2025名校高考全真模拟试题(十二)-【师大金卷】2025年高考数学复习冲刺全真模拟试卷精选必刷题（新高考）

新高考数学答案 —４４　 即实数m 的取值范围为 ０,１e( )． (２)证明:由(１)可知x１＜－１＜x２＜０＜x３, 又f(０)＝０,f(１)＝e＞１e , 且f(x)在 ０,＋∞( ) 上单调递增, 所以∃x０∈ ０,１( ) ,使得f x０( )＝ １ e , 所以x３∈ ０,x０( ) ,由ex１ －x１( )＝ex３􀅰x３＝m, 所以ex３－x１＝－ x１ x３ ,即x３－x１＝ln － x１ x３ , 令t＝－x１x３ ,则t∈ １x０ ,＋∞( ) , 所以x３＝ lnt １＋t ,t∈ １x０ ,＋∞( ) , 令ht( )＝lnt１＋t ,t∈ １x０ ,＋∞( ) , 则h′t( )＝１＋t－tlnt t １＋t( )２ , 令gt( )＝１＋t－tlnt,t＞１x０ ＞１, 所以g′t( )＝－lnt＜０, 即gt( ) 在 １x０ ,＋∞( ) 上单调递减, 所以gt( ) ＜g １x０( )＝１＋ １ x０ －１x０ ln１x０ ＝ x０＋１＋lnx０ x０ , 又x０ex０＝ １ e ,即x０＋lnx０＝－１, 所以g １x０( )＝ x０＋１＋lnx０ x０ ＝０, 即gt( ) ＜０,所以h′t( ) ＜０, 所以ht( ) 在 １x０ ,＋∞( ) 上单调递减, 即x３ 随着t的增大而减小． １９．[解](１)若xi＋１－xi i＝１,２,３,４( ) 等于同一常数, 根据等差数列的定义可得 xi{ }构成等差数列, 所以x１＋x２＋x３＋x４＋x５＝５x３＝２０２４, 解得x３＝ ２０２４ ５ ,与x３∈N∗ 矛盾, 所以不存在一组解 x１,x２,x３,x４,x５( ) , 使得xi＋１－xi i＝１,２,３,４( ) 等于同一常数． (２)因 为 x＝ １５ x１＋x２＋x３＋x４＋x５ ( ) ＝２０２４５ ＝ ４０４．８, 依题意t＝１时,即当１≤i,j≤５时,max(xi－xj)＝１, 所以 max xi{ }＝４０５,min xj{ }＝４０４, 设有y个４０５,则有５－y个４０４, 由４０５y＋４０４ ５－y( )＝２０２４,解得y＝４, 所以x１,x２,x３,x４,x５ 中有４个４０５,１个４０４, 所以方程①的解共有５组． (３)因 为 平 均 数 x＝ １５ x１＋x２＋x３＋x４＋x５ ( ) ＝ ２０２４ ５ ＝４０４．８ , 又方差σ２ ＝ １５∑ ５ i＝１ xi－x( )２, 即５σ２ ＝ ∑ ５ i＝１ xi－x( )２ ＝ ∑ ５ i＝１ x２i －５x２, 所以S＝５σ２＋５x２,因为x为常数,所以当方差σ２ 取最 小值时S取最小值, 又当t＝０时x１ ＝x２ ＝x３ ＝x４ ＝x５, 即５x１ ＝２０２４,方程无正整数解,故舍去; 当t＝１时,即 x１,x２,x３,x４,x５( ) 是１－密集时,S取得 最小值,且Smin ＝４×４０５２ ＋４０４２ ＝８１９３１６． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀃊􀁉􀁔２０２５名校高考全真模拟试题(十二) １．A　[试题解析]观察韦恩图知,阴影部分在集合A 中,不 在集合B中,所以所求集合为A∩(∁UB)．故选 A． ２．C　[试题解析]由已知得:z＝ １＋i １－i( )２ ＝１＋i－２i＝ １＋i( )i －２i２ ＝－１２＋ １ ２i ,所以|z|＝ －１２( ) ２ ＋ １２( ) ２ ＝ ２２． 故选 C． ３．A　[试题解析]设等比数列 an{ } 的公比为q,由S３＝a２ ＋５a１,得:a１ ＋a２ ＋a３ ＝a２ ＋５a１,即:a３ ＝４a１ ＝ a１q２,所以q２＝４,又a５＝４,所以a１q４＝a１ (q２)２＝a１ ×４２＝４,所以a１＝ １ ４． 故选 A． ４．B　[试题解析]设火星的公转周期为 T１,长半轴长为 a１,水星的公转周期为 T２,长半轴长为a２,则 T１＝ ８T２,且 T１＝ ２π GM a ３ ２１ ①, T２＝ ２π GM a ３ ２２ ②, ì î í ïï ï ① ② 得:T１ T２ ＝( a１ a２ ) ３ ２ ＝８, 所以 a１ a２ ＝４,即a１＝４a２．