B 中有h２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 新高考数学答案 —５０　 ＋r２＝l２,即h２＋２＝l２①, 又由△SDO∽△SO１B 得 R r ＝ h－R l , 即l＝ ２ h－１( )②, 所以由①②得l＝３ ２,h＝４,所以圆锥的表面积为S＝ S底 ＋S侧 ＝πr２＋πrl＝２π＋６π＝８π． [参考答案]８π １４．[试题解析]如图所示,设双曲线的实轴长为２a,虚轴 长为２b,焦距为２c． 设△ABC的内心为I,过点I向三边作垂线,垂足分别 为 M,N,P． 根据三角形内心的性质可知,|AP|＝|AN|,|BP|＝ |BM|,|CM|＝|CN|,又因为双曲线 E 以B,C 为焦 点,且经过点A,所以||AC|－|AB||＝２a,即||AN| ＋|CN|－|AP|－|BP||＝||CN|－|BP||＝||CM| －|BM||＝２a,因为tanB２＝３tan C ２ ,所以B＞C,所以 |AC|＞|AB|,所 以 点 A 在 双 曲 线 的 左 支 上,所 以 |CM|－|BM|＝２a．而|CM|＋|BM|＝２c,所以|CM| ＝c＋a,|BM|＝c－a,所以 M 为双曲线的左顶点．所 以tanB２＝ |MI| |MB|＝ r c－a ,tanC２＝ |MI| |MC|＝ r c＋a ,所以 r c－a＝３ r c＋a ,即c a ＝２ ,所以b a ＝ ３ ,渐近线的倾斜角 为 π ３ ,所以两条渐近线的夹角为 π ３． 又因为tanA２ ＝ tanπ－ (B＋C) ２ ＝ １ tanB＋C２ ＝ １－tanB２tan C ２ tanB２＋tan C ２ ＝ １－３tan２ C２ ４tanC２ ＝ １ ４tanC２ － ３４tan C ２ ,所 以 tan A２ ＋ tanC２＝ １ ４tanC２ ＋ １４tan C ２ ,而tanC２ ∈ ０, ３ ３ æ è ç ö ø ÷,所 以 １ ４tanC２ ＋１４tan C ２＞ ３ ３． 故答案为:π ３ ; ３ ３ ,＋∞ æ è ç ö ø ÷． [参考答案]π ３　 ３ ３ ,＋∞ æ è ç ö ø ÷ １５．[解](１)证明:取BC的中点M,连结 MA、MA１． 因为AB＝AC,A１B＝A１C,所以BC⊥AM,BC⊥A１M, 由于AM,A１M⊂平面A１MA,且AM∩A１M＝M, 因此BC⊥平面A１MA, 因为A１A⊂平面A１MA,所以BC⊥A１A, 又因为A１A∥B１B,所以B１B⊥BC, 因为平面BB１C１C⊥平面 ABC,平面 BB１C１C∩平面 ABC＝BC,且 B１B⊂ 平 面 BB１C１C,所 以 B１B⊥ 平 面ABC, 因为A１A∥B１B,所以AA１⊥平面ABC． (２)因为∠BAC＝９０°,且BC＝２,所以AB＝AC＝ ２． 以AB,AC,AA１ 所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立 如图所示的空间直角坐标系A－xyz, 则A１ ０,０,２( ) ,B ２,０,０( ) ,C ０,２,０( ) ,C１ ０,２,２( )． 所以A１B→ ＝ ２,０,－２( ) ,A１C→ ＝ ０,２,－２( ) ,A１C１→ ＝ ０,２,０( )． 设平面A１BC的法向量为m＝ x１,y１,z１( ) , 则 m􀅰A１B→＝０, m􀅰A１C→＝０,{ 可得 ２x１－２z１＝０, ２y１－２z１＝０,{ 令z１＝１,则m＝ ２,２,１( ) , 设平面A１BC１ 的法向量为n＝ x２,y２,z２( ) , 则 n􀅰A１B→＝０, n􀅰A１C１→＝０,{ 可得 ２x２－２z２＝０, ２y２＝０,{ 令z２＝１,则n＝ ２,０,１( ) , 设平面A１BC与平面A１BC１ 夹角为θ, 则cosθ＝ m 􀅰n m n ＝ ３ ５× ３ ＝ １５５ , 所以平面A１BC与平面A１BC１ 夹角的余弦值为 １５ ５ ． １６．