2025名校高考全真模拟试题(七)-【师大金卷】2025年高考数学复习冲刺全真模拟试卷精选必刷题（新高考）

卷７ ２０２５名校高考全真模拟试题(七) 数学 本试卷满分１５０分,考试时间１２０分钟． 一、选择题:本题共８小题,每小题５分,共４０分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． １．(２０２４􀅰山西省阳泉市高三三模)已知集合A＝ x (x＋１)(x－９)＜０{ },B＝ x２＜x＜１１{ },则A∪B＝ (　　) A．２,９( ) B．２,１１( ) C．－１,９( ) D．－１,１１( ) ２．(２０２４􀅰山东省济宁市三模)已知复数z＝１＋i,则z＋３iz＋１＝ (　　) A．２５＋ ３ ５i B． ４ ５＋ ３ ５i C．２５－ ３ ５i D． ４ ５－ ３ ５i ３．(２０２４􀅰新疆维吾尔自治区高考适应性检测)已知双曲线C:x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的左焦点为F,虚轴的 上、下端点分别为A,B,若 FA→＋FB→ ＝２FA→－FB→ ,则C的离心率为 (　　) A．２ ３３ B． ５ ２ C．３ D． ２ ５ ５ ４．(２０２４􀅰湖北省华中师大附中高三压轴卷)已知 an{ }是等比数列,且a６－a４＝－２４,a７－a５＝４８,则a１＝ (　　) A．－１ B．１２ C．１ D．２ ５．(２０２４􀅰四川省成都市第七中学高三检测)已知α∈ ０,π４ æ è ç ö ø ÷,cos２α＋３π２ æ è ç ö ø ÷＝８１７ 则tanα＝ (　　) A．１４ B． １ ２ C．２ D．４ ６．(２０２４􀅰贵州省贵阳市高三适应性考试)已知函数f(x)＝Asinωx＋φ( ) (A＞０,ω＞０,φ ＜π２ ) 的部分图象 如图所示,f(０)＝f π６ æ è ç ö ø ÷＝f ２π３ æ è ç ö ø ÷,则f －π６ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．０ B．－１ C．－ ２ D．－ ３ ７．(２０２４􀅰江苏省盐城市高三模拟)某种用保温材料制成的管道在单位长度上的热损失Φ(单位:W/m)满足Φ ＝ ２πλt１－t２( ) lnr２－lnr１ ,其中r１,r２ 分别为管道的内外半径(单位:mm),t１,t２ 分别为管道内外表面的温度(单 位:℃),λ为保温材料的导热系数(单位:W/ m􀅰℃( )),某工厂准备用这种管道传输２５０℃的高温蒸汽,根 据安全操作规定,管道外表面温度应控制为５０℃,已知管道内半径为６０mm,当管道壁的厚度为７５mm时, Φ＝１５０W/m,则当管道壁的厚度为１２０mm时,Φ约为 (　　) 参考数据:log３２≈０．６３． A．９８W/m B．１１１W/m C．１１８W/m D．１２６W/m ８．(２０２４􀅰浙江省四校高三联考)已知三棱锥A－BCD 中,AB＝６,AC＝３,BC＝３ ３,三棱锥A－BCD 的体积 为２１ ３ ２ ,其外接球的体积为５００ ３π ,则线段CD 长度的最大值为 (　　) A．７ B．８ C．７ ２ D．１０ 二、选择题:本题共３小题,每小题６分,共１８分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选 对的得６分,部分选对的得部分分,有选错的得０分． ９．(２０２４􀅰湖南省长沙市雅礼中学高三模拟考试)在正四棱柱ABCD－A１B１C１D１ 中,AB＝BC＝２,AA１＝４, P 是棱CC１ 的中点,则 (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 卷７ A．直线BP 与B１D１ 所成的角为６０° B．直线BP 与A１D 所成的角为９０° C．平面A１B１P⊥平面ABP D．直线A１B 与平面BDD１B１ 所成角的正弦值为 ５ ５ １０．(２０２４􀅰河北省部分高中高三联考)已知圆C:x２＋y２＝４,P 是直线l:x＋y－６＝０上一动点,过点P 作直 线PA,PB 分别与圆C 相切于点A,B,则 (　　) A．圆C上恰有一个点到l的距离为２ ２ B．直线AB 恒过点 ２３ ,２ ３ æ è ç ö ø ÷ C．AB 的最小值是４ ７３ D．