故选B． ５．D　[试题解析]说法②可得ω＝１,说法③可得T２＝ π ２ , 则T＝π＝２πω ,则ω＝２,②和③相互矛盾;当①②④ 成立时,由题意A＝３,ω＝１,π３ ＋φ＝２kπ＋ π ２ ,k∈ Z．因 为φ∈ ０, π ２( ) ,故k＝０,φ＝ π ６ ,即f(x)＝ ３sin x＋π６( ) ,f π ２( ) ＝ ３ ３ ２ ;说法①③④成立时, 由题意A＝３,ω＝２,２π３＋φ＝２kπ＋ π ２ ,k∈Z,则φ＝ ２kπ－π６∉ ０ ,π ２( ) ,故不合题意．故选 D． ６．D　[试题解析]由 题 意 A １,０( ) ,圆 心 M １,２( ) ,M １,２( ) 到直线x－ ３y＋２ ３＝０距离为 １２ ,所以| BC|＝２ ４－１４＝ １５ ,直线x－ ３y＋２ ３＝０的 斜率为 ３ ３ ,则其倾斜角为 π ６ ,则OA→与BC→的夹角为 π ６ ,所以OA→􀅰BC→＝|OA→||BC→|cos‹OA→,BC→›＝１× １５× ３２＝ ３ ５ ２ ． 故选 D． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 新高考数学答案 —４５　 ７．B　[试题解析]因 为PM→􀅰PN→＝０,故 P 点 轨 迹 为 以 MN 为直径的球,如图,易知 MN 中点即为正方体 中心O,球心在每个面上的射影 为 面 的 中 心,设 O 在底面ABCD 上的射影为O１,又正方体的棱长为 ２a,所以 MN＝２ ２a,易知OO１＝a,O１M＝a,又动 点P 在正方体的表面上运动,所以点P 的轨迹是六 个半 径 为a 的 圆,轨 迹 长 度 为 ６×２πa＝１２πa,故 选B． ８．C　[试题解析]∵f(x)＝xex ,∴f′(x)＝１－xex ,根据导数 易知f(x)在 －∞,１( ) 上单调递增,在 １,＋∞( ) 上 单调递减;由 题 意 令 f(x)＝f x＋ln２( ) ,即 xex ＝ x＋ln２ ex＋ln２ ,解得x＝ln２;作出图象: 则 min f(x),f x＋ln２( ){ }的最大值为两函数图象 交点处函数值,为ln２ ２ ． 故选 C． ９．ACD　[试题解析]∵１２x ＝３,∴x＝log１２３,同 理y＝ log１２４,∵y＝log１２x 在(０,＋∞)上时递增,故y ＞x,故 A正确;∵x＋y＝log１２１２＝１,∴B错误; ∵x＞０,y＞０,∴xy≤ x＋y２( ) ２ ＝１４ ,当且仅当 x＝y时等号成立,而x＜y,故xy＜ １４ ,∴C正 确;∵ x＋ y( ) ２＝x＋y＋２ xy＝１＋２ xy ＜２,即 x＋ y＜ ２,∴D正确．故选 ACD． １０．BC　[试题解析]P A１A２( ) ＝ ２ ３ × ２ ３ ＝ ４ ９ ,故 A 错 误;P A２( ) ＝ ２ ３ × ２ ３ ＋ １ ３ × １ ３ ＝ ５ ９ ,故 P A１|A２( ) ＝ P A１A２( ) P A２( ) ＝ ４５ ,故 B 正 确; P A１＋A２( )＝P A１( ) ＋P A２( ) －P(A１A２)＝ ２ ３＋ ５ ９－ ４ ９＝ ７ ９ ,故 C正确;由题意:P An( ) ＝ ２ ３P An－１ ( )＋１３ １－P An－１ ( )[ ] ,所以P An( ) － １ ２＝ １ ３ P An－１ ( )－１２[ ] ,P A１( ) ＝ ２ ３ ,P A１( ) －１２＝ ２ ３ － １ ２ ＝ １ ６ ,所以 P An( ) － １ ２ ＝ １ ６ × １ ３( ) n－１ ＝ １２ × １ ３( ) n ,所 以 P An( ) ＝ １ ２ 􀅰 １＋１ ３n( ) ,则P A１０( ) ＝ １ ２ 􀅰 １＋ １ ３１０( ) ,故 D 错 误．故选BC． １１．