[解](１)因为f(x)＝ ax＋１( )ex, 所以f′(x)＝ ax＋a＋１( )ex, 因为f′(x)－f(x)＝２ex,所以a＝２． 则曲线y＝f(x)在点x＝０处的切线斜率为f′(０)＝３． 又因为f(０)＝１, 所以曲线y＝f(x)在点x＝０处的切线方程为y＝３x ＋１, 即得k＝３,b＝１． (２)设函数g(x)＝ ２x＋１( )ex－３x－１,x∈R, 则g′(x)＝ ２x＋３( )ex－３, 设h(x)＝g′(x),则h′(x)＝ex ２x＋５( ) , 所以当x＞－５２ 时,h′(x)＞０,g′(x)单调递增． 又因为g′(０)＝０, 所以x＞０时,g′(x)＞０,g(x)单调递增; －５２＜x＜０ 时,g′(x)＜０,g(x)单调递减． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 新高考数学答案 —５１　 又当x≤－５２ 时,g′(x)＝ ２x＋３( )ex－３＜０, 综上g(x)在 －∞,０( ) 上单调递减,在 ０,＋∞( ) 上单调 递增, 所以当x＝０时,g(x)取得最小值g(０)＝０, 即 ２x＋１( )ex－３x－１≥０, 所以当x∈R时,f(x)≥３x＋１． １７．[解](１)设甲工厂试生产的这批零件有 m 件,乙工厂 试生产的这批零件有n件, 事件 M＝“混合放在一起零件来自甲工厂”,事件 N＝ “混合放在一起零件来自乙工厂”,事件C＝“混合放在 一起的某一零件是合格品”, 则P M( )＝ mm＋n ,P N( )＝ nm＋n , P(C)＝P(C M)P(M)＋P(C N)P(N) ＝９４％× mm＋n＋９８％× n m＋n＝９７％ , 计算得３m＝n． 所以P M( )＝ mm＋n＝ １ ４． X 的可能取值为０,１,２,３,X~B ３,１４( ) , E(X)＝３×１４＝ ３ ４ , P X＝０( )＝C０３ １ ４( ) ０ ３ ４( ) ３ ＝２７６４ , P X＝１( )＝C１３ １ ４( ) １ ３ ４( ) ２ ＝２７６４ , P X＝２( )＝C２３ １ ４( ) ２ ３ ４( ) １ ＝９６４ , P X＝３( )＝C３３ １ ４( ) ３ ３ ４( ) ０ ＝１６４． 所以,X 的分布列为: X ０ １ ２ ３ P ２７６４ ２７ ６４ ９ ６４ １ ６４ (２)因为在甲工厂提高质量指标的条件下,该大型企业 把零件交给甲工厂生产的概率,大于在甲工厂不提高 质量指标的条件下,该大型企业把零件交给甲工厂生 产的概率, 所以P B A( ) ＞P B A( )． 即P(AB) P(A)＞ P(AB) P(A) ． 因为P(A)＞０,P(A)＞０, 所以P(AB)P(A)＞P(AB)P(A)． 因为P(A)＝１－P(A),P(AB)＝P(B)－P(AB), 所以P(AB)１－P(A)( ) ＞ P(B)－P(AB)( )P(A)． 即得P(AB)＞P(A)P(B), 所以P(AB)－P(AB)P(B)＞P(A)P(B)－P(AB)P(B)． 即P(AB)１－P(B)( ) ＞P(B)P(A)－P(AB)( )． 又因为１－P(B)＝P(B),P(A)－P(AB)＝P AB( ) , 所以P(AB)P(B)＞P(B)P AB( )． 因为０＜P(B)＜１,０＜P(B)＜１, 所以P(AB) P(B)＞ P AB( ) P(B) ． 即得证P A B( ) ＞P A B( )． １８．[解](１) 设点A x１,y１( ) ,B x２,y２( ) , 由题可知,当k＝０时,显然有kAM ＋kBM ＝０; 当k≠０ 时,直 线 OM 的 方 程 为 y ＝ － １kx ,点 M ２k,－２( )． 