热点04 圆与方程-2024-2025学年高二第一学期数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版）

热点04 圆与方程 考点一、圆的标准方程 1．圆的定义 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合． 2．圆的标准方程 我们把方程称为圆心为,半径为r的圆的标准方程． 3．几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程形式 过原点 圆心在原点 圆心在x轴上 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 圆心在y轴上且过原点 与x轴相切 与y轴相切 考点二、点与圆的位置关系 点与圆的位置关系： （1）点在圆外； （2）点在圆上； （3）点在圆内. 圆上的点到定点的最大、最小距离：设圆心到定点的距离为,圆的半径为,圆上的动点为，则. 考点三、圆的一般方程 1．圆的一般方程 当时,方程表示一个圆．我们把方程叫做圆的一般方程． 2．对方程的说明 对方程配方得，与0的大小关系对方程图形的影响如下表： 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点 表示以为圆心,以为半径的圆 考点四、直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 代数法：由消元得到一元二次方程，判别式为 图形 考点五、圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的判定方法有几何法和代数法两种，如下表： 位置关系 几何法 代数法 图示 外离 外切 相交 内切 内含 热点一 求圆的方程 例1．以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 例2．已知圆，若圆与圆关于直线对称，则圆方程 . 变式1-1．已知的圆心C在x轴上，且与x轴相交于坐标原点O和，则的方程为（    ） A． B． C． D． 变式1-2．已知圆C经过三点. (1)求圆C的方程； (2)求圆C的面积. 变式1-3．从以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题横线处，并进行解答.①经过点；②圆心在直线上；③以线段为直径. 问题：已知圆经过两点，且__________.求圆的方程； 注：如选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 热点二 由圆的方程确定圆心和半径 例3．已知圆与圆为同心圆，且圆的半径为圆半径的2倍，则（    ） A． B． C． D． 例4．已知过点且斜率为2的直线交坐标轴于两点，若圆经过点，则半径为的圆的圆心坐标是 . 变式2-1．圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D．2 变式2-2．（多选）下列说法正确的是（    ） A．方程表示圆心为的圆 B．方程表示圆心为的圆 C．方程表示半径为的圆 D．方程表示半径为的圆 变式2-3．曲线所围成的封闭图形的面积为 ． 热点三 点与圆的位置关系 例5．已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 例6．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点，若直线过的外接圆的圆心，则 ；若点在的外接圆内，则的取值范围为 ． 变式3-1．已知圆过三点，点，则圆的一般方程为 ，点在圆 （内/上/外）． 变式3-2．已知点在圆外，则的取值范围是 ． 变式3-3．在平面直角坐标系中，已知点，直线与轴分别交于点，圆经过三点． (1)求圆的标准方程； (2)判断点是否在圆上． 热点四 直线与圆的位置关系 例7．直线与圆的位置关系是（） A．相交且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 例8．若曲线与直线有两个公共点，则实数m的取值范围是 ． 变式4-1．已知过原点的直线与圆相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式4-2．（多选）下列直线中，与圆相切的有（     ） A． B． C． D． 变式4-3．已知圆上恰有三个点到过点的直线的距离为1，写出一个满足条件的直线的方程为 . 热点五 圆与圆的位置关系 例9．圆和圆的位置关系是（ ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 例10．圆和圆相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式5-1．以为圆心且与圆外切的圆的方程为 ． 变式5-2．（多选）已知圆与轴相切，且在直线上，圆，若圆与圆相切，则圆的半径长可能是（    ） A． B． C． D． 变式5-3．若圆与圆有且仅有一条公切线，则（    ） A． B．