ACD　[试题解析]由题意得F ０,１( ) ,准线方程为y＝ －１,直线l１ 的斜率存在,故设直线l１ 的方程为 y＝kx＋１,联 立x２＝４y,得x２－４kx－４＝０, x１x２＝－４,故y１y２＝ １ １６x ２ １x２２＝１,故 A 正确;y′ ＝１２x ,直线l２ 的斜率为 １ ２x２ ,故直线l３ 的方 程为y－y１＝ x２ ２ x－x１ ( ) ,即y＝ x２ ２x＋y１＋２ , 联立x２＝４y,得x２－２x２x－４ y１＋２( ) ＝０,故 x１＋x３＝２x２,故 B错误;由直线l３ 的方程y－ y１＝ x２ ２ x－x１ ( ) ,令x＝０得y＝ x２ ２ －x１ ( ) ＋ y１,又 x１x２ ＝ －４,所 以 y ＝y１ ＋２,故 D ０,y１＋２( ) ,故 DF ＝y１＋１,又由焦半径公 式得 AF ＝y１＋１,故 C正确;不妨设x１＜x２, 过B 向l３ 作平行于y轴的直线交l３ 于 M, 根 据 B 选 项 知,x１ ＋x３ ＝２x２,故 S△ABC ＝ ２S△ABM ,根 据 直 线l３ 的 方 程y－y１＝ x２ ２ (x－ x１),当x＝x２ 时,y＝ x２ ２ x２－x１ ( ) ＋y１＝ x２２ ２＋ y１－ x１x２ ２ ＝ x２２ ２＋y１＋２ , 故 M x２, x２２ ２＋y１＋２( ) ,故 BM ＝ x２２ ２ ＋y１＋２ －y２ ＝ x２２ ２ ＋ x２１ ４ － x２２ ４ ＋２＝ x２１ ４ ＋ １６ ４x２１ ＋２＝ １ ４ x１＋ ４ x１( ) ２ , 故S△ABM ＝ １ ２ x１－x２ ( ) 􀅰１ ４ 􀅰 x１＋ ４ x１( ) ２ ＝ １８ x１＋ ４ x１( ) 􀅰 x１＋ ４ x１( ) ２ ＝ １８ x１＋ ４ x１( ) ３ ≥ １８ ２ x１􀅰 ４ x１ æ è ç ö ø ÷ ３ ＝ ８,当且仅当x１＝ ４ x１ ,即x１＝－２时,等号成立, 故△ABC 的 面 积 最 小 值 为 １６,故 D 正 确．故 选 ACD． １２．[试题解析]展开式的通项为Tk＋１＝Ck６x６－k － １ x２( ) k ＝ (－１)kCk６x６－３k,令６－３k＝０,解得k＝２,所以常数项为 T３＝C２６＝１５． [参考答案]１５ １３．[试 题 解 析]直 线 EF 与 渐 近 线 方 程 联 立 得 y＝bax , y＝－ab x－c ( ) , ì î í ïï ï 解得xE＝ a２ c ,yE＝ ab c ,∴EF 中点 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 新高考数学答案 —４６　 M 的坐标为 a ２＋c２ ２c ,ab ２c( ) ,又 M 点在双曲线上,代入 其标准方程,得 a ２＋c２( )２ ４a２c２ －a ２ ４c２ ＝１,化简得c２＝２a２, ∴e２＝２,e＝ ２． [参考答案]２ １４．[试题解析]由题可知sinα－sinβ＝－cosα＋cosβ,所以 sinα＋cosα＝sinβ＋cosβ,所 以 ２sin α＋ π ４( ) ＝ ２sinβ＋ π ４( ) ,因 为α,β∈ ０, π ２( ) ,所 以α＋ π ４ ∈ π ４ ,３π ４( ) ,β＋ π ４∈ π ４ ,３π ４( ) ,又α≠β,所以a＋ π ４＋β ＋π４＝π ,故α＋β＝ π ２ ,所以sinα－sinβ＝sinα－cosα＝ －１２ ,两边平方后得sin２α－２sinαcosα＋cos２α＝ １４ ,故 sinαcosα＝３８ ,tanα＋tanβ＝tanα＋ １ tanα＝ sinα cosα＋ cosα sinα＝ １ sinαcosα＝ ８ ３． [参考答案]８ ３ １５．[解](１)在△ABC中,A＋B＋C＝π, 所以sinC＝sin A＋B( )． 因为sin B－A( )＋ ２sinA＝sinC, 所以sin B－A( )＋ ２sinA＝sin A＋B( ) , 即 sinBcosA － cosBsinA ＋ ２sinA ＝ sinBcosA ＋cosBsinA 化简得 ２sinA＝２cosBsinA． 因为A∈ ０,π( ) ,所以sinA≠０,cosB＝ ２２． 因为０＜B＜π,所以B＝π４． (２)设BC＝x,则CM＝２x,BM＝３x． 因为∠CAM＝π４＝B ,所以△ACM∽△BAM, 因此AM BM＝ CM AM , 所以AM２＝BM􀅰CM＝６x２,AM＝ ６x． 在△ABM 中,由正弦定理得 BMsin∠BAM＝ AM sinB , 即 ３x sin∠BAM＝ ６x ２ ２ ,化简得sin∠BAM＝ ３２． 