四边形ACBP 面积的最小值为２ １４ １１．(２０２４􀅰辽宁省实验中学高三四模)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,g(x＋４)－３是奇函数,且g(x)－ fx－２( )＝２,f(x)＋g(x＋６)＝４,g(２)＝４,则 (　　) A．g４( )＝３ B．f(x)为奇函数 C．gx＋２( )为偶函数 D．∑ １７５ k＝１ fk( )＝１７４ 三、填空题:本题共３小题,每小题５分,共１５分． １２．(２０２４􀅰四川省成都石室中学高考适应性考试)曲线f(x)＝xln２x－１( )＋ １x＋１ 在点 １,f(１)( )处的切线方 程为　　　　． １３．(２０２４􀅰陕西省西安市雁塔区陕西师大附中三模)已知抛物线y２＝２px(p＞０)的焦点为F,过点F 的直线 与抛 物 线 交 于 A,B 两 点 (点 A 在 第 一 象 限),∠AFO＝１２０°(O 为 坐 标 原 点),AF ＝４,则 BF ＝　　　　． １４．(２０２４􀅰江西省重点中学高三联考)已知有A,B 两个盒子,其中A 盒装有３个黑球和３个白球,B 盒装有３ 个黑球和２个白球,这些球除颜色外完全相同．甲从A 盒、乙从B 盒各随机取出一个球,若２个球同色,则 甲胜,并将取出的２个球全部放入A 盒中,若２个球异色,则乙胜,并将取出的２个球全部放入B 盒中．按 上述方法重复操作两次后,B 盒中恰有７个球的概率是　　　　． 四、解答题:本题共５小题,共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． １５．(１３分)(２０２４􀅰抚顺一中校考阶段测试)已知函数f(x)＝ax３＋bx２＋１a∈R( ),当x＝２时,f(x)取得极 值－３． (１)求f(x)的解析式; (２)求f(x)在区间 －１,３[ ]上的最值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 卷７ １６．(１５分)(２０２４􀅰山西省大同市高三三模)某报社组织“乡村振兴”主题征文比赛,一共收到５００篇作品,由 评委会给每篇作品打分,下面是从所有作品中随机抽取的９篇作品的得分:８２,７０,５８,７９,６１,８２,７９, ６１,５８． (１)计算样本平均数x和样本方差s２; (２)若这次征文比赛作品的得分X 服从正态分布N μ,σ２( ),其中μ和σ２ 的估计值分别为样本平均数x和样 本方差s２,该报社计划给得分在前５０名的作品作者评奖,则评奖的分数线约为多少分? 参考数据:P(|X－μ|＜１．３σ)≈０．８,P(|X－μ|＜１．６σ)≈０．９． １７．(１５分)(２０２４􀅰浙江镇海中学二模)如图(１)所示,在平面四边形SBCD 中,△SBD 是边长为２的等边三 角形,BD⊥BC,∠BCD＝３０°,A 为边SD 的中点,将△SBD 沿AB 折成直二面角,得到如图(２)所示的四 棱锥S－ABCD． (１)若M 为棱SC 的中点,证明:BM∥平面SAD; (２)求二面角D－SB－C的正弦值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 卷７ １８．(１７分)(２０２４􀅰吉林省长春吉大附中实验学校高三四模)已知椭圆E:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的左、右焦点 分别为F１,F２,F１F２ ＝２ ３,过F１ 的直线l与E 交于P,Q 两点,△PQF２ 的周长为８． (１)求E 的方程; (２)若直线m 与E 交于R,S两点,且原点O到直线m 的距离为定值１,求 RS 的最大值． １９．(１７分)(２０２４􀅰湖北省荆门市三校高三三模联考)莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于１的 正整数n都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式:n＝pr１１pr２２ 􀆺prkk (k为n 的质因数个数,pi 为质数, ri≥１,i＝１,２,􀆺,k),例如:９０＝２×３２×５,对应k＝３,p１＝２,p２＝３,p３＝５,r１＝１,r２＝２,r３＝１．