联立直线 AB 与C 的方程得x２－２pkx－４p＝０,Δ＝ ４p２k２＋１６p＞０, 所以x１＋x２＝２pk,x１x２＝－４p, 因为直线AM,AB,BM 的斜率成等差数列, 所以y１＋２ x１－２k ＋y２＋２x２－２k ＝２k． 即 kx１＋４ x１－２k ＋ kx２＋４ x２－２k ＝２k, kx１＋４( ) x２－２k( )＋ kx２＋４( ) x１－２k( ) x１－２k( ) x２－２k( ) ＝２k, 化简得２k２＋２( ) x１＋x２－４k( )＝０． 将x１＋x２＝２pk代入上式得２(k２＋２)(２pk－４k)＝０, 则p＝２, 所以曲线C的方程为x２＝４y． (２)设直线l′:y＝kx＋n,联立C的方程,得x２－４kx－ ４n＝０． 由Δ＝０,得n＝－k２,点 N ２k,k２( )． 所以直线 MN 与x 轴垂直． 记△AMN 的面积为S, 所以S＝１２× MN × x１－x２ ２ ＝１４× MN × x１＋x２ ( )２－４x１x２ ＝１４× k ２＋２ × ４k( )２－４× －８( ) ＝ k２＋２( ) ３ ２ ≥２ ２． 当k＝０时,等号成立．所以命题得证． １９．[解](１)根据题意,a１＝ ３×１＋１( )÷２÷２＝１, a２＝２÷２＝１,a３＝ ３×３＋１( )÷２＝５, a４＝４÷２÷２＝１,a５＝ ３×５＋１( )÷２４＝１, a６＝６÷２＝３,a７＝ ３×７＋１( )÷２＝１１． (２)由已知,m,n均为奇数,不妨设n≤m． 当n＝１时,因为a１＝１,所以m＝１,故m＝n＝１; 当n＞１时,因为３n＋１４ ＜n≤m ,而n为奇数,an＝m, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 新高考数学答案 —５２　 所以m＝３n＋１２ ． 又m 为奇数,am＝n, 所以存在k∈N∗ ,使得n＝３m＋１ ２k 为奇数． 所以２kn＝３m＋１＝３ ３n＋１ ( ) ２ ＋１＝ ９n＋５ ２ ． 而４n＜９n＋５２ ＜６n , 所以４n＜２kn＜６n,即４＜２k＜６,k∈N∗ ,无解． 所以m＝n＝１． (３)显然,n不能为偶数, 否则f(n)≤n２＜n ,不满足n＜f(n)． 所以,n为正奇数． 又f(１)＝a１＝１,所以n≥３． 设n＝４k＋１或n＝４k－１,k∈N∗ ． 当n＝４k＋１时,f(n)＝３ ４k＋１ ( )＋１ ４ ＝３k＋１＜４k＋１ ＝n,不满足n＜f(n); 当n＝４k－１时,f(n)＝３ ４k－１ ( )＋１ ２ ＝６k－１＞４k－１ ＝n,即n＜f(n)． 所以,取n＝２２０２５k－１,k∈N∗ 时, ３ ２２０２５k－１( )＋１ ２ ＝３×２ ２０２４k－１＜f f(n)( ) ＝３ ３×２ ２０２４k－１( )＋１ ２ ＝３ ２×２２０２３k－１ ＜ 􀆺 ＜f(f(􀆺f(n)􀆺))􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁􀪁 􀪁􀪁􀪁 ２０２３个f ＝３ ３ ２０２２×２３k－１( )＋１ ２ ＝ ３２０２３×２２k－１ ＜f(f(􀆺f(n)􀆺))􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁􀪁 􀪁􀪁􀪁 ２０２４个f ＝３ ３ ２０２３×２２k－１( )＋１ ２ ＝３ ２０２４ × ２k－１ 即n＜f(n)＜f f(n)( ) ＜􀆺＜f(f(􀆺f(n)􀆺))􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁􀪁 􀪁􀪁􀪁 ２０２４个f ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀃊􀁉􀁖２０２５名校高考全真模拟试题(十四) １．