1 C． D．0 热点六 圆的切线问题 例11．已知圆. (1)求圆的半径； (2)若直线与圆相切于点，求直线的方程. 例12．过圆上一点作圆的两条切线，切点为，当最大时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D．1 变式6-1．已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 变式6-2．（多选）过点作圆的切线，所得切线方程为（    ） A． B． C． D． 变式6-3．已知圆：，若圆的切线在轴和轴上截距相等，求切线的方程. 热点七 圆的弦长问题 例13．已知直线：与圆：交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 例14．若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则： (1)求圆C的方程． (2)直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度． 变式7-1．设为正实数.若直线被圆所截得的弦长为，则 . 变式7-2．圆：与圆：相交于、两点，则 ． 变式7-3．圆O：，过点作两条互相垂直的动弦、，则四边形的面积的最大值为 . 热点八 圆的对称性 例15．若圆关于直线对称，则（    ） A．0 B． C．2 D． 例16．圆上存在两点关于直线对称，则的最小值为 . 变式8-1．已知圆C：上任意一点关于直线的对称点也在圆上.则实数（    ） A．4 B．6 C． D． 变式8-2．直线与圆相交所形成的长度为整数的弦的条数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 变式8-3．已知圆：和直线：． (1)写出圆的圆心和半径； (2)若在圆上存在两点A，B关于直线对称，且以线段为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程． 热点九 圆的最值问题 例17．已知，，则的最大值是（    ） A．2 B． C．4 D． 例18．已知点是圆 C 上的任意一点，则 的最大值为（    ） A．25 B．24 C．23 D．22 变式9-1．已知曲线，则的最大值，最小值分别为（　　） A．＋2，－2 B．＋2， C．，－2 D．， 变式9-2．已知圆：，点P为直线上一动点，过点P向圆引两条切线，，A，B为切点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 变式9-3．已知实数满足，则的最大值为 . 一、单选题 1．（2023-24高二上·云南昆明·期中）直线与轴，轴分别交于点、，以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2023-24高二上·北京·期中）轴与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 3．（2023-24高二下·四川达州·期中）已知直线与圆交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023-24高二下·云南楚雄·期末）设点，若在圆上存在两点，使得四边形为正方形，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023-24高二上·福建福州·期中）设点是圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 6．（2023-24高二上·安徽芜湖·期中）已知，若坐标原点在动直线上的投影为点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2023-24高二下·湖北·期中）已知点是曲线上不同的两点，且满足，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2023-24高二上·江西景德镇·期中）已知直线恒过定点，圆：上的两点，满足，则的最小值为（    ） A．13 B．18 C．23 D．28 二、多选题 9．（2023-24高二上·福建厦门·期中）已知点在上，点，，则（    ） A．点到直线的距离最大值是 B．满足的点有2个 C．过直线上任意一点作的两条切线，切点分别为，则直线过定点 D．的最小值为 10．（2023-24高二上·甘肃白银·期末）如图，在直角坐标系中，坐标轴将边长为4的正方形分割成四个小正方形.若大圆为正方形的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则下列方程是图中某个圆的方程的是（    ）    A． B． C． D． 11．（2023-24高二下·河南安阳·期中）已知直线过定点，且与圆相交于两点，则（    ） A．点的坐标为 B．的最小值是 C．的最大值是0 D． 三、填空题 12．（2023-24高二上·四川宜宾·期中）已知点，点为圆上任意一点，则连线的中点轨迹方程是 ． 13．