现对任意 n∈N∗,定义莫比乌斯函数μn( )＝ １,n＝１, －１( )k,r１＝r２＝􀆺＝rk＝１, ０,存在ri＞１, ì î í ï ï ï ï ï ï (１)求μ７８( ),μ３７５( ); (２)若正整数x,y互质,证明:μxy( )＝μ(x)μy( ); (３)若n＞１且μn( )＝１,记n的所有真因数(除了１和n以外的因数)依次为a１,a２,􀆺,am,证明: μa１( )＋μa２( )＋􀆺＋μam( )＝－２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1)=0≤r<8.则了() 公=号所以成"=+区6品-8)=号+ 2,当eof)<0,当re13, 号×4+1.所以么=4+宫61-4)=1+图 了(.x)>0,所以函数f(x)在[0,1)上单调递减，在(1， 3)上单调递增. 公=品×(4-1D+,即6=品×(4-+n 又因为0)=名)-青3)-是所以x)的 所以6为整数当且仅当立为整数由已知。=1 值城是[合·]所以合<音<日所以号≤写 S 时符合题意，n=2,3,4,5时不合题意，当n≥6时，4"- -1=(1+3)--1=C1×3+C,×32+C,×3 ≤1，根据对称性，△PFF,被直线IG分成两个部分 十…+C×31,所以原题等价于3C十9C为整 的图形面积之比的取值范围是[青·] 27 数.因为3C+9C=3m=4n=D 19.[解](1)(i)由a1=1,aw+1=2a.+1易得a:=3,a 27 18 7.a4=15,… [3(n-1)-1](n-1) 2×9 ① 由一阶等差数列的定义得： a=a2-a1=2a=a-a,=4a"=a,-aa=8. 显然3(n-1)-1含质因子3，所以n一1必为9的 (i)证明：因为aw+1=2a,十1，所以当n≥2时，有an 倍数， 2a,1=1.所以a+1-2am=a,一2aw1即a+1一am= 设n-1=9k,(k∈N),则n=9k十1，将n=9k+1代入 2(an一dn-),即a=2an≥2，又因为a1=1,故 ①式， (a)是以1为首项，2为公比的等比数列，即{a.}是一 当k为奇数时，3(n一1)一1为偶数，①式为2的倍数： 阶等比数列. 当k为偶数时，n为奇数，n一1为偶数，①式为2的 (2)由题意{b}的二阶差数列{b2}为等比数列，设公 倍数， 比为9，则=号9=4，所以&”=号×4，由题意 又因为2与9互质，所以①为整数. 综上，当n=9k+1(k∈N)时，b.为整数. ⑦2025名校高考全真模拟试题（七） 1.D[试题解析]A={x|(x+1)(x一9)<0}={x|一1 >am=4或ana=子，又a∈(o,受）所以0< 8 <x<9},又B={x2<x<11},则AUB=(x 1<x<11}.故选D. tana<l.所以tana= 2.B [试题解析]由女=1+1可得=1-，所以十3i ，故选A :十1 6.C 1+2i(1+2i)(2-i边=2-i+4i-21=4+3i [试题解析]由图象可知，A=2,由f(0)=f(石) 2+i(2+i)(2-i) 4- 5 音+号，故连B f(）)可得T=号x-0=号，且T-径所以号 3.A[试题解析]根据题意，作图如下： =2红，解得a=3,所以f(x)=2sin(3x十9)，由 )得)学到 -2所以/（位）=2m(号x+g）=-2,即平x+ -受+2k,ke么即g=-子x+2k,k∈，且9< 受，当=1时9=至，所以fx)=2sim(3x+） 时+F市|-2|i-F克|，即21ò-2|Bi|, 也即c=6.故=松=(-心，解得号=青 则f(-看)=2im(-受+)-E.故选C 7.B [试题解析]由题意可得t41=250℃，t=50℃，r1 则台-2也中C份高心率为己，此选A 60mm,r=60+75-135mm.Φ=150W/m,代入得 a 150= 4.C[试题解析]设等比数列{a,}的公比为q,则g 22500,得出2d=是n号= 1nl35-ln60 -2=8 =-2,又a6-t4=a1g-a1g3= 号1n2:则当管道壁的厚度为120mm时，=60中 as-a -32a1十8a1=-24,解得41=1.故选C 120=180mm,则中= 五A[试题解析]由co(2a+受）是sn2a=是所 8 22=是n是× Inrs-Inr 以2ma一P0。-音平。 