因为∠BAM∈ ０,３π４( ) , 所以∠BAM＝π３ 或２π ３ ,∠BAC＝∠BAM－π４ , 故∠BAC＝π１２ 或５π １２． １６．[解](１)证明:取AA１ 的中点 M,连接 MP,MB． 在四棱台ABCD－A１B１C１D１ 中, 四边形A１ADD１ 是梯形,A１D１＝２,AD＝４, 又点 M,P 分别是棱A１A,D１D 的中点, 所以 MP∥AD,且 MP＝A１D１＋AD２ ＝３． 在正方形ABCD 中,BC∥AD,BC＝４, 又BQ＝３QC,所以BQ＝３． 从而 MP∥BQ且MP＝BQ, 所以四边形BMPQ是平行四边形,所以PQ∥MB． 又因为 MB⊂平面ABB１A１,PQ⊄平面ABB１A１, 所以PQ∥平面ABB１A１． (２)在平面AA１D１D 中,作A１O⊥AD 于O． 因为平面AA１D１D⊥平面ABCD,平面AA１D１D∩平 面ABCD＝AD,A１O⊥AD,A１O⊂平面AA１D１D, 所以A１O⊥平面ABCD． 在正方形ABCD 中,过O 作AB 的平行线交BC 于点 N,则ON⊥OD． 以 ON→,OD→,OA１→{ }为正交基底,建立空间直角坐标系O －xyz． 因为四边形AA１D１D 是等腰梯形,A１D１＝２,AD＝４, 所以AO＝１,又A１A＝D１D＝ １７,所以A１O＝４． 易得B ４,－１,０( ) ,D ０,３,０( ) ,C ４,３,０( ) ,D１ (０,２, ４),P ０,５２ ,２( ) ,所 以 DC→ ＝ ４,０,０( ) ,DP→ ＝ ０,－１２ ,２( ) ,CB→＝ ０,－４,０( )． 设CQ→＝λCB→＝ ０,－４λ,０( ) ０≤λ≤１( ) , 所以DQ→＝DC→＋CQ→＝ ４,－４λ,０( )． 设平面PDQ的法向量为m＝ x,y,z( ) , 由 m􀅰DP →＝０, m􀅰DQ→＝０,{ 得 －１２y＋２z＝０ , ４x－４λy＝０,{ 取m＝ ４λ,４,１( ) , 另取平面DCQ的一个法向量为n＝ ０,０,１( )． 设二面角P－QD－C的平面角为θ, 由题意得 cosθ ＝ １－sin２θ＝ １ ２６ ． 又 cosθ ＝ cos‹m,n› ＝ m 􀅰n m 􀅰 n ＝ １ ４λ( )２＋１７ , 所以 １ ４λ( )２＋１７ ＝ １ ２６ , 解得λ＝±３４ (舍负),因此CQ＝３４×４＝３ ,BQ＝１． 所以当二面角 P－QD－C 的正弦值为５ ２６２６ 时,BQ 的长为１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 新高考数学答案 —４７　 １７．[解](１)记电压“不超过２００V”、“在２００V~２４０V 之 间”、“超过２４０V”分别为事件A,B,C,“该机器生产的 零件为不合格品”为事件D． 因为U~N ２２０,２０２( ) ,所以 P(A)＝P U≤２００( ) ＝ １－P μ－σ＜Z＜μ＋σ( ) ２ ＝ １－０．６８ ２ ＝０．１６ , P(B)＝P ２００＜U＜２４０( ) ＝P μ－σ＜Z＜μ＋σ( ) ＝ ０．６８, P C( ) ＝ P U＞２４０( ) ＝ １－P μ－σ＜Z＜μ＋σ ( ) ２ ＝ １－０．６８ ２ ＝０．１６． 所以 P D( ) ＝P(A)P D|A( ) ＋P(B)P D|B( ) ＋ P C( )P D|C( )＝０．１６×０．１５＋０．６８×０．０５＋０．１６× ０．２＝０．０９, 所以该机器生产的零件为不合格品的概率为０．０９． (２)从该机器生产的零件中随机抽取n件,设不合格品 件数为X,则X~B n,０．０９( ) , 所以pn＝P X＝２( )＝C２n􀅰０．９１n－２􀅰０．０９２． 由pn＋１ pn ＝ C２n＋１􀅰０．９１n－１􀅰０．０９２ C２n􀅰０．９１n－２􀅰０．０９２ ＝n＋１n－１×０．９１＞１ , 解得２≤n＜１９１９ ． 所以当２≤n≤２１时,pn＜pn＋１; 当n≥２２时,pn＞pn＋１;所以p２２最大． 因此当n＝２２时,pn 最大． １８．