B　[试题解析]因为１－iz ＝i,所以z＝ １－i i ＝ １－i( )i i２ ＝ i＋１ －１＝ －１－i ,所 以 z＝ －１＋i,所 以 z ＝ －１( )２＋１２＝ ２．故选B． ２．C　[试题解析]因为A＝ x |x|＜１{ },所以A＝{x|－ １＜x＜１},因 为 B＝ y|y＝ex{ },所 以 B＝{y|y＞ ０},所以A∩B＝ ０,１( )．故选 C． ３．C　[试题解析]如图所示,当该椭 圆的长轴垂直于母线时,此时 椭圆的长轴取得最小值,且最 小值为边长为２的正三角形的 高,即２a＝AB＝ ３．故选 C． ４．B　[试题解析]由 ３sin２αcosα＋ ２sinαcos２α＝ ０ 可 得 ６sinα cos２α ＋ ２sinα ２cos２α－１( )＝０,则５sinαcos２α－sinα＝０,因为α ∈ ０,π２( ) ,所以sinα≠０,所以cos ２α＝１５ ,因为α∈ ０,π２( ) ,所以cosα＝ ５ ５ ,sinα＝２ ５５ ,所 以tanα＝ sinα cosα＝２． 故选B． ５．C　[试题解析]如图所示, 过C 作BD 的 平 行 线 交圆C 于点P,过P 作 PH⊥BD,垂 足 为 H, 在平 行 四 边 形 ABCD 中,AB＝２,BC＝４,B ＝２π３ ,可得A＝ π３ ,AD ＝BC＝４,则由 余 弦 定 理可得BD＝ ４＋１６－２×２×４×１２＝２ ３ ,由AB２ ＋BD２＝AD２,可得 AB⊥BD,则四边形 DCPH 为 正 方 形,则 DH ＝CP ＝CD ＝２,因 为 BD→ 􀅰 CP→－CB→( )＝BD→􀅰BP→,则BD→􀅰BP→的最小值为BD 􀅰BH ＝２ ３× ２ ３－２( ) ＝１２－４ ３,即BD→ 􀅰 CP→－CB→( ) 的最小值为１２－４ ３,故C正确.故选C． ６．D　[试题解析]骰子向上的点数为偶数的概率p＝１２ , 故ξ~B ２５００, １ ２( ) ,显然np＝n １－p( ) ＝２５００× １ ２＞５ ,其 中np＝１２５０,np １－p( ) ＝６２５,故η~ N １２５０,２５２( ) ,则μ＋２σ＝１２５０＋５０＝１３００,由正 态分布的对称性可知,估算骰子向上的点数为偶数 的次数少于１３００的概率为０．５＋１２×０．９５４５≈０． ９７７３．故选 D． ７．A　[试题解析]因 为 F１A→＋F１F２→( ) 􀅰AF２→＝０,所 以 F１A→＋F１F２→( ) 􀅰 F１F２→－F１A→( ) ＝F１F２→２ －F１A→２ ＝０,则 F１A→ ＝ F１F２→ ,故 AF１ ＝ F１F２ ＝ ２c,由椭圆的定义知,AF２ ＝２a－２c,设∠AF１F２ ＝θ ０＜θ＜π( ) ,则tanθ＝－３ ７,故 π２＜θ＜π ,所以 sinθ cosθ＝－３ ７ , sin２θ＋cos２θ＝１,{ 解得cosθ＝－ １ ８ (正值舍去),所 以sinθ２＝ １－cosθ ２ ＝ ３ ４ ,如图,作F１M⊥AF２,M 为 垂 足,由 AF１ ＝ F１F２ ,得 M 为 AF２ 的 中点, 所以 MF２ ＝ １ ２ AF２ ＝a－c ,则 sin θ２ ＝ MF２ F１F２ ＝a－c２c ＝ ３ ４ ,故e＝ca ＝ ２ ５． 故选 A． ８．D　[试题解析]因为f(x)＝x２ １－ ２ ex＋１( ) 的定义域为 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 卷１３ ２０２５名校高考全真模拟试题(十三) 数学 本试卷满分１５０分,考试时间１２０分钟． 一、选择题:本题共８小题,每小题５分,共４０分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． １．(２０２４􀅰湖北省荆门市三校高三三模联考)已知n为正整数,且n２＞２n,则 (　　) A．n＝１ B．n＝２ C．n＝３ D．n≥４ ２．