8 2tana (250-50) 300ln2 In180-In60 In3 _300(n3-ln2)=300(1- In3 10g2)≈300(1-0.63)=111.故选B. 新高考数学答案一26 8.C[试题解析]同为球的体积为9，所以球的辛径R 可得AF⊥平面BDD,B,所以∠ABF为直线 A1B与平面BDDB所成的角.因为AF=√2，AB 满足00x-号R,可得R=5:又AB=6AC=3, =25,所以m∠ABF2=0,故D错误.故 BC=3√5，因此AB=AC+BC,即∠ACB=90°， 速AC 此时5-立×3X3-9设点D到平西 10.BCD[试题解析]易知圆心C(0,0),半径r-2,如下 图所示： ABC的距离为h,则号h×9-21, 2 2 ,可得h=7, 因为D在球的栽面间上，设裁面园所在的平面为a, 当a与平面ABC平行时，DC有最大值；设球心到平 面ABC的距离为d,而△ABC的外心即为AB的中 点，外接圆的丰径为2AB=3,则d=V5-了=4， 故球心到平面a的距离为7一4=3，可知载面圆半 径为√5一3=4：设C在平面a上的射影为E,则 圆心(0,0)到直线l:x十y一6=0的距离为d= E的轨迹为园，如下图所示： 5=32,可得圆C上的点到直线1距离的最 小值为32一2<22，图C上的，点到直线1距 商的最大值为32+2>2√2，所以圆C上恰有 两个点到【的距离为2√2，故A错误；设 P(,6-t),A(x,y1),B(xy),可得x+ y=4,x十y2=4:易知PA=(x1-1,y-6+ ),C才=(xy),由P才·C=x1(无-t)+ y1(y1-6十t)=0,整理可得1x1十(6-t)y1= 设该圆圆心为O,则当D,O,E三，点共线且点O在 4,同理可得1.Te十(6-1)y2=4,即可知A,B两 D,E中间时，DE最长，此时DE=3十4=7，故线段 点在直线t.x十(6一1)y=4上，所以直线AB的 CD长度的最大值为7√2.故选C. 方程为1x+(6-1)y=4,即1(x-y)+6y一4 9.AC[试题解析]如下图所示： 2 3 所以直线AB D C =0.◆66郎 y=3 恒过定点（学，号）故B正确：由直线AB恒过 定成（侵号）当点（学）与国心 (0,0)的连线垂直于AB时，AB的值最小， D 点（侵·号）与国心C(00)之间的距荡为d 2所以AB1m=2P-d=4,故C正 3 确：四边形ACBP的面积为|PA||CA|= 2|PA|,根据切线长公式可知|PA|= 因为BD∥B,D1,所以∠DBP为直线BP与B,D 所成的角或其补角，易知BP=BD=DP=22,即 PC-r=PC-4,当|PC最小 △DBP为等边三角形，所以∠DBP=60,故A正 时，|PA|最小，PC|m=d=32,所以 确：因为A1D∥BC,所以∠BEC为直线BP与 |PAm=√14，故四边形ACBP的面积最小 A1D所成的角或其补角，若∠BEC=90°，则 值为2√I4,即D正确.故选BCD. △B,C△CBP,年满足%-瓷，而PC=BC 11.ACD [试题解析]由g(x十4)一3是奇函数，则 g(-x+4)-3=-g(x+4)+3,即 =2,BB,=4不满足上式，故B错误；易知BP=2 g(-x十4)十g(x+4)=6,令x=0,则g(4) √2=B,P,BB1=4,满足BP2+BP2=BB,所以 =3,故A正确：由g(x)-f(x-2)=2,g(2) BP⊥B,P,又BP⊥AB:,B,P∩A1B=B,可得 =4,令x=2,则f(0)=2≠0，故f(x)不是奇 BP⊥平面A,B,P,又BPC平面ABP,所以平面 虽数，故B错误：由g(一x十4)十g(x十4)= A1B,P⊥平面ABP,故C正确：连接A,C1·B,D1 6,令x=x-2,则g(-x十6)+g(x+2)=6, 交于点F,由正方形性质可得A,F⊥BD,由直校 故g(x十2)=6-g(一x十6)，所以g(-x十 柱性质可知BB,⊥平面A,BCD,又AFC平面 2)=6-g(x+6)=6-(4-f(x))=2+ A1B1C1D1,所以BB⊥AF:又BB∩BD=B, f(x),而g(x)-f(r-2)=2,则g(x+2) 新高考数学答案一27 f(x)=2,故g(x+2)=2+f(.x)=g(-x+ 2),所以g(x十2)是偶函数，故C正确：因为 [参考答案]号 g(.x)一f(.x一2)=2，所以g(x十6)一f(x十4)14.