（2023-24高二下·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，已知是圆上的一点，是圆上的两点，则的最大值为 . 14．（2023-24高二上·湖南永州·期末）已知点，，若在直线l：上至少存在3个不同的点P，使得为直角三角形，则实数a的取值范围为 ． 四、解答题 15．（2023-24高二上·广东河源·期末）已知点，，直线与直线垂直. (1)求的值； (2)若圆经过点，且圆心在轴上，求点的坐标. 16．（2023-24高二上·陕西宝鸡·期末）已知圆：，是否存在满足以下两个条件的直线:（1）斜率为；（2）直线被圆截得的弦为，以为直径的圆过原点. 若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，说明理由. 17．（2023-24高二上·甘肃天水·期末）已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线上 (1)求圆心为的圆的标准方程； (2)线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 18．（2023-24高二上·湖北荆门·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆C的半径为1，圆心在l上． (1)若圆心C也在直线上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； (2)若圆C上存在点M，使，求圆心C的横坐标a的取值范围． 19．（2023-24高二上·广东广州·期中）圆． (1)若圆C与y轴相切，求圆C的方程； (2)已知，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条直线与圆相交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得．若存在，求出实数a，若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点04 圆与方程 考点一、圆的标准方程 1．圆的定义 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合． 2．圆的标准方程 我们把方程称为圆心为,半径为r的圆的标准方程． 3．几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程形式 过原点 圆心在原点 圆心在x轴上 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 圆心在y轴上且过原点 与x轴相切 与y轴相切 考点二、点与圆的位置关系 点与圆的位置关系： （1）点在圆外； （2）点在圆上； （3）点在圆内. 圆上的点到定点的最大、最小距离：设圆心到定点的距离为,圆的半径为,圆上的动点为，则. 考点三、圆的一般方程 1．圆的一般方程 当时,方程表示一个圆．我们把方程叫做圆的一般方程． 2．对方程的说明 对方程配方得，与0的大小关系对方程图形的影响如下表： 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点 表示以为圆心,以为半径的圆 考点四、直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 代数法：由消元得到一元二次方程，判别式为 图形 考点五、圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的判定方法有几何法和代数法两种，如下表： 位置关系 几何法 代数法 图示 外离 外切 相交 内切 内含 热点一 求圆的方程 例1．以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 令，则， 即直线恒过定点， 则圆的方程为，即， 故选：D. 例2．已知圆，若圆与圆关于直线对称，则圆方程 . 【答案】 【详解】圆可化为， 则其圆心，半径， 设圆的圆心为， 因为圆与圆关于直线对称， 所以，整理得，解得， 所以圆得方程为：. 故答案为： 变式1-1．已知的圆心C在x轴上，且与x轴相交于坐标原点O和，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知圆心坐标为，半径为1， 所以圆的方程为. 故选：. 变式1-2．已知圆C经过三点. (1)求圆C的方程； (2)求圆C的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设圆的方程为， 因为圆经过三点， 可得，解得， 所以所求圆的方程为. （2）由（1）可得，圆的方程为.即. 因此圆的半径为5.因此圆的面积为. 变式1-3．从以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题横线处，并进行解答.①经过点；②圆心在直线上；③以线段为直径. 问题：已知圆经过两点，且__________.