[解](１)由右焦点为F １,０( ) ,得c＝１, 因为 AM ＝a AF ,所以 ４－a ＝a a－１( ) , 若a≥４,则a－４＝a a－１( ) ,得a２－２a＋４＝０,无解, 若a＜４,则４－a＝a a－１( ) ,得a２＝４,所以b２＝３, 因此C的方程x ２ ４＋ y２ ３＝１． (２)设 B ４,t( ) ,易 知 过 B 且 与C 相 切 的 直 线 斜 率 存在, 设为y－t＝k x－４( ) , 联立 y－t＝k x－４( ) , x２ ４＋ y２ ３＝１ ,{ 消去y得 ３＋４k２( )x２＋８k t－４k( )x＋４ t－４k( )２－ １２＝０, 由Δ＝６４k２ t－４k( )２－４(３＋４k２)[４(t－４k)２－１２]＝ ０,得１２k２－８tk＋t２－３＝０, 设两条切线BP,BQ的斜率分别为k１,k２, 则k１＋k２＝ ８t １２＝ ２t ３ ,k１k２＝ t２－３ １２ ． ①设BF的斜率为k３,则k３＝ t ４－１＝ t ３ , 因为k１＋k２＝ ２t ３＝２k３ , 所以BP,BF,BQ的斜率成等差数列． ②在y－t＝k１ x－４( ) 中,令x＝０,得yP＝t－４k１, 所以P ０,t－４k１( ) , 同理,得Q ０,t－４k２( ) , 所以PQ的中垂线为y＝t－２k１＋k２( ) , 易得BP 中点为 ２,t－２k１( ) , 所以BP 的中垂线为y＝－１k１ x－２( )＋t－２k１, 联立 y＝t－２(k１＋k２), y＝－１k１ (x－２)＋t－２k１,{ 解得 N ２k１k２＋２,t－２k１＋k２( )( ) , 所以NP→＝ －２k１k２－２,２k２－２k１( ) , NQ→＝ －２k１k２－２,２k１－２k２( ) , 要使NP→􀅰NQ→＝０, 即４ k１k２＋１( )２－４ k１－k２( )２＝０, 整理得 k１k２＋１ ＝ k１－k２ , 而 k１－k２ ＝ k１＋k２( )２－４k１k２ ＝ ２t３( ) ２ －４􀅰t ２－３ １２ ＝ t２＋９ ３ , 所以 t ２－３ １２ ＋１ ＝ t２＋９ ３ ,解得t２＝７,t＝± ７, 因此 BM ＝ ７, 故存在符合题意的点B,使得NP→􀅰NQ→＝０, 此时 BM ＝ ７． １９．[解](１)因为a＝２, 所以f(x)＝２xsinx＋cos２x－１＝２ x－sinx( )sinx, ０＜x＜π４ ,２sinx＞０． 设g(x)＝x－sinx,０＜x＜π４ , 则g′(x)＝１－cosx＞０,所以g(x)在 ０,π４( ) 上单调 递增, 所以g(x)＞g(０)＝０,因此f(x)＞０． (２)函数f(x)＝axsinx＋cosax－１,０＜x＜π４ , f′(x)＝a sinx＋xcosx－sinax( ) , 当０＜a≤２时, 注意到０＜ax≤２x＜π２ ,故sinax≤sin２x, 因此f′(x)≥a sinx＋xcosx－sin２x( ) ＝a sinx １－cosx( )＋ x－sinx( )cosx[ ] , 由(１)得x－sinx＞０,因此f′(x)＞０, 所以f(x)在 ０,π４( ) 上单调递增, 从而f(x)＞f(０)＝０,满足题意; 当a＞２ 时,令 h(x)＝f′(x)＝a(sinx＋xcosx－ sinax), h′(x)＝a ２cosx－xsinx－acosax( ) ＜a ２－acosax( ) ＝a２ ２a－cosax( ) , 因为０＜ ２a ＜１ ,所以存在aθ∈ ０,π２( ) ,使得cosaθ ＝２a , 则当x∈(０,θ)时,ax∈(０,aθ),h′(x)＜a２ ２a－ ２ a( )＝ ０,所以f′(x)在 ０,θ( ) 上单调递减, 从而f′(x)＜f′(０)＝０,所以f(x)在 ０,θ( ) 上单调递 减,因此f θ( ) ＜f(０)＝０,不合题意; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 新高考数学答案 —４８　 综上,０＜a≤２． (３)由(１)可知a＝２时,cos２x＞１－２xsinx＞１－２x, ∴cos π２k k＋１( ) ＞１－ π ２k k＋１( ) ＝１－ π２ １ k － １ k＋１( ) , n＝１时,∑ n k＝１ cos π２k k＋１( ) ＝ ２ ２ ,n＝２时, ∑ n k＝１ cos π２k k＋１( ) ＝ ２ ２ ＋ ６＋ ２ ４ ＝ ３ ２＋ ６ ４ , n≥３时,∑ n k＝１ cos π２kk＋１( ) ≥ ２ ２ ＋ ６＋ ２ ４ ＋n－２－ π ２ ( １ ３ － １ n＋１) ＞n－２＋ ３ ２＋ ６ ４ － π ６ , ９ ２＋３ ６( ) ２ －２０２ ＝５４ １２－１８４＞０, 则 ９ ２＋３ ６( ) ２ ＞２０２, 即９ ２＋３ ６－２０＞０, ３ ２＋ ６ ４ － π ６ － １ ＞ ３ ２＋ ６ ４ － ４ ６ － １ ＝ ９ ２＋３ ６－２０ １２ ＞０ ,则３ ２＋ ６ ４ － π ６ ＞１ , 得∑ n k＝１ cos π２k k＋１( ) ＞n－２＋ ３ ２＋ ６ ４ － π ６ ＞n－ １, 又∑ n k＝１ cos π２k k＋１( ) ＜n , n＝１时,０＜ ２２ ＜１ ,n＝２时,１＜３ ２＋ ６４ ＜２ , 所以n∈N∗ 时,都有n－１＜ ∑ n k＝１ cos π２k k＋１( ) ＜n , P＝ {an|an ＝ ∑ n k＝１ cos π２k k＋１( ) ,n∈N∗ }, 则n∈N∗ 时,集合P在每个区间 n－１,n( ) 都有且只 有一个元素, 对于正整数m,集合Qm ＝ x|m ＜x＜２m{ },记P∩ Qm 中元素的个数为bm, 由２m－m ＝m,所以bm ＝m． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀃊􀁉􀁕２０２５名校高考全真模拟试题(十三) １．C　[试题解析]令an＝ n２ ２n ,n∈N∗ ,显然a１＝ １ ２ ,a２＝１, a３＝ ９ ８ ,当n≥４时,an＋１an ＝ (n＋１)２ ２n２ ＝n ２＋２n＋１ n２＋n２ ＜ n２＋２n＋１ n２＋３n ＜１,即an＋１＜an ≤a４＝１,因 此 当n≥４ 时,n２≤２n,所以n为正整数,且n２＞２n,有n＝３．故 选 C． ２．A　[试题解析]连接AC,AD１,CD１,BD,因为BB１⊥平面 ABCD,AC⊂平面ABCD,所以BB１⊥AC,又四边形 ABCD 为正方形,所以BD⊥AC,又BB１∩BD＝B, BB１,BD⊂平面BB１D,所以AC⊥平面BB１D,因为 B１D⊂ 平 面 BB１D,所 以 AC⊥B１D,同 理 可 证 明 AD１⊥B１D,因 为 AD１ ∩AC＝A,AD１,AC⊂ 平 面 ACD１,故 B１D⊥ 平 面 ACD１,故 平 面α 即 为 平 面 ACD１,则α截该正方体所得截面的形状为三角形． 故选 A． ３．B　[试题解析]如图所知,∁M∪NN 为区域①,所以 M∪ (∁M∪NN)＝M,故 A错误;∁M∪N M∩N( ) 为区域① 和③, ∁M∪NM( ) 为区域③, ∁M∪NN( ) 为区域①,则 ∁M∪NM( ) ∪ ∁M∪NN( ) 也 为 区 域 ① 和 ③,两 边 相 等,故B正确; ∁M∪NN( ) 为区域①,M∩(∁M∪NN) 为区域①,不等于区域②(区域②为 M∩N),故C错 误;∁M∪N(M∩N)为区域①和③;而 ∁M∪NM( ) 为 区域 ③, ∁M∪NN( ) 为 区 域 ①,所 以 ∁M∪NM( ) ∩ ∁M∪NN( ) 为空集,所以 D错误．故选B． ４．D　[试题解析]当x＝０时,y＝loga １ a＝－１ ,则当０＜a ＜１时,函数图象过二、三、四象限; 则当a＞１时,函数图象过一、三、四象限; 所以函数y＝loga x＋ １ a( ) 的图象一定经过三、四象 限．故选D． ５．B　[试题解析]由题意知,z＝ ２１＋i＝ ２(１－i) (１＋i)(１－i)＝１－ i,所以z＝１＋i,所以z(z－１)＝(１＋i)(１－i－１)＝１ －i．故选B． ６．C　[试题解析]由题意,丙可能是４,５,６名,有３种情 况,若甲是第一名,则获得的名次情况可能是 C１３A４４ ＝７２种,若乙是第一名,则获得的名次情况可能是 C１３A４４＝７２种,所以所有符合条件的可能是７２＋７２ ＝１４４种．故选 C． ７．C　[试题解析]如图,设 PF１ ＝m,PF２ ＝n,延长 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 卷１２ ２０２５名校高考全真模拟试题(十二) 数学 本试卷满分１５０分,考试时间１２０分钟． 一、选择题:本题共８小题,每小题５分,共４０分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． １．