(２０２４􀅰山西省运城市高三调研测试)已知正方体ABCD－A１B１C１D１,过点A 且以DB１→为法向量的平面为 α,则α截该正方体所得截面的形状为 (　　) A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 ３．(２０２４􀅰山东省威海市高三高考模拟)对于任意集合M,N,下列关系正确的是 (　　) A．M∪(∁M∪NN)＝M∪N B．∁M∪N M∩N( )＝ ∁M∪NM( )∪ ∁M∪NN( ) C．M∩(∁M∪NN)＝M∩N D．∁M∪N(M∩N)＝ ∁M∪NM( )∩ ∁M∪NN( ) ４．(２０２４􀅰重庆一中校考模拟)已知a＞０,且a≠１,则函数y＝loga x＋ １ a æ è ç ö ø ÷的图象一定经过 (　　) A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 ５．(２０２４􀅰贵州省贵阳市高三三模)已知z＝ ２１＋i ,其中i为虚数单位,则z􀅰 z－１( )＝ (　　) A．１＋i B．１－i C．－１＋i D．－１－i ６．(２０２４􀅰东北三省四市高三模拟)已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名(无并列情况),其中甲或乙是 第一名,丙不是前三名,则这六名同学获得的名次情况可能有 (　　) A．７２种 B．９６种 C．１４４种 D．２８８种 ７．(２０２４􀅰安徽省蚌埠市高三教学质量检查)P 是椭圆C:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)上一点,F１,F２ 是C 的两个焦 点,PF１→􀅰PF２→＝０,点Q 在∠F１PF２ 的平分线上,O为原点,OQ∥PF１,且 OQ ＝b,则C的离心率为 (　　) A．１２ B． ３ ３ C．６３ D． ３ ２ ８．(２０２４􀅰河北省石家庄市部分学校高三联考)设函数f(x)＝x＋ex,g(x)＝x＋lnx,若存在x１,x２,使得 fx１( )＝gx２( ),则 x１－x２ 的最小值为 (　　) A．１e B．１ C．２ D．e 二、选择题:本题共３小题,每小题６分,共１８分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选 对的得６分,部分选对的得部分分,有选错的得０分． ９．(２０２４􀅰深圳外国语学校校考)已知m,n是异面直线,m⊂α,n⊂β,那么 (　　) A．当m⊥β,或n⊥α时,α⊥β B．当m∥β,且n∥α时,α∥β C．当α⊥β时,m⊥β,或n⊥α D．当α,β不平行时,m与β不平行,且n与α不平行 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 卷１３ １０．(２０２４􀅰山东省济南市高三三模)已知函数f(x)＝sinωx＋acosωx(x∈R,ω＞０)的最大值为２,其部分图象 如图所示,则 (　　) A．a＝ ３ B．函数fx－π６ æ è ç ö ø ÷为偶函数 C．满足条件的正实数ω,存在且唯一 D．f(x)是周期函数,且最小正周期为π １１．(２０２４􀅰河南省济源高中高三联考)设函数f(x)＝ x[ ]的函数值表示不超过x 的最大整数,则在同一个直 角坐标系中,函数y＝f(x)的图象与圆 x－t( )２＋ y＋t( )２＝２t２(t＞０)的公共点个数可以是 (　　) A．１个 B．２个 C．３个 D．４个 三、填空题:本题共３小题,每小题５分,共１５分． １２．(２０２４􀅰河北高三校联考模拟)已知样本x１,x２,x３ 的平均数为２,方差为１,则x２１,x２２,x２３ 的平均数 为　　　　． １３．(２０２４􀅰天津一中校考)已知圆锥的内切球半径为１,底面半径为 ２,则该圆锥的表面积为　　　　． 