求圆的方程； 注：如选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 【答案】选择见解析； 【详解】若选①： 依题意，设圆方程为，，， 则，解得， 所以圆方程为，标准方程为． 若选②： 依题意，设圆方程为，， 又圆心在直线上， 所以，解得， 所以圆方程为，标准方程为. 若选③： 依题意，点E为AB中点，故E点坐标为，圆E的半径， 所以圆标准方程为. 热点二 由圆的方程确定圆心和半径 例3．已知圆与圆为同心圆，且圆的半径为圆半径的2倍，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知圆的圆心为，半径为2， 又圆与圆为同心圆，半径为4， 所以，解得. 故选：A. 例4．已知过点且斜率为2的直线交坐标轴于两点，若圆经过点，则半径为的圆的圆心坐标是 . 【答案】 【详解】由题意得直线方程为， 不妨取两点的坐标为. 设圆的方程为， 则, 故圆的圆心坐标为. 故答案为： 变式2-1．圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】由圆，可得：，所以圆的圆心为，则圆心到直线的距离为， 故选：B 变式2-2．（多选）下列说法正确的是（    ） A．方程表示圆心为的圆 B．方程表示圆心为的圆 C．方程表示半径为的圆 D．方程表示半径为的圆 【答案】AC 【详解】由知方程表示圆心为的圆，A正确； ，当时表示圆，当时表示点，当不表示任何图形，B错误； 因为，所以方程表示圆， 方程可化为，所以圆半径，C正确； 方程可化为表示点，不是圆，D错误． 故选：AC 变式2-3．曲线所围成的封闭图形的面积为 ． 【答案】 【详解】对于曲线， 在上式中，将y换成得，即曲线关于x轴对称， 将x换成得，即曲线关于y轴对称， 因此只需考虑在第一象限的情形， 当，时曲线即，即， 所以曲线在第一象限内与x轴所围成的图形是由半径为的圆去掉一个等腰直角三角形而形成的图形， 根据对称性可得曲线所围成的封闭图形为下图阴影部分， 所以所围成的封闭图形的面积． 故答案为：. 热点三 点与圆的位置关系 例5．已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径为2， 由解得， 则直线与的交点为， 依题意，，解得， 所以实数k的取值范围是. 故选：B 例6．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点，若直线过的外接圆的圆心，则 ；若点在的外接圆内，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】设的外接圆方程为，， 则，解得， 于是的外接圆方程为，即，其圆心， 由点在直线上，得，解得， 由点在的外接圆内，得，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：； 变式3-1．已知圆过三点，点，则圆的一般方程为 ，点在圆 （内/上/外）． 【答案】 外 【详解】设圆的一般方程为， 因为圆过三点，可得，解得， 满足，所以圆的方程为， 将点代入方程得，所以点在圆外． 故答案为：；外. 变式3-2．已知点在圆外，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意得，解得. 故答案为：． 变式3-3．在平面直角坐标系中，已知点，直线与轴分别交于点，圆经过三点． (1)求圆的标准方程； (2)判断点是否在圆上． 【答案】(1) (2)点在圆上，点在圆外，点在圆内 【详解】（1）由题可得直线与轴的交点，又， 设所求圆的方程是， 由题意得，解得， 故圆的方程为． （2）由（1）得圆的方程为． 代入得，故点在圆上； 代入得，故点在圆外； 代入得，故点在圆内． 热点四 直线与圆的位置关系 例7．直线与圆的位置关系是（） A．相交且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 【答案】D 【详解】圆的圆心为，半径为， 到直线的距离， 所以直线与圆相离. 故选：D 例8．若曲线与直线有两个公共点，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由可得， 即曲线表示以原点为圆心，2为半径的圆的上半部分， 画出图形，可得当直线经过点时，， 当直线与曲线相切时，由圆心到直线的距离可得，由图可得， 所以要使直线与曲线有两个公共点，则. 故选：C.    故答案为： 变式4-1．已知过原点的直线与圆相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线方程为，由题可知圆心到直线的距离小于半径， 圆圆心为，半径， 所以有 故选：C 变式4-2．（多选）下列直线中，与圆相切的有（     ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】圆，即， 则其圆心为，半径为， 选项A：点到直线的距离，故直线与圆相交，故A错误； 选项B：点到直线的距离，故直线与圆相切，故B正确； 选项C：点到直线的距离，故直线与圆不相切，故C不正确； 选项D：点到直线的距离，故直线与圆相切，故D正确； 故选：BD. 