[试题解析]若两次取球后，B盒中给有7个球，则两次 -2,又因为f(x)十g(x十6)=4，所以f(x)十 取球均为乙获胜；若第一次取球甲取到黑球，乙取到白 f(x十4)=2，所以f(x+4)+f(x+8)=2,所 以(x)=f(x十8)，所以f(x)的周期为8，因 球，其概率为号×号=号，第一次取球后A盒中有2 为g(x)-f(x-2)=2,所以g(x十4)-f(x+ 个黑球和3个白球，B盒装有4个黑球和2个白球，第 2)=2,g(4-x)-f(2-x)=2,所以g(x+4) 二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为 +g(4-x)-f(x+2)-f(2-x)=4,即f(x 十2)+f(2-x)=2,因为g(2)=4,所以由 号×号十号×音一最此时B会中格有7个球的批 g(x)-f(x一2)=2，得g(2)-f(0)=2,得 单为日×音-膏若第一火取球甲取到白球，乙取到 f(0)=2,由f(x+2)+f(2x)=2,得f(2) =1,f(4)+f(0)=2,f(3)+f(1)=2,因为 黑球，共概率为×号-品第一次取球后A金中有 f(x)的周期为8，所以f(5)=f(-3)=f(3), 3个黑球和2个白球，B盒装有3个黑球和3个白球， f(6)=f(-2)=f(2)=1,f(7)=f(-1)= 第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率 1)f(8)=f0)=2,所以∑fk)=8.所 为号×音+号×音=号：此时B金中格有7个球的 以2)=21x8+0+2+3+ 概率为品×日=品：所以B金中给有7个晾的棍率为 3 f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=174,故D正确. 8+3=77 故选ACD. 75+20-300: 12.[试题解折]因为)=h(2x-)十中则 [多考答案品 =1×n1+中-之，所以切点为(1,2）且() 15.[解](1)依题意可得f(.x)=3a.x2十2bx, 又当x=2时，f(x)取得极值-3， n(2r-)+2D期k=f=1+ 1 所以2)3”即8+1一3解得a=1 {f(2)=0, 12a十4b=0 0b=-3. 名一安=子，由直线的点新式可得y一号 所以f(.x)=x3-3.x2+1. (2)由(1)可知(x)=3x2-6x=3.x(x-2), (x一1)，化简可得7x一4y一5=0，所以切线方程为 7 令f(.x)=0,可得x=0或x=2, 当x变化时，∫(x),f(x)的变化情况如下表所示： 7x-4y-5=0. (-1,0) 0 (0,2) 2 (2,3) [参考答案]7x-4y一5=0 13.[试题解析]作抛物线的准线x=一台，记准线与x轴 (x) + 0 的交点为T,过A,B作准线的垂线，垂足分别为P,Q, f(r) 一3单调递增 单调递减 一3单调递增1 过A,B作x轴的垂线，垂足分别为H,M,如图所示： 因此，在区间[一1,3]上，f(x)的最小值为一3，最大值 为1 16.[解](1)由题意可得，x 号(82+70+58+79+61+82+79+61+58)=70， =号[(82-70)+(70-702+(68-70)2+ (79-70)2+(61-70)+(82-70)2+(79-70)2+ F Ix (61-70)2+(58-70)2]=100, B 所以样本平均数为70，样本方差为100. (2)因为得分X服从正态分布N(:G),且4=T 设∠AFH=,在△AFH中，由抛物线定义可得： 70,02=s2=100,则8=10， FH=TH-=AP=AF,cos0 所以X~N(70,102),又P(|X-4<1.3a)≈0.8， 册=A,解释AF=在 即|X-70|<13→57<X<83, = AF 所以P(57<X<83)≈0.8. △BFM中，由抛物线定义可得：|MF|=p-|TM 又P(|X-u|<1.6a)≈0.9， P-|BQ|=力-BF,则cos∠MFB=cos0=MF 即|X-70|<16→54<X<86, BF 所以P(54<X<86)≈0.9， =即，解得BF1-十6o由题可知：0 所以前50名的作品作者评奖总共50篇，获奖率为 BF 0.1, 2 因为P(57<X<83)≈0.8，则1-P(57<X<83)≈ 60,-0s60=4,解得p=2:则|BF|=+c0s60 0.2. 