注:在圆锥内部,且与底面和各母线均有且只有一个公共点的球,称为圆锥的内切球． １４．(２０２４􀅰辽宁省沈阳市二中高三模拟)已知△ABC中,tanB２＝３tan C ２ ,双曲线E 以B,C为焦点,且经过点 A,则E 的两条渐近线的夹角为　　　　;tanA２＋tan C ２ 的取值范围为　　　　． 四、解答题:本题共５小题,共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． １５．(１３分)(２０２４􀅰山西省阳泉市高三三模)如图,三棱柱ABC－A１B１C１ 中,侧面BB１C１C⊥底面ABC,且 AB＝AC,A１B＝A１C． (１)证明:AA１⊥平面ABC; (２)若AA１＝BC＝２,∠BAC＝９０°,求平面A１BC与平面A１BC１ 夹角的余弦值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 卷１３ １６．(１５分)(２０２４􀅰山东省济宁市三模)已知函数f(x)＝ ax＋１( )ex,f′(x)是f(x)的导函数,且f′(x)－f(x) ＝２ex． (１)若曲线y＝f(x)在x＝０处的切线为y＝kx＋b,求k,b的值; (２)在(１)的条件下,证明:f(x)≥kx＋b． １７．(１５分)(２０２４􀅰新疆维吾尔自治区高考适应性检测)某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙 工厂生产．经过调研和试生产,质检人员抽样发现:甲工厂试生产的一批零件的合格品率为９４％;乙工厂 试生产的另一批零件的合格品率为９８％;若将这两批零件混合放在一起,则合格品率为９７％． (１)从混合放在一起的零件中随机抽取３个,用频率估计概率,记这３个零件中来自甲工厂的个数为X,求 X 的分布列和数学期望; (２)为了争取获得该零件的生产订单,甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标 的条件下,该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率,大于在甲工厂不提高质量指标的条件下,该大型企 业把零件交给甲工厂生产的概率．设事件A＝“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”,事件B＝“该大型企业把 零件交给甲工厂生产”．已知０＜P(B)＜１,证明:P A B( )＞P A B( )． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 卷１３ １８．(１７分)(２０２４􀅰湖北省华中师大附中高三压轴卷)设抛物线C:x２＝２py(p＞０),直线l:y＝kx＋２交C 于 A,B 两点．过原点O作l的垂线,交直线y＝－２于点 M．对任意k∈R,直线AM,AB,BM 的斜率成等差 数列． (１)求C的方程; (２)若直线l′∥l,且l′与C 相切于点N,证明:△AMN 的面积不小于２ ２． １９．(１７分)(２０２４􀅰四川省成都市第七中学高三检测)无穷数列a１,a２,􀆺,an,􀆺的定义如下:如果n是偶数, 就对n尽可能多次地除以２,直到得出一个奇数,这个奇数就是an ﹔如果n 是奇数,就对３n＋１尽可能多 次地除以２,直到得出一个奇数,这个奇数就是an． (１)写出这个数列的前７项; (２)如果an＝m 且am＝n,求m,n的值; (３)记an＝f(n),n∈N∗,求一个正整数n,满足n＜f(n)＜ff(n)( )＜􀆺＜ff 􀆺f(n)􀆺( )( )􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁􀪁􀪁 􀪁􀪁􀪁􀪁 ２０２４个f ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