变式4-3．已知圆上恰有三个点到过点的直线的距离为1，写出一个满足条件的直线的方程为 . 【答案】（或 【详解】由题得，圆心，半径为2， 故圆恰好与轴相切，圆心到轴的距离为2. 又直线过点，当直线的斜率不存在时， 直线的方程为，圆心到直线的距离为1， 此时圆上恰好有三个点到直线的距离为1，满足题意； 当直线的斜率存在时，直线的方程为， 则圆心到直线的距离为，即， 则直线方程为，即. 故答案为：（或 热点五 圆与圆的位置关系 例9．圆和圆的位置关系是（ ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 【答案】C 【详解】圆的圆心为，半径为3， 圆的圆心为，半径为2， 两圆的圆心距为，所以两圆外切. 故选：C 例10．圆和圆相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】首先求出两圆的公共弦方程，则圆心到直线的距离小于半径，即可得到不等式，解得即可； 【详解】解：因为圆①和圆②相交，所以①减②得，即两圆的公共弦方程为，则圆的圆心到公共弦的距离小于半径， ，解得或， 故选：D 【点睛】本题考查两圆的位置关系求参数的取值范围，解答的关键是利用两圆方程作差求出公共弦方程，利用点到直线的距离小于半径即可求出参数的取值范围； 变式5-1．以为圆心且与圆外切的圆的方程为 ． 【答案】 【详解】设圆的半径为，圆的圆心为坐标原点，半径为， 两圆圆心距为，故， 因此，以为圆心且与圆外切的圆的方程为. 故答案为：. 变式5-2．（多选）已知圆与轴相切，且在直线上，圆，若圆与圆相切，则圆的半径长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】设圆的方程为，因为圆与轴相切，且在直线上， 所以，即，所以圆的方程为或， 又圆的圆心为，半径为1， 当圆与圆外切时，或（舍去）， 解得或； 当圆与圆内切时，或， 解得或（舍去）； 综上，圆的半径长可能是、或2. 故选：BCD 变式5-3．若圆与圆有且仅有一条公切线，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 又两圆有且仅有一条公切线，则两圆的位置关系为内切，所以，即，解得． 故选：C. 热点六 圆的切线问题 例11．已知圆. (1)求圆的半径； (2)若直线与圆相切于点，求直线的方程. 【答案】(1)5； (2). 【详解】（1）因为圆的方程为， 即为， 所以圆的半径为5； （2）显然切线不垂直于轴，设直线的方程为， 为圆心到直线的距离， 则有， 又因为线与圆相切， 所以， 即， 解得：， 所以切线的方程为， 即. 例12．过圆上一点作圆的两条切线，切点为，当最大时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】 ，当最大时，也即取最大， 因为，在直角三角形中，当最短时，最大， 又，当且仅当三点线时最小， 此时，， 所以直线的斜率为. 故选：. 变式6-1．已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】连接，则， 而的最小值为点C到直线l的距离， 所以. 故选：A. 变式6-2．（多选）过点作圆的切线，所得切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】 由圆心为，半径为1，过点斜率存在时，设切线为， 则，可得，所以，即； 斜率不存在时，，显然与圆相切， 综上，切线方程为：或． 故选：AB． 变式6-3．已知圆：，若圆的切线在轴和轴上截距相等，求切线的方程. 【答案】或. 【详解】圆的标准方程为 ∴圆心，半径 设圆的切线在轴和轴上的截距分别为,, 当时，切线方程可设为，即， 由点到直线的距离公式得：，解得所以切线的方程是： 当时，切线方程为，即， 由点到直线的距离公式得：， 解得, 所以，切线的方程为 综上，所求切线方程为或. 热点七 圆的弦长问题 例13．已知直线：与圆：交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知圆心，半径，点到直线的距离， 则，所以为等边三角形， 故． 故选：C 例14．若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则： (1)求圆C的方程． (2)直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为和，线段的中点为，且， 则的垂直平分线方程为，由圆的性质可知，圆心在该直线上， 又已知圆心在轴上，令，得， 故圆心为，半径， 则圆圆C的方程为. （2）由圆心到直线的距离，. 故线段的长度为.    变式7-1．设为正实数.若直线被圆所截得的弦长为，则 . 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离， 则，解得， 由，故. 故答案为：. 变式7-2．圆：与圆：相交于、两点，则 ． 【答案】4 【详解】由圆：与圆：， 两圆相减得公共弦所在直线方程为：， 有圆：，可得圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以. 