(２０２４􀅰辽宁省沈阳市二中高三模拟)已知全集U 与集合A,B 的关系如图,则图中阴影部分所表示的集合 为 (　　) A．A∩(∁UB) B．A∪(∁UB) C．B∩(∁UA) D．B∪(∁UA) ２．(２０２４􀅰山西省阳泉市高三三模)复数z满足 １－i( )２z＝１＋i,(i为虚数单位),则 z ＝ (　　) A．１４ B． １ ２ C． ２ ２ D．１ ３．(２０２４􀅰山东省济宁市三模)等比数列 an{ }的前n项和为Sn,已知S３＝a２＋５a１,a５＝４,则a１＝ (　　) A．１４ B．－ １ ４ C． １ ２ D．－ １ ２ ４．(２０２４􀅰新疆维吾尔自治区高考适应性检测)德国天文学家约翰尼斯􀅰开普勒根据丹麦天文学家第谷􀅰布 拉赫等人的观测资料和星表,通过本人的观测和分析后,于１６１８年在«宇宙和谐论»中提出了行星运动第三 定律———绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星,其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T 有如下关 系:T＝ ２π GM 􀅰a ３ ２,其中 M 为太阳质量,G 为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的８倍,则火星的椭 圆轨道的长半轴长约为水星的 (　　) A．２倍 B．４倍 C．６倍 D．８倍 ５．(２０２４􀅰湖北省华中师大附中高三压轴卷)关于函数f(x)＝Asinωx＋φ( ) (A＞０,ω＞０,０＜φ＜π２ ) ,有下列 四个说法: ①f(x)的最大值为３; ②f(x)的图象可由y＝３sinx的图象平移得到; ③f(x)的图象上相邻两个对称中心间的距离为π２ ; ④f(x)的图象关于直线x＝π３ 对称． 若有且仅有一个说法是错误的,则f π２ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．－３ ３２ B．－ ３ ２ C．３２ D． ３ ３ ２ ６．(２０２４􀅰四川省成都市第七中学高三检测)设O为坐标原点,圆M:x－１( )２＋ y－２( )２＝４与x轴切于点A, 直线x－ ３y＋２ ３＝０交圆M 于B,C两点,其中B 在第二象限,则OA→􀅰BC→＝ (　　) A．１５４ B． ３ ５ ４ C．１５２ D． ３ ５ ２ ７．(２０２４􀅰贵州省贵阳市高三适应性考试)在棱长为２aa＞０( )的正方体ABCD－A１B１C１D１ 中,点M,N 分别 为棱AB,D１C１ 的中点．已知动点P 在该正方体的表面上,且PM→􀅰PN→＝０,则点P 的轨迹长度为 (　　) A．１２a B．１２πa C．２４a D．２４πa ８．(２０２４􀅰 江苏省盐城市高三模拟)用 min x,y{ } 表 示x,y 中 的 最 小 数．已 知 函 数f(x)＝ xex ,则 minf(x),fx＋ln２( ){ }的最大值为 (　　) A．２ e２ B．１e C． ln２ ２ D．ln２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 卷１２ 二、选择题:本题共３小题,每小题６分,共１８分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选 对的得６分,部分选对的得部分分,有选错的得０分． ９．(２０２４􀅰浙江省四校高三联考)已知x,y∈R,且１２x＝３,１２y＝４,则 (　　) A．y＞x B．x＋y＞１ C．xy＜１４ D．x＋ y＜ ２ １０．(２０２４􀅰湖南省长沙市雅礼中学高三模拟考试)有n(n∈N∗,n≥１０)个编号分别为１,２,３,􀆺,n的盒子,１ 号盒子中有２个白球和１个黑球,其余盒子中均有１个白球和１个黑球．现从１号盒子任取一球放入２号 盒子;再从２号盒子任取一球放入３号盒子;􀆺;以此类推,记“从i号盒子取出的球是白球”为事件Ai(i＝ １,２,３,􀆺,n),则 (　　) A．P A１A２( )＝ １ ３ B．P A１|A２( )＝ ４ ５ C．P A１＋A２( )＝ ７ ９ D．