4 所以P(X<57)=P(X>83)≈0.1. 3 即分数线约为83分. 新高考数学答案一28 17.[解](1)取CD的中点N,连接MN.BN, 因为M为棱SC的中点，所以MN∥SD, 当x=1时，R1受）S1,-)则s-5, 因为MN丈平面SAD,SDC平面SAD: 当x=一1时，同理|RS|=3, 所以MN∥平面SAD: 当直线m斜率存在时，设斜率为k,则直线m的方程为 由图(1)中△SBD是边长为2的等边三角形， y=kx十1， 所以∠ADB=60°， 因为原点O到直线m的距离为定值1， 由BD⊥BC,∠BCD=30°，可得△BDN是等边三角 形，∠DBN=60°，所以BN∥AD: 所以=1.则2+1=. 又因为BN过平面SAD,所以BN∥平面SAD. +1 因为MN∩BN=N,所以平面BMN∥平面SAD, 设R(x1·),S(x) 因为BMC平面BMN,所以BM∥平面SAD. (2)由题可知AB,AD,AS两两互相垂直，以A为坐标 联立椭圆与直线方程年十y=1, 原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， y=k.x十t, 24 消元得(4k2+1)x2+8k1x+4(2-1)=0, △=(81)2-4×4(t2-1)(4k2+1)>0, 所以工十= 8kt 4k2+1 5=4-1山 4k十1 由2+1=2，得k=1-1>0,∴>1. |RS|=/(1+k)[(x十x4)-41x2] 8k 4k+1 -440-121 4k+1」 则S(0,0,1)B(W3,0.0)D(0,1.0),C(23,3,0) 3(2-1)8 9 所以5第=(3,0，-1)BC=(5,3,0) (412-3)2 令u=42-3,(>1), Bd=(-3,1.0): 设平面SBC的一个法向量为m=(x1y名)， 则|RS|= +3)D=/1+名-3 则m·5-=3-1=0, m·BC=5x1+3y=0 3(任)+， 取1=√3，则y=一1,1=3， 由0<<1，所以当是=号时，RS1=2,所以 即m=(3,-1,3): |RS|的最大值为2. 设平面SBD的一个法向量为n=(.x2g)· 则n·5第-3--0. 19.[解](1)因为78=2×3×13，易知k=3,p1=2,p=3, p1=13,n1=1,r2=1,r3=1, n·Bd=-3x2十y2=0 所以4(78)=(-1)°=-1： 取x2=1,则y为=3,2=3， 又375=3×5，因为5的指数3>1，所以4(375)=0. 即n=(1,N3W3): (2)①若x=1或y=1,因为(1)=1， 33w5 所以a(xy)=(x)μ(y): 所以cos(m,n》= m·刀 ②若x,y≠1，且存在质数p,使得x或y的质因数分解 mn /13×√7 91 中包含p(r>1),则xy的质因数分解中一定也包含 33 p,所以4(xy)=(x)4(y)=0, 因此二面角D一SB一C的正弦值为 ③若x,y≠1，且不存在②中的p,可设x=p,p…p,y 889 =gg…g,其中p,p…p,g,9…g均为质数，则 T91 xy=p1p"pa9192…9,· 因为x,y互质，所以p1,p:“p41gg互不相等， 18.[解](1)因为△PQF:的周长为8， 所以(xy)=(-1)=(-1)(-1)'=a(xμ(y) 所以4a=8,解得a=2, 综上可知(xy)=(x)(y) 焦距为25，c=5,所以b=a2-c2=4-3=1, (3)由于u(n)=1,所以可设n=p1p2…p:,k为偶数， 所以椭圆E的方程为子+了=1. n的所有因数，除了1之外都是p,p,p中的若干 个数的乘积，从k个质数中任选i(i=1,2,…,)个数 (2)】 的乘积一共有C种结果， 所以r(1)十(a:)十(ag)十十(a.)十μ(n) =u(1)+[μ(p)+4(p)+…十(p)]+[(pp) 十u(pp)+…十(p:-1p)]+…+以(n) =1+C(-1)+C(-1)+…+C(-1)-1+ (-1)*=(1-1)*=0, 当直线m斜率不存在时，为x=一1或x=1, 所以u(a1)十4(a)十…十u(an)=0-(1)-(n)=-2 新高考数学答案一29