故答案为：4. 变式7-3．圆O：，过点作两条互相垂直的动弦、，则四边形的面积的最大值为 . 【答案】4 【详解】过点作的垂线，垂足为，作的垂线，垂足为，如图所示： 设， 则，且， 则四边形的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以四边形的面积的最大值为4. 故答案为：4 热点八 圆的对称性 例15．若圆关于直线对称，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】圆关于直线对称, 即圆心在直线上， 由，得圆心， 则，得. 故选：D 例16．圆上存在两点关于直线对称，则的最小值为 . 【答案】 【详解】圆，即，圆心为， 因为圆上存在两点关于直线对称， 所以直线过圆心， 所以，即， 又，， 所以， 当且仅当，即、时取等号， 所以的最小值为． 故答案为： 变式8-1．已知圆C：上任意一点关于直线的对称点也在圆上.则实数（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【详解】圆C：的标准方程为， 要使得圆上任意一点关于直线的对称点也在圆上， 则直线经过圆心，即，解得， 故选：B 变式8-2．直线与圆相交所形成的长度为整数的弦的条数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】易知直线恒过定点， 圆的圆心为，半径为， 易知当过点的弦与垂直时，弦长最小，如下图所示：    此时，弦长为； 当弦过圆心时，此时弦长最长为直径，即； 所以长度为整数的弦的取值可以为； 由对称性可知，长度为的弦仅有一条，长度为的弦长各有两条， 即可知长度为整数的弦的条数共条. 故选：D 变式8-3．已知圆：和直线：． (1)写出圆的圆心和半径； (2)若在圆上存在两点A，B关于直线对称，且以线段为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程． 【答案】(1)圆心为，半径为 (2)或 【详解】（1）变形为， 故圆的圆心为，半径为； （2）由垂径定理可知，线段的垂直平分线一定过圆心， 又A，B关于直线对称，故直线即为的垂直平分线， 所以直线过点，将其代入中得，， 解得， 故直线的斜率为， 又以线段为直径的圆经过原点，圆也经过原点， 故当过点时满足要求，此时直线的方程为， 即， 当当过原点时，也满足要求，此时直线的方程为， 即，    综上，直线的方程为或. 热点九 圆的最值问题 例17．已知，，则的最大值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】由，， 即有， 如图： 故P，Q在如图所示两圆及其内部的范围内， 所以得最大值为4. 故选：C. 例18．已知点是圆 C 上的任意一点，则 的最大值为（    ） A．25 B．24 C．23 D．22 【答案】A 【详解】点是圆 C 上的任意一点，设 则 ， 当且仅当 时，等号成立. 的最大值为25. 故选：A 变式9-1．已知曲线，则的最大值，最小值分别为（　　） A．＋2，－2 B．＋2， C．，－2 D．， 【答案】C 【详解】由，可知，， 且有，表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，如图所示：    又因为表示半圆上的动点与点的距离， 又因为， 所以的最小值为， 当动点与图中点重合时，取最大值， 故选：C． 变式9-2．已知圆：，点P为直线上一动点，过点P向圆引两条切线，，A，B为切点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【详解】    如图，易得,,则四边形的面积为, 化简得，，在中，，代入整理得，， 要使线段长度最小，只需使线段长度最小，而是圆心到直线上任意点的距离， 故当且仅当时，即为圆心到直线的距离时，最小， 此时，. 故选：A. 变式9-3．已知实数满足，则的最大值为 . 【答案】 【详解】因为，所以， 所以点在圆上，其中圆心为，半径为， 又，其中表示点与点连线的斜率， 又，所以点在圆外， 由图可知，当直线与圆相切时，取得最值，设过点的直线的方程为， 即，则，解得或， 即的最大值为，最小值为， 所以的最大值为. 故答案为： 一、单选题 1．（2023-24高二上·云南昆明·期中）直线与轴，轴分别交于点、，以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线，即，与轴，轴分别交于点、， 则的中点为，且， 所以以线段为直径的圆的方程为，即. 故选：B 2．（2023-24高二上·北京·期中）轴与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】C 【详解】因为是以为圆心为半径的圆， 圆心到轴为， 所以与轴关系是相离. 故选：C 3．（2023-24高二下·四川达州·期中）已知直线与圆交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆的圆心， 所以圆心到直线的距离为，则， 而，所以，解得：. 