P A１０( )＝ １ ２ １１．(２０２４􀅰河北省部分高中高三联考)已知抛物线E:x２＝４y 的焦点为F,过F 的直线l１ 交E 于点A x１,y１( ),B x２,y２( ),E 在B 处的切线为l２,过A 作与l２ 平行的直线l３,交E 于另一点C x３,y３( ),记l３ 与 y轴的交点为D,则 (　　) A．y１y２＝１ B．x１＋x３＝３x２ C．AF＝DF D．△ABC面积的最小值为１６ 三、填空题:本题共３小题,每小题５分,共１５分． １２．(２０２４􀅰辽宁省实验中学高三四模)x－１x２ æ è ç ö ø ÷ ６ 展开式的常数项为　　　　． １３．(２０２４􀅰四川省成都石室中学高考适应性考试)设双曲线C:x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的一个焦点为F,过F 作一条渐近线的垂线,垂足为E．若线段EF的中点在C 上,则C的离心率为　　　　． １４．(２０２４􀅰陕西省西安市雁塔区陕西师大附中三模)已知α,β∈ ０, π ２ æ è ç ö ø ÷,且sinα－sinβ＝－ １ ２ ,cosα－cosβ＝ １ ２ , 则tanα＋tanβ＝　　　　． 四、解答题:本题共５小题,共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． １５．(１３分)(２０２４􀅰江西省重点中学高三联考)在△ABC中,sinB－A( )＋ ２sinA＝sinC． (１)求B 的大小; (２)延长BC至点M,使得２BC→＝CM→．若∠CAM＝π４ ,求∠BAC的大小． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 卷１２ １６．(１５分)(２０２４􀅰抚顺一中校考阶段测试)如图,已知四棱台ABCD－A１B１C１D１ 的上、下底面分别是边长 为２和４的正方形,平面AA１D１D⊥平面ABCD,A１A＝D１D＝ １７,点P是棱DD１ 的中点,点Q在棱BC上． (１)若BQ＝３QC,证明:PQ∥平面ABB１A１; (２)若二面角P－QD－C的正弦值为５ ２６２６ ,求BQ 的长． １７．(１５分)(２０２４􀅰山西省大同市同煤一中高三三模)已知某种机器的电源电压U(单位:V)服从正态分布 N ２２０,２０２( )．其电压通常有３种状态:①不超过２００V;②在２００V~２４０V 之间;③超过２４０V．在上述三种 状态下,该机器生产的零件为不合格品的概率分别为０．１５,０．０５,０．２． (１)求该机器生产的零件为不合格品的概率; (２)从该机器生产的零件中随机抽取n(n≥２)件,记其中恰有２件不合格品的概率为pn,求pn 取得最大值 时n的值． 附:若Z~N μ,σ２( ),取Pμ－σ＜Z＜μ＋σ( )＝０．６８,Pμ－２σ＜Z＜μ＋２σ( )＝０．９５． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 卷１２ １８．(１７分)(２０２４􀅰浙江镇海中学二模)已知椭圆C:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１a＞b＞０( ) 的右焦点为F １,０( ),右顶点为A, 直线l:x＝４与x轴交于点M,且 AM ＝aAF , (１)求C的方程; (２)B 为l上的动点,过B 作C 的两条切线,分别交y轴于点P,Q, ①证明:直线BP,BF,BQ 的斜率成等差数列; ②☉N 经过B,P,Q 三点,是否存在点B,使得,∠PNQ＝９０°? 若存在,求 BM ;若不存在,请说明理由． １９．(１７分)(２０２４􀅰吉林省长春吉大附中高三四模)已知a＞０,函数f(x)＝axsinx＋cosax－１,０＜x＜π４． (１)若a＝２,证明:f(x)＞０; (２)若f(x)＞０,求a的取值范围; (３)设集合P＝ {an|an ＝∑ n k＝１ cos π２kk＋１( ) ,n∈N∗},对于正整数m,集合Qm ＝ {x|m＜x＜２m},记 P ∩Qm 中元素的个数为bm,求数列 bm{ }的通项公式． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