故选：A. 4．（2023-24高二下·云南楚雄·期末）设点，若在圆上存在两点，使得四边形为正方形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 要使得四边形为正方形，结合圆的对称性可得，满足与圆相切， 且，所以， 所以，解得． 故选：C. 5．（2023-24高二上·福建福州·期中）设点是圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，已知点P在圆外，所以为锐角， 由余弦函数单调性可知，当取得最小值时，取得最大值. 在中，， 当最大时，取得最小值， 由正弦函数单调性可知，此时最小，即取得最小值. 又最大值为，所以， 所以. 即的最大值为. 故选：B 6．（2023-24高二上·安徽芜湖·期中）已知，若坐标原点在动直线上的投影为点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线，即， 令，解得，所以动直线恒过定点， 坐标原点在动直线上的投影为点， 故，所以在以为直径的圆上， 则圆的圆心为，半径， 又，所以， 即的取值范围是. 故选：B. 7．（2023-24高二下·湖北·期中）已知点是曲线上不同的两点，且满足，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得， 所以曲线为以为圆心，2为半径的上半圆弧. 由为不同两点，且可转化为， 则过点的直线与半圆弧有两个不同的交点. 如图，当直线位于直线的位置时，，斜率为. 当过点的直线与圆相切于点时，设直线方程为，即：， 由圆心到直线的距离，解得（舍），或， 即直线的斜率为. 如图可知，要使直线与半圆弧有两个不同的交点， 则直线斜率的取值范围为，即. 故选：B. 8．（2023-24高二上·江西景德镇·期中）已知直线恒过定点，圆：上的两点，满足，则的最小值为（    ） A．13 B．18 C．23 D．28 【答案】B 【详解】将整理得， 由解得，所以直线恒过， 因为，所以，，三点共线，， 因为，为圆上两点， 所以点，为过点的直线与圆的两个交点， 设线段的中点为，则，， 因为表示点，到直线的距离和， 分别过，，作，，与直线的垂直，垂足为，，，则， 所以， 因为，直线过点，， 所以，所以， 所以，整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 所以点到直线的距离的最小值为， 所以， 所以， 所以. 故选：B    二、多选题 9．（2023-24高二上·福建厦门·期中）已知点在上，点，，则（    ） A．点到直线的距离最大值是 B．满足的点有2个 C．过直线上任意一点作的两条切线，切点分别为，则直线过定点 D．的最小值为 【答案】BCD 【详解】    对于A，由于，，故直线的方程为. 当的坐标是时，点到直线的距离，故A错误； 对于B，满足的全部点即为以为直径的圆和的公共点，而的中点为，. 故以为直径的圆的方程为，即. 联立并等价变形为，由于点到直线的距离，所以直线和圆有两个不同的交点，从而满足条件的点有2个，故B正确； 对于C，设是圆外一点，熟知关于圆的两条切线的切点确定的直线的方程是，若在直线即直线上，则，即. 所以直线即直线恒过点，C正确； 对于D，设点，，则由点在圆上，知. 所以，故. 从而. 当时，在上，且. 所以的最小值是，D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于D选项中点的构造，事实上，若非零且同向共线，则以为圆心，为半径的圆上的任意一点到两点的距离之比都恒为（仅和的相对位置有关的）定值. 10．（2023-24高二上·甘肃白银·期末）如图，在直角坐标系中，坐标轴将边长为4的正方形分割成四个小正方形.若大圆为正方形的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则下列方程是图中某个圆的方程的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由题可知小正方形边长为2，则内切圆半径为1， 可得第一象限的小圆的圆心为，方程为， 即，A选项正确； 第二象限的小圆的圆心为，方程为， 即，B选项正确； 第三象限的小圆的圆心为，方程为， 即，C选项正确； 第四象限的小圆的圆心为，方程为， 即，没有选项符合； 外接圆圆心为，半径为，方程为，没有选项符合. 故选：ABC 11．（2023-24高二下·河南安阳·期中）已知直线过定点，且与圆相交于两点，则（    ） A．点的坐标为 B．的最小值是 C．的最大值是0 D． 【答案】ACD 【详解】根据题意，圆的圆心为，半径． 对于A，直线，可化为， 所以直线经过点，斜率为， 因此直线过定点，A项正确； 对于B，当时，直线到圆心的距离达到最大值， 此时，可知的最小值是，故B项不正确；    对于C，，由于的最小值是，此时取最大值，故最大值为0，故C项正确； 对于D，设的中点为，连接，则， 可得 ，故D项正确． 故选：ACD． 三、填空题 12．（2023-24高二上·四川宜宾·期中）已知点，点为圆上任意一点，则连线的中点轨迹方程是 ． 【答案】 【详解】设连线的中点为，则， 则，即. 故答案为： 13．（2023-24高二下·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，已知是圆上的一点，是圆上的两点，则的最大值为 . 【答案】 【详解】圆圆心为，半径， 圆圆心为，半径， 因为是圆上的一点，，是圆上的两点， 可知点到点的距离最短，并且、与圆相切（、为切点）时，取得最大值， 此时点在线段与圆的交点， 又，所以，则， 所以，所以的最大值为． 故答案为：． 14．（2023-24高二上·湖南永州·期末）已知点，，若在直线l：上至少存在3个不同的点P，使得为直角三角形，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】当时，三点共线，构不成三角，故， 如图所示，是直角三角形，有三种情况： 当是直角顶点时，直线上有唯一点点满足条件； 当是直角顶点时，直线上有唯一点满足条件； 当是直角顶点时，此时至少有一个点满足条件． 由直径对的圆周角是直角，知直线和以为直径的圆有公共点即可， 以为直径的圆为，圆心为，半径， 所以，解得，且， ∴实数的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题 15．（2023-24高二上·广东河源·期末）已知点，，直线与直线垂直. (1)求的值； (2)若圆经过点，且圆心在轴上，求点的坐标. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）依题意，直线的斜率为，由直线垂直于直线，得， 所以. （2）线段的中点坐标为，则线段的中垂线方程为，即， 由圆经过点，得圆心在直线上，而圆心又在轴上， 所以点的坐标为. 16．（2023-24高一上·陕西宝鸡·期末）已知圆：，是否存在满足以下两个条件的直线:（1）斜率为；（2）直线被圆截得的弦为，以为直径的圆过原点. 若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，说明理由. 【答案】存在，是或. 【详解】设直线存在，其方程为，它与圆C的交点设为、 则由， 得（＊） ∴ ∴ 由得， ∴， 即，解得， ∴或 容易验证或时方程（＊）有实根. 故存在这样的直线有两条，其方程是或. 17．（2023-24高一上·甘肃天水·期末）已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线上 (1)求圆心为的圆的标准方程； (2)线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，所以，所以弦的垂直平分线的斜率为 又弦的中点坐标为， 所以弦的垂直平分线的方程为，即， 与直线联立解得：，， 所以圆心坐标为所以圆的半径， 则圆C的方程为：； （2）设，线段的中点为，，为中点， 所以，则，①； 因为端点在圆上运动，所以， 把①代入得：， 所以线段的中点M的轨迹方程是. 18．（2023-24高二上·湖北荆门·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆C的半径为1，圆心在l上． (1)若圆心C也在直线上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； (2)若圆C上存在点M，使，求圆心C的横坐标a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）根据题意，圆心C在直线上，也在直线上， 联立方程，解得，即， 所以圆． 当切线斜率存在时，过点A的切线方程可设为，即， 则，所以切线方程． 当切线斜率不存在时，直线也与圆相切； 综上所述：所求切线直线方程为或． （2）设点，， 因为，则， 即点M的轨迹方程为， 又点M在圆C上，所以， 若存在这样的点M，则与有公共点， 即两圆的圆心距d满足，即， 解得或， 所以圆心C的横坐标a的取值范围为. 19．（2023-24高二上·广东广州·期中）圆． (1)若圆C与y轴相切，求圆C的方程； (2)已知，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条直线与圆相交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得．若存在，求出实数a，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)存在； 【详解】（1）由得， 因为圆与y轴相切，所以，解得或4， 故所求圆C的方程为或． （2）令得， 解得或，而，即，． 假设存在实数a，设，， 当直线与x轴不垂直时，设直线的方程为， 由得， 根据韦达定理有（*）， 又，则、的斜率互为相反数， 即，得：， 于是，即， 将（*）代入可得：，化简得：，解得． 当直线与x轴垂直时，,显然满足，即、的斜率